Tema IV: Ideas básicas sobre filtros

Tema IV: Ideas básicas sobre filtros Consideraciones generales... 101 Definición de filtro... 101 Características ideales... 10 Frecuencia de corte... 103 Tipos de filtros... 103 Condiciones de estudio... 103 Filtros elementales... 104 Filtro paso bajo constituido por un circuito RL serie... 104 Resumen de filtros paso bajo elementales... 105 Resumen de filtros paso alto elementales... 106 Filtro paso banda constituido por un circuito RLC serie... 107 Circuitos en régimen transitorio y en régimen sinusoidal... 108 Resumen de filtros paso banda elementales... 109 Resumen de filtros de banda eliminada elementales... 110 Ejemplo 1... 111 Ejemplo... 11 Filtros reales... 113 Caracterización matemática de un filtro real... 113 Tipos de respuestas... 114 Procedimiento de diseño de filtros... 115

100 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase Prototipo de filtro paso bajo normalizado... 116 Esquema del circuito a considerar... 116 Esquema del filtro... 116 Datos a considerar... 117 Normalización de frecuencias... 119 Cálculo del orden del filtro... 119 Cálculo de la atenuación... 10 Cálculo de los elementos del prototipo normalizado... 11 Obtención de los elementos del filtro... 14 Ejemplo 1... 17

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 101 Consideraciones generales Definición de filtro Un filtro es un cuadripolo que permite el paso de señales con determinadas frecuencias e impide el paso de señales con otras frecuencias. v i Filtro v o El comportamiento de un filtro se representa matemáticamente mediante su función o característica de transferencia, expresada directamente en notación fasorial o utilizando la transformada de Laplace. H(j) = V o (j) V i (j) = V o (s) V i (s) s=j = H(j) ϕ()

10 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase Características ideales Según sea la característica de transferencia, hay cuatro tipos ideales de filtros. Paso bajo H(j) Permite el paso de todas las señales con frecuencias menores que c e impide el paso de todas las señales con frecuencias superiores a c. c Paso alto H(j) c Permite el paso de todas las señales con frecuencias mayores que c e impide el paso de todas las señales con frecuencias inferiores a c. Paso banda H(j) Permite el paso de todas las señales con frecuencias entre 1 y e impide el paso de todas las señales con frecuencias distintas. 1 Banda eliminada H(j) Impide el paso de todas las señales con frecuencias entre 1 y y permite el paso de todas las señales con frecuencias distintas. 1

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 103 Frecuencia de corte Frecuencia de corte = c H(j c ) = H(j ) max Para = c, la potencia media entregada a una carga conectada a la salida de un filtro excitado por una señal sinusoidal es la mitad de la máxima potencia media que puede entregarse a dicha carga. Pasivos. Tipos de filtros Formados exclusivamente por elementos pasivos. El módulo de la función de transferencia es normalmente inferior a la unidad (puede ser superior en casos excepcionales). Si se conecta una carga a la salida del filtro, el módulo de la función de transferencia es siempre inferior a la unidad. Activos. Contienen elementos activos (dispositivos tipo transistor) en su interior, con lo que el módulo de la función de transferencia, independientemente de que haya o no una carga conectada a la salida, puede ser superior a la unidad. Condiciones de estudio Se hará referencia únicamente a filtros pasivos. No se tendrá en cuenta de forma especial la fase de la característica de transferencia del filtro.

104 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase Filtros elementales Filtro paso bajo constituido por un circuito RL serie Circuito aproximado 0 rad/s Circuito original Circuito aproximado rad/s fuente sinusoidal v i L R v o fuente sinusoidal v i L R v o fuente sinusoidal v i L R v o H(s) = V o (s) V i (s) = R/L s R/L H(j) = [H(s)] s=j = R/L s R/L H(j ) = R/L (R/L), ϕ() = arctg L R 1 H(j) 0 º c 0.71 45 º c 90 º ϕ() H(j) max = 1 H(j c ) = 1 c = R L

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 105 Resumen de filtros paso bajo elementales Paso bajo RL serie v i L R c = R/L v o H(s) = H(j) = c s c c c ϕ() = arctg c Paso bajo RC serie v i R C c = 1/(RC) v o H(s) = H(j) = c s c c c ϕ() = arctg c Observaciones Las dos características de transferencia son de la forma genérica H(s) = c s c Luego cualquier circuito que tenga una función de transferencia de esta forma se comporta como un filtro paso bajo. c = 1/τ siendo τ la constante de tiempo del circuito (respuesta natural en régimen transitorio).

106 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase Resumen de filtros paso alto elementales Paso alto RL serie v i R L v o H(s) = H(j) = s s c c c = R/L ϕ() = 90 º arctg c Paso alto RC serie v i R C c = 1/(RC) v o H(s) = H(j) = s s c c ϕ() = 90 º arctg c Observaciones Las dos características de transferencia son de la forma genérica H(s) = s s c Luego cualquier circuito que tenga una función de transferencia de esta forma se comporta como un filtro paso alto. c = 1/τ siendo τ la constante de tiempo del circuito (respuesta natural en régimen transitorio). En circuitos RC (RL) constituidos por los mismos elementos la frecuencia de corte siempre tiene el mismo valor, independientemente de que el filtro sea paso alto o paso bajo.

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 107 Filtro paso banda constituido por un circuito RLC serie Circuito aproximado 0 rad/s Circuito original Circuito aproximado rad/s fuente sinusoidal L C v o v R i fuente sinusoidal L C v o v R i fuente sinusoidal L C v o v R i H(j) = H(s) = V o (s) V i (s) = (R/L)s s (R/L)s 1/(LC) (R/L) [1/(LC) ] [(R/L)], ϕ() = 90 º arctg (R/L) 1/(LC) 1 0.71 H(j) 90 º 0 º 0 ϕ() 0 1 90 º Frecuencia central o de resonancia = 0 H(j 0 ) = Max H(j) = H(j) max La función de transferencia es real 0 = 1 Frecuencias de corte = 1 H(j 1 ) = H(j) max = H(j ) = Ancho de banda BW = 1 Factor de calidad Q = 0 /BW

108 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase Circuitos en régimen transitorio y en régimen sinusoidal Si el circuito de la transparencia anterior está sometido a una excitación continua en lugar de estar sometido a una excitación sinusoidal permanente, su comportamiento en régimen transitorio (aplicación o supresión de la excitación en t = 0) está caracterizado por los parámetros Coeficiente de amortiguamiento (frecuencia de Neper): α = R L Frecuencia de resonancia: 0 = 1 LC Relacionando ambos regímenes puede llegarse a la conclusión de que Teniendo en cuenta que BW = α Q = 0 BW y que la respuesta en régimen transitorio puede ser subamortiguada, sobreamortiguada o crítica, estando la frontera entre las dos primeras definida por la relación 0 = α Q = 0.5 Circuito con respuesta subamortiguada en régimen transitorio Circuito con banda estrecha y aguda (Q alto) Circuito con respuesta sobreamortiguada en régimen transitorio Circuito con gran ancho de banda (Q bajo)

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 109 Resumen de filtros paso banda elementales Paso banda RLC serie Paso banda RLC paralelo v i L C R v o v i R L C v o τ = L/R H(s) = s/τ s s/τ 0 τ = RC H(j) = /τ ( 0 ) (/τ) ϕ() = 90 º arctg /τ 0 1 = 1 τ 1 τ 0 1 = 1 τ 1 τ 0 0 = 1 = 1 LC BW = 1 = 1/τ Q = 0 BW = τ RC Q = 0 BW = Rτ L

110 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase Resumen de filtros de banda eliminada elementales Banda eliminada RLC serie v o Banda eliminada RLC paralelo v o v i L C R R v i L C τ = L/R H(s) = s 0 s s/τ 0 τ = RC H(j) = 0 ( 0 ) (/τ) ϕ() = arctg /τ 0 1 = 1 τ 1 τ 0 1 = 1 τ 1 τ 0 0 = 1 = 1 LC BW = 1 = 1/τ Q = 0 BW = τ RC Q = 0 BW = Rτ L

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 111 Ejemplo 1 v i R L R L v o Se desea comprobar el efecto de conectar una carga resistiva a la salida de un filtro paso alto constituido por un circuito RL serie. Teniendo en cuenta que el circuito se comporta como un divisor de tensión, su función de transferencia es H(s) = V 0 (s) V i (s) = R L sl R L sl R R L sl R L sl = s R L R R L s R L R R L R L = Ks s cl K = R L R R L, cl = K c, c = R L 1 K H(j) K c c Es decir, y puesto que K < 1, la presencia de la carga no altera el comportamiento cualitativo del circuito (sigue siendo un filtro paso alto), pero disminuye el máximo del módulo de la función de transferencia y la frecuencia de corte.

11 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase Ejemplo v i v o L C R Se desea diseñar un filtro de banda eliminada con la estructura mostrada en la figura. La frecuencia central y el ancho de banda son, respectivamente, 750 y 50 Hz. La capacidad vale 100 nf. Se pretende calcular los valores de R y L, y los de las frecuencias límites de la banda eliminada. BW = 1 = π 50 = 1 τ τ = 0.64 ms Q = 0 BW = τ RC R = BW τc = 0 π 50 π 750 0.64 10 3 = 710 Ω 9 100 10 L = Rτ = 454 mh 1 = 1 τ 1 τ 0 = 4 krad/s = 1 BW = 5.57 krad/s

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 113 Filtros reales Ningún filtro real presenta una característica de transferencia ideal, sino otra (respuesta) que se aproxima más o menos a aquélla. 1 H(j) característica ideal respuesta real Ejemplo de filtro paso bajo real. banda de paso banda de transición banda eliminada Las frecuencias a la entrada son transferidas de distinta forma a la salida, y algunas frecuencias no deseadas están presentes a la salida. c Caracterización matemática de un filtro real Un filtro puede representarse mediante su característica de transferencia, o indicando su función de atenuación. 1 H(j) A db (j) Atenuación A db (j) = 0logH(j) db banda de paso banda de transición banda eliminada H(j) = 1 A db = 0 db H(j) = 0.5 A db = 6 db c H(j) = 0.01 A db = 40 db

114 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase Tipos de respuestas Ejemplos de respuestas para filtros paso bajo (para otros tipos de filtros se aplicarían consideraciones similares). Hay muchos tipos posibles de respuestas (sólo se considerarán la Butterworth y la Chebyshev). A db (j) banda de paso Respuesta Butterworth La atenuación es mínima en la banda de paso, pero crece lentamente fuera de ella. c A db (j) banda de paso A m Respuesta Chebyshev La atenuación crece más rápidamente fuera de la banda de paso, pero hay cierta atenuación (rizado) en ésta, con un valor máximo A m. c A db (j) A M banda de paso A m Respuesta Cauer (elíptica) La atenuación crece todavía más rápidamente fuera de la banda de paso, pero hay cierta atenuación (rizado) en esa zona, con un valor mínimo A M. c

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 115 Procedimiento de diseño de filtros 1. Seleccionar el tipo de filtro (paso bajo, paso alto, paso banda, de banda eliminada).. Seleccionar el tipo de respuesta (Butterworth, Chebyshev). 3. Especificar las características del filtro (frecuencia de corte, frecuencias límites, frecuencia central, atenuación máxima en la banda de paso, atenuación mínima fuera de la banda de paso, atenuación a una frecuencia dada fuera de la banda de paso). 4. Diseño de un filtro paso bajo normalizado: Cálculo del número de secciones que constituyen el filtro. Cálculo de los elementos pasivos de cada sección. 5. Escalado del prototipo de filtro paso bajo normalizado (transformar cada elemento del prototipo en los elementos pasivos necesarios para tener el filtro deseado).

116 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase Prototipo de filtro paso bajo normalizado fuente Esquema del circuito a considerar carga R G v G v i filtro v o R L Esquema del filtro g 1 g g 3 R G R L g 4 El filtro empieza con un elemento en serie g 4 R G R L g 1 g g 3 El filtro empieza con un elemento en paralelo Determinar el valor de n (orden del filtro). Determinar los valores de g i (i = 1,,..., n). Objetivo

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 117 Datos a considerar Tipo de filtro Respuesta Datos Paso bajo Paso alto Butterworth Chebyshev c : frecuencia de corte p : una frecuencia en la banda de paso s : una frecuencia en la banda rechazada A max (db): atenuación máxima tolerada en la banda de paso; se especifica para = p A min (db): atenuación mínima exigida en la banda eliminada; se especifica para = s Para la respuesta Butterworth, ha de hacerse siempre p = c En el caso de respuesta Butterwrth se supone en todo momento que la atenuación correspondiente a la frecuencia de corte es A max = 3 db. De lo contrario, algunas de las fórmulas que siguen a continuación no son válidas.

118 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase Tipo de filtro Respuesta Datos Paso banda Banda eliminada Butterworth Chebyshev p : una frecuencia en la banda de paso s : una frecuencia en la banda rechazada A max (db): atenuación máxima tolerada en la banda de paso; se especifica para = p A min (db): atenuación mínima exigida en la banda eliminada; se especifica para = s frecuencia central: 0 = 1 ancho de banda: BW = 1 ancho de banda relativo: bw = 1 0 En el caso de respuesta Butterwrth se supone en todo momento que las atenuaciones correspondientes a las frecuencias extremas de la banda son A max = 3 db. De lo contrario, algunas de las fórmulas que siguen a continuación no son válidas.

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 119 Normalización de frecuencias Puesto que se trata de diseñar un prototipo de filtro paso bajo, hay que normalizar las frecuencias de cualquier otro filtro para que ésta pueda ser tratado como paso bajo. Filtro normalizado Filtro paso alto Filtro paso banda Filtro de banda eliminada s p norm p 1 s s bw 0 0 s bw s 0 0 s Para la respuesta Butterworth, ha de hacerse siempre p = c Cálculo del orden del filtro Orden Respuesta Butterworth Respuesta Chebyshev n a min = 10 A min/10 1 a max = 10 A max/10 1 n = log(a min /a max ) log( s / c ) norm a min = 10 A min/10 1 a max = 10 A max/10 1 n = arccosh a min /a max arccosh( s / p ) norm Si el resultado del cálculo no es un número entero, se elige para n el entero inmediatamente superior a dicho resultado (las especificaciones se cumplen por exceso).

10 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase Cálculo de la atenuación Conocidos el tipo, la respuesta y el orden del filtro, es posible determinar la atenuación que introduce el filtro a cualquier frecuencia. Respuesta Butterworth Respuesta Chebyshev n < c A(dB) = 10log 1 a max cos n arccos c norm A(dB) = 10log 1 c norm > c A(dB) = 10log 1 a min cosh n arccosh c norm Para calcular (/ c ) norm se utilizan las expresiones del apartado Normalización de frecuencias sustituyendo s por.

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 11 Cálculo de los elementos del prototipo normalizado Respuesta Butterworth (fórmulas de Bossé) Caso general K = 4R G R L (R G R L ) 1 0 (R G R L ) La condición se cumple siempre. α = (1 K) 1/(n) b i = 1 α αcos iπ n, i = 1,,..., n x i = sen i n 1 π, i = 1,,..., n g 1 = x 1 1 α g i = 4x i1 x i b i1 g i1, i =, 3,..., n Caso particular (fórmulas de Bennet) R G = R L K = 1 g i = sen i n 1 π, i = 1,,..., n

1 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase Respuesta Chebyshev (fórmulas de Takahasi) n impar K = Caso general 4R G R L (R G R L ) 1 0 (R G R L ) Esta condición se cumple siempre. n par K = 4R G R L (R G R L ) (1 a max ) 1 4R G R L a max (R G R L ) Esta condición no se cumple siempre. En particular, no es posible obtener filtros de orden par con respuesta Chebyshev en los que las resistencias de fuente y de carga sean iguales. α = 1 n arcsenh 1 a max α = 1 n arcsenh 1 K a max b i = senh α senh α sen iπ n senh(α)senh(α)cosiπ n, i = 1,,..., n x i = sen i n 1 π, i = 1,,..., n g 1 = x 1 senh(α) senh(α) g i = 4x i1 x i b i1 g i1, i =, 3,..., n

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 13 Caso particular K = 1 Esta condición implica que las resistencias de fuente y de carga son iguales en el caso de un filtro de orden impar, y que son distintas en el caso de un filtro de orden par. α = 1 n arcsenh 1 a max b i = senh α sen iπ, i = 1,,..., n n x i = sen i n 1 π, i = 1,,..., n g 1 = x 1 senh(α) g i = 4x i1 x i b i1 g i1, i =, 3,..., n

14 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase Obtención de los elementos del filtro Se trata de convertir cada elemento g i del prototipo normalizado en una determinada combinación de inductancias y capacidades con ciertos valores. Las reglas de conversión de los elementos del prototipo en elementos reales son las que se exponen seguidamente. Tipo Esquema Fórmulas de conversión Paso bajo rama en serie C i rama en paralelo L i Ramas en serie con la línea: L i = R G g i c Ramas en paralelo con la línea: C i = g i R G c Paso alto rama en serie L i rama en paralelo C i Ramas en serie con la línea: C i = 1 R G g i c Ramas en paralelo con la línea: L i = R G g i c

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 15 Tipo Esquema Fórmulas de conversión Paso banda rama en paralelo C i L i L i rama en serie C i Ramas en serie con la línea: L i = R G g i bw 0, C i = bw R G g i 0 Ramas en paralelo con la línea: g i L i = R G bw g i 0, C i = bwr G 0 Banda rama en serie eliminada L i L i C i C i rama en paralelo Ramas en serie con la línea: L i = R G g i bw 0, C i = 1 bwr G g i 0 Ramas en paralelo con la línea: L i = R G bwg i 0, C i = bwg i R G 0

16 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase Ejemplo 1 Se desea diseñar un filtro paso alto con respuesta Butterworth, que ha de insertarse entre dos resistencias de 50 Ω. La frecuencia de corte del filtro ha de ser 3 krad/s, y para ella la atenuación será 3 db. Para una frecuencia de 1 krad/s, la atenuación mínima ha de ser 30 db. a min = 10 A min/10 1 = 10 30/10 1 = 999 a max = 10 A max/10 1 = 10 3/10 1 = 1 s p norm = p s = 3 103 rad/s 10 3 rad/s = 3 log(a min /a max ) log( s / p ) norm = 3.14 n = 4 Ya que R G = 50 Ω = R L, puede empezarse el filtro con un elemento en serie o en paralelo. Empezando con un elemento en serie, se tiene R G = 50 Ω = R L K = 1 g i = sen i n 1 π, i = 1,,..., n i g i C i = 1 R G g i c L i = R G g i c 1 0.765 C 1 = 8.7 µf 1.85 L = 9 mh 3 1.85 C 3 = 3.6 µf 4 0.765 L 4 = 1.8 mh R G C 1 C 3 L L 4 R L

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 17 Ejemplo Se desea diseñar un filtro paso banda con respuesta Butterworth, que ha de insertarse entre dos resistencias de 50 Ω. Las frecuencias extremas del filtro son 40 y 160 krad/s, y para ellas la atenuación será 3 db. Para una frecuencia de 40 krad/s, la atenuación mínima ha de ser 0 db. a min = 10 A min/10 1 = 10 0/10 1 = 99 a max = 10 A max/10 1 = 10 3/10 1 = 1 BW = 1 = 160 krad/s 40 krad/s = 10 krad/s 0 = 1 = 80 krad/s bw = BW 0 = 1.5 s p norm = 1 bw s 0 0 s = 1 1.5 40 10 3 rad/s 80 10 3 rad/s 80 103 rad/s 40 10 3 rad/s = 1.78 log(a min /a max ) log( s / p ) norm = 4 n = 4 Ya que R G = 50 Ω = R L, puede empezarse el filtro con un elemento en serie o en paralelo. Empezando con un elemento en paralelo, se tiene R G = 50 Ω = R L K = 1 g i = sen i n 1 π, i = 1,,..., n

18 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase i g i L serie = R G g i bw 0 C serie = bw R G g i 0 L par = R G bw g i 0 C par = g i bwr G 0 1 0.765 L 1 = 1.3 mh C 1 = 0.13 µf 1.85 L = 0.78 mh C = 0. µf 3 1.85 L 3 = 0.51 mh C 3 = 0.31 µf 4 0.765 L 4 = 0.3 mh C 4 = 0.49 µf L C L 4 C 4 R G L 1 L 3 C 1 C 3 R L