Universidad Nacional de Ingeniería UNI-Norte Problemas de Transbordo III Unidad Temática MSc. Ing. Julio Rito Vargas II semestre 2008
El problema de transbordo Un problema de transporte permite sólo envíos directamente desde los puntos de origen a los puntos de demanda. En muchas situaciones, sin embargo, existe la posibilidad de hacer envíos a través de puntos intermedios (puntos de transbordo). En este caso se habla de un problema de transbordo. A continuación veremos como la solución del problema de transbordo puede ser encontrada a través de un problema de transporte. Definiremos los puntos de oferta como aquellos puntos desde donde sólo se puede despachar unidades. Similarmente, un punto de demanda es un punto donde sólo se pueden recibir unidades. Un punto de transbordo es punto que puede recibir y enviar unidades a otros puntos. Veamos un ejemplo:
Características La oferta o suministro en cada origen es limitada. En cada destino la demanda está definida o especificada. El objetivo en el problema de transbordo es determinar cuantas unidades deberán embarcarse por cada uno de los arcos de la red, de manera que todas las demandasdestinos se satisfagan al costo de transporte mínimo posible.
Ejemplo 1: Una fábrica posee dos plantas de manufactura, una en Memphis y otra en Denver. La planta de Memphis puede producir hasta 150 unidades al día, la de Denver hasta 200 unidades al día. Los productos son enviados por avión a Los Angeles y Boston. En ambas ciudades, se requieren 130 unidades diarias. Existe una posibilidad de reducir costos enviando algunos productos en primer lugar a New York o a Chicago y luego a sus destinos finales. Los costos unitarios de cada tramo factible se ilustran en la siguiente tabla:
Desde Tabla de Costos de transporte Hacía Memphis Denver N.Y. Chicago L.A. Boston Memphis 0-8 13 25 28 Denver - 0 15 12 26 25 N.Y. - - 0 6 16 17 Chicago - - 6 0 14 16 L.A. - - - - 0 - Boston - - - - - 0
La fábrica desea satisfacer la demanda, minimizando el costo total de envío. En este problemas, Memphis y Denver son puntos de oferta de 150 y 200 unidades respectivamente. New York y Chicago son puntos de transbordo. Los Angeles y Boston son puntos de demanda de 130 unidades cada uno. 150 130 200 130
Solución: A continuación construiremos un problema de transporte balanceado a partir del problema de transbordo. Para ello podemos seguir los siguientes pasos (suponiendo que la oferta excede a la demanda): Paso 1. Si es necesario, se debe agregar un punto de demanda ficticio (con oferta 0 y demanda igual al excedente) para balancear el problema. Los costos de envío al punto ficticio deben ser cero. Sea S la oferta total disponible. Paso 2. Construir una tabla de transporte siguiendo las siguientes reglas:
Solución: Incluir una fila por cada punto de oferta y de transbordo. Incluir una columna por cada punto de demanda y de transbordo. Cada punto i de oferta debe poseer una oferta igual a su oferta original si. Cada punto de demanda j debe poseer una demanda igual a su demanda original dj. Cada punto de transbordo debe tener una oferta igual a su oferta original + S y una demanda igual a su demanda original + S. Como de antemano no se conoce la cantidad que transitaría por cada punto de transbordo, la idea es asegurar que no se exceda su capacidad. Se agrega S a la oferta y a la demanda del punto de transbordo para no desbalancear la tabla.
Solución: En el ejemplo, S = 150+200 = 350. La demanda total es 130+130 = 260. Luego, el punto ficticio debe tener una demanda =90. Como en el ejemplo los puntos de transbordo no tienen ni demanda ni oferta por sí mismos, la oferta y demanda en la tabla deber ser igual a s. Una vez planteado la tabla, se pueden emplear los métodos vistos anteriormente para obtener una solución inicial factible y obtener la solución óptima.
Modelo tipo transporte N.Y. Chicago L.A. Boston Ficticio Oferta Memphis 8 13 25 28 0 150 Denver 15 12 26 25 0 200 N.Y. 0 6 16 17 0 350 Chicago 6 0 14 16 0 350 Demanda 350 350 130 130 90
Salución del problema como (transporte)
Análisis de Sensibilidad: Para interpretar la solución, es preciso revisar cuidadosamente las combinaciones asignadas. De la primera fila, vemos que de Memphis sólo se despacharon 130 unidades a New York del total de 150 disponibles, el excedente de 20 unidades está asignado al punto artificial. De la segunda fila se desprende que de Denver se enviaron 130 unidades a Boston del total de 200 disponibles, quedando 70 asignadas al punto ficticio. En la tercera fila vemos que se enviaron desde el punto de transbordo en New York 130 unidades a Los Angeles. La asignación de 220 de N.Y. a N.Y. significa que del total de unidades en tránsito, 220 no pasaron por dicho nodo de transbordo, o bien, que no se emplearon 220 unidades de la capacidad del punto. Finalmente, en la cuarta fila, la asignación de 350 del punto de transbordo de Chicago a Chicago representa simplemente que no se empleó el punto de transbordo.
Gráficamente, la solución óptima resulta:
EJEMPLO 2 Dos fábricas de automóviles, P 1 y P 2, están conectadas a tres distribuidores, D 1, D 2 y D 3, por medio de dos centros de tránsito, T 1 y T 2, de acuerdo con la red que se muestra en la siguiente diapositiva Las cantidades de la oferta en las fábricas P 1 y P 2, son de 1000 y 1200 automóviles, y las cantidades de la demanda en las distribuidoras D 1, D 2 y D 3, son de 800, 900 y 500 automóviles. El costo de envío por automóvil (en decenas de dólares) entre los pares de nodos, se muestra en los eslabones (arcos) de conexión de la red
RED - MODELO DE ASIGNACION 1000 P 1 3 4 T 1 8 6 D 1 5 800 1200 P 2 2 5 T 2 4 9 D 2 3 900 D 3 500
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL Cada vez que se plantea un problema de programación lineal, se procede cumpliendo las siguientes etapas: 1.- Comprensión del problema (lectura en detalle) 2.- Definición de las variables de decisión 3.- Descripción de la función objetivo 4.- Identificación de las restricciones del problema
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL Se plantea identificando como variables de decisión a todas las posibilidades de flujos de asignación, a transferir entre los nodos de la red de transbordo Se define como función objetivo la minimización de los costos de transporte asociados al transbordo Las restricciones corresponden a un balance de transferencia de unidades para cada nodo de la red de asignación, sin olvidar la condición de no negatividad
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL Red para plantear el PPL: 1000 T 1 1200 P 1 X P1T1 X P P2T2 2 T 2 D 1 D 2 D 3 X D1D2 X D2D3 800 900 500
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL F.O. Mín Z = 3X P1T1 + 4X P1T2 + 2X P2T1 + 5X P2T2 + 8X T1D1 + 6X T1D2 + 4X T2D2 + 9X T2D3 + 5X D1D2 + 3X D2D3 s.a. : 1000 = X P1T1 + X P1T2 1200 = X P2T1 + X P2T2 X P1T1 + X P2T1 = X T1D1 + X T1D2 X P1T2 + X P2T2 = X T2D2 + X T2D3 X T1D1 = X D1D2 + 800 X T1D2 + X T2D2 + X D1D2 = X D2D3 + 900 X T2D3 + X D2D3 = 500 X ij > 0
EJEMPLO DE TRANSBORDO El transbordo ocurre ya que la cantidad de la oferta de 2200 (1000 + 1200) automóviles en los nodos P 1 y P 2, requiere pasar a través de los nodos de transbordo de la red (T 1 y T 2 ),antes de llegar a sus puntos de destino en los nodos D 1, D 2 y D 3 Nodos puros de Oferta P 1, P 2 Nodos de Transbordo T 1, T 2, D 1, D 2 Nodos puros de Demanda D 3 El modelo de transbordo se convierte a un modelo de transporte con seis puntos de origen (P 1, P 2, T 1, T 2, D 1 y D 2 ) y cinco de destino (T 1, T 2, D 1, D 2 y D 3 )
NODOS PUROS DE OFERTA Y NODOS PUROS DE DEMANDA Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos puros de oferta y puros de demanda, queda: Oferta en un Nodo puro de Oferta Oferta Original Un nodo puro de oferta no posee amortiguador Demanda en un Nodo puro de Demanda Demanda Original Un nodo puro de demanda no posee amortiguador
NODOS DE TRANSBORDO Las cantidades de la oferta y la demanda en los nodos de transbordo, se establece de acuerdo a: Oferta en un Nodo de Transbordo Demanda en un Nodo de Transbordo Oferta Original Demanda Original La oferta necesariamente posee un amortiguador, mientras que a veces se encuentra oferta original + + Amortiguador Amortiguador La demanda necesariamente posee amortiguador, mientras que en ocasiones hay demanda original
Matriz de transbordo Resuelto como un PPL
SOLUCION
8 4 6 2 4 3 Solución gráfica del modelo U$ 207,000.00