El teorema de punto fijo y aplicaciones

Capítulo 7 El teorema de punto fijo y aplicaciones 1. Problemas de valor inicial La primera motivación para el contenido de este capítulo es el estudo de la ecuación diferencial ordinaria (7.1a) x (t) = F(x(t),t), donde buscamos una función t x(t) : R R l que satisfaga la ecuación (7.1), donde F : R l R R l. En particular, nos interesa la respuesta a la siguiente pregunta: Bajo qué condiciones en F la ecuación (7.1a) tiene solución en un intervalo ( ε,ε) que satisface (7.1b) x(0) = x 0, x 0 R l, como condición inicial? A la pareja de ecuaciones (7.1) se le denomina problema de valor inicial, y nos referiremos a él como PVI. Observemos que si integramos con respecto a la variable t la ecuación (7.1a), y haciendo uso del valor inicial (7.1b) y del teorema fundamental del cálculo, llegamos a la ecuación integral (7.2) x(t) = x 0 + t 0 F(x(s),s)ds. Observamos que, si F es continua, la ecuación (7.2) es equivalente al PVI (7.1), de nuevo por el teorema fundamental del cálculo. Ésto quiere decir que si la función x(t) es una solución de (7.1), entonces es también una solución de (7.2) y viceversa. Así que podemos estudiar el PVI (7.1) a través de la ecuación integral (7.2). 115

116 7. El teorema de punto fijo y aplicaciones La principal ventaja de escribir el PVI como la ecuación (7.2), es el hecho que, si F es continua, entonces el operador x Φ(x) definido por Φ(x)(t) = x 0 + t 0 F(x(s),s)ds es continuo en el espacio C([ r,r], R l ) de las funciones continuas en un intervalo [ r, r] alrededor de 0. Por lo tanto, reducimos entonces el problema al estudio del operador Φ sobre este espacio, para el cual hemos estudiado su estructura con detalle. En particular, observamos que una solución x(t) al PVI satisface la ecuación Φ(x) = x, por lo que entonces x es un punto fijo de Φ. De tal forma que reducimos el trabajo a la respuesta de las siguientes dos preguntas: 1. Bajo qué condiciones en F podemos garantizar que el operador Φ tiene un punto fijo en C([ ε,ε], R l ), para algún ε > 0? 2. Bajo qué condiciones podemos garantizar que este punto fijo es único? La segunda pregunta es importante, porque responde a la pregunta sobre la unicidad de la solución al PVI (7.1). Los siguientes dos ejemplos muestran distintas situaciones sobre unicidad de la solución. Ejemplo 7.1. Consideremos el problema de valor inicial x (t) = λx(t), λ R, con x(t) = 1. Es fácil ver que la función x(t) = e λt satisface este PVI, así como también es un punto fijo del operador Φ con F(x,t) = λx, ya que Φ(e λt ) = 1 + t 0 λe λt dt = e λt. Mas aún, podemos verificar que esta solución es única: Si y(t) es una solución al PVI, consideramos f(t) = e λt y(t). Entonces f (t) = λe λt y(t) + e λt y (t) = ( λy(t) + y (t))e λt = 0 para todo t, por lo que f(t) es entonces constante, por el teorema del valor medio. Como f(0) = y(0) = 1, entonces f(t) = 1 y, por lo tanto, y(t) = e λt. No es muy difícil mostrar, de manera similar, que la solución a la ecuación x (t) = f(t)x(t), x(0) = x 0 R, donde f : R R es continua, es única, utilizando el teorema del valor medio (ejercicio 1). Ejemplo 7.2. Consideremos ahora el PVI dado por x (t) = x(t), con x(0) = 0. Es claro que la solución constante trivial x(t) = 0 para todo t es

2. El teorema de contracción 117 una solución a este problema. Sin embargo, la función 0 t 0 (7.3) x(t) = t 2 t > 0, 4 es también solución. Así que este problema no tiene solución única. De hecho, el PVI del ejemplo 7.2 tiene una infinidad de soluciones (ejercicio 2). En las siguientes secciones comprenderemos la razón por lo cual los dos ejemplos previos tienen distinta unicidad de soluciones, lo cual haremos a través del teorema de punto fijo de Banach. 2. El teorema de contracción En esta sección mostraremos el teorema de contracción de Banach, con el cual obtendremos, más adelantes, condiciones para resolver el PVI descrito en la sección anterior. Definición 7.3. Dada una función f : X X de un conjunto en sí mismo, decimos que x es un punto fijo de f si f(x) = x. Ejemplo 7.4. Consideremos la función en R dada por f(x) = 2x + 1. Entonces, como f( 1) = 1, 1 es un punto fijo de f. Ejemplo 7.5. La función f(x) = x + 1 no tiene puntos fijos en R. Un teorema de punto fijo es un enunciado que garantiza la existencia y unicidad de un punto fijo, bajo ciertas condiciones, de una función dada. Definición 7.6. Sean (X,d) y (Y,d ) dos espacios métricos, y φ : X Y. Decimos que φ es una contracción si existe un número α, 0 α < 1, tal que para todo x y y en X. d (φ(x),φ(y)) αd(x,y) Es decir, una contracción reduce distancias entre puntos. Notemos que en el caso α = 0, φ es una función constante. En general, decimos que la función f : X Y, donde (X,d) y (Y,d ) son dos espacios métricos, es una función de Lipschitz con constante L, si para todo x,y X, d (f(x),f(y)) Ld(x,y). Por lo tanto, una contracción es una función de Lipschitz con constante menor que 1. Más aún, toda contracción es uniformemente continua (ejercicio 3).

118 7. El teorema de punto fijo y aplicaciones Ejemplo 7.7. Sea A la matriz de 2 2 dada por ( ) 1/12 5/8 A =, 5/8 1/12 y consideramos la función en R 2 dada por x Ax+ (ejercicio 4) mostrar que Ax E 1 2 x E, y entonces, para x,y R 2, ( ( ) 1 ) ( Ax + Ay + 1 por lo que función x Ax + ( ) 1 ) 1 1 E 2 x y E, ( ) 1 es una contracción. 1 ( ) 1. No es muy difícil 1 Ejemplo 7.8. Consideramos el operador I en C([0,1/2]) dado por para f C([0,1/2]). Entonces If(x) If(x) = 1 2 0 1 2 0 f, f(t) dt 1 2 f u, y por lo tanto I es una contracción en C([0,1/2]), ya que para f,g C([0,1/2]). If Ig u 1 2 f g u A continuación enunciamos el teorema de Banach, que establece que las contracciones en espacios completos tienen puntos fijos únicos. Teorema 7.9 (Contracción de Banach). Sea (X, d) un espacio métrico completo. Si la función φ : X X es una contracción, entonces φ tiene un único punto fijo. Demostración. Sea x 0 X y construímos la sucesión (x n ) en X de la forma x 1 = φ(x 0 ), x n+1 = φ(x n ), n = 1,2,.... Mostraremos primero que (x n ) es una sucesión de Cauchy y, por la completitud de X, converge.

2. El teorema de contracción 119 Sean n > m. Entonces d(x n,x m ) = d(φ(x n 1 ),φ(x m 1 )) αd(x n 1,x m 1 ) α 2 d(x n 2,x m 2 ) α m d(x n m,x 0 ) α m( d(x n m,x n m 1 ) +... + d(x 1,x 0 ) ) α m( α n m 1 +... + 1 ) d(x 1,x 0 ) = αm (1 α m n ) d(x 1,x 0 ) αm 1 α 1 α d(x 1,x 0 ). Como 0 α < 1, α m 0. Entonces, si ε > 0 y N es tal que α N 1 α d(x 1,x 0 ) < ε, entonces d(x n,x m ) < ε para n,m N, por lo que (x n ) es una sucesión de Cauchy. Suponemos entonces que x n x. Demostraremos que x es un punto fijo mostrando que d( x,φ( x)) < ε, para todo ε > 0. Como x n x, sea N > 0 tal que d(x n, x) < ε/2 para todo n N. Entonces d( x,φ( x)) d( x,x N+1 ) + d(x N+1,φ( x)) < ε 2 + d(φ(x N),φ( x)) ε 2 + αd(x N, x) < ε 2 + αε 2 < ε. Para mostrar la unicidad, supongamos que x y ỹ son dos puntos fijos de φ. Entonces d( x,ỹ) = d(φ( x),φ(ỹ)) αd( x,ỹ), y, como α < 1, ésto es posible solo si x = ỹ. Ejemplo 7.10. ( ) Si A es la matriz del ejemplo 7.7, entonces la función x 1 φ(x) = Ax + es una contracción, y por lo tanto tiene un único punto 1 fijo. No es difícil verificar que este punto es ( ) 24/7 x 0 =. 24/7 Ejemplo 7.11. La función f If del ejemplo 7.8 es una contracción, por lo que tiene un único punto fijo: la función constante f = 0. Para finalizar esta sección observamos que, por la parte final de la demostración del teorema 7.9, si X Y y φ : X Y es una contracción, entonces, en el caso en que φ tiene un punto fijo, este punto fijo debe ser único.

120 7. El teorema de punto fijo y aplicaciones 3. Existencia y unicidad de soluciones Consideremos entonces la ecuación integral (7.2), donde Sea r > 0 y definimos el operador dado por (7.4) Φ(x)(t) = x 0 + F : R l R R l y x 0 R l. Φ : C([ r,r], R l ) C([ r,r], R l ) t 0 F(x(s),s)ds. El operador Φ está bien definido, ya que si x y F son continuas, entonces s F(x(s),s) también es continua, por lo que es Riemann-integrable (componente por componente) y la integral (indefinida) es una función continua. De hecho, si F es continua, esta integral es diferenciable y (Φ(x)) (t) = F(x(t),t), por el teorema fundamental del cálculo. Entonces Φ toma valores en C 1 ([ r,r], R l ), el espacio de funciones de [ r,r] en R l diferenciables y con derivada continua. Esta observación nos lleva a la siguiente conclusión: para encontrar las soluciones a la ecuación (7.2), es necesario y suficiente encontrar los puntos fijos del operador Φ. Utilizaremos el teorema de contracción de Banach, por lo que necesitamos condiciones para las cuales el operador Φ es una contracción. Observemos que si x,y C([ r,r], R l ), entonces d u (Φ(x),Φ(y)) = máx Φ(x)(t) Φ(y)(t) E t [ r,r] t ( ) E = máx F(x(s),s) F(y(s),s) ds t [ r,r] 0 t máx t [ r,r] 0 F(x(s),s) F(y(s),s) E ds, donde hemos usado el hecho que, si f : [a,b] R l es Riemann-integrable, entonces b b f(t)dt f(t) E dt E a (ejercicio 5). Entonces necesitamos de una estimación apropiada de la diferencia F(x(s),s) F(y(s),s) E. a

3. Existencia y unicidad de soluciones 121 Teorema 7.12. Sea F : R l R R l una función continua, tal que es de Lipschitz en la primer variable con constante M independiente de la segunda variable. Es decir, para x,y R l y t R, (7.5) F(x,t) F(y,t) E M x y E. Entonces, existe ε > 0 tal que el operador dado por Φ : C([ ε,ε], R l ) C 1 ([ ε,ε], R l ) C([ ε,ε], R l ), Φ(x)(t) = x 0 + tiene un único punto fijo. t 0 F(x(s),s)ds, t [ ε,ε], Demostración. Sean 0 < α < 1 y 0 < ε < α. Entonces, para t [ ε,ε], M Φ(x)(t) Φ(y)(t) E t 0 t F(x(s),s) F(y(s),s) E ds 0 t M M x(s) y(s) E ds 0 α x y u, uniformemente en t [ ε,ε]. Por lo tanto Φ(x) Φ(y) u α x y u, x y u ds = M x y u t y entonces Φ es una contracción en C([ ε,ε], R l ). Por el teorema de contracción de Banach, Φ tiene un único punto fijo. Tenemos entonces, en término del PVI (7.1), el siguiente resultado. Corolario 7.13. Si F satisface las condiciones del Teorema 7.12, entonces existe un ε > 0 tal que el PVI (7.1) tiene una única solución en el intervalo ( ε,ε). Ejemplo 7.14. Consideremos el problema x (t) = tx x 2 + 1 x(0) = 1. No es muy difícil verificar, si hacemos F(x,t) = tx x 2 + 1,

122 7. El teorema de punto fijo y aplicaciones que F satisface, para t [ ε, ε], F(x,t) F(y,t) ε x y. Entonces el PVI tiene solución única en un intervalo alrededor de 0. Observamos que la función x no es una función de Lipschitz en [0, ) (ejercicio 7), lo que explica por qué el PVI del ejemplo 7.2 tiene más de una solución. El corolario 7.13 garantiza la existencia y unicidad de la solución del problema de valor inicial de primer orden (7.1). Sin embargo, es posible extender este resultado a ecuaciones diferenciales ordinarias de orden k, para k 1, de la forma (7.6a) x (k) (t) = F(x k 1 (t),x k 2 (t),...,x (t),x(t),t), donde F : R } l R {{ l R } l R R l, k veces y con condiciones iniciales (7.6b) x(0) = x 0, x (0) = x 1,... x (k 1) (0) = x k 1, x 0,x 1,...,x k 1 R l. Corolario 7.15. Si la función F satisface las hipótesis del Teorema 7.12, vista como una función en R nk R, entonces existe ε > 0 tal que el problema de valor inicial (7.6) tiene una única solución en el intervalo ( ε,ε) [ r,r], Demostración. Considere las nuevas funciones y el punto y 1 (t) = x(t) y 2 (t) = x (t). y k (t) = x (k 1) (t) y(t) = (y 1 (t),y 2 (t),...,y k (t)) G(y,t) = ( y 2,...,y k,f(y k,y k 1,...,y 1,t) ), y 0 = (x 0,x 1,...,x k 1 ). Entonces, el PVI (7.6) es equivalente a y (t) = G(y(t),t), y(0) = y 0,

4. Los teoremas de la función inversa e implícita 123 y, como F satisface las condiciones de Lipschitz, entonces G : R nk [ r,r] R nk también satisface las condiciones de Lipschitz del teorema 7.12 (aunque con distintas constantes), por lo que el corolario se concluye de una aplicación del corolario 7.13. Ejemplo 7.16. Consideramos el PVI θ (t) = sen θ(t) θ(0) = θ 0 θ (0) = ω 0. Este sistema describe el movimiento de un péndulo. Observamos que, si definimos F(x,y,t) = senx, entonces F(x,y,t) F(u,v,t) x u (x,y) (u,v) E, para todo (x,y,t),(u,v,t) R 2 R. Entonces el PVI tiene una única solución alrededor de t = 0. Observemos que la versión local del teorema 7.12, y del corolario 7.13, también es válida. Es decir, es suficiente con suponer que F está definida en un conjunto abierto U R l R alrededor del punto (x 0,0) y que satisface la condición de Lipschitz en x uniformemente en t. Con estos métodos es posible estudiar el PVI F(x (t),x(t),t) = 0, x(0) = x 0 R l, para una función F : R l R l R R. Sin embargo, ahora también es necesario establecer las condiciones para las cuales podemos resolver para x, y entonces aplicar el corolario 7.13. Para esto es necesario usar el teorema de la función implícita, el cual repasaremos en la siguiente sección. 4. Los teoremas de la función inversa e implícita En esta sección repasaremos los teoremas de la función inversa y de la función implícita, y daremos una demostración de ellos basada en el teorema de punto fijo, tomada de [6], como una aplicación más del teorema 7.9. Iniciamos con algunas observaciones referentes a transformaciones lineales. Recordemos que, si T : R l R m es una transformación lineal, entonces es continua, por el teorema 4.15, y además existe M > 0 tal que Tx E M x E

124 7. El teorema de punto fijo y aplicaciones para todo x R l. Si definimos por T L el ínfimo de tales M, (7.7) T L = ínf{m > 0 : Tx E M x E para todo x R l }, entonces L es una norma en el espacio de las transformaciones lineales de R l en R m, que denotaremos por L(R l, R m ) (ejercicio 10). Observamos que T L es de hecho una de las M de la definición (7.7), es decir, para todo x R l, (7.8) Tx E T L x E. Para verificar (7.8), suponemos que existe x 0 R l tal que (7.9) Tx 0 E > ( T L + ε) x 0 E, para algún ε > 0. Ahora bien, como T L es un ínfimo, existe M > 0 tal que Tx E M x E para todo x R l, y T L M < T L + ε. Pero esto contradice (7.9), porque Tx 0 E > ( T L + ε) x 0 E > M x 0 E. Más aún, T L también está dada por el supremo de las normas Tx E, tomado sobre los vectores x en la bola cerrada B 1 (0) en R l, de radio 1, con centro en el origen (ejercicio 11). También podemos verificar la desigualdad (7.10) TS L T L S L, para S L(R l, R m ) y T L(R m, R p ): Si x R l, entonces TSx E T L Sx E T L S L x E. Más adelante haremos uso de la siguiente proposición. Cuando m = l, denotamos como L(R l ) al espacio L(R l, R l ). Proposición 7.17. que entonces S es invertible. 1. Si T L(R l ) es invertible y S L(R l ) es tal T S L T 1 L < 1, 2. El conjunto GL(l) de transformaciones invertibles es abierto en el espacio L(R l ), y la función T T 1 es continua en GL(l). Demostración. 1. Observamos que es suficiente con mostrar que S es inyectiva y, a su vez, con mostrar que ker S = {0}. Ahora bien, x E = T 1 Tx E T 1 L Tx E.

4. Los teoremas de la función inversa e implícita 125 Entonces, por la desigualdad del triángulo, Sx E Tx E (S T)x E T 1 1 L x E S T L x E = T 1 1 ( L 1 T S L T 1 ) L x E. Como T S L T 1 L < 1, tenemos entonces que Sx E = 0 solo si x E = 0, por lo que S es inyectiva. 2. Por la primera parte, si T GL(l), tenemos que B L r (T) GL(l), donde r = T 1 1 L y BL 1 (T) es la bola de radio r en L(Rl ) alrededor de T. Entonces GL(l) es abierto. Para mostrar la continuidad de la inversa, observamos primero que, si T,S GL(l), entonces (7.11) T 1 S 1 L = T 1 (S T)S 1 L T 1 L T S L S 1 L, por la desigualdad (7.10). Ahora bien, tenemos que por lo que entonces Sx E ( T 1 1 L S T L) x E, S 1 x E ( T 1 1 L S T L) 1 x E. Si tenemos que T S E < 1 2 T 1 1 L, entonces S 1 x E 2 T 1 L x E, y por lo tanto S 1 L 2 T 1 L. Combinando con la ecuación (7.11) obtenemos T 1 S 1 L 2 T 1 2 L T S L, lo cual demuestra la continuidad de la función T T 1 en GL(l). Recordemos que, si U es un conjunto abierto en R l, entonces una función f : U R m es diferenciable en x 0 U si existe una transformación lineal T L(R l, R m ) tal que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que, si h R l satisface h E < δ y x 0 + h U, entonces (7.12) f(x 0 + h) f(x 0 ) Th E < ε h E. En otras palabras, (7.13) lím h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) Th E h E = 0.

126 7. El teorema de punto fijo y aplicaciones Si T y S satisfacen (7.13), entonces, para cualquier x R l, x 0, (T S)x E x E = lím t 0 (T S)(tx) E tx E lím t 0 f(x 0 + tx) f(x 0 ) S(tx) E tx E + lím t 0 f(x 0 + tx) f(x 0 ) T(tx) E tx E = 0, por lo que (T S)x E = 0 y entonces T = S. Así que la transformación T es única y es llamada la derivada de f en x 0, la cual denotamos como f (x 0 ). Decimos que f : U R m es continuamente diferenciable, y escribimos f C 1 (U, R m ), si f es diferenciable en cada punto de U, y la función x f (x) es continua de U al espacio L(R l, R m ). 1 Teorema 7.18 (Función inversa). Sea U abierto en R l y f C 1 (U, R l ) tal que, para algún x 0 U, f (x 0 ) es invertible. Entonces existe una vecindad V de x 0, V U, tal que f es inyectiva en V y f(v ) es abierto. Más aún, f 1 C 1 (f(v ), R l ) y ( f 1 ) (y) = f (x) 1 para cada y f(v ), donde x V es tal que y = f(x). Demostración. Sea T = f 1 (x 0 ) y r = 2 T 1. Como x f (x) es L continua de U a L(R l ), existe δ > 0 tal que B δ (x 0 ) U y, para todo x B δ (x 0 ), (7.14) f (x) T L < r. Mostraremos que V = B δ (x 0 ) satisface la conclusión del teorema. En particular, observamos que T 1 L f (x) T L < r T 1 L = 1 2 < 1, por lo que, por la proposición 7.17, f (x) es invertible para cada x V. 1 Equivalentemente, f C 1 (U, R l ) si cada una de las derivadas parciales f i x j existe y es continua en U. Sin embargo, en estas notas no trabajaremos con las derivadas parciales de una función.

4. Los teoremas de la función inversa e implícita 127 Definimos, para y R l, la función φ y : V R l como φ y (x) = x + T 1 (y f(x)). Observamos que x V es un punto fijo de φ y, φ y (x) = x, si y solo si f(x) = y. Ahora bien, φ y(x) = I +T 1 f (x), donde I L(R l ) es la transformación identidad. Entonces, para x V, φ y (x) L = I + T 1 f (x) L = T 1 (T f (x)) L T 1 L f (x) T L < 1 2, por lo que (ejercicios 12 y 13) tenemos que (7.15) φ y (x 1 ) φ y (x 2 ) E 1 2 x 1 x 2 E para todo x 1,x 2 V. Entonces φ y es una contracción de V a R l. Por las observaciones al final de la sección 2, φ y tiene a lo más un punto fijo, por lo que entonces, si y f(v ), existe un único x V tal que f(x) = y. Entonces f es inyectiva en f(v ). Para mostrar que f(v ) es abierto, tomamos y f(v ). Sea x V tal que f(x) = y, y sea ε > 0 tal que B ε (x) V. Mostraremos que B rε (y) f(v ). Tomamos z B rε (y). Entonces φ z (x) x E = T 1 (z f(x)) E T 1 L z y E < 1 2r rε = ε 2. Por lo tanto, para u B ε (x), φ z (u) x E φ z (u) φ z (x) E + φ z (x) x E < 1 2 u x E + ε 2 ε, y por lo tanto φ z es una contracción de B ε (x) en B ε (x). Como este conjunto es compacto, es completo, por lo que el teorema de contracción 7.9 implica que tiene un punto fijo, digamos ū B ε (x) V. Pero φ z (ū) = ū implica que f(ū) = z, y por lo tanto z f(v ). Concluimos entonces que B rε (y) f(v ), y f(v ) es abierto. Para finalizar, mostraremos que la inversa de f : V f(v ) es diferenciable. Recordemos que cada f (x) es invertible para x V, por lo que verificaremos que f (x) 1 es la derivada de f 1 en f(x). Sea y f(v ). Debemos verificar entonces f 1 (y + k) f 1 (y) f (x) 1 k E lím = 0, k 0 k E donde x V es tal que f(x) = y.

128 7. El teorema de punto fijo y aplicaciones Si h = f 1 (y + k) f 1 (y), entonces f 1 (y + k) f 1 (y) f (x) 1 k = h f (x) 1 k = f (x) 1 (f(x + h) f(x) f (x)h), por lo que es suficiente con verificar que el cociente h E k E es acotado cuando k 0. Ahora bien, φ y (x + h) φ y (x) = h T 1 k, por lo que h T 1 k E = φ y (x + h) φ y (x) E 1 2 h E, y luego, por la desigualdad del triángulo, T 1 k E 1 2 h E, y así h E 2 T 1 k E 2 T 1 L k E. La continuidad de y (f ) 1 (y) está garantizada por la proposición 7.17. Estamos listos para enunciar y demostrar el teorema de la función inversa, el cual ofrece condiciones suficientes para las cuales podemos resolver la ecuación f(x,y) = 0 pra x R l como función de y R m, si f : U R l y U R l+m. Teorema 7.19 (Función implícita). Sea U un conjunto abierto en R l+m y f C 1 (U, R l ). Suponemos que, para algún (x 0,y 0 ) U, f(x 0,y 0 ) = 0 y la transformación T L(R l ) dada por Tu = f (x 0,y 0 )(u,0) es invertible. Entonces existen abiertos V R l alrededor de x 0 y W R m alrededor de y 0 con la propiedad que, para cada y W, existe un único x V tal que (x,y) U y f(x,y) = 0. Más aún, si escribimos tal x como g(y), entonces g C 1 (W, R l ). Demostración. Sea F : U R l+m dada por F(x,y) = (f(x,y),y). Entonces F C 1 (U, R l+m ) y la transformación F (x 0,y 0 ) está dada por F (x 0,y 0 )(u,v) = ( f (x 0,y 0 )(u,v),v ), por lo que es invertible (ejercicio 14). Por el teorema 7.18 de la función inversa, existe un abierto U U tal que F : U F(U ) tiene inversa F 1 : F(U ) U continuamente diferenciable, y esta inversa tiene la forma F 1 (u,v) = ( G(u,v),v ).

4. Los teoremas de la función inversa e implícita 129 Si V R l y W R m son abiertos tales que (x 0,y 0 ) V W y V W U, y definimos g : W R l como g(y) = G(0,y), entonces x = g(y) es el único x V tal que f(g(y), y) = 0, porque (f(g(y),y),y) = F(g(y),y) = F(G(0,y),y) = (0,y), y g C 1 (W, R l ). Podemos entonces considerar el PVI { F(x,x,t) = 0 (7.16) x(0) = x 0, con F : R l R l R R l y x 0 R l. Corolario 7.20. Sea F C 1 (R l R l R, R l ) tal que existe un único y 0 R l tal que F(y 0,x 0,0) = 0. Si la transformación lineal T L(R l ) dada por Ty = F (y 0,x 0,0)(y,0,0) es invertible, entonces existe ε > 0 tal que el PVI (7.16) tiene una única solución x(t) en el intervalo ( ε,ε). Demostración. Por el teorema de la función implícita 7.19, existe un abierto U R l R y una función g C 1 (U, R l ) tal que F(g(x,t),x,t) = 0. De las demostraciones de los teoremas 7.18 y 7.19 se desprende que, para todo (x,t) U, g (x,t) L M, donde M = 2 f (0,x 0,0) L y f es la inversa de la función (y,x,t) ( F(y,x,t),x,t ). Entonces, por el ejercicio 13, g es una función de Lipschitz en una bola alrededor de (x,0), por lo que podemos aplicar la versión local del teorema 7.13 para resolver el PVI { x (t) = g(x(t),t) x(0) = x 0.

130 7. El teorema de punto fijo y aplicaciones 5. Conjuntos autosimilares En esta sección aplicaramos el teorema de contracción 7.9 al estudio de conjuntos autosimilares. Si X es un espacio métrico, decimos que un compacto no vacío K X es autosimilar si existen contracciones f 1,...,f N : X X tales que K = f 1 (K)... f N (K). Es decir, K es la unión de sus imágenes bajo contracciones. Ejemplo 7.21. Consideramos la recta R y el intervalo I = [0,1]. Entonces donde f 1,f 2 : R R están dadas por Notamos que, de hecho, f 1 (I) = [ 0, 1 2 I = f 1 (I) f 2 (I), f 1 (x) = 1 2 x, f 2(x) = 1 2 x + 1 2. ] y f2 (I) = [ 1 2,1]. f 1 y f 2 no son las únicas contracciones para las cuales el intervalo [0,1] es autosimilar. Por ejemplo, no es muy difícil ver que [0,1] también es autosimilar respecto a las funciones ya que g 1 ([0,1]) = [ 0, 1 3 g 1 (x) = 1 3 x, g 2(x) = 2 3 x + 1 3, ] y g2 ([0,1]) = [ 1 3,1]. Ejemplo 7.22. Sea C el conjunto de Cantor dado por la intersección C = n 0 C n, donde cada C n = [ 0, 1 ] [ 2 1 ] [3 n 1 3 n 3 n,... 3 n 1 3 n,1 ] es el resultado de remover el tercio central de cada uno de los intervalos de C n 1. Entonces C es autosimilar con respecto a las funciones f 1 (x) = 1 3 x, f 2(x) = 1 3 x + 2 3, ya que f 1 (C) = C [ 0, 1 3] y f2 (C) = C [ 2 3,1]. De hecho, para cada n, podemos observar que f 1 (C n ) f 2 (C n ) = C n+1, por lo que el efecto de aplicar las contracciones f 1,f 2 a cada iteración C n del conjunto de Cantor es, precisamente, el borrar el tercio central de la construcción.

5. Conjuntos autosimilares 131 Más aún, el conjunto de Cantor puede ser definido por medio de las contracciones del ejemplo 7.22, es decir, es el único conjunto compacto autosimilar respecto a ellas. En general, tenemos el siguiente teorema. Teorema 7.23. Sea (X,d) un espacio métrico completo y f 1,...,f N : X X contracciones. Entonces existe un único conjunto compacto K X no vacío tal que K = f 1 (K)... f N (K). Como sugiere la construcción del conjunto compacto, el conjunto K del teorema 7.23 puede ser construído a partir de un conjunto compacto K 0 X, K 0, y luego tomamos las iteraciones K n+1 = f 1 (K n )... f N (K n ). Cada uno de los K n así construidos son compactos, ya que cada f i es continua, y entonces K n es la unión finita de compactos. Ahora bien, la existencia de un conjunto límite de los K n, además de su unicidad, será garantizada por el teorema de contracción 7.9, una vez que verificamos que la función K f 1 (K)... f N (K) es una contracción sobre el espacio de los subconjuntos compactos de X con una métrica apropiada. Definición 7.24. Sea A X un subconjunto novacío de X. Para ε > 0, definimos la ε-vecindad de A como el conjunto U ε (A) = {x X : d(x,a) ε}, donde d(x,a) es la distancia del punto x al conjunto A, dada por (1.12). No es muy difícil verificar (ejercicio 15) que U ε (A) es cerrado, aunque no necesariamente compacto. Sea C X el conjunto de los subconjuntos compactos no vacíos del espacio métrico X. Definimos la función d H : C X C X R como (7.17) d H (A,B) = ínf{ε > 0 : U ε (A) B y U ε (B) A}. Es decir, d H (A,B) es el ínfimo de los ε > 0 tales que las ε-vecindades de los conjuntos A y B se cubren al otro conjunto. Ejemplo 7.25. Si A = {x} y B = {y} tienen un solo punto, entonces d H (A,B) = d(x,y).

132 7. El teorema de punto fijo y aplicaciones En general, si A = {x}, d H ({x},b) = máx{d(x,b),m}, donde M = ínf{r > 0 : B r (x) B}. Notamos que d(x,b) = 0 si x B, pero d H ({x},b) > 0 si B {x}. Ahora mostramos que d H define una métrica en C X, llamada la métrica de Hausdorff. Teorema 7.26. La función d H es una métrica en C X. Más aún, si X es completo, entonces el espacio (C X,d H ) es completo. Demostración. Claramente, para A,B C X, d H (A,B) 0, y d H (A,A) = 0. Ahora suponemos que d H (A,B) = 0 y debemos mostrar que A = B. Como d H (A,B) = 0, U ε (A) B para todo ε > 0, por lo que entonces, para cada x B, d(x,a) ε. Como A es compacto, es cerrado y entonces x A. Esto muestra que B A. De manera similar A B, y entonces A = B. Por definición, también es claro que d H (A,B) = d H (B,A). Para mostrar la desigualdad del triángulo, sean A,B,C C X y suponemos que r,s > 0 son tales que d H (A,C) < r y d H (C,B) < s. Mostraremos que d H (A,B) r + s. Como d H (A,C) < r, entonces A U r (C), y entonces, para cada x A, existe y C tal que d(x,y) < r. Ahora bien, como d H (C,B) < s, C U s (B), por lo que existe z B tal que d(y,z) < s. Por lo tanto, para cada x A, existe z B tal que d(x,z) d(x,y) + d(y,z) < r + s, y entonces A U r+s (B). Similarmente, B U r+s (A), y entonces como queríamos mostrar. d H (A,B) r + s, Para finalizar mostramos que, si X es completo, entonces (C X,d H ) es completo. Sea (A n ) una sucesión de Cauchy en C X. Mostraremos que converge. Empezamos por definir, para cada n 1, B n = k na k. Claramente B n es una sucesión decreciente de conjuntos cerrados, y verificaremos que son compactos. De hecho, es suficiente con mostrar que B 1 es compacto, por la proposición 3.15.

5. Conjuntos autosimilares 133 Sea ε > 0. Como (A n ) es de Cauchy, existe N tal que U ε/3 (A N ) A n para todo n N. Como A N es compacto, es totalmente acotado, por lo que existen x 1,...,x k X tales que Entonces y por lo tanto A N B ε/3 (x 1 )... B ε/3 (x k ). B 2ε/3 (x 1 )... B 2ε/3 (x k ) U ε/3 (A N ) B N B ε (x 1 )... B ε (x k ). k N Como A 1... A N 1 es compacto, existen también y 1,...,y l X tales que y entonces A 1... A N 1 B ε (y 1 )... B ε (y l ), B 1 A 1... A N 1 B N A k, B ε (y 1 )... B ε (y l ) B ε (x 1 )... B ε (x k ). Como ε > 0 es arbitrario, concluimos que B 1 es totalmente acotado. Como es cerrado y X es completo, también es completo, y por lo tanto es compacto, por el corolario 3.22. Definimos ahora el conjunto A = n 1B n. Entonces A C X, y mostraremos que A n A, con respecto a la métrica d H. Sea ε > 0. Primero, sea N 1 tal que d H (A n,a m ) < ε para todo n,m N 1. En particular, U ε (A n ) A m para todo m n N 1, y entonces U ε (A n ) B n A para todo n N 1. Ahora bien, existe N 2 tal que U ε (A) B N2. Si no, entonces, para cada n, podríamos tomar x n B n tal que d(x n,a) > ε. Como cada B n es compacto y B n+1 B n, entonces existe una subsucesión x nk x 0, y x 0 A, lo cual contradice d(x 0,A) ε. Observamos que A n B N2 para n N 2, y entonces U ε (A) A n para n N 2. Por lo tanto, si N = máx{n 1,N 2 }, entonces U ε (A n ) A y U ε (A) A n para todo n N, y entonces d H (A n,a) ε para n A. Así A n A.

134 7. El teorema de punto fijo y aplicaciones Sean f 1,...,f N contracciones en X. Como cada f i es continua, f i (A) es compacto si A lo es, y entonces f 1 (A)... f N (A) C X si A C X. Consideramos entonces la función Φ : C X C X dada por Φ(A) = f 1 (A)... f N (A). Teorema 7.27. Φ es una contracción en (C X,d H ). Demostración. Para cada i = 1,...,N, sea 0 α i < 1 tal que d(f i (x),f i (y)) α i d(x,y) para todo x,y X. Definimos α = máx{α 1,...,α N }. Mostraremos que, para A,B C X, d H (Φ(A),Φ(B)) αd H (A,B). Como 0 α < 1, esto muestra que Φ es una contracción. Sean A,B C X, y sea r > 0 tal que d H (A,B) < r. Verificaremos que d H (Φ(A),Φ(B)) αr. Tomamos x Φ(A). Entonces x f i (A) para algún i, y luego x = f i (a) para algún a A. Ahora bien, como A U r (B), existe b B tal que d(a,b) r. Como d(f i (a),f i (b)) α i d(a,b) αd(a,b) αr, y f i (b) f i (B) Φ(B), tenemos que d(x,φ(b)) αr. Por lo tanto Φ(A) U αr (Φ(B)). Similarmente Φ(B) U αr (Φ(A)), y por lo tanto d H (Φ(A),Φ(B)) αr. Tenemos entonces, como corolario, el teorema 7.23. Demostración del teorema 7.23. Sea Φ : C X C X dada por Φ(A) = f 1 (A)... f N (A). Por el teorema 7.27, Φ es una contracción y, como C X es completo, por el teorema 7.26, Φ tiene un único punto fijo K C X. O sea, K = f 1 (K)... f N (K). Como un conjunto autosimilar K, respecto a las contracciones f 1,...,f N, es el punto fijo de la función A Φ(A) = f 1 (A)... f N (A), entonces observamos que K = lím Φ n (A),

5. Conjuntos autosimilares 135 donde A es cualquier conjunto compacto no vacío, Φ n es la n-ésima iteración de Φ, definida como Φ 1 = Φ y Φ n+1 = Φ n, y el límite se toma con respecto a la métrica d H. Por ejemplo, ya habíamos observado (ejemplo 7.22) que el conjunto de Cantor C es la intersección las iteraciones C n = Φ n ([0,1]), y, de la demostración del teorema 7.26 (ejercicio 18), vemos que C n C respecto a la métrica d H. Ejemplo 7.28 (Curva de Koch). Consideremos las contracciones f 1,f 2 : C C dadas por f 1 (z) = α z, f 2 (z) = (1 α) z + α, donde z es el conjungado del número complejo z y α = 1 2 + 3 6. Notamos que f 1 (0) = 0 y f 2 (1) = 1, por lo que 0 y 1 son los puntos fijos de f 1 y f 2, respectivamente. Más aún, f 1 (1) = f 2 (0) = α, por lo que la imagen del segmento [0,1] es la unión de los dos segmentos en el plano complejo uniendo 0 a α y α a 1, respectivamente (figura 1). El Figura 1. Primeras cuatro iteraciones a la curva de Koch, iniciando con el segmento [0, m1]. conjunto K autosimilar con respecto a f 1 y f 2 se le llama curva de Koch (figura 2). Observamos que esta curva no tiene longitud (o es de longitud Figura 2. La curva de Koch. infinita ), ya que cada iteración, iniciando por el segmento [0,1], multiplica la longitud por un factor de 2 α = 2 > 1. 3

136 7. El teorema de punto fijo y aplicaciones Ejemplo 7.29 (Triángulo de Sierpinski). Consideramos ahora las contracciones f 1,f 2,f 3 : R 2 R 2 dadas por f i (x) = 1 2 x + 1 2 p i, ( ) ( ) ( 0 1 1/2 donde p 1 =, p 0 2 = y p 0 3 = ), los vértices de un triángulo equilátero. El conjunto K autosimilar con respecto a las contracciones 3/2 f 1,f 2,f 3 es llamado el triángulo de Sierpinski (figura 3). Observamos que el Figura 3. El triángulo de Sierpinski. triángulo de Sierpinski tiene área cero. Esto se debe a que cada una de las contracciones f i, al contraer las distancias por 1/2, contrae áreas por un factor 1/4, por lo que la iteración A f 1 (A) f 2 (A) f 3 (A) contrae áreas por un factor de 3/4 < 1. Ejercicios 1. Considere el PVI { x (t) = f(t)x(t) x(0) = x 0, donde x 0 R y f : R R es continua. Utilice el teorema del valor medio para mostrar que la única solución al PVI está dada por x(t) = x 0 e t 0 f.

Ejercicios 137 2. El PVI { x (t) = x(t) x(0) = 0 tiene una infinidad de soluciones. 3. Sea f : X Y una función de Lipschitz. Entonces f es uniformemente continua. 4. Sea A la matriz de 2 2 A = ( ) 1/12 5/8. 5/8 1/12 Entonces, para x R 2, Ax E 1 2 x E. (Sugerencia: Considere la diagonalización de A. Por el teorema espectral, como A es simétrica, entonces se puede diagonalizar ortonormalmente.) 5. Sea f : [a,b] R l tal que cada componente f i es Riemann-integrable, y definimos Entonces b a f como el vector en R l dado por b a ( b f = f 1,..., b a a f E b a b a f l ). f(t) E dt. (Sugerencia: Considere las sumas de Riemann de cada f i y utilice la desigualdad del triángulo.) 6. Sea F(x,t) = tx x 2. Entonces, para todo t R, + 1 F(x,t) F(y,t) t x y. (Sugerencia: Considere la función f(x) = f (x) 1.) x x 2, y verifique que + 1 7. f : [0, ) R, dada por f(x) = x, es uniformemente continua pero no de Lipschitz. 8. Sean P,Q,f : [ 1,1] R continuas, a,b R. Entonces el PVI { u (x) + P(x)u (x) + Q(x)u(x) = f(x) u(0) = a, tiene una única solución. u (0) = b

138 7. El teorema de punto fijo y aplicaciones 9. Considera el operador integral Φ : C([ 1, 1]) C([ 1, 1]) dado por Φ(x)(t) = 1 + 2 t 0 sx(s)ds, para x C([ 1,1]). Empezando de la función constante x 0 (s) = 1, calcula explícitamente las iteraciones x n+1 = Φ(x n ) y verifica que cada x n es el n-ésimo polinomio de Taylor de la función e t2 alrededor de t = 0. 10. Sea L(R l, R m ) el espacio vectorial de las transformaciones lineales de R l a R m y, para T L(R l, R m ), T L = ínf{m > 0 : Tx E M x E para todo x R l }. Entonces L es una norma en L(R l, R m ). 11. Para T L(R l, R m ), T L = sup{ Tx E : x B 1 (0)}, donde B 1 (0) es la bola cerrada de radio 1 en R l con centro en el origen. 12. Sea B r (x 0 ) una bola en R l y x,y B r (x 0 ). Entonces para todo t [0,1]. x + t(y x) B r (x 0 ) 13. Sea B r (x 0 ) una bola en R l y f C 1 (B r (x 0 ), R m ) tal que f (x) L M para todo x B r (x 0 ). Entonces, para x,y B r (x 0 ), f(x) f(y) E M x y E. (Sugerencia: Considere F(t) = f(x + t(y x)) y, por el teorema fundamental del cálculo, F(1) F(0) = 1 0 F (t)dt.) 14. Sea T L(R l+m, R l ) tal que x T(x,0) es una transformación en GL(l). Entonces, si S GL(m), la transformación (x,y) ( T(x,y),Sy ) es una transformación en GL(l + m). 15. a) Sea A X no vacío y U ε (A) su ε-vecindad. Entonces U ε (A) es cerrado. b) Aún cuando A es compacto, U ε (A) no es necesariamente compacto. 16. Sea X discreto. Entonces (C X,d H ) es discreto. 17. Sea A X un conjunto finito de puntos aislados de X, es decir, cada x A es un conjunto abierto en X de un solo punto. Entonces A es aislado en C X. 18. Sean A n compactos no vacíos en X tales que A n A n+1. Entonces A n n 1A n

Ejercicios 139 con respecto a la métrica d H. 19. Sean A,B,C,D C X. Entonces d H (A B,C D) máx{d H (A,C),d H (B,D)}. 20. Sean f 1,...,f N : X X contracciones en el espacio completo X, y K el conjunto autosimilar con respecto a las f i. Si A X es no vacío y entonces Ā K. A f 1 (A)... f N (A),