Modelos de Transporte: método de costo mínimo m de Vogel. M. En C. Eduardo Bustos Farías

Transcripción

1 Modelos de Transporte: método de costo mínimo m y de Vogel M. En C. Eduardo Bustos Farías as

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3 Método de costo mínimom 3

4 Métodos de Costo mínimo: m de la matriz por columna por fila 4

5 Costo mínimo m de la matriz: : Consiste en seleccionar en cada etapa aquella variable xij cuyo costo Cij sea el mínimo m para todos los i, j. Costo mínimo m por columna: Comenzando con la columna de la izquierda, seleccionamos aquella variable de menor costo. Costo mínimo m por fila: : Comenzando por la primera fila, seleccionamos xij como la variable correspondiente que tenga menor costo. 5

6 Este es un procedimiento que aventaja a la regla de la esquina noroeste en la búsqueda b de la solución óptima. Aquí emplearemos la misma técnica t básica b de agotar alternativamente ya sea la oferta de las fábricas f o la demanda de los mercados, pero modifica el requisito de proceder geográficamente desde la esquina superior izquierda. En lugar de lo anterior, la asignación corresponde a la casilla de menor costo de la tabla de transporte. 6

7 Si esta asignación n satisface el requisito de demanda de un mercado, se sigue adelante con el costo más m s bajo siguiente en el mismo renglón n y agotando, de ser posible, las existencias de la fabrica en cuestión. El procedimiento agota de la misma manera la oferta de las fábricas f y la demanda de los mercados, inspeccionando siempre los costos a fin de encontrar la casilla siguiente para una asignación n en el renglón n o la columna de que se trata. 7

8 EJEMPLO 1 Método de costo mínimom 8

9 Se resolverá la siguiente tabla de transporte por los 3 métodos de costo 9

10 Costo mínimo m de la matriz 1

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17 Costo mínimo m por fila 17

18 4 1 18

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24 Costo mínimo m por columna 24

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31 CÁLCULO DE LOS ÍNDICES DE MEJORAMIENTO 31

32 Solución n con costo mínimo m de la matriz 32

33 Calculo de los índices de mejoramiento: 33

34 Segunda iteración n con costo mínimo de la matriz 34

35 35

36 EJEMPLO 2 Balanceo de un problema de transporte 36

37 Balanceo de un problema de transporte Si la oferta excede a la demanda,, se puede balancear el problema creando un punto de demanda ficticia que absorba el exceso de oferta. 37

38 Balanceo de un problema de transporte Si la demanda excede a la oferta, para que el problema se vuelva factible se puede permitir no satisfacer parte de la demanda pagando una penalidad por unidad de demanda insatisfecha. Se agrega un punto de abastecimiento ficticio con una capacidad igual a la demanda insatisfecha,, y una penalidad asociada a cada punto demanda. 38

39 52 EL PROBLEMA NO ESTÁ BALANCEADO 39

40 Agregamos una columna de holgura para lograr el balance. 4

41 Se procede a resolverlo usando el método de la esquina noroeste o del costo mínimo. m Al obtenerse la SFBI se procede a utilizar los índices de mejoramiento. 41

42 Balanceo de un problema de transporte También n se puede presentar el caso contrario, en el que la demanda total excede a la oferta de las fábricas, f en este caso se agregaría a a la tabla un renglón n de holgura que representase a una fábrica f ficticia que serían esencialmente pedidos atrasados. 42

43 EL MÉTODO M DE VOGEL O DE SANCIÓN 43

44 Método de Vogel Es un método m heurístico Proporciona una SFBI mejor que los métodos m anteriores En muchos casos proporciona la solución óptima o una muy cercana a ésta. Se llama de sanción n por el método m que aplica. Por cada renglón n y columna de la tabla de transporte hay una sanción n conceptual, en términos de costo, debida al hecho de no elegir la celda más m s baja disponible durante el proceso de asignación. n. 44

45 Método de Vogel Un método m que por lo general supera a los demás s cuando se trata de encontrar una solución óptima. La expresión n sanción n es una indicación n del método que se aplica. Las sanciones calculadas son las diferencias, en relación n con cada renglón n y columna, entre las rutas de transporte de costo más m bajo y de costo más m s bajo siguiente. 45

46 Método de Vogel Por lo tanto, las asignaciones se hacen primero a aquellas casillas donde las sanciones son mayores, porque esto evita los incrementos más m s grandes del costo asociados por las diferentes asignaciones. Así pues, el método m de sanción n subraya tanto la elección n de las rutas de transporte de bajo costo, en un sentido absoluto,, como la elección n de las rutas de bajo costo que mejor eluden las sanciones relativas de costo asociadas con la utilización n de otras posibilidades alternativas. 46

47 Los pasos en que consiste el método son: 1. Encontrar las diferencias entre los costos más m s pequeños en los renglones y las columnas 2. Determinar el renglón n o la columna con la diferencia de costos mínimos más m s grande, si hay dos o más m s iguales, seleccionar arbitrariamente. 3. Asignar tanto como sea posible a la celda que tiene el costo más m pequeño o tratando de satisfacer la demanda en función n de la disponibilidad de la oferta e ir disminuyendo la oferta y la demanda correspondiente. 4. Eliminar las columnas o los renglones saturados. 5. Regresar al primer paso y repetir hasta que columnas y renglones queden saturados; si al final solo queda un renglón o una columna, por el método m de costo mínimo m continuamos asignando a las celdas restantes hasta que todas queden saturadas. 47

48 EJEMPLO 1 Método de Vogel 48

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50 SOLUCIÓN N CON WINQSB 5

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52 EJEMPLO 2 Método de Vogel 52

53 Tenemos el caso de una empresa que debe abastecer tres mercados distintos ( M-1, M M-2 2 y M-3) M con demandas de 19, 24 y 9 unidades, respectivamente; dicho abastecimiento debe hacerse a partir de tres fábricas (F-1, F-2 F 2 y F-3) F con ofertas de 18, 15 y 26 unidades, respectivamente. Resolver la tabla de transporte usando el método de Vogel. 53

54 54

55 SOLUCIÓN 55

56 9 SANCIONES EN COLUMNA SANCIONES 56 EN RENGLÓN

57 9 2 SANCIONES EN COLUMNA 2 1 SANCIONES 57 EN RENGLÓN

58 9 2 4 SANCIONES EN COLUMNA SANCIONES 58 EN RENGLÓN

59 Ahora completamos la tabla usando el método del costo mínimo m por matriz. 59

60 5 2 SANCIONES EN COLUMNA SANCIONES 6 EN RENGLÓN

61 2 SANCIONES EN COLUMNA SANCIONES 61 EN RENGLÓN

62 SANCIONES EN COLUMNA SANCIONES 62 EN RENGLÓN

63 El costo asociado a la solución n anterior es: Cx = (6x4) + (1x9) + (x5) + (4x15) + (3x24) + (x2) = $

64 En las siguientes tablas se muestra el método de Vogel,, paso a paso, para realizar las asignaciones: RENGLON/ COLUMNA COSTO MENOR COSTO SIGUIENTE MENOR SANCIÓN ASIGNACIÓN A LA CASILLA A.INICIO Fábrica a X 13 Fábrica Fábrica Mercado Mercado Mercado

65 RENGLON/ COLUMNA B. Suprimir el mercado 3 COSTO MENOR COSTO SIGUIENTE MENOR Fábrica Fábrica SANCIÓN ASIGNACIÓN A LA CASILLA Fábrica a X 32 Mercado Mercado

66 RENGLON/ COLUMNA COSTO MENOR COSTO SIGUIENTE MENOR SANCIÓN ASIGNACIÓN A LA CASILLA C. Mercados 2 y 3 suprimidos Mercado a X 21 66

67 Habiendo cubierto los mercados 3 y 2 y agotado la fábrica f 2, se determinan las siguientes asignaciones: Costo más m s bajo para satisfacer el resto de la demanda del mercado 1 4 a X11 Holgura para agotar la oferta restante de la fábrica f 1 5 a X14 Holgura para agotar la oferta restante de la fábrica f 3 2 a X34 67

68 EJEMPLO 3 Método de Vogel 68

69 Una empresa tiene tres plantas en diferentes zonas, productoras de un solo artículo el cual se vende en cuatro diferentes centros de distribución. Las máximas m posibilidades de producción n de la planta y los requerimientos de cada centro se muestran a continuación. n. Además, se proporcionan los costos unitarios de transporte. Encontrar el costo mínimo m de transporte, satisfaciendo las demandas y considerando las limitaciones de oferta, por el método m de Vogel. 69

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71 SOLUCIÓN 71

72 72

73 El costo (Cx( Cx) ) asociado a la solución anterior es Cx = (5x2) + (25x5) + (2x5) + (1x17) + (5x25) + (15x5) Cx = $

74 EJERCICIO PARA RESOLVER 74

75 La Red de AJax La planta de Ajax se encuentra en Chicago. Una compañí ñía a de almacenamiento se encuentra en St Louis. Ajax vende sus computadoras en 8 mercados. Para satisfacer la demanda de esta semana, el gerente de Ajax debe decidir un plan de embarque de alfas desde su planta hasta la bodega y los mercados. Los costos de transporte se muestran en la tabla 75

76 Costos de transporte $/unidad 1 Chi 2 STL 3 Det 4 Cin 5 LOU 6 INd 7 Mil 8 MIn oferta Planta Bodega demanda Plantear el modelo de red. Resolverlo por el método m de costo mínimo m (por matriz) y por el de Vogel Comparar los costos de la SFBI por ambos métodos. m 76

77 SOLUCIÓN 77

78 Modelo de Transporte Centros productores a1 1 Centros de consumo b1 1 2 b2 MIN Z=ΣΣcijXij s.t ΣXij =ai J a2 2 cij 3 b3 ΣXij =bj i 78

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80 8

81 81

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84 EJERCICIO PARA RESOLVER 84

85 Almacenes Planta Oferta Demanda Se desea saber cuántos camiones enviar de i a j dados los costos De transporte de i a j. Plantear el modelo de programación n lineal (sin resolverlo). Resolverlo por el método m de costo mínimo m y por el de Vogel. 85

86 SOLUCIÓN 86

87 Modelo de programación n lineal Xij= = No de camiones de la planta i al almacén n j Cij= costo en UM/camión n de la planta i al almacén n j Cij= costo en UM/cami Min Z=464X11+513X12+654X13+867X14+352X X22+69X23+791X24+995X31+682X32+388X X34 s.a X11+X12+X13+X14 =75 X21+X22+X23+X24 =125 X31+X32+X33+X34 =1 X11+X21+X31 =8 X12+X22+X32 =65 X13+X23+X33 =7 X14+X24+X34 =85 XIJ XIJ 87

88 88

89 89

90 9

91 91

92 92

93 EJERCICIO PARA RESOLVER 93

94 La compañí ñía Aceros del Norte, S.A. debe hacer envíos de tres fábricas a siete bodegas. El costo unitario de las fabricas a cada bodega, los requerimientos de las bodegas, las capacidades de cada fabrica son: Obtener una primera solución n al problema de transporte por la regla de la esquina noroeste. Cuál l es el costo? Encontrar la solución óptima por el método m de costo mínimo. m Cuál l es el costo? Encontrar la solución óptima por el método m de Vogel. Cuál l es el costo? FABRICAS BODEGAS A B C D E F G CAPACIDADES DEM

95 SOLUCIÓN N CON TORA 95

96 ESQUINA NW 96

97 97

98 EJERCICIO PARA RESOLVER 98

99 LA EMPRESA MANUFACTURAS INTERNACIONALES, S.A. TIENE TRES FABRICAS Y CINCO BODEGAS A PARTIR DE LAS CUALES SATISFACE SU DEMANDA. A CONTINUACIÓN N TENEMOS LOS DATOS SOBRE CAPACIDADES DE FÁBRCA, F REQUERIMIENTOS DE BODEGAS Y COSTOS DE TRANSPORTE (MATRIZ): APLICANDO LOS 3 MÉTODOS M DE TRANSPORTE ENCONTRAR LA SOLUCIÓN ÓPTIMA A ESTE PROBLEMA, ES DECIR UN PROGRAMA DE EMBARQUES AL COSTO MAS BAJO. LOS COSTOS ESTAN EXPRESADOS EN PESOS 99

100 B-1 B-2 B-3 B-4 B-5 CAPACIDAD DE FÁBRICA FABRICA A FÁBRICA B FÁBRICA C REQUERIMI ENTO DE BODEGA