Análisis de circuitos

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1 Análisis de circuitos Ingeniería écnica de elecomunicación (primer curso) Escuela écnica Superior de Ingenieros de elecomunicación (Universidad de Vigo) Examen de junio de 29 (soluciones) Preparado por: Enrique Sánchez Dpto. eoría de la Señal y Comunicaciones Universidad de Vigo

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3 Ingeniería écnica de elecomunicación. Análisis de circuitos (primer curso). JUNIO 29 Problema 1 (2 puntos) 1 El circuito de la figura, en el que la fuente independiente es continua, no experimenta más alteraciones después del cambio de posición del interruptor. Apartado A (1.2 puntos). Obtened los valores de v C, i C, v L e i L para t -, t + y t. Apartado B (.8 puntos). Utilizando los valores I G 2 A, L 1 H, C 1 F, R G Ω, R D R L 1 Ω, r 1 Ω, formulad la ecuación diferencial que rige el comportamiento de i L para t >. Hallad el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia angular de resonancia del circuito. Qué tipo de respuesta presenta el circuito? Apartado A. Para t - se tiene v C ( - ) V, i C ( - ) A, v L ( - ) V, i L ( - ) A ya que tanto la inductancia como la capacidad están desconectadas de la excitación. Para t +, dada la continuidad de las magnitudes fundamentales de la inductancia y la capacidad, se tiene Además, v C ( + ) v C ( - ) V, i L ( + ) i L ( - ) A I G v C ( + ) R G + i C ( + ) + i D ( + ) i C ( + ) + i D ( + ) i D ( + ) i L ( + ) + i RL ( + ) i L ( + ) + v L ( + ) R L v L ( + ) R L (1) (2) Universidad de Vigo. ESI elecomunicación. Departamento de eoría de la Señal y Comunicaciones. Enrique Sánchez

4 Ingeniería écnica de elecomunicación. Análisis de circuitos (primer curso). JUNIO 29 Combinando (1-2) se obtiene I G i C ( + ) + v L ( + ) R L (3) 2 Por otro lado, v C ( + ) - v D ( + ) + i D ( + )R D + v L ( + ) - ri RL ( + ) + i D ( + )R D + v L ( + ) - r v L ( + ) + i R L ( + ) + v L ( + ) R L R D + v L ( + ) fi v L ( + ) V L (4) Sustituyendo (4) en (3) se obtiene I G i C ( + ) + v L ( + ) R L fi i C ( + ) I G (5) Para t la inductancia es un cortocircuito y la capacidad es un circuito abierto, con lo que Además, i C ( ) A, v L ( ) V i D ( ) i L ( ) + i RL ( ) i L ( ) + v L ( ) R L i L ( ) I G v C ( ) R G + i C ( ) + i D ( ) v C ( ) R G + i L ( ) (6) v C ( ) - v D ( ) + i D ( )R D + v L ( ) - ri RL ( ) + i D ( )R D + v L ( ) - r v L ( ) R L + i L ( )R D + v L ( ) i L ( )R D (7) Combinando (6-7) se obtiene v C ( ) R G R D R I R G + R G, i L ( ) G I D R G + R G D Universidad de Vigo. ESI elecomunicación. Departamento de eoría de la Señal y Comunicaciones. Enrique Sánchez

5 Ingeniería écnica de elecomunicación. Análisis de circuitos (primer curso). JUNIO 29 3 Apartado B. i D (t) i L (t) + i RL (t) i L (t) + v L (t) R L i L (t) + L R L di L (t) I G v C (t) R G + i C (t) + i D (t) {R G W} i C (t) + i D (t) C dv C (t) + i L (t) + L R L di L (t) (8) v C (t) - ri RL (t) + i D (t)r D + v L (t) i L (t)r D + v L (t) - R r + R D + 1 i L R L (t)r D + L - r + R D + 1 di L (t) L R L R L (9) Sustituyendo (9) en (8) y utilizando los datos del enunciado se obtiene LC - R r + R D + 1 d2 i L (t) + R L R L 2 D C + R L di L (t) L d 2 i L (t) di L (t) + i L (t) 2 + i L (t) I G (1) Suponiendo que la respuesta del circuito es única, puede hablarse de una ecuación característica representativa del mismo. Dicha ecuación es as 2 + bs + c ; a 1, b 2, c 1 con lo que el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia angular de resonancia son, respectivamente, a b 2a 1 s-1, w c a 1 s -1 En consecuencia, a 2 w 2 fi respuesta crítica Universidad de Vigo. ESI elecomunicación. Departamento de eoría de la Señal y Comunicaciones. Enrique Sánchez

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7 Ingeniería écnica de elecomunicación. Análisis de circuitos (primer curso). JUNIO 29 Problema 2 (2 puntos) 5 V G R G L 2 + v I 1 I O (t) 2 a v G (t) L 1 R O - Z G + L 2 + V 1 M V 2 v G (t) Acos (w 1 t + j) + Acos (w 2 t + j) - L 1 - A 2 V, j 45 º b cuadripolo w 1 1 krad/s, w 2 1 Grad/s R G.5 W R O, L 1 1 mh, L 2 1 nh Apartado A (.25 puntos). El cuadripolo de la izquierda, en cuya representación se ha utilizado notación fasorial, funciona en régimen sinusoidal permanente a una frecuencia angular w. Hallad sus parámetros z (expresiones algebraicas). Apartado B (.25 puntos). Obtened la ganancia de tensión (V 2 / V G ) del circuito completo de la izquierda. Suponed que los parámetros z del cuadripolo son conocidos. Apartado C (.75 puntos). Utilizando los valores V G - j V, Z G 1 j2 Ω, wl 1 2 Ω, wl 2 2 Ω y wm 1 Ω, obtened el circuito equivalente de hèvenin entre los terminales a y b del circuito de la izquierda. Apartado D (.75 puntos). Calculad v O (t) en el circuito de la derecha. Se recomienda utilizar aproximaciones matemáticas razonables. Apartado A. En el cuadripolo se cumplen las relaciones V 1 I 1 jwl 1 + I 2 jw(l 1 - M) V 2 I 1 jw(l 1 - M) + I 2 jw(l 1 + L 2-2M) (1) (2) Universidad de Vigo. ESI elecomunicación. Departamento de eoría de la Señal y Comunicaciones. Enrique Sánchez

8 Ingeniería écnica de elecomunicación. Análisis de circuitos (primer curso). JUNIO 29 Los parámetros z están definidos por las relaciones V 1 I 1 z 11 + I 2 z 12 V 2 I 1 + I 2 z 22 (3) (4) 6 Igualando término a término (1-2) y (3-4) se obtiene z 11 jwl 1, z 12 jw(l 1 - M), z 22 jw(l 1 + L 2-2M) Apartado B. A partir de (3-4) y teniendo en cuenta que los terminales a-b están en circuito abierto (I 2 A) se obtiene V 2 I 1 fi I 1 V 2 V 1 I 1 z 11 z 11 V 2 V G I 1 Z G + V 1 Z GV z 2 + z 11V 21 z 2 fi V 2 21 V G Z G + z 11 Apartado C. A partir de los resultados de los dos apartados anteriores se obtiene V h V 2 V G Z G + z 11 1 V Con los terminales a y b en cortocircuito la tensión entre ellos es nula (V 2 V), con lo que I 1 + I 2 z 22 fi I 1 - z 22 I 2 V 1 I 1 z 11 + I 2 z 12 I 2 z 12 - z 11 z 22 Universidad de Vigo. ESI elecomunicación. Departamento de eoría de la Señal y Comunicaciones. Enrique Sánchez

9 Ingeniería écnica de elecomunicación. Análisis de circuitos (primer curso). JUNIO 29 7 V G I 1 Z G + V 1 I 2 z 12 - (Z G + z 11 )z 22 I N - I 2 - V G z 12 - (Z G + z 11 )z j2 A Z h V h I N 1 + j2 W Apartado D. Dado que la excitación tiene dos componentes hay que aplicar el principio de superposición. Ambas componentes son sinusoidales y por ello se utilizan notación fasorial y el concepto de impedancia. COMPONENE w 1 V G1 Ae jj A[cos (j) + jsen (j)] 1 + j V w 1 L W, w 1 L W La impedancia debida a L 1 es mucho más pequeña que las que presentan las dos resistencias. En consecuencia, puede suponerse que se comporta aproximadamente como un cortocircuito, con lo que toda la corriente entregada por el generador se desvía por ella, no llegando nada a R O. Por tanto, v O1 (t) V COMPONENE w 2 V G2 Ae jj A[cos (j) + jsen (j)] 1 + j V w 1 L W, w 1 L 2 1 W Universidad de Vigo. ESI elecomunicación. Departamento de eoría de la Señal y Comunicaciones. Enrique Sánchez

10 Ingeniería écnica de elecomunicación. Análisis de circuitos (primer curso). JUNIO 29 La impedancia debida a L 1 es mucho más grande que las que presentan las dos resistencias. En consecuencia, puede suponerse que se comporta aproximadamente como un circuito abierto, con lo que toda la corriente entregada por el generador se desvía por L 2 y llega a R O. Por tanto, 8 V O2 R O V G2.5 V fi V R G + jw 2 L 2 + R O2.5 V, q 2 arctg Im{V O2 } O Re{V O2 } º v O2 (t) Re{V O2 e jw 2t } V O2 cos (w 2 t + q 2 ).5cos (w 2 t) V En consecuencia, v O (t) v O1 (t) + v O2 (t) ª v O2 (t) Universidad de Vigo. ESI elecomunicación. Departamento de eoría de la Señal y Comunicaciones. Enrique Sánchez

11 Ingeniería écnica de elecomunicación. Análisis de circuitos (primer curso). JUNIO 29 Problema 3 (2 puntos) 9 R G.5 Ω R L L 1 1 µh, L 2 1 nh L{h(t)} H(s) V L (s) V G (s) L{v L (t)} L{v G (t)} H(s) s s s Apartado A (.5 puntos). Utilizando los datos indicados a la derecha de la figura y recurriendo a aproximaciones matemáticas razonables, obtened la transformada de Laplace, H(s), de la función de transferencia del circuito. Apartado B (.5 puntos). Obtened la transformada inversa de Laplace de la función de transferencia indicada a la derecha de la figura. Apartado C (.5 puntos). Obtened la expresión temporal de la tensión de salida en régimen permanente de un circuito con la función de transferencia indicada a la derecha de la figura y siendo la tensión de entrada v G (t) Acos (wt + j), con A 2 V, w 1 krad/s y j º. Apartado D (.5 puntos). Calculad el valor al que tiende el módulo de la función de transferencia indicada a la derecha de la figura cuando el circuito correspondiente opera en régimen sinusoidal permanente a una frecuencia de 2.5 krad/s. Apartado A. En el domino s el circuito queda como se muestra en la figura adjunta. En el circuito se verifican las relaciones que se indican seguidamente. V G I G (R G + sl 1 ) - I L sl 1 - I G sl 1 + I L (sl 1 + sl 2 + R L ) V L I L R L Universidad de Vigo. ESI elecomunicación. Departamento de eoría de la Señal y Comunicaciones. Enrique Sánchez

12 Ingeniería écnica de elecomunicación. Análisis de circuitos (primer curso). JUNIO 29 A partir de estas ecuaciones puede obtenerse 1 V L V G s 2 + s R G + R L L 2 sr L /L 2 + R G L 1 + R G R L L 1 L 2 Utilizando los datos del problema en la última ecuación se llega a V L V G s s 2 + s( ) Dado que.5 x 1 6 << 1 9, la última expresión puede aproximarse por V L V G s s s Apartado B. La transformada de Laplace de la función de transferencia puede escribirse como H(s) s s s N(s) 6 D(s) Las raíces del denominador se calculan como se indica a continuación. s s fi s 1, ± fi fi s j1 3 s -1, s j1 3 s -1 fi a s -1, b 1 3 s -1 De esta forma, la transformada de Laplace de la función de transferencia puede expresarse como H(s) N(s) (s - s 1 ) (s - s 2 ) K s - a - jb + K* s - a + jb Universidad de Vigo. ESI elecomunicación. Departamento de eoría de la Señal y Comunicaciones. Enrique Sánchez

13 Ingeniería écnica de elecomunicación. Análisis de circuitos (primer curso). JUNIO 29 donde 11 K {(s - s 1 ) H(s)} ss1.5 + j.5 s -1 fi Por consiguiente, fi K s -1, q arctg º h(t) L -1 {H(s)} 2K e at cos (bt + q) 2.5 e -13t cos (1 3 t + 45 º) Apartado C. H(s) s s s fi H(jw) {H(s)} sjw jw ( w 2 ) + j2 1 3 w fi fi H(jw) w w 4, q(jw) 9 º - arctg w w 2 fi fi H(jw) w1 krad/s 1-3 5, [q(jw)] w1 krad/s 9 º - arctg (2) v G (t) Acos (wt + j) fi fi v L (t) AH(jw)cos [wt + j + q(jw)] cos [wt + 9 º - arctg (2)] V 5 Apartado D. Se trata de la situación indicada en el apartado anterior, con lo que fi H(jw) w 2 krad/s Universidad de Vigo. ESI elecomunicación. Departamento de eoría de la Señal y Comunicaciones. Enrique Sánchez

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15 Ingeniería écnica de elecomunicación. Análisis de circuitos (primer curso). JUNIO 29 Problema 4 (2 puntos) 13 H(s) s s s Apartado A (.75 puntos). Obtened el desarrollo en serie de Fourier (formulación trigonométrica) del tren periódico de pulsos representado en la parte izquierda. Apartado B (.5 puntos). Obtened el módulo y la fase de la transformada de Fourier de la función constituida únicamente por el primer pulso positivo del tren de pulsos. Apartado C (.75 puntos). Dado un filtro caracterizado por la función de transferencia indicada a la derecha de la figura, obtened los valores a los que tienden el módulo y la fase de dicha función cuando la frecuencia tiende a y a rad/s. De qué tipo es el filtro? Apartado A. De la observación de la figura se desprende que el periodo de la señal es 2 s y que la expresión matemática de la misma es (considerando el primer pulso positivo) y(t) t, para < t < 1 s y(t) 1, para 1 < t < 2 s Aplicando las expresiones que permiten calcular los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier se tiene a v 1 y(t) 1 /2 t t 2 2 /2 + 1[t] / /2 Universidad de Vigo. ESI elecomunicación. Departamento de eoría de la Señal y Comunicaciones. Enrique Sánchez

16 Ingeniería écnica de elecomunicación. Análisis de circuitos (primer curso). JUNIO 29 Aplicando los datos del problema se llega a 14 a v.75 a k 2 y(t)cos 2kpt 2 /2 tcos 2kpt + 2 /2 cos 2kpt teniendo en cuenta que x cos (ax)dx cos (ax) a 2 + x sen (ax) a 2 cos 2kpt 2kp 2 + /2 t sen 2kpt + 2kp 2 2kp sen 2kpt cos(kp) - 1 /2 2 (kp) 2 Aplicando los datos del problema se llega a a k 1 (kp) - 1] (kp) 2[cos b k 2 y(t)sen 2kpt 2 /2 tsen 2kpt + 2 /2 sen 2kpt teniendo en cuenta que x sen (ax)dx sen (ax) a 2 - x cos (ax) a Universidad de Vigo. ESI elecomunicación. Departamento de eoría de la Señal y Comunicaciones. Enrique Sánchez

17 Ingeniería écnica de elecomunicación. Análisis de circuitos (primer curso). JUNIO sen 2kpt 2 2kp - /2 t cos 2kpt - 2kp 2 2kp cos 2kpt /2 1 - cos (kp) 2 kp - cos(2kp) kp Aplicando los datos del problema se tiene b k - 1 kp En consecuencia, la serie queda como y(t) a v + k1 A k cos 2kpt - j k siendo A k a k 2 + b k 2, j k arctg (b k /a k ) Apartado B. La transformada de Fourier se calcula como se indica a continuación. Y(w) y(t)e -jwt A(w) - jb(w) Y(w)e -jj(w) A(w) y(t)cos (wt) tcos (wt) + cos (wt) - 1 teniendo en cuenta que x cos (ax)dx cos (ax) a 2 + x sen (ax) a Universidad de Vigo. ESI elecomunicación. Departamento de eoría de la Señal y Comunicaciones. Enrique Sánchez

18 Ingeniería écnica de elecomunicación. Análisis de circuitos (primer curso). JUNIO cos (wt) w 2 + tsen (wt) w sen (wt) cos (w) + wsen (2w) - 1 w 1 w 2 B(w) y(t)sen (wt) 1 tsen (wt) 2 + sen (wt) - 1 teniendo en cuenta que x sen (ax)dx sen (ax) a 2 - x cos (ax) a sen (wt) w 2 - tcos (wt) w cos (wt) sen (w) - wcos (2w) w 1 w 2 En consecuencia, Y(w) A 2 + B 2, j(w) arctg B A Apartado C. H(jw) {H(s)} sjw jw ( w 2 ) + j2 1 3 w fi fi H(jw) Utilizando estos resultados se llega a w w 4, j(w) 9 º - arctg w w 2 w Æ rad/s fi H(w) Æ, j(w) Æ 9 º w Æ rad/s fi H(w) Æ, j(w) Æ - 9 º Universidad de Vigo. ESI elecomunicación. Departamento de eoría de la Señal y Comunicaciones. Enrique Sánchez

19 Ingeniería écnica de elecomunicación. Análisis de circuitos (primer curso). JUNIO 29 Además, para un valor de w comprendido entre e rad/s el módulo de la función de transferencia es positivo. Por ejemplo, w rad/s fi H(jw) En consecuencia, puede concluirse que se trata de un filtro paso banda. 17 Universidad de Vigo. ESI elecomunicación. Departamento de eoría de la Señal y Comunicaciones. Enrique Sánchez