34
Conceptos ásicos Triángulo: Se define como la figura geométrica plana, cerrada de tres lados. Triángulo equilátero: Es el triángulo que tiene sus tres lados iguales y sus tres ángulos internos iguales, donde cada uno de sus ángulos mide 60º. Triángulo isósceles: Es el triángulo que tiene dos lados y dos ángulos de igual medida y cuyos lados opuestos a los ángulos de igual medida son congruentes. Triángulo escaleno: Es el triángulo que tiene sus tres lados de diferente medida. La suma de los ángulos internos de cualquier triangulo es igual a 180º. Ángulo agudo: Es el ángulo que mide menos de 90º Ángulo recto: Es el ángulo que mide exactamente 90º Ángulo obtuso: Es el ángulo que mide más de 90º pero menos de 180º Ángulo llano: Es el ángulo que mide exactamente 180º 343
Teorema de Pitágoras Dado un triángulo rectángulo: a h b C El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos Para observar la aplicación de este teorema veamos los siguientes ejemplos. Ejemplo. De acuerdo con los datos de la grafica, calcule el valor de la hipotenusa. plicando el teorema de Pitágoras tenemos que: 8 h Planteamos lo que dice el teorema. Resolvemos las potencias dadas. 6 C Sumamos los números. Para despejar la h aplicamos raíz cuadrada al resultado de la suma. Y finalmente este es el valor de la hipotenusa. Por lo tanto la hipotenusa es 344
El teorema de Pitágoras posee un reciproco, el cual es usado para el cálculo de de la medida de cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo. Este resultado se muestra a continuación: Para calcular el cateto a se aplicaría: Para calcular el cateto b se aplicaría: Triángulos Especiales Existen dos triángulos rectángulos que se consideran especiales puesto que sus medidas mantienen una forma a pesar que estas sean aumentadas o disminuidas. Estos son conocidos como el triángulo semiequilátero o 30 60 y el triángulo rectángulo isósceles o 45 45. 30 45 x 3 x x x x 60 C x 45 C Ejemplos 1. De acuerdo con los datos de la figura calcule el valor de y : 30 30 60 C 345
. De acuerdo con los datos de la figura calcule el valor de y : 45 7 45 C En ocasiones averiguar las medidas de los lados de un triangulo especial requiere de que apliquemos ecuaciones como lo haremos en el siguiente ejemplo, esto lo aplicamos cuando nos dan como información el lado que está compuesto por la : 3. De acuerdo con los datos de la figura calcule el valor de y : 30 6 60 C Entonces hasta este punto podemos afirmar que por las definición del triangulo especial. hora retomando la ecuación podemos determinar el valor de Por lo tanto el valor de. De forma similar se puede trabajar para el triangulo especial isósceles. 346
Área y Perímetro de figuras básicas planas Cuadrado Área : l Perímetro: P 4 l l l Rectángulo Área : Perímetro: l a P a l l Rombo a Área : Perímetro: D d P 4 l D l d Trapecio Área : Perímetro: b h P b a c b a Triángulo b h Área : Perímetro: P sumar los Triángulo lados h b h Formula de Heron Nota: esta formula se aplica cuando NO se tiene la altura del triángulo. b a c Semi-perimetro : S Área : s s a s b s c 347
Círculo y Circunferencia Circunferencia: Dado un punto fijo llamado centro, el conjunto de puntos coplanares que se encuentran a la misma distancia de éste, forman una curva cerrada llamada circunferencia. Circulo: El conjunto de puntos que forman la circunferencia unidos con todos los puntos del plano que ésta encierra, se llama círculo. Nota: toda circunferencia mide 360º Elementos de la circunferencia. Radio: Es segmento de recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. r =radio 348
Cuerda: Es segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. =cuerda Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro. Divide a la circunferencia en dos partes iguales de 180º. d =diametro Tangente: Es la recta que corta a la circunferencia en un único punto. K = tangente Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos. K m= secante m 349
rco: Es una porción de la circunferencia definida entre dos puntos. C C= arco Relaciones en la circunferencia Definiremos varios resultados que nos permitirán realizar de manera mas sencilla los ejercicios planteados. Teorema 1. En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes dos cuerdas congruentes equidistan del centro. C D E O DF Entonces EO CO F Teorema. Toda recta tangente a la circunferencia es perpendicular al radio trazado por el punto de tangencia. OC = radio O C C = tangente Entonces OC 350
Teorema 3. Si un radio de una circunferencia interseca a una cuerda en su punto medio, entonces el radio y la cuerda son perpendiculares. D E O E E Entonces OD Teorema 4. En una circunferencia si dos cuerdas son congruentes entonces los arcos que comprenden también son congruentes. O DC Entonces DC D C Teorema 5. Las dos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior N, forman con los radios trazados desde el punto de tangencia, y la recta que une al punto exterior y al centro, dos triángulos congruentes. M O N P Teorema 6. En una circunferencia, si dos cuerdas son paralelas, entonces los arcos comprendidos entre dichas cuerdas son congruentes. D O C ll DC entonces D C 351
Ángulos en la circunferencia Ángulo Central: Está formado por dos radios y su vértice es el centro de la circunferencia. Su medida es igual al arco que él comprende. m O m O Ángulo Inscrito: Está formado por dos cuerdas y su vértice es un punto cualquiera de la circunferencia. Su medida es la mitad de la medida del arco que el comprende. NP m NMP m N M O P Ángulo Semi-inscrito: Está formado por una cuerda y una tangente, además su vértice es un punto cualquiera de la circunferencia. Su medida es la mitad de la medida del arco que el comprende. EF m DEF m D F E O 35
Ángulo Circunscrito: Está formado por dos rectas tangentes y su vértice es un punto exterior a la circunferencia. Su medida es la mitad de la diferencia del arco mayor y arco menor que el comprende. m C m CE C C E O Relación entre dos circunferencias. Circunferencias exteriores La distancia D, entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. D R r R D r O O 1 Circunferencias Tangentes exteriormente La distancia D, entre sus centros es igual que la suma de sus radios. D R r D R r O O 1 353
Circunferencias Tangentes interiormente La distancia D, entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios. D R r D r O O 1 R Circunferencias interiores La distancia D, entre sus centros es menor a la diferencia de sus radios. D R r D O O r 1 R Circunferencias Secantes La distancia D, entre sus centros es menor que la suma de sus radios y mayor que la diferencia. R r D R r R D r O O 1 354
Circunferencias Concéntricas La distancia D, entre sus centros es igual a cero. D 0 D O 1 r R Práctica 1. Si en la circunferencia de centro O, OC =0 y = 3 cuál es la medida de EC? ) 4 41 ) 1 C) 10 D) 8. En una circunferencia de diámetro 0cm, si la distancia de una cuerda al centro es de 6cm, cuál es la medida de la cuerda? ) 8cm ) 1cm C) 16cm D) 10cm 3. De acuerdo con los datos de la figura. Cuál es la medida del arco C? ) 90 ) 76 C) 180 D) 104 P: centro del círculo. 355
4. De acuerdo con los datos de la figura, si es tangente a la circunferencia en, la media del arco que subtiende, el ángulo seminscrito representado es ) 0 ) 40 C) 80 D) 160 O: centro del círculo. 5. De acuerdo con los datos de la figura, el valor de corresponde a ) 15 ) 30 C) 75 D) 150 6. De acuerdo con los datos de la figura, el valor de corresponde a ) 168 ) 84 C) 54 D) 4 7. De acuerdo con los datos de la figura, si es diámetro y C=30 entonces la medida de DO ) 60 ) 90 C) 10 D) 150 O: centro del círculo. 356
8. De acuerdo con los datos de la figura, la medida de O es ) 0 ) 40 C) 70 D) 10 O: centro del círculo. 9. De acuerdo con los datos de la figura, si y C son congruentes y la medida del arco MD es 70 cuál es la medida del ángulo D? ) 3 ) 3 C) 46 D) 58 O: centro del círculo. 10. De acuerdo con los datos de la figura, si m OC=96, entonces cuál es la medida del C? ) 84 ) 13 C) 168 D) 64 O: centro del círculo. 11. De acuerdo con los datos de la figura, la medida de corresponde a ) 140 ) 130 C) 100 D) 5 O: centro del círculo. 357
1. De acuerdo con los datos de la figura, la medida del arco corresponde a ) 40 ) 50 C) 80 D) 100 O: centro del círculo. 13. En la figura XY es tangente en a la circunferencia de centro O, entonces ROS mide ) 30 ) 90 C) 60 D) 10 O: centro del círculo. 14. De acuerdo con la figura adjunta en la que K es tangente a la circunferencia en K, el valor de es ) 170 ) 10 C) 85 D) 60 15. De acuerdo con la figura en la que C es tangente a la circunferencia en cuál es el valor de? ) 58 ) 3 C) 9 D) 6 358
16. De acuerdo con los datos de la figura, si CD es un diámetro y la medida del arco (menor) D es la mitad de la medida del arco (menor) C, entonces m CO es ) 170 ) 140 C) 10 D) 160 O: centro del círculo. 17. De acuerdo con los datos de la circunferencia de centro O con certeza se cumple que ) m E = M CE ) m CE = M DE C) m E = M EC D) m CD= M EC O: centro del círculo. 18. De acuerdo con los datos de la figura, si es tangente a la circunferencia de centro O y DC es un diámetro, entonces cuál es la medida del CD? ) 10 ) 75 C) 10 D) 300 O: centro del círculo. 19. De acuerdo la figura, si MO=NO y m O=4, la medida del arco menor DC es ) 48 ) 84 C) 96 D) 1 359
0. Considere la siguiente figura. O: centro del círculo. De acuerdo con los datos de la figura, si M=MD, la medida de D es ) 4 ) 60 C) 48 D) 96 1. En una circunferencia, la longitud de una cuerda es 10. Si la distancia de esa cuerda al centro de la circunferencia es 4, entonces Cuál es la longitud del radio ) 9 ) 41 C) 9 D) 3. De acuerdo con los datos de la figura, si DC es tangente al círculo en C, es un diámetro y m DC=116 entonces cuál es la medida de EC? ) 3 ) 74 C) 148 D) 190 360
3. De acuerdo con los datos de la figura, si CD es tangente a la circunferencia en el punto C, entonces la medida del arco (menor) es ) 56 ) 86 C) 43 D) 60 4. De acuerdo con los datos de la circunferencia de centro O, cuál es la medida del arco (menor) M? ) 65 ) 70 C) 40 D) 80 5. De acuerdo con los datos de la figura, si =1 y C = 4 5, entonces la distancia de C al centro O del círculo es ) 4 ) 5 C) 8 5 D) 14 6. Si D=50º y los círculos con centros en O y O 1 son tangentes, entonces la medida de m CE es ) 5 ) 40 C) 50 D) 100 361
7. Si dos circunferencias tangentes interiormente tienen diámetros cuyas medidas son 1 y 8, respectivamente, entonces la medida del segmento de recta que une los centros de las circunferencias es ) ) 4 C) 10 D) 0 8. De acuerdo con los datos de la figura; si R y S son puntos de tangencia, entonces m RMS ) 100 ) 160 C) 60 D) 80 9. De acuerdo con los datos de la figura, si m CD=118º y m OC=106º, entonces, cuál es la medida del OD? ) ) 44 C) 68 D) 136 30. De acuerdo con los datos de la figura, si y C son dos cuerdas congruentes de la circunferencia de centro P, M =MP y C=8, entonces la medida del diámetro de la circunferencia corresponde a ) 8 ) 16 C) 4 D) 8 36
31. Si M es tangente a la circunferencia en M, m M=60º y M= 18, entonces la medida del radio es ) 6 6 ) C) 6 D) 18 3. De acuerdo con los datos de la figura, Si DC, m =108º y m DC=68º, entonces la m DEC es ) 46 ) 68 C) 88 D) 9 -E-C -E-D 33. De acuerdo con los datos de la figura, si C es tangente a la circunferencia en, m =96º, entonces m O es ) 4 ) 45 C) 48 D) 84 O: centro del círculo. 34. En un mismo plano, la distancia entre los centros de dos circunferencias es 10. Si R representa la medida del radio de una de ellas y 10-R representa la medida del radio de la otra, entonces se cumple que las circunferencias son ) secantes. ) concéntricas. C) tangentes interiormente. D) tangentes exteriormente. 363
35. En la circunferencia dada, M y M son cuerdas equidistantes del centro, m M=60º y = 6 cuál es la medida del radio? ) ) 6 C) D) 6 36. Si C y son rectas tangentes a la circunferencia en C y, respectivamente, C y la medida del diámetro es 1, entonces C es igual a ) 6 ) 1 C) 6 D) 4 37. De acuerdo con los datos de la figura, si es perpendicular a la cuerda. Si, entonces la medida en grados del es: ) ) C) D) D O E C 38. De acuerdo con los datos de la figura, es un diámetro y, entonces el valor en grados del es: ) ) C) D) C O D 364
39. De acuerdo con los datos de la figura, la medida del ángulo es de: ) ) C) D) x C O 3x 4x 40. Según la siguiente figura C O E O: centro de la circunferencia D Si se cumple que, OD CE y ambos miden 8cm, entonces la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda CE en centímetros corresponde a ) ) C) D) 41. Si dos circunferencias exteriores tienen radios de 1cm y 15cm, y entre ellas hay una distancia de 5cm, la longitud del segmento que une los centros corresponde a ) 3cm ) cm C) 7cm D) 3cm 365
4. Considere la siguiente figura y son los centros. 4cm 16cm De acuerdo con los datos de la figura la distancia entre y corresponde a ) 0cm ) 8cm C) 40cm D) 48cm 43. Si dos circunferencias son tangentes interiores cuyos radios corresponden a 17cm y 14cm, entonces la distancia que hay entre los centros corresponde a ). 0cm ) 3cm C) 1cm D) 31cm 366
44. Según la siguiente figura C 5cm 16cm F E x D 8cm Si C, y C, son tangentes a la circunferencia en los puntos E, D y F respectivamente, entonces el valor de x corresponde a ). 3cm ) 8cm C) 11cm D) 16cm 45. Según la siguiente figura C O E O: centro de la circunferencia D Si se cumple que, OD CE y ambos miden 16cm, entonces la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda CE corresponde a ) 4 cm ) 4 3cm C) 8 cm D) 8 3cm 367
46. Según los datos de la siguiente figura circunferencia O C O: Centro de la Si se cumple que m C 40º, C y son segmentos tangentes a la circunferencia, entonces COmide ) 0º ) 70º C) 90º D) 140º 47. Si tenemos que la distancia de los centros de dos circunferencias es 0cm y los radios corresponden a 1cm y 10cm respectivamente, según la posición de estas circunferencias se clasifican en ) tangentes interiores ) tangentes exteriores C) secantes D) concéntricas 48. Según los datos de la siguiente figura O C O 1 cm C 8 cm O: Centro de la circunferencia Si se cumple que es tangente a la circunferencia, entonces mide. 1 cm. 1 3cm C. 16cm D. 4 5cm 368
49. En una circunferencia se tiene un ángulo central de 80º, entonces la medida del arco que lo subtiende corresponde a ) 0º ) 40º C) 80º D. 160º 50. Según la siguiente figura O C Si O es el centro de la circunferencia, entonces la ) 45º ) 90º C) 180º D) 360º m C corresponde a 51. Según la siguiente figura D O mc=0º md=80º El valor de ) 60º ) 80º C) 150º D) 160º corresponde a C 369
5. Según la siguiente figura O C D 45º El valor de corresponde a ) 45º ) 90º C) 135º D) 180º 53. En la figura, tenemos que:. Cuánto mide el arco menor? ) 80 ) 90 C) 100 D) 10 D C E 54. En la figura, considérese que: D?. Cuánto mide el ángulo < ) 30 ) 43 C) 45 D) 86 C D E 370
Áreas en el círculo. continuación les brindaremos las formulas para calcular áreas en el círculo. r Circunferencia L c r Círculo r O r nillo o Corona Circular R r Sector Circular o r n sc 360 O r O r Longitud de arco o r n L arco 180 Segmento Circular o r n b h sgc 360 371
Práctica. 55. En la figura C y D son diámetros de la circunferencia de centro O, C = 8, entonces el área total de las regiones destacadas en gris es ) 8 8 3 ) 16 8 3 C) 16 16 3 D) 64 3 3 O: centro del círculo. 56. De acuerdo con los datos de la figura, =16cm, entonces el área en centímetros cuadrados de la región destacada es ) 64 18 ) 56 64 C) 64 64 D) 64 3 O: centro del círculo. 57. En la figura CD es un cuadrado inscrito en una circunferencia de diámetro 10cm, entonces, el área en metros cuadrados en la región destacada en gris corresponde a ) 100 50 ) 5 50 C) 5 50 D) 10 50 58. De acuerdo con las datos de la figura, O es un radio del círculo de centro O y un diámetro del circulo de centro. Si O=10cm. Cuál es el área de la región destaca con gris? ) 300 ) 75 C) 0 D) 10 O: centro del círculo. 37
59. El área de un anillo circular determinado por dos circunferencias 5 1 concéntricas cuyos diámetros son y respectivamente es 4 ) ) C) D) 3 cm 4 3 cm 1 cm 64 1 cm 16 60. De acuerdo con los datos de la figura, formada por un rombo y una circunferencia donde el radio del círculo es 4, la diagonal mide el doble de lo que mide la otra diagonal, cuál es el área total de las regiones destacadas en gris? ) 8 3 ) 16 16 C) 16 3 D) 64 16 O: centro del círculo. 61. De acuerdo con los datos de la figura, C mide 1cm y la medida del O=50º, el área sombreada corresponde a ) 5 5 ) 3 C) 10 D) 8 O: centro del círculo. 373
6. Cuál es el área de un sector circular determinado por un ángulo central de 80º en un círculo de radio 6? ) 16 4 ) 3 8 C) 3 D) 8 63. Cuál es el área de la región determinada por un ángulo central de medida 3 en una circunferencia de radio 6? ) 6 ) 1 C) 30 3 D) 5400 64. En la figura OM=M y OM=cm. Por lo tanto el área de la región destacada en gris corresponde a ) ) 6 C) 3 D) O: centro del círculo. 65. De acuerdo con los datos de la figura, si el área del círculo es 30cm, cuál es el área de la región destacada en gris? ) 0 cm ) 10 cm C) 0cm D) 10cm O: centro del círculo 374
66. Si en la figura adjunta OM=M y OM=cm. Por lo tanto el área de la región sombreada es ) 6 ) 7 7 C) D) 4 O: centro del círculo. 67. De acuerdo con los datos de la figura determinada por un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia de radio `r, el área destacada es r ) r r ) r C) r r D) r 68. Si DC es un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 4cm, entonces el área de la región destacada en gris es ) 16 3 ) 16 8 C) 4 64 D) 4 8 69. En la figura adjunta O es el centro del círculo de radio, entonces el área sombreada es ),19 ),46 C) 3,19 D) 3,3 70. En la figura adjunta = 4 3 y m O 10º, entonces el área sombreada corresponde a 16 ) 3 4 3 ) 16 1 3 3 C) 3 4 3 D) 3 1 3 375
71. En la figura = 4 y O=4, entonces el área de la región destacada en gris corresponde a ) 16 8 ) 4 16 C) 4 8 D) 8 8 7. Cuanto mide el área en centímetros de la región sombreada, si la diagonal del cuadrado mide cm? ) ) C) D) O 73. Según los datos de la siguiente figura, el valor del área sombreada si r 6 cm y m 60º corresponde a ) ) C) 9 3 cm 6 9 3 cm 9 3 cm r D) 6 9 3 cm 74. Cuanto mide el área en centímetros de la región sombreada, si la diagonal del cuadrado mide cm? ) ) C) D) O 376
75. Según los datos de la siguiente figura, el valor del área sombreada si r 4 cm y m 60º corresponde a. 4 3 cm. C. 16 3 4 3 4 3 cm cm r D. 8 3 4 3 cm 76. Cual el área del sector circular que tiene como ángulo central a 10 y cuyo diámetro es de 18 centímetros? ) ) C) D) 77. Si el área de un sector circular cuyo ángulo central es 10 es entonces cual es la longitud de la circunferencia? ) ) C) D) 78. Si un segmento circular está determinado por un radio de 10 unidades y por un triangulo equilátero cuya área es de unidades cuadradas entonces su área aproximada es de: ) 15.43 ) 9.06 C) 7.1 D) 6.36 79. Si el radio de una circunferencia se aumenta en tres unidades, entonces en cuántas unidades aumenta la circunferencia? ) ) C) D) 6 377
80. Cuánto mide el radio de un círculo si un arco de longitud determina en él un sector circular de área? ) 9 ) C) D) 81.Un cuadrado se circunscribe en una circunferencia de radio entonces el lado de dicho cuadrado corresponde a ) 4cm ) 8cm C) 4 cm D) 8 cm 4 cm, 8. Si una circunferencia inscrita a un cuadrado tiene longitud 18 cm, entonces el área de dicho cuadrado ) 9cm ) 18cm C) 81cm D) 34cm Polígonos Regulares e Irregulares. Polígono Irregular: Un polígono es irregular si todos sus lados y todos sus ángulos internos son distintos. Polígono Regular: Un polígono es regular si todos sus lados tienen igual medida y todos sus ángulos internos son congruentes, es decir es equilátero y equiángulo. 378
Clasificación de polígonos Cantidad de lados Nombre 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octágono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Endecágono 1 Dodecágono 15 Pentadecágono 0 Icoságono Ángulos. n = cantidad de lados del polígono Medida de cada ángulo interno 180º n m i n Medida de cada ángulo externo 360º m e n Medida de cada ángulo central 360º m c n Suma de las medidas de los ángulos internos 180 º n Suma de las medidas de los ángulos externos 360º La suma del ángulo interno con el ángulo externo es igual a 180º m i m e 180º 379
Segmentos. Diagonal: Una diagonal de un polígono es el segmento de recta que une dos vértices No consecutivos. El número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice es: n 3 El número total de diagonales desde todos los vértices es: n n 3 Radio: Es el segmento de recta que une el centro con un vértice. potema: Es el segmento de recta que va desde el centro a un lado en forma perpendicular. Área y Perímetros: Área Perímetro P a P = perímetro = apotema P n l l = longitud del lado n = cantidad de lados 380
381 Polígonos regulares especiales. Cuadrado l a d l l d l = área, l = lado, d = diagonal, a = apotema Triangulo Equilátero 4 3 3 3 3 l h r h a l h = área, l = lado, r = radio, h = altura, a = apotema Hexágono 3 3 3 l l r l a = área, l = lado, r = radio, a = apotema
Polígonos regulares y circunferencia. Circunferencia inscrita: Los lados del polígono son tangentes a la circunferencia y el radio del circulo coincide con la apotema del polígono. Circunferencia inscrita al hexágono. Circunferencia inscrita al cuadrado. Circunferencia inscrita al triángulo. Circunferencia circunscrita: Los vértices del polígono están en la circunferencia y el radio del circulo coincide con el radio del polígono. Circunferencia circunscrita al hexágono. Circunferencia circunscrita al cuadrado. Circunferencia circunscrita al triángulo. 38
Práctica 83. De acuerdo con los datos de la figura, el área destacada corresponde a ) 15 3 5 ) 30 C) 4 D) 15 84. De acuerdo con los datos de la figura, si E DC cuál es el área del pentágono CD? ) 54,7 ) 34,7 C) 45,0 D) 35,0 85. De acuerdo con los datos de la figura CD el área de aproximada es ) 96,6 ) 184,55 C) 78,15 D) 9,5 86. De acuerdo con los de la figura si C=8 y DE= entonces cuál es el área del? CDݝ ) 10 3 16 ) 10 3 8 C) 3 10 D) 0 383
87. De acuerdo con los datos de la figura, Cuál es el área en centímetros cuadrado del polígono CDE? C ) ) C) 9 6 D 4 4 D) 13 E 88. Cuál es el número de lados de un polígono regular que tiene 0 diagonales? ) 18 ) 10 C) 8 D) 5 89. Si ángulo interno de un polígono regular mide 135 cuál es el número total de diagonales de ese polígono? ) 5 ) 8 C) 0 D) 40 90. Si el ángulo central de un polígono regular mide 45, entonces el polígono regular es un ) cuadrado ) octágono C) hexágono D) decágono 91. El polígono regular cuyo ángulo interno mide 144 se llama ) dodecágono ) eneágono C) decágono D) endecágono 384
9. La suma de los ángulos internos de un heptágono corresponde a ) 450 ) 900 C) 70 D) 700 93. La suma de los ángulos externos de un polígono regular de 36 lados corresponde a ) 610 ) 594 C) 181 D) 360 94. En un polígono regular de 10 lados la medida de un ángulo externo es ) 144 ) 36 C) 35 D) 18 95. La medida de un ángulo externo de un pentadecágono corresponde a ) 36 ) 4 C) 108 D) 16 96. El lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 1cm de radio, mide en centímetros ) 1 ) 1 3 C) 6 3 D) 4 3 97. El radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero de 9cm de altura mide en centímetros ) 6 ) 3 C) 6 3 D) 7 3 385
98. La apotema de un cuadrado de 18cm de lado mide en centímetros ) 9 ) 18 C) 9 D) 18 99. Cuál es la longitud de un lado de cuadrado circunscrito a una circunferencia de radio3? ) 3 ) 6 C) 1 D) 6 100. El área de una circunferencia inscrita en un cuadrado de radio 10 es ) 144 ) 48 C) 7 D) 4 101. El área del hexágono regular de la figura adjunta corresponde a ) 4 ) 1 C) 1 3 D) 6 3 10. La longitud de la apotema de un hexágono regular circunscrito en una circunferencia de radio 4 es ) 4 3 ) 3 C) 4 D) 386
103. Si un hexágono regular tiene perímetro 1, entonces la medida del diámetro de la circunferencia inscrita en el hexágono es ) 3 4 ) 3 C) 3 D) 4 104. Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de 3 radio. El área del hexágono es aproximadamente )48,50 )6,35 C)41,57 D)31,18 3 105. La apotema de un hexágono regular mide 3 cada lado es entonces la medida de ) 3 ) 6 C) 3 3 D) 9 3 106. Si la longitud de una circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero es 1, entonces la altura de dicho triángulo es ) 9 ) 18 18 C) 3 36 D) 3 107. En un polígono regular la medida de cada ángulo interno es 135, si el perímetro es 48, entonces la medida de cada lado del polígono es ) 3 ) 4 C) 6 D) 8 387
108. El área de un hexágono regular es 4 3, su perímetro es ) 4 ) 48 C) 4 3 D) 4 3 109. Cuál es la longitud del lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 4? ) 8 ) 4 3 C) 8 3 D) 3 110. Considere los datos de la figura, para el hexágono regular CDEF el área de la región destacada en gris es ) ) 4 C) 3 D) 4 3 111. Cuál es la longitud aproximada de la circunferencia circunscrita a un decágono regular si la medida de su apotema es 1? ) 79,5 ) 93,13 C) 18,9 D) 43,9 11. Considere el siguiente pentágono regular. Si el perímetro del pentágono es 50, entonces la medida aproximada de la diagonal es ) 9,51 ) 11,76 C) 16,18 D) 34,03 388
113. Considere el siguiente hexágono regular, si =, entonces la medida de CD es ) 4 ) 8 C) 3 D) 4 3 114. Cuál es el área total en decímetros de un prisma de altura 8 y cuyo lado de la base es un triángulo equilátero de lado 10? ) 40,0 ) 83,3 C) 36,6 D) 166,6 115. Un triangulo equilátero se inscribe en una circunferencia de radio 4 cm. Cuánto mide la altura de este triangulo? ) ) C) D) 116. Cuál es la medida de lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio? ) ) C) D) 389
117 Cual es la medida en grados de un ángulo interno de un polígono que posee 1 diagonales desde cualquiera de sus vértices? ) ) C) D) 118. Si la apotema de un octágono regular mide 6dm entonces el área de dicho polígono corresponde aproximadamente a ) 9,8dm ) 59,6dm C) 119,3dm D) 38,6dm 119. Si un polígono tiene 15 diagonales desde un vértice, entonces la medida del ángulo central de dicho polígono corresponde a ) 0º ) 4º C) 30º D) 360º 10. El polígono regular que tiene en total 0 diagonales corresponde a ) pentágono ) heptágono C) octágono D) dodecágono 11. La medida de un ángulo interno de un pentadecágono regular corresponde a ) 4 º ) 36 º C) 144 º D) 156 º 1. En un polígono regular se cumple que la medida del ángulo interno es igual a la medida del ángulo central, entonces dicho polígono debe ser. triángulo equilátero. cuadrado C. hexágono D. octágono 390
13. La suma de los ángulos externos de un polígono de 0 lados corresponde a ) 18º ) 36º C) 16º D) 360º 14. Si el número de diagonales desde un vértice de un polígono regular es 17, entonces el ángulo central de dicho polígono corresponde a ) 18º ) 36º C) 16º D) 360º 15. Se inscribe en una circunferencia un triangulo equilátero de 6cm de altura Cuánto mide el radio de la circunferencia? ) ) C) D) 16. Si la apotema de un hexágono regular mide entonces la medida de cada lado es de: ) ) C) D) 17. Un ángulo externo de un polígono regular mide 15 entonces el numero de diagonales que se pueden trazar desde un vértice es de: ) 15 ) 1 C) 1 D) 4 18. Cuánto mide un de los ángulos externos de un polígono regular que posee 135 diagonales en total? ) 4 ) 0 C) 150 D) 160 391
19. La suma de los ángulos internos de un polígono regular de 15 lados es de: ) 156 ) 31 C) 4 D) 340 130. Si las diagonales totales de un polígono regular son 54 entonces este polígono tiene: ) 15 lados ) 5 lados C) 1 lados D) 18 lados Sólidos Geométricos Cubo Poliedro regular formado por seis caras cuadradas. Área total: Volumen: V T 3 a 6a a a a Prisma Poliedro limitado por dos polígonos iguales, llamados bases, situados en planos paralelos, y por varios paralelogramos, llamados caras laterales. Área total: Volumen: T V b h L h 39
Pirámide Poliedro limitado por una base, que es un polígono cualquiera, y varias caras laterales, que son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide. Área total: Volumen: V T 1 3 b h L H a L Cilindro Es el cuerpo en revolución generado por un rectángulo al girar alrededor de uno de sus lados. El cilindro consta de dos bases circulares y una superficie lateral que, al desarrollarse, da lugar a un rectángulo. Área total: T r r Volumen: V r h h Cono Es el cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar alrededor de uno de sus catetos. Área total: T r r g Volumen: V 1 r h 3 393
Esfera Cuerpo de revolución que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. El centro y el radio de la esfera son los del semicírculo que la genera. Área total: T 4 3 Volumen: V r 3 4 r r Práctica 131. El volumen, en decímetros cúbicos de un prisma hexagonal de altura 45dm y cuyo lado de la base mide 3dm corresponde a ) 607, 5 3 ) 60750 3 C) 60, 75 3 D) 1015 3 13. El volumen en decímetros cúbicos de un paralelepípedo cuyas dimensiones son 5cm, cm y 6cm corresponde a ) 60 ) 6 C) 0,06 D) 0,00060 133. Si la diagonal de un cubo mide 7 3 entonces la medida de su arista mide en centímetros ) 3 ) 3 C) 7 D) 394
134. Cuál es él área total en centímetros cuadrados de un cubo de 16cm de arista? ) 1536 ) 4096 C) 180 D) 104 135. Si el volumen de un cubo es centímetros cuadrados es ) 3 ) 6 C) 1 D) 18 3 7cm, entones el área basal del cubo en 136. Cuál es el área lateral de una pirámide recta, de base cuadrada, si el lado de la base mide 10m y la altura de la pirámide es 1m? ) 65 ) 40 C) 60 D) 64 137. Si la altura de una pirámide es 0cm y su base en un cuadrado de 18cm de lado, entonces el área lateral de la pirámide es aproximadamente es ) 789,54 ) 394,74 C) 34 D) 1578,96 138. Cuál es el área total de una pirámide regular de base hexagonal, si se sabe que el lado de base mide 5cm y la apotema de la pirámide mide 4,4cm? ) 196,95 ) 130,95 C) 64,95 D) 11 139. Si la base de una pirámide es un hexágono regular de 6 3 cm de apotema y su altura es 15cm, entonces la medida de su arista corresponde a ) 18,5 ) 16,00 C) 10,54 D) 19,1 395
140. Si el lado de la base de una pirámide hexagonal mide 6cm y la altura de la pirámide es 8cm, entonces el volumen en centímetros cúbicos de la pirámide es ) 7 ) 7 3 C) 4 3 D) 144 3 141. Si el área lateral de un cilindro es destacado? ) 30 ) 60 C) 90 D) 30 60 cm cuál es el área del rectángulo 14. Cuál es el área lateral en centímetros cuadrados de un cilindro cuya altura es 18cm y el diámetro de la base es 10cm? ) 450 ) 30 C) 180 D) 50 143. El volumen de un cilindro circular recto de 1cm de altura es cuál es el área total del cilindro? ) 96 ) 18 C) 384 D) 896 3 19 cm, 144. En un cilindro circular recto el área de la base es 5 m. Si su generatriz mide 10m, entonces su volumen es ) 500 ) 50 C) 83 D) 5. 396
145. En un cilindro circular recto cuya altura es 10, si el área de la base es 36, entonces cuál es el área lateral? ) 10 ) 180 C) 40 D) 60. 146. Cuál es el volumen de un cono de diámetro 6cm y de altura mide 9cm? ) 108 ) 81 C) 7 D) 18. 147. El diámetro de un cono circular recto mide 10cm y la altura mide 1cm Cuál es el área total del cono? ) 85 ) 90 C) 100 D) 30. 148. Cuál es el área lateral aproximada de un cono de 36 cm 3 de volumen y 1cm se altura? ) 116,51cm ) 43,9 cm C) 113,04cm D) 339,1cm. 149. En un cono circular recto, la altura mide 16cm y la generatriz 0cm. Cuál es el área de la base? ) 4 ) 40 C) 768 D) 144 397
150. Cuál es la altura de un cono circular recto si el volumen es 4 y el diámetro es 6? ) 3 8 ) 3 8 C) 8 D) 151. El volumen de un cono inscrito en un cilindro, cuyo volumen es 300cm 3 es ) 100 ) 180 C) 00 D) 300 15. El volumen de un cono circular recto de generatriz 13 y de altura 1 es ) 300 ) 150 C) 100 D) 50 153. Si un cubo de arista 1 se inscribe en una esfera, entonces la longitud del radio de la esfera es ) 6 ) 0,6 C) 6 3 D) 0,6 3 154. Cuál es el área total de una esfera cuyo diámetro mide 1,m? ) 1, 44 ) 5, 76 C) 0, 9 D), 30 398
155. Cuánto material se necesita para construir la superficie de un globo esférico de diámetro 10m? ) 5 ) 100 C) 167 D) 400 156. Cuál es en centímetros cúbicos el volumen de una esfera de diámetro 10cm? 4000 ) 3 500 ) 3 100 C) 3 D) 100 157. El volumen de un cubo es 16. Cuál es la longitud de la diagonal del cubo? ) 6 ) 36 C) 6 D) 6 3 158. Se tienen dos esferas cuyos radios miden 6 y 3 respectivamente. Si dichas esferas se unen para formar otra esfera, entonces, cuál es la medida radio es la esfera formada? ) 9 ) 9 C) 6 3 D) 3 3 9 399
159. En un cilindro circular recto el radio de una de las bases es 6cm y la altura del cilindro es 8cm, Cuál es el área total en centímetros cuadrados del cilindro? ) ) C) D) 160. Si la genetriz de un cono mide 15cm y su altura es 9cm, calcule el área de la base del cono. ) ) C) D) 161. Un cubo tiene un área total de cuánto mide su arista? ) ) C) D) 16. Si la diagonal de cubo mide, entonces su volumen es: ) ) C) D) 163. Cual es el volumen del paralelepípedo rectangular que tiene por medidas 1 cm 5.5 cm y 10 cm de largo ancho y alto respectivamente: ) ) C) D) 400
164. Calcule el volumen en centímetros cúbicos de una pirámide de base cuadrada cuyo lado de la base es y cuya arista lateral es de 6 cm. ) 00 ) 1600 C) 4800 D) 500 165. Si el lado de la base de una pirámide hexagonal mide 6cm y la altura de la pirámide es 8cm, entonces el volumen en centímetros cúbicos de la pirámide es ) 7 ) 7 3 C) 4 3 D) 144 3 166. El volumen de una pirámide de base hexagonal regular es de 18 centímetros cúbicos y su altura de, halle su lado de la base. ) ) C) D) 167. Halle el volumen de un cono circular recto en función de radio sabiendo que su diámetro tiene la misma medida de la altura. ) ) C) D) 168. En un cilindro circular recto el área lateral es de y la altura del cilindro es de 10cm Cuál es el volumen en centímetros cúbicos del cilindro? ) 1960 ) 800 C) 1960 D) 800 401
169. Halle el volumen de un cono circular recto de radio 3, sabiendo que el área de la base es un tercio de su área lateral. ) 6 ) 8 C) D) 170. Un cono circular recto tiene un volumen de. Sabiendo que su diámetro es 1cm halle la medida en centímetros de su altura. ) 6 ) 9 C) 1 D) 15 171. En un cono circular recto, la altura mide 1cm y la generatriz 13cm. Cuál es el área de la base? ) 5 ) 40 C) 768 D) 144 17. Cuál es el área total de una esfera cuyo diámetro mide,3m? ) 1, 44 ) 5, 76 C) 5, 9 D), 30 40
Soluciones. Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta 1 D 6 51 76 D C 7 5 77 D 3 D 8 C 53 D 78 4 D 9 D 54 79 5 C 30 D 55 80 D 6 31 56 C 81 D 7 C 3 C 57 8 C 8 33 58 83 D 9 C 34 D 59 C 84 10 35 C 60 D 85 D 11 C 36 C 61 86 1 D 37 6 D 87 C 13 C 38 63 88 C 14 D 39 C 64 89 15 D 40 65 C 90 C 16 D 41 D 66 91 17 4 C 67 9 D 18 43 68 93 19 C 44 69 94 0 45 D 70 95 1 46 D 71 C 96 47 C 7 97 3 D 48 C 73 98 D 4 C 49 C 74 99 C 5 50 75 D 100 D 403
101 D 16 151 10 17 15 C 103 D 18 C 153 D 104 19 D 154 105 130 C 155 106 131 156 107 C 13 C 157 D 108 133 C 158 D 109 134 159 110 C 135 160 111 136 C 161 C 11 137 16 C 113 D 138 163 114 C 139 D 164 D 115 140 D 165 C 116 141 166 C 117 D 14 C 167 C 118 143 168 D 119 C 144 169 D 10 C 145 170 11 146 C 171 C 1 147 17 C 13 D 148 14 149 D 15 150 C 404