Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene a la recta s y es paralelo a la recta r Problema 3: Dados los vectores son ortogonales a los vectores dados. calcula los vectores unitarios de R 3 que Problema 4: Halla la posición relativa del plano y la esfera siguientes: π 3x + 2y 6z + 12 = 0 x 2 + y 2 + z 2 6x + 2y 4z 2 = 0 Problema 5: Determina los puntos de la recta de ecuaciones que equidistan del plano π de ecuación x + z = 1 y del plano π de ecuación y z = 3 Problema 6: Sea r y s las rectas dadas por: a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten. b) Para m = 1, hállese la ecuación del plano que contiene a r y s Problema 7:
Calcula el volumen del tetraedro de vértices A(1, 1, 1), B(1, 2, 3), C(2, 3, 1) y D(3, 1, 2) Problema 8: Se consideran los puntos A(0, 1, 0) y B(1, 0, 1). Determina la ecuación que verifican los puntos X(x, y, z) cuya distancia de A es igual a la distancia de A a B Problema 9: Sean las rectas: a) Halla la ecuación de la recta t que pasa por el origen y corta a las dos rectas anteriores. b) Halla la recta perpendicular t común a las recta r y s Problema 10: Determinar la posición relativa de las rectas: Problema 11: Se considera el triángulo que tiene por vértices los puntos A(1, 1, 2), B(1, 0, 1) y C(1, 3, 2). Razona si es rectángulo. Problema 12: Dado el punto P(1, 3, 1), escribe la ecuación que deben verificar los puntos X(x, y, z) cuya distancia a P sea igual a 3 Problema 13: Calcula la distancia entre las rectas Problema 14: En el espacio se consideran: La recta r intersección de los planos de ecuaciones implícitas: 2x 2y z = 9, 4x y + z = 42 y la recta s que pasa por los puntos (1, 3, 4) y (3, 5, 2). Se pide: a) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta r y de la recta s b) Justifica que las rectas r y s se cruzan. Problema 15:
Sean los vectores: Problema 16: Halla la posición relativa del plano y la esfera siguientes: π 2x 3y + 6z 5 = 0 x 2 + y 2 + z 2 4x 2y 6z + 10 = 0 Problema 17: Calcula el ángulo que forma el plano x + y + z = 0 con la recta de ecuaciones x + y = 1, y + z = 1 Problema 18: Demuestra que los puntos P = (0, 0, 4), Q = (3, 3, 3), R = (2, 3, 4) y S = (3, 0, 1) son coplanarios y determina el plano que los contiene. Problema 19: Halla el valor de λ > 0 de manera que el volumen del tetraedro OABC donde O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, λ, 0) y C(0, 0, 4) sea 2 Problema 20: Halla la posición relativa de las siguientes recta y esfera. Si tienen puntos comunes hállalos: Problema 21: Considera el punto P(3, 2, 0) y la recta r de ecuaciones Halla las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto de la recta r Problema 22: Determina el plano que pasa por el punto de coordenadas (1, 2, 3) y por la recta de ecuaciones x + y = 1, y + z = 1
Problema 23: Si A, B y C son los puntos de coordenadas (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), respectivamente a) Calcula el área del triángulo que forman los puntos A, B y C b) Determina el ángulo que forman los vectores y Problema 24: Halla la ecuación del plano tangente a la esfera (x 3) 2 + (y 1) 2 + (z + 2) 2 = 24 en el punto M( 1, 3, 0) Problema 25: La trayectoria de un proyectil viene dada por la recta: Calcula el punto de impacto en el plano 3x + y z = 0 y la distancia recorrida por el proyectil desde el punto inicial P(2, 3, 1) hasta el punto de impacto. Problema 26: Estudia la posición relativa de las rectas r y s dadas por en particular, son perpendiculares o paralelas? Problema 27: Estudia si son linealmente dependientes los vectores: Problema 28: Los puntos A(1, 1, 5) y B(3, 5, 1) son los extremos de un diámetro de una esfera. a) Calcula las coordenadas del centro y el radio de la esfera. b) Obtén su ecuación cartesiana. c) Halla la ecuación del plano tangente a la esfera en el punto P(3, 5, 5) Problema 29: Halla el simétrico del punto P(1, 0, 2) respecto al plano y 2z + 1 = 0
Problema 30: Considera un plano π x + y + mz = 3 y la recta a) Halla m para que r y π sean paralelos. b) Halla m para que r y π sean perpendiculares. c) Existe algún valor de m para que la recta r esté contenida en el plano π? Problema 31: Determina el valor de a para que los puntos A = (1, 0, 1), B = (1, 1, 1) y C = (1, 6, a) sean los tres vértices de un triángulo de área 3/2 Problema 32: Sea la superficie esférica de ecuación: x 2 + y 2 + z 2 6x 6y 8z + 9 = 0 a) Determina su centro y su radio. b) Halla la ecuación de la recta que contiene al diámetro paralelo al eje OY c) Obtén el centro y el radio de la circunferencia que resulta al cortar dicha esfera con el plano z = 0 d) Halla la ecuación del plano tangente a la esfera en un punto del eje X Problema 33: Calcula la distancia entre las rectas r y s, donde Problema 34: Discutir según los valores del parámetro real λ la posición relativa de los planos: π 1 : x + z = λ π 2 : 4x + (λ 2)y + (λ + 2)z = λ + 2 π 3 : 2(λ + 1)x (λ + 6)z = λ Problema 35: Considera los puntos A(1, 0, 2) y B( 2, 3, 1). Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales. Problema 36:
Dados los puntos A(1, 1, 0) y B(0, 0, 2) y la recta, halla un punto C r de forma que el triángulo ABC sea rectángulo con el ángulo recto en C Problema 37: Resuelve las cuestiones siguientes: a) Determina la ecuación de un plano α pasando por el punto A = ( 1, 1, 1) y siendo un vector normal al mismo. b) Determina las ecuaciones paramétricas de la recta r que se obtiene al cortarse el plano del apartado anterior con el plano β z 1 = 0 Problema 38: El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo A(3, 0, 1), B(6, 4, 5), C(5, 3, z). Calcula el valor de z y halla el área del triángulo. Problema 39: Considera el punto P(3, 2, 0) y la recta r de ecuaciones Halla la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta r Problema 40: Sean los puntos A(1, 1, 1), B(a, 2, b) y C(1, 0, 0) a) Con a = 2, calcula b para que los tres puntos determinen un plano que pase por el punto P(2, 0, 1). Cuál es la ecuación de dicho plano? b) Calcula los valores de a y b para que los puntos A, B y C estén alineados.
Soluciones Problema 1: Problema 2: Problema 3: Problema 4: d(c, π) = 1 < R = 4, el plano es secante a la esfera, por tanto, tienen una circunferencia en común.
Problema 5: Problema 6: a) Para hallar un punto de la recta r, hacemos y = 0, x = m/2, z = 3, A(m/2, 0, 3) Vector director de la recta r, Para hallar un punto de la recta s, hacemos x = 0, y = 2, z = 3/2, B(0, 2, 3/2) Vector director de la recta s, Para que se corten el siguiente determinante tiene que ser cero. b) Para m = 1 hemos visto que las dos rectas se cortan, luego determinan un plano. Un punto del plano es B(0, 2, 3/2) Problema 7:
Problema 8: Es una esfera de centro A(0, 1, 0) y radio la distancia de A a B Ecuación de la esfera: x 2 + (y 1) 2 + z 2 = 3 x 2 + y 2 + z 2 2y = 2 Problema 9: a) La recta t es la intersección de los planos que contienen a cada recta y pasan por el origen de coordenadas. Problema 10:
Luego las dos rectas son paralelas. Problema 11: Es rectángulo si tiene un ángulo recto, es decir dos de sus lados son perpendiculares. Sean los vectores: Ninguno de sus ángulos es recto. No es rectángulo. Problema 12: Es una esfera de centro P(1, 3, 1) y radio 3 Ecuación de la esfera: (x 1) 2 + (y 3) 2 + (z + 1) 2 = 3 2 x 2 + y 2 + z 2 2x 6y + 2z + 2 = 0 Problema 13: Problema 14: a) Un punto de la recta r, se obtiene haciendo x = 0 y resolviendo el sistema: A(0, 17, 25)
Problema 15: a) Tres vectores son linealmente dependientes si el determinante que forman sus coordenadas es nulo: Los tres vectores son linealmente dependientes. Problema 16: d(c, π) = 2 = R, el plano es tangente a la esfera. Tiene un punto en común.
Problema 17: Problema 18: Hallamos el plano que contiene a P, Q y R, luego comprobamos que el punto S está en dicho plano. Punto S(3, 0, 1) 3 3 2 0 + 3 1 12 = 9 + 3 12 = 0 Problema 19: Problema 20: La recta es tangente a la esfera, por tanto, tienen un punto común. (5 + t) 2 + (6 + 4t) 2 + ( 1 + 3t) 2 4(5 + t) 2(6 + 4t) + 4( 1 + 3t) = 0 t 2 + 2t + 1 = 0 t = 1 P(4, 2, 4)
Problema 21: Para hallar un punto A de la recta r, hacemos z = 0, se obtiene, x = 1, y = 4 A( 1, 4, 0) El vector director de la recta r es: La ecuación del plano perpendicular a la recta r que pasa por P es: π 2(x 3) 3(y 2) z = 0 π 2x 3y z = 0 La ecuación de la recta t en paramétricas es: La intersección de r y π es: M(1, 1, 1) Problema 22: Un vector director del plano es el vector director de la recta: Problema 23:
Problema 24: El vector normal al plano tangente es el radio CM Problema 25: La intersección de la recta y el plano es: Problema 26: Recta Como tienen el mismo vector director y el punto A no pertenece a la recta s, son paralelas. Problema 27: Tres vectores son linealmente dependientes si el determinante que forman sus coordenadas es nulo: Problema 28: a) Coordenadas del centro y radio: El centro es el punto medio de A y B, C(2, 3, 3) El radio es la mitad del diámetro y el diámetro es la distancia que hay entre los puntos A y B b) Ecuación cartesiana: (x 2) 2 + (y 3) 2 + (z 3) 2 = 3 2 x 2 + y 2 + z 2 4x 6y 6z + 13 = 0 c) El vector normal al plano es el que va desde el punto de contacto P al centro de la esfera C x 3 + 2(y 5) + 2(z 5) = 0 π x + 2y + 2z = 23 Problema 29:
Problema 30: a) Para que sean paralelos, el vector normal al plano y el vector director de la recta tienen que ser perpendiculares: b) Para que sean perpendiculares el vector normal al plano y el vector director de la recta tienen que ser paralelos: c) Para que la recta esté contenida en el plano, m = 1 y el plano será: π x + y z = 3 Probamos el punto A(0, 1, 2) de la recta en este plano: 0 + 1 2 3, luego no hay ningún valor de m para que la recta r esté en el plano π Problema 31: Problema 32: a) Centro y radio: C(3, 3, 4); R = 5 b) Recta: c) Centro y radio de la circunferencia: z = 0 x 2 + y 2 6x 6y + 9 = 0, C(3, 3), R = 3 d) Plano tangente: y = z = 0 x 2 6x + 9 = 0, x = 3, P(3, 0, 0)
Problema 33: Problema 34: Si λ 2, λ 8/3, los tres planos se cortan en un punto. Si λ = 2, tenemos los planos: π 1 : x + z = 2 π 2 : 4x + 4z = 4 π 3 : 6x 8z = 2 Los dos primeros son paralelos y el 3º secante a los otros dos. Si λ = 8/3, tenemos los planos: El 1 er planos y el 3º son paralelos y el 2º secante a los otros dos. Problema 35: Problema 36:
Problema 37: Problema 38: Problema 39: Problema 40: a) Hallamos el plano que pasa por los puntos A, C y P y le ponemos la condición de que pase por B