GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 1 Conceptos básicos 1. Una figura geométrica es un conjunto de puntos. 2. Puntos colineales son cualesquiera puntos que están exactamente en una recta. 3. La distancia entre un punto X y un punto Y, denotada por XY, es el valor absoluto de la diferencia entre sus coordenadas en la recta XY. 4. Si A, B y C son colineales y a, b y c son sus respectivas coordenadas, entonces B está entre A y C si y sólo si a < b < c ó b < c < a. 5. El conjunto de todos los puntos entre dos puntos A y B diferentes, junto con los puntos A y B, es un segmento, y su notación es AB. Los puntos A y B se llaman extremos del segmento. 6. La longitud de un segmento AB es la distancia entre sus extremos. 7. Adición de segmentos. Si un punto B está entre dos puntos A y C, entonces AB + BC = AC. 8. Una poligonal es un conjunto de puntos formado por la unión de segmentos que sólo se tocan en sus extremos y no forman otro segmento. 9. Un polígono es una poligonal cerrada. 10. Cuando se suman las longitudes de los lados de un polígono, se obtiene un número llamado perímetro del polígono. 11. Si el segmento que une a cualesquiera dos puntos en el interior de un polígono está totalmente contenido en el interior del mismo, se dice que el polígono es un polígono convexo. 12. Siempre que se considera un punto sobre una recta, se divide a ésta en dos subconjuntos de ella, llamados rayos o semirectas. 13. Toda recta divide al plano en dos semiplanos ajenos entre sí y con la recta que los determina. 1
2 Ángulos y triángulos 1. Un ángulo es la unión de dos rayos no opuestos, que tienen en común su punto extremo. 2. Los rayos que forman un ángulo se llaman lados del ángulo, y el punto extremo común de los lados del ángulo se llama vértice del ángulo. 3. Los ángulos pueden denotarse por medio del símbolo seguido de tres letras, la de enmedio es la letra del vértice; y las otras dos corresponden a cualesquiera puntos de los lados del ángulo distintos del vértice, uno en uno y otro en otro de los lados del ángulo. 4. La parte del plano comprendida entre los lados de un ángulo es un conjunto de puntos llamado interior del ángulo. 5. Postulado de medida de ángulos. A cada ángulo corresponde exactamente un número entre 0 y 180. 6. La medida de un ángulo es el número que le corresponde entre 0 y 180. 7. Postulado de adición de ángulos. Si un punto B está en el interior de un ángulo AOC, entonces AOB + BOC = AOC. 8. Ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 90 y más de 0. 9. Un ángulo es ángulo recto si mide 90. 10. Un ángulo es ángulo obtuso si mide más de 90 y menos de 180. 11. Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando al menos un ángulo recto. 12. Dos segmentos son perpendiculares si y sólo si se cortan y las rectas que los contienen son perpendiculares. 13. Un segmento es perpendicular a una recta dada si y sólo si se cortan y la recta que contiene al segmento es perpendicular con la recta dada. 14. Postulado de existencia de perpendiculares. Por un punto sobre o fuera de una recta, pasa exactamente una perpendicular a la recta. 15. La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular del punto a la recta. 16. Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 90. 17. Ángulos adyacentes son dos ángulos que tienen un lado común y cuyos lados no comunes están en lados diferentes de la recta que contiene al lado común. 18. Un par lineal es un par de ángulos adyacentes con sus lados no comunes opuestos. 19. Dos ángulos forman un par lineal si y sólo si su vértice está entre cualquier par de puntos distintos de éste, uno en uno y otro en otro de los lados no comunes. 2
20. Postulado del suplemento. La suma de las medidas de dos ángulos que forman un par lineal, es 180. 21. Ángulos suplementarios son dos ángulos cuyas medidas suman 180. 22. Ángulos opuestos por el vértice son dos ángulos que determinan con sus lados dos pares de rayos opuestos. 23. Ángulo interior o ángulo de un triángulo es un ángulo cuyo vértice es vértice de éste, y uno de sus lados contiene un lado del triángulo. 24. Ángulo exterior de un triángulo es un ángulo que forma un par lineal con alguno de los ángulo del triángulo. 25. Triángulos acutángulos son los que tienen sus tres ángulos agudos. 26. Triángulos rectángulos son los que tienen un ángulo recto. 27. Triángulos obtusángulos son los que tienen un ángulo obtuso. 28. Triángulos equiángulos son los que tienen sus tres ángulos de igual medida. 3
3 Congruencias Dos figuras que tienen la misma forma y el mismo tamaño, se llaman congruentes. 3.1 Congruencia de segmentos 1. Dos segmentos son congruentes si y sólo si tienen la misma medida. 2. Postulado de prolongación de segmentos. Dados dos segmentos, hay exactamente un punto en la prolongación de uno de ellos que determina un segmento congruente con el otro. 3. Punto medio de un segmento es un punto entre los extremos de éste, que determina dos segmentos congruentes. 4. Triángulos equiláteros son los que tienen sus tres lados congruentes entre sí. 5. Triángulos isósceles son los que tienen dos lados congruentes entre sí. 6. Triángulos escalenos son los que no tienen lados congruentes entre sí. 3.2 Congruencia de ángulos 1. Dos ángulos son congruentes si y sólo si tienen la misma medida. 2. Bisectriz de un ángulo es un rayo cuyos puntos, excepto su extremo, que es el vértice del ángulo, están en el interior del ángulo dividiendo a éste en dos ángulos congruentes. 3.2.1 Propiedades fundamentales de congruencias de ángulos 1. Cualesquiera dos ángulos rectos son congruentes. 2. Los complementos de ángulos congruentes son congruentes. 3. Los complementos de un mismo ángulo son congruentes. 4. Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes. 5. Los suplementos de un mismo ángulo son congruentes. 6. Cualesquiera dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes. 7. Dos rectas que se cortan formando un ángulo, forman cuatro ángulos rectos. 8. Los ángulos formados por rectas perpendiculares son ángulos rectos. 9. Dos rectas perpendiculares, forman ángulos adyacentes congruentes. 10. Dos rectas que forman un par de ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. 4
3.3 Congruencia de triángulos 1. Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia biyectiva entre sus vértices, que sea una congruencia. 2. Postulado LAL Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo comprendido de uno, son respectivamente congruentes con dos lados y el ángulo comprendido del otro. 3. Postulado AAL Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado de uno son respectivamente congruentes con dos ángulos y un lado del otro. 4. Postulado LLL Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los tres lados del otro. 5. Postulado HC Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un cateto de uno son respectivamente congruentes con la hipotenusa y un cateto del otro. 6. Postulado LA Dos triángulos rectángulos son congruentes si un lado y un ángulo de uno son respectivamente congruentes con un lado y un ángulo del otro. 7. Teorema En un mismo triángulo, a lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 8. Teorema En un mismo triángulo, a ángulos congruentes se oponen lados congruentes. 9. Altura de un triángulo es todo segmento desde uno de sus vértices, perpendicular a la recta que contiene al lado opuesto de dicho vértice. 10. El punto donde se intersectan las bisectrices de los ángulos de un triángulo se llama incentro, y es el centro del círculo inscrito en el triángulo. 11. Mediana de un triángulo es un segmento que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto a dicho vértice. 12. Las medianas de un triángulo se intersectan en un punto llamado baricentro, centroide o punto mediano. Este punto constituye un punto de trisección de cada mediana del triángulo. 13. Mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento por el punto medio de éste. 14. Teorema La altura sobre la base de un triángulo isósceles es mediana y bisectriz de dicho triángulo. 15. Lema Todo punto en la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento. 3.4 Desigualdades de segmentos 1. Un segmento es menor que otro, si y sólo si su medida es menor que la del otro. 2. Teorema Si uno de dos segmentos congruentes es menor que un tercero, entonces el otro es también menor que el tercero. 5
3. Teorema Si un segmento dado es menor que otro que es congruente con un tercero, entonces es también menor que el tercero. 4. Teorema Todo punto entre los extremos de un segmento dado determina cdon ellos segmentos menores que el segmento dado. 5. Desigualdad de segmentos Si un segmento es menor que otro, entonces entre los extremos del más grande hay exactamente un punto que determina con uno de ellos un segmento congruente con el segmento anterior. 6. Desigualdad de segmentos Si un segmento es menor que otro, entonces en la prolongación del segmento menor hay exactamente un punto que determina con uno de sus extremos un segmento congruente con el segmento mayor. 3.5 Desigualdades de ángulos 1. Un ángulo es menor que otro, si y sólo si su medida es menor que la del otro. 2. Teorema Si un ángulo dado es menor que otro que es congruente con un tercero, entonces el ángulo dado también es menor que el tercero. 3. Teorema Si un ángulo dado es congruente con otro que es menor que es menor que un tercero, entonces el ángulo dado es también menor que el tercero. 4. Teorema Todo ángulo formado por un lado de un segundo ángulo y un rayo contenido, excepto su extremo en el interior de éste, es menor que dicho segundo ángulo. 5. Corolario Todo ángulo congruente con otro, formado por un lado de un tercer ángulo y un rayo contenido excepto su extremo en el interior de éste, es menor que dicho tercer ángulo. 6. Desigualdad de ángulos Si un ángulo es menor que otro, entonces hay exactamente un punto, en el interior del más grande, que determina con uno de los lados de éste un ángulo congruente con el ángulo menor. 7. Desigualdad de ángulos Si un ángulo es menor que otro, entonces hay exactamente un punto, en el exterior del ángulo menor, que determina con uno de los lados de éste un ángulo congruente con el ángulo mayor. 3.5.1 Propiedades de desigualdades de triángulos 1. Propiedad del ángulo exterior a un triángulo Todo ángulo exterior de un triángulo es mayor que cada uno de los ángulos del triángulo no adyacentes a él. 2. Relaciones entre ángulos y lados de un triángulo Si en un triángulo un lado es menor que otro, entonces el ángulo opuesto al lado menor es menor que el ángulo opuesto al otro lado. 3. Relaciones entre ángulos y lados de un triángulo Si en un triángulo un ángulo es menor que otro, entonces el lado opuesto al ángulo menor es menor que el lado opuesto al otro ángulo. 6
4. Segmento perpendicular desde un punto a una recta El segmento menor desde un punto a una recta es el segmento perpendicular. 5. Desigualdad del triángulo En cada triángulo, la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados. 7
4 Paralelas 1. Dos rectas son paralelas si y sólo si no se intersectan. 2. Postulado de las paralelas Por un punto fuera de una recta, pasa exactamente una paralela a dicha recta. 3. Teorema Dos rectas distintas perpendiculares a una tercera, son paralelas entre sí. 4. Teorema Toda recta perpendicular a una de de dos paralelas es perpendicular a la otra. 4.1 Ángulos entre paralelas 1. Una transversal es una recta que corta a dos o más rectas en puntos diferentes. 2. Ángulos alternos internos son dos ángulos formados por rectas cortadas por una transversal, tales que un lado de uno y un lado del otro están en lados diferentes de la transversal y los lados restantes están en ella, intersecándose en un segmento cuyos extremos son puntos extremos de dichos lados. 3. Ángulos correspondientes son dos ángulos formados por rectas cortadas por una transversal, tales que uno de ellos es opuesto por el vértice con un tercer ángulo que es alterno interno con el otro. 4. Teorema Si dos rectas cortadas por una transversal forman con ella dos ángulos alternos internos congruentes, entonces las rectas son paralelas. 5. Teorema Dos rectas paralelas cortadas por una transversal forman con ella ángulos alternos internos congruentes. 6. Teorema Si dos rectas cortadas por una transversal forman con ella ángulos correspondientes congruentes, entonces las rectas son paralelas. 7. Teorema Dos rectas paralelas cortadas por una transversal forman con ella ángulos correspondientes congruentes. 8. Ángulos colaterales internos son dos ángulos determinados por rectas cortadas por una transversal, tales que uno de ellos forma un par lineal con un tercer ángulo que es alterno interno con el otro. 9. Teorema Dos rectas paralelas cortadas por una transversal forman ángulos colaterales internos suplementarios. 10. Teorema Si dos rectas cortadas por una transversal forman con ella dos ángulos colaterales internos suplementarios, entonces las rectas son paralelas. 11. Teorema Cada ángulo exterior de un triángulo tiene por medida la suma de las medidas de los ángulos del triángulo no adyacentes a él. 12. Teorema En cada triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos es 180. 8
13. Diagonal de un polígono convexo es un segmento que une dos vértices no consecutivos del polígono. 14. Teorema En cada polígono convexo de n lados, la suma de las medidas de sus ánguos es (n 2) 180. 15. Corolario La suma de las medidas de los ángulos de un cuadrilátero convexo es 360. 16. Corolario La medida de cada ángulo de un polígono regular de n lados es (n 2) 180. n 17. Corolario La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono convexo, formados al prolongar en sucesión sus lados, es igual a 360. 9
5 Paralelogramos 1. Un paralelogramo es un cuadrilátero de lados opuestos paralelos. 2. Teorema Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes. 3. Teorema Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes. 4. Teorema En cada paralelogramo sus diagonales se bisecan. 5. Teorema Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. 6. Teorema Si dos lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes y paralelos, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. 7. Corolario La línea que une los puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralela al tercer lado e igual a su mitad. 8. Un rectángulo es un paralelogramo que tiene un ángulo recto. 9. Teorema Si un ángulo de un paralelogramo es recto, entonces sus otros ángulos son rectos. 10. Un rombo es un paralelogramo que tiene sus lados congruentes. 11. Teorema Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí. 12. Teorema Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan y son perpendiculares, entonces el cuadrilátero es un rombo. 13. Teorema Cada diagonal de un rombo biseca los ángulos de éste, cuyos vértices son extremos de dicha diagonal. 14. Romboide es un paralelogramo sin ningún par de lados ni ángulos consecutivos congruentes. 15. Teorema de Tales Si tres rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una de dos transversales, entonces determinan segmentos congruentes en la otra. 10
6 Círculo 1. Sea O un punto y r un número real positivo. El círculo con centro en O y radio de medida r, es el conjunto de puntos en el plano P cuya distancia a O es r. 2. Radio de un círculo es un segmento cuyos extremos, uno es el centro del círculo y el otro es un punto sobre el círculo. 3. Cuerda de un círculo es un segmento cuyos extremos son puntos del círculo. 4. Diámetro de un círculo es una cuerda que contiene al centro del círculo. 5. Secante de un círculo es una recta que intersecta al círculo en dos puntos. 6. Tangente de un círculo es una recta que toca al círculo exactamente en un punto llamado punto de tangencia o punto de contacto. 7. Teorema Los radios de un mismo círculo son congruentes. 8. Corolario La longitud de cualquier diámetro de un círculo es el doble de la longitud del radio del círculo. 9. Teorema El segmento perpendicular desde el centro de un círculo a una cuerda de éste biseca la cuerda. 10. Teorema El segmento que une el centro de un círculo con el punto medio de una de sus cuerdas, es perpendicular a ella. 11. Teorema La mediatriz de una cuerda pasa por el centro del círculo. 12. Círculos congruentes son aquellos cuyos radios son congruentes. 13. Teorema En un mismo círculo o en círculos congruentes, cualesquiera dos cuerdas congruentes equidistan del centro. 14. Teorema En un mismo círculo o en círculos congruentes, cualesquiera dos cuerdas equidistantes del centro son congruentes. 15. Teorema Cada tangente a un círculo es perpendicular al radio de éste, que incide en el punto de tangencia. 16. Teorema Cualquier recta perpendicular a un radio en su extremo sobre el círculo es tangente al círculo. 17. Teorema Si dos tangentes a un mismo círculo se intersectan, entonces Los segmentos que tienen por extremos un punto de tangencia y el punto de intersección de las tangentes, son congruentes. El rayo que tiene por extremo al punto de intersección y pasa por el centro, forma con las tangentes dos ángulos congruentes. 11
6.1 Tangentes comunes a dos círculos 1. Círculos tangentes son círculos que son tangentes a una misma recta y en un mismo punto. 2. Círculos internamente tangentes son círculos que tienen sus centros del mismo lado de una tangente común a ellos en un mismo punto. 3. Círculos externamente tangentes son círculos que tienen sus centros en lados opuestos de una tangente común a ellos en un mismo punto. 4. Tangente interna común de dos o más círculos es una tangente común a los círculos, tal que sus centros están en lados opuestos de ella. 5. Tangente externa común de dos o más círculos es una tangente común a los círculos, tal que sus centros están del mismo lado de ella. 6.2 Ángulos de un círculo 12