Parte II CALCULO DIFERENCIAL.

Parte II CALCULO DIFERENCIAL. 165

En esta parte veremos el Cálculo diferencial en forma precisa. 167

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Capítulo 1 Axiomas Para los Números Reales. En este capítulo daremos las bases en las cuales se fundamenta el Cálculo Diferencial e Integral. En forma más precisa, daremos una serie de afirmaciones [llamadas axiomas] que supondremos son verdaderas y a partir de ellas deduciremos muchas otras usando sólo implicaciones lógicas. 1.1 Introducción. Todas las propiedades habituales del conjunto de los números reales pueden ser demostradas a partir de ciertas propiedades, que llamamos axiomas. Estos axiomas son de tres tipos distintos. Los axiomas algebraicos [que se detallarán en la sección 1.2] que son propiedades de la suma y multiplicación de números reales, los axiomas de orden [que se detallarán en la sección 1.3] que, como su nombre lo indica, son propiedades del orden < y un axioma topológico [que se detallará en la sección 1.4] que nos permitirá tener una buena noción de continuidad. Usando esta terminología, tenemos el siguiente Axioma Fundamental. Existe un conjunto R que satisface los axiomas algebraicos, de orden y topológico. Todo resultado que se obtenga a partir de este axioma será un teorema. Se acostumbra usar el término proposición para denotar un teorema que no es muy importante, el término corolario para denotar un teorema que es consecuencia inmediata de otro y el término lema para denotar un teorema que, a pesar de no ser interesante en si mismo, es muy útil para demostrar teoremas importantes. Es claro que estas diferencias son puramente subjetivas. Es importante notar que los axiomas también son teoremas. Una consecuencia de esta definición es que todos los teoremas del Cálculo Diferencial e Integral son expresiones del tipo: Si el Axioma Fundamental es verdadero, entonces cierta afirmación es verdadera. Por ejemplo, es posible demostrar que la existencia de 2 es deducible del Axioma Fundamental. Por lo tanto, la afirmación: Existe r R tal que x 2 = 2 es un teorema, cuya forma 169

170 CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES. más precisa es: Si se cumple el Axioma Fundamental, entonces existe r R tal que x 2 = 2. La siguientes preguntas surgen de inmediato: De qué sirve darse tanto trabajo para demostrar los teoremas si no demostramos el Axioma Fundamental? Por qué agregar los resultados que nos interesan a lo axiomas para no tener que demostrarlos? La respuesta a la primera pregunta es que cuando se aplica la Matemática a una situación real, se construye un modelo simplificado y, si se considera que las propiedades del Axioma Fundamental se aplican en el modelo, entonces se pueden usar todos los teoremas del Cálculo. Si esto conduce a resultados que son falsos en el mundo real, entonces hay que cambiar de modelo y usar otros axiomas que conducirán a otros teoremas. En otras palabras, a pesar de que la Matemática no dice nada sobre el mundo real, es muy útil para comprenderla. En cuanto a la segunda pregunta, notamos que si agregamos un nuevo axioma que es demostrable a partir de los otros axiomas, nos ahorramos mucho trabajo pero el que quiera usar esta teoría tendrá que comprobar más propiedades que debe satisfacer su modelo. Pero si se agrega un axioma que es falso [es decir, tal que su negación es demostrable a partir de los axiomas], entonces tenemos una teoría totalmente inútil ya que en ella toda afirmación es verdadera y también es falsa. No profundizaremos más en esto ya que ello nos llevaría a escribir otro libro. Sin embargo, para conveniencia del lector, en el Apéndice veremos algunos conceptos de Lógica y de Teoría de Conjuntos. 1.2 Axiomas Algebraicos. Los axiomas algebraicos, que establecen la existencia de las operaciones suma y multiplicación de números reales y sus propiedades básicas, son los siguientes: Axiomas de la Suma. AS1. Para todo x, y R existe un único elemento de R que denotaremos por x + y y que llamaremos la suma de x e y. AS2. x + y = y + x para todo x, y R. AS3. (x + y) + z = x + (y + z)) para todo x, y, z R. AS4. Existe un elemento de R, que denotaremos por 0 tal que x + 0 = x para todo x R. AS5. Para cada x R existe y R al que x + y = 0. Axiomas del Producto. AP1. Para todo x, y R existe un único elemento de R que denotaremos por xy [ó por x y ] y que llamaremos el producto de x e y. AP2. xy = yx para todo x, y R.

1.2. AXIOMAS ALGEBRAICOS. 171 AP3. (xy)z = x(yz)) para todo x, y, z R. AP4. Existe un elemento de R, que denotaremos por 1 tal que x1 = x para todo x R. AP5. Para cada x R tal que x 0, existe y R tal que xy = 1. Axiomas Mixtos. AM1. 1 0. AM2. (x + y)z = xz + yz para todo x, y, z R. A continuación demostraremos algunas propiedades que aparentemente, no necesitan demostración. Teorema 1. i. 0 + x = x para todo x R. ii. 1x = x para todo 0 x R. iii. x(y + z) = xy + xz para todo x, y, z R. Demostración. i. Si x R, entonces ii. Si x R y x 0, entonces iii. Si x, y, z R, entonces 0 + x = x + 0 [por AS2] = x [por AS4] 1x = x1 = [por AP2] = x [por AP4] x(y + z) = (y + z)x [por AP2] = yx + zx [por AM2] = xy + xz [por AP2] A continuación demostraremos la unicidad de los elementos de R cuya existencia está garantizada en los axiomas AS4, AS5, AP4 y AP5. Teorema 2. i. Si 0 R es tal que x + 0 = x para todo x R, entonces 0 = 0. ii. Si 1 R es tal que x 1 = x para todo x R, entonces 1 = 1. iii. Si x R, entonces existe un único y R tal que x + y = 0. iv. Si 0 x R, entonces existe un único y R tal que xy = 1.

172 CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES. Demostración. i. Si x + 0 = x para todo x R, entonces 0 = 0 + 0 [ya que x + 0 = x para todo x R ] = 0 + 0 [por AS2] = 0 [por AS4] ii. Si x 1 = x para todo x R, entonces 1 = 1 1 [ya que x 1 = x para todo x R ] = 1 1 [por AM2] = 1 [por AP4] iii. Sean x, y, y R tales que x + y = x + y = 0. Entonces y = y + 0 [por AS4] = y + (x + y ) [por hipótesis] = y + (y + x) [por AS2] = (y + y ) + x [por AS3] = (y + y) + x [por AS2] = y + (y + x) [por AS3] = y + (x + y) [por AS2] = y + 0 [por hipótesis] = y [por AS4] iv. La demostración es igual a la anterior, reemplazando + por y usando los axiomas AP2, AP3 y AP4. Si x R, entonces denotamos por x al único elemento de R tal que x + ( x) = 0 y, si x 0, denotamos por x 1 al único elemento de R tal que xx 1 = 1. La siguiente consecuencia inmediata del Teorema es muy útil. Corolario. i. Sea x R. Entonces y = x si y sólo si x + y = 0. ii. Sea 0 x R. Entonces y = x 1 si y sólo si xy = 1. Los siguientes resultados se demuestran usando los axiomas y algunos de los teoremas ya demostrados. Es importante que el lector justifique cada paso de la demostración indicando el axioma o teorema que se ha usado. Teorema 3. i. x0 = 0 para todo x R. ii. Sean x, y R tales que xy = 0. Entonces, x = 0 ó y = 0.

1.2. AXIOMAS ALGEBRAICOS. 173 iii. x = ( 1)x para todo x R. iv. (x + y) = ( x) + ( y) para todo x, y R. v. Si x, y R son tales que x 0 y, entonces (xy) 1 = x 1 y 1. vi. x + y = x + z si y sólo si y = z. vii. Si x 0, entonces xy = xz si y sólo si y = z. Demostración. i. Por el Corolario del Teorema 2 basta demostrar que x + x0 = x y, para ello notamos que x + x0 = x1 + x0 = x(1 + 0) = x1 = x ii. Si x = 0, no hay nada que demostrar. Si x 0, entonces como x 1 existe, se tiene que y = 1y = (x 1 x)y = x 1 (xy) = = x 1 0 = 0 iii. Por el Corolario del Teorema 2, basta demostrar que x + ( 1)x = 0 y, para ello notamos que x + ( 1)x = 1x + ( 1)x = (1 + ( 1))x = 0x = 0 iv. Usando la propiedad iii, tenemos que (x + y) = ( 1)(x + y) = ( 1)x + ( 1)y = ( x) + ( y)

174 CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES. v. Por el Corolario del Teorema 2, basta demostrar que (xy)(x 1 y 1 ) = 1 y, para ello notamos que vi. Si x + y = x + z, entonces (xy)(x 1 y 1 ) = (xy)(y 1 x 1 ) y = 0 + y = x(y(y 1 x 1 )) = x((yy 1 )x 1 ) = x(1x 1 ) = xx 1 = 1 = (( x) + x) + y = ( x) + (x + y) = ( x) + (x + z) = (( x) + x) + z = 0 + z = z Además es claro que si y = z, entonces x + y = x + z. vii. Si xy = xz, entonces y = 1y = (x 1 x)y = x 1 (xy) = x 1 (xz) = (x 1 x)z = 1z = z Además es claro que si y = z, entonces xy = xz. Ejemplo 1. El Teorema 3 nos permite demostrar que no existe no existe y R tal que 0y = 1. En efecto, como si existiera, tendríamos que 0 = 0y = 1 lo cual es falso ya que el Axioma AM1 dice que 0 1. Es importante notar que, a pesar de que el Axioma AP5 dice que para todo x 0 existe y tal que xy = 1, no dice que no existe y tal que 0y = 1. El resultado que demostramos es consecuencia de los otros axiomas.

1.2. AXIOMAS ALGEBRAICOS. 175 Ejemplo 2. El método de demostración usado en Ejemplo 1 tiene la siguiente justificación. Si queremos demostrar que una afirmación P es verdadera, basta demostrar que si es falsa, entonces podemos deducir que una afirmación falsa es verdadera. En forma más precisa, demostramos que P Q [ P es la afirmación P es falsa ] es verdadera y, por lo tanto, que Q es verdadera. Como una afirmación no puede ser verdadera y falsa, tenemos que no es posible que P sea verdadera y, por lo tanto, que P es verdadera [para mayores detalles ver Apéndice]. A continuación demostraremos dos resultados muy conocidos. El lector deberá justificar los pasos de la demostración. Teorema 4. Sean x 1, x 2, y 1, y 2 R tales que y 1 0 y 2. Entonces i. (x 1 y1 1 )(x 2y2 1 ) = (x 1x 2 )(y 1 y 2 ) 1 o, usando la notación habitual, x 1 x 2 = x 1x 2 y 1 y 2 y 1 y 2 ii. x 1 y 1 1 + x 2 y 1 2 = (x 1 y 2 + x 2 y 1 )(y 1 y 2 ) 1 o, usando la notación habitual, x 1 y 1 + x 2 y 2 = x 1y 2 + x 2 y 1 y 1 y 2 Demostración. i. Por el Teorema 3v, se tiene que (y 1 y 2 ) 1 = y 1 1 y 1 2. Entonces ii. Basta notar que (x 1 x 2 )(y 1 y 2 ) 1 = (x 1 x 2 )(y 1 1 y 1 2 ) = (x 1 y 1 1 )(x 2y 1 2 ) (x 1 y 2 + x 2 y 1 )(y 1 y 2 ) 1 = (x 1 y 2 + x 2 y 1 )y1 1 y 1 2 = x 1 y 2 y1 1 y 1 2 + x 2 y 1 y1 1 y 1 2 = x 1 y 2 y2 1 y 1 1 + x 2 1y2 1 = x 1 1y1 1 + x 2 y2 1 = x 1 y1 1 + x 2 y2 1 Por último demostraremos un resultado muy útil. Teorema 5. Sean a, b R. Entonces ab = 0 si y sólo si a = 0 ó b = 0. Demostración. Nótese que queremos demostrar que ab = 0 a = 0 b = 0. [ ] Supongamos que ab = 0. Si a = 0, no hay nada que demostrar. Si a 0, entonces existe a 1 y b = b(aa 1 ) = baa 1 = 0a 1 = 0

176 CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES. [ ] Si a = 0, por el Teorema 3, ab = 0b = 0 y si b = 0, también ab = a0 = 0. Ejemplo 3. Si consideramos el conjunto {0} y definimos 0 + 0 = 0 y 0 0 = 0 es fácil comprobar que se cumplen todos los axiomas algebraicos salvo AM1. Esta es la razón por la cual se incluye este axioma, a pesar de que es evidente. Ejemplo 4. Si a, b, queremos resolver la ecuación ax = b. Esto significa que queremos encontrar el conjunto S = {x R ax = b} Ingenuamente, se podría decir que S = {ba 1 }. Sin embargo, esto no es verdadero cuando a = 0. Por lo tanto, tenemos que considerar tres casos distintos: i. Si a = b = 0, entonces como para todo x R se cumple que 0x = 0, se tiene que S = R ii. Si a = 0 y b 0, como no existe x R tal que 0x = b 0, se tiene que S = iii. Si a 0, entonces si x S, se tiene que ax = b y, por lo tanto, x = a 1 b. Así hemos comprobado que x S x {a 1 } que es lo mismo que S {a 1 b}. Por último si x = a 1 b [que es lo mismo que x {a 1 b} ], como ax = aa 1 b = b, concluimos que x S y, por lo tanto, {a 1 b} S. Hemos demostrado que S = {a 1 b} En la Parte I definimos N = {1, 2, 3, }. Sin embargo, esta definición es totalmente inadecuada ya que no sabemos que significan los símbolos 2, 3,.... Si bien es cierto que podemos definir 2 = 1+1 y 3 = 2+1, no podemos definirlos todos. Nótese que tampoco podemos recurrir a la inducción ya que esta es una propiedad del conjunto que queremos definir. Esta dificultad es insalvable y tenemos que usar ideas totalmente distintas. Diremos que S R es un conjunto inductivo ssi satisface las dos propiedades siguientes: I1. 1 S. I2. Si x S, entonces x + 1 S. Es claro que R es un conjunto inductivo. Además, nuestra idea intuitiva nos dice que N debe ser el conjunto inductivo más pequeño ya que sólo debe contener a los números reales que se obtienen sumando 1 un número finito de veces.

1.2. AXIOMAS ALGEBRAICOS. 177 Por lo tanto, definimos N = {S S es un conjunto inductivo } = {x R x S para todo conjunto inductivo S} Dicho de otra manera, N es el conjunto de todos los elementos de R que pertenecen a todos los conjuntos inductivos. El siguiente resultado resume las propiedades principales del conjunto N llamadas Propiedades de Peano. Teorema 6. i. 1 N. ii. Si n N entonces n + 1 N. iii. Si N N es un conjunto inductivo, entonces N = N. Demostración. i. Como 1 S para todo conjunto inductivo S, concluimos que 1 N. ii. Sea n N. Entonces n S para todo conjunto inductivo S y, por lo tanto, n + 1 S para todo conjunto inductivo S. Así hemos comprobado que n + 1 N., tenemos que demostrar que si S es un conjunto inductivo, entonces n + 1 S. iii. Como N N, sólo nos falta demostrar que N N. Para ello, basta notar que, por definición, si n N, como N es un conjunto inductivo [por definición de N ] n N. Nótese que hemos demostrado que N es el conjunto inductivo más pequeño, es decir, que N es inductivo y está contenido en todos los conjuntos inductivos. Usando este resultado, podemos demostrar el Principio de Inducción que, como vimos en la Parte I, es un arma muy poderosa. Corolario (Principo de Inducción). Para cada n N, sea P n que una afirmación y supongamos i. P 1 es verdadera. ii. Si P m es verdadera, entonces P m+1 es verdadera. Entonces P n es verdadera para todo n N. Demostración. Las hipótesis dicen exactamente que el conjunto {n N P n es verdadera } N es inductivo. Por el Teorema 6, N = N que es lo que queríamos demostrar. Usaremos el Principio de Inducción para demostrar el siguiente importante resultado.

178 CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES. Teorema 7. Si m, n N, entonces m + n, mn N. Demostración. Sea m N. Entonces tenemos que demostrar que m + n N y mn N para todo n N. Dicho de otra manera, tenemos que comprobar que N s = {n N m + n N} = N y N p = {n N mn N} = N para lo cual, basta demostrar que los conjuntos N s y N p son inductivos. Primero demostraremos que N s es inductivo. Para ello notamos que, como m + 1 N, se tiene que 1 N s. Además, si n N s, entonces m+n N y, como m+n+1 N, concluimos que n+1 N s. Por último, demostraremos N p es inductivo. Para ello notamos que, como m1 = m N, se tiene que 1 N p. Además, si n N p, entonces mn N y, como m(n + 1) = mn + m N, concluimos que n + 1 N p. Sea a R. Entonces definimos a 1 = a y a n+1 = aa n. De esta manera, hemos definido a n para todo n N. En efecto, como el conjunto es inductivo de N, se tiene que es igual a N. {n N a n está definido } N Usando el Principio de Inducción se demuestra fácilmente el siguiente resultado. Teorema 8. Sea a R. Entonces, a m+n = a m a n para todo m, n N. Demostración. Ejercicio. Terminamos esta sección recordando las definiciones de los siguientes subconjuntos de R. { m Z = N {0} { n n N} ; Q = n } m, n Z n 0 ; I = R \ Q Z se llama el conjunto de los enteros, Q el conjunto de los números racionales y I el conjunto de los números irracionales. El siguiente resultado es consecuencia casi inmediata del Teorema 4. Teorema 9. Q satisface todos los Axiomas Algebraicos. Demostración. Ejercicio.

1.2. AXIOMAS ALGEBRAICOS. 179 Ejemplo 5. En I.1.1.6 Teorema 3 [ver p. 22] vimos que Q R [en el Capítulo 2 demostraremos este resultado a partir del Axioma Fundamental]. Nótese que esta afirmación es equivalente a I. Algunas propiedades del conjunto I son las siguientes: i. Si x I, entonces x I y x 1 I. En efecto, si x I, entonces x Q y, por lo tanto, existen m, n Z tales que x = m/n. Como esto implica que x = m/n Q, contradicción que demuestra que x I es falso. En forma análoga, se demuestra que si x I entonces x 1 I. ii. Si x, y I no se puede concluir que x + y I y tampoco que xy I. En efecto, si x I, entonces x, x 1 I y x + ( x) = 0 Q y xx 1 = 1 Q. iii. Si x Q y y I, entonces x + y I. En efecto, si z = x + y Q, entonces y = z x Q, lo cual es falso. iv. Si x Q y y I, entonces xy I. En efecto, si z = xy Q, entonces y = zx 1 Q, lo cual es falso. Ejercicios. 1. Demuestre, a partir de los axiomas, que x + (y + z) = (y + x) + z y que v(x + (y + z)) = vy + (x + z)v. 2. Demuestre que si x, y R son tales que x + y = x, entonces y = 0. 3. Si x, y R son tales que x 0 y xy = x, demuestre que y = 1. Aplique este resultado para demostrar que si x, y R son tales que xy = y, entonces x = 0 ó y = 1. 4. Demuestre de dos maneras distintas que ( x) 1 = x 1 para todo 0 x R. 5. Determine cuales son los axiomas algebraicos que son válidos para cada uno de los conjuntos N, Z y Q. 6. Sean a, b, c R tales que a 0 y que existe r R tal que r 2 = b 2 4ac. Encuentre el conjunto {x R ax 2 + bx + c = 0}. 7. Revise el Capítulo I.1, demostrando, a partir de los axiomas algebraicos, todos los resultados que allí aparecen.

180 CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES. 1.3 Axiomas de Orden Los axiomas de orden, establecen la existencia la existencia de una relación < en R que satisface ciertas propiedades que llamaremos Axiomas de Orden. El significado de este concepto es que para cada x, y R es posible definir si x < y es verdadero o falso. De manera más precisa, existe un conjunto O R R tal que x < y si y sólo si (x, y) O. Axiomas de Orden. O1. Si x, y R, entonces se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones: O2. Si x < y e y < z, entonces x < z. x < y ; x = y ; y < x O3. Si x < y, entonces x + z < y + z para todo z R. O4. Si x < y y 0 < z, entonces xz < yz. Usaremos las siguientes notaciones: i. x y ssi x < y ó x = y. ii. x > y [ x y ] ssi y < x [ y x ]. A continuación veremos algunos ejemplos de resultados que pueden ser demostrados usando los axiomas algebraicos y de orden. Teorema 1. i. Si x < y, entonces y < x. ii. Si x < y y z < 0, entonces yz < xz. iii. 0 < n para todo n N. iv. x 2 > 0 para todo x 0. v. Si x + y = 0 y x, y 0, entonces x = y = 0. vi. x 2 + y 2 = 0 si y sólo si x = y = 0. vii. Si x < y y x < y, entonces x + x < y + y. viii. Si x < y y x < y, entonces x y < y x. Demostración. i. Supongamos que x < y. Entonces por O3 0 = x x < y x

1.3. AXIOMAS DE ORDEN 181 y, también por O3, y = 0 y < (y x) y = x y, por lo tanto, y < x. ii. Supongamos que x < y y que z < 0. Entonces, como por i, 0 < z, usando O4, concluimos que Por i, concluimos que yz < xz. xz = x( z) < y( z) = yz iii. Como es de separar, la demostración es por inducción. Para demostrar que 0 < 1, supongamos que es falso [veremos que esto conduce a una contradicción]. Como [por M1] 0 1, [por O1] concluimos que 1 < 0 y, por ii, que 0 < 1. Entonces usando O4, tenemos que 1 = 1( 1) < 0( 1) = 0 En resumen, si suponemos que 0 < 1 es falso, entonces se cumple que 0 < 1 y 1 < 0, lo cual es falso. Para terminar la inducción, supongamos que 0 < n. Entonces y, por O2, concluimos que 0 < n + 1. 0 < 1 < n + 1 iv. Si x 0, por O1 sólo existen dos posibilidades 0 < x y x < 0. En el primer caso, usando O4, tenemos que 0 = 0x < xx = x 2. En el segundo caso, por ii, tenemos que 0 < x y, por ii, tenemos que y, por i, conclimos que 0 < x 2. x 2 = x( x) < 0 v. Si x = 0 ó y = 0, el resultado es evidente. Si suponemos que x 0 y entonces, como x > 0 y y < 0 no se puede cumplir que x = y [en efecto, esto viola O1]. vi. Como por iv, x 2 0 y y 2 0 si x 2 + y 2 = 0, por v se tiene que x 2 = y 2 = 0 y, por lo tanto x = y = 0. Además, es claro que si x = y = 0, entonces x 2 + y 2 = 0. vii. Supongamos que x < y y x < y. Entonces, por O3 x + x < y + x y y + x < y + x

182 CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES. y, por O2, concluimos que x + x < y + y. viii. Supongamos que x < y y x < y. Entonces, como y < x, por vii, concluimos que x y < y x. Ejemplo 1. Si x > 0 [ x < 0 ], entonces x 1 > 0 [ x 1 < 0 ]. En efecto, supongamos que x > 0 y que es falso que x 1 > 0. Entonces, como x 1 0 [ por qué?] por O3 se tiene que x 1 < 0. Por O4, concluimos que 1 = x 1 x < 0x = 0, contradicción que demuestra que x 1 > 0. Para demostrar la otra afirmación se puede usar un argumento análogo o usar la propiedad ( x) 1 = x 1 [ver 1.2 Ejercio 4]. Ejemplo 2.. Si 0 < x < y ó x < y < 0 ] entonces y 1 < x 1. En efecto, si 0 < x < y, entonces 1 = xx 1 < yx 1 y, por lo tanto, y 1 = y 1 1 < y 1 yx 1 = x 1 El caso en 0 < x < y se comprueba en forma análoga o usando que, y < x < 0. Ejemplo 3. A veces es conveniente usar la siguiente propiedad, cuya demostración es muy sencilla: Sean x, y R. Entonces x < y si y sólo si y x > 0. La siguiente consecuencia es interesante: Sean m, n N. Entonces m > n si y sólo si m n N. Ejemplo 4. Es conveniente no innovar y definir los siguientes números naturales: 2 = 1 + 1 3 = 2 + 1 4 = 3 + 1 5 = 4 + 1 6 = 5 + 1 7 = 6 + 1 8 = 7 + 1 9 = 8 + 1 10 = 9 + 1 Nótese que podemos demostrar fácilmente que 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < 10 También es fácil demostrar que 2 + 3 = 5 y que 5 + 7 = 10 + 2. Sin embargo, no es posible demostrar que 5 + 7 = 12 ya que no hemos definido el número 12. Usaremos la notación D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y diremos que los elementos de D son los dígitos. A continuación demostraremos que todos los números naturales pueden ser expresados en forma única como sumas de la forma k c k c k 1 c 1 c 0 = c i 10 i donde c i D i = 0, 1, k y c k 0 i=0

1.3. AXIOMAS DE ORDEN 183 Por ejemplo, 36980 = 0 10 0 + 8 10 1 + 9 10 2 + 6 10 3 + 3 10 4 Nótese que, si no pudieramos demostrar este resultado a partir de los axiomas, no tendríamos un buen modelo de los números reales. Es claro que podemos demostrar que 999 + 1 = 1000. En efecto, 999 + 1 = 9 10 0 + 9 10 1 + 9 10 2 + 1 = 10 + 9 10 0 + 9 10 1 + 9 10 2 = 0 10 0 + 10 1 + 9 10 1 + 9 10 2 = 0 10 0 + 0 10 1 + 10 2 + 9 10 2 = 0 10 0 + 0 10 1 + 0 10 2 + 1 10 3 = 1000 En forma general, tenemos el siguiente resultado que, obviamente, se demuestra por inducción. Lema. Para todo k N {0}, k 9 10 i + 1 = 10 k+1 i=0 Demostración. Es claro que el resultado es verdadero para k = 1. Para completar la inducción, supongamos que es válido para k. Entonces k+1 9 10 i + 1 = i=0 k 9 10 i + 9 10 k+1 + 1 i+0 = 10 k+1 + 9 10 k+1 = 10 k+2 Ahora podemos demostrar el siguiente resultado que dice que los números naturales son lo que usamos en la vida diaria para contar. Teorema 2. El conjunto N {0} es igual al conjunto de todos los números reales de la forma k c i 10 i i=0 tales que k N {0} y c i D para todo 0 i k. Demostración. Es claro que tenemos que demostrar que si { k } N = c i 10 i k N {0} y c i D 0 i k i=0

184 CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES. entonces N = N {0}. Primero notamos que, por 1.2 Teorema 7, usando inducción, se tiene que N N {0}. Por lo tanto, para terminar la demostración sólo tenemos que demostrar que m = N \ {0} N es un conjunto inductivo. Para ello, notamos que 1 = 1 10 0 M y que si m M, entonces m = k c i 10 i i=0 Entonces, si c 0 9, si definimos c i = { c 0 + 1 si i = 0 c i si i 0 es claro que k m + 1 = c i10 i y luego usamos una inducción [cuyos detalles dejamos al lector] notando que, si c i = 9 para i = 0, 1,, j y c j+1 9 i=0 entonces, si definimos 0 si i = 0, 1,, j c i = c j+1 + 1 si i = j + 1 c i si i > j + 1 entonces, se tiene que, como m + 1 = c i10 i y, por lo tanto, m + 1 M. k i=0 Recordemos que, si x R entonces definimos x R, llamado valor absoluto de x, por { x si x 0 x = x si x 0 Las siguientes propiedades se demuestran fácilmente.

1.3. AXIOMAS DE ORDEN 185 Teorema 3. i. x = 0 si y sólo si x = 0. ii. xy = x y. iii. x = x para todo x R. iv. Sea a R tal que a > 0. Entonces x a si y sólo si a x a. Demostración. i, ii y iii se demuestran fácilmente. iv. Primero demostraremos que x a a x a. Para ello supongamos que x a. Entonces tenemos dos posibilidades: x 0 y x 0. Si x 0, como x = x a, tenemos que y, por lo tanto, a x a. a x 0 x = x a Si x 0 entonces, como x = x a, tenemos que y, por lo tanto, a x a. a x 0 a Finalmente demostraremos que a x a x a. Para ello supongamos que a x a. Nuevamente, tenemos que distingir dos casos: x 0 y x 0. Si x 0, entonces x = x a. Si x 0, entonces x = x y, por lo tanto a x = x, lo que implica que x a. El siguiente resultado es una de las propiedades más importantes del valor absoluto. Teorema 4 (Desigualdad Triangular). Sean x, y, z R, entonces x + y x + y. Demostración. Como x x x y y y y, se tiene que ( x + y ) x + y x + y y, por lo tanto, x + y x + y. La siguiente variación de la desigualdad triangular también es muy útil. Corolario. Sean x, y, z R, entonces x y x y. Demostración. Aplicando ii dos veces, tenemos que x = y + (x y) y + x y y y = x + (y x) x + y x

186 CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES. de donde concluimos que x y x y = y x y, por lo tanto, que x y x y. Recordemos que si a, b R, son tales que a b, definimos los siguientes subconjuntos de R : 1. ]a, b[ = {x a < x < b} 2. [a, b] = {x a x b} 3. [a, b[ = {x a x < b} 4. ]a, b] = {x a x b} 5. ]a, [ = {x a < x} 6. ], b[ = {x x < b} 7. [a, [ = {x a x} 8. ], b] = {x x b} 9. ], [ = R donde = + y son dos símbolos [que podríamos reemplazar por cualquier otra cosa]. Diremos que un conjunto es un intervalo ssi es uno de estos conjuntos. Nótese que = [a, a[ es un intervalo. Es conveniente usar una notación que puede parecer muy complicada pero que tiene la virtud de que permite grandes simplificaciones. Si definimos R = R {± } y < a < a R entonces si a, b R, usaremos la notación a, b para un intervalo en que y denotan [ ó [. También diremos que a es el extremo izquierdo y que b es el extremo derecho del intervalo a, b. Nótese que si a =, entonces = ] y que si b =, entonces = [. Usando esta notación, podemos definir sucintamente las siguientes nociones. Sean a, b R tales que a b, entonces diremos que i. El intervalo a, b es acotado inferiormente ssi a R. Nótese que no es acotado inferiormente si y sólo si a = y = ]. ii. El intervalo a, b es acotado superiormente ssi b R. Nótese que no es acotado superiormente si y sólo si b = y = [. iv. El intervalo a, b es abierto por la izquierda ssi = ]. v. El intervalo a, b es abierto por la derecha ssi = [. vi. El intervalo a, b es abierto ssi es abierto por la izquierda y por la derecha. vii. El intervalo a, b es cerrado por la izquierda ssi a = ó ; a R y = [. viii. El intervalo a, b es cerrado por la derecha ssi b = ó ; b R y = ].

1.3. AXIOMAS DE ORDEN 187 ix. El intervalo a, b es cerrado ssi es cerrado por la izquierda y por la derecha. Nótese que, R y son los únicos intervalos que son a la vez abiertos y cerrados. Esto no debería causar problemas ya que ellos no son puertas. La siguiente propiedad de los intervalos es muy importante. Más adelante veremos que caracteriza a los intervalos. Teorema 5. Sean I un intervalo y x, y I tales que x y. Entonces z I para todo z R tal que x z y. Demostración.. Veremos sólo el caso en que I = [a, b[ [intervalo del tipo 2]. La demostración en todos los otros casos es análoga [y se recomienda al lector demostrarla en otros casos]. Si x, y [a, b[ entonces a x < b y a y < b. Por lo tanto, si x z y, se cumple que a x x y < b y concluimos que a z < b, lo cual es equivalente a z [a, b[. Este resultado también puede ser expresado de la siguiente manera. Corolario. Sean I un intervalo y x, y I tales que x y. Entonces [x, y] I. Demostración. Basta notar que x z y si y sólo si z [x, y]. El siguiente resultado será usado a menudo. Teorema 6. Sean x, a, ε R tales que ε > 0. Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes. i. x a < ε. ii. a ε < x < a + ε. iii. x ]a ε, a + ε[. Demostración. Como por el Teorema 3, ii es equivalente a iii, sólo demostraremos que i y ii son equivalentes [es decir que i ii y que ii i. [i ii] Si x a < ε, entonces y, por lo tanto, ε < a x < ε a ε < x < a + ε

188 CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES. [ii i] Si a ε < x < a + ε, entonces ε < a x < ε y, por lo tanto, x a < ε. Ejemplo 5. Sean I 1 = a 1, b 1 y I 2 = a 2, b 2 dos intervalos tales que b 1 < a 2. Entonces I 1 I 2 no es un intervalo. Para i = 1, 2, sean x i I i. Entonces, a pesar de que se comprueba fácilmente que x 1 b 1 < b 1 + a 2 2 < a 2 x 2 b 1 + a 2 2 / I 1 I 2 y, por el Teorema 5, I 1 I 2 no puede ser un intervalo. Sin embargo, se comprueba fácilmente que a, c] ]c, b = a, b y a, c[ [c, b = a, b Ejercicios. 1. Repase el Capítulo I.1 resolviendo losproblemas que no haya hecho. 2. Encuentre todos los x R tales que 1 x + 1 1 x > 0 3. Encuentre y demuestre un criterio para que c k c k 1 c 0 < d l d l 1 d 0. 4. Demuestre el algorítmo usual para la suma de dos números naturales. 5. Sean m, n N tales que m 2 /n 2 < 2. Demuestre que (m + 2n) 2 (m + n) 2 < 4 m2 n 2 6. Si x, y R son tales que (x + y) 2 = x 2 + y 2, demuestre que x = 0 ó y = 0. 7. Si x, y R son tales que x 2 + y 2 > 0, demuestre que 4x 2 + 6xy + 4y 2 > 0 8. Sea f : [a, b] R una función tal que para todo x, y [a, b] tales que x y se cumple que f(x) f(y). Demuestre que im f [f(a), f(b)]. Encuentre un ejemplo en que estos dos

1.4. AXIOMA TOPOLÓGICO. 189 conjuntos no son iguales. 9. Sean I 1, I 2 dos intervalos. Demuestre que I 1 I 2 es un intervalo [posiblemente ]. [Note que tiene que considerar varios casos. Asegúrese de que los ha considerado todos.] 10. Demuestre que un intervalo I es abierto si y sólo si para cada x I existe ε > 0 tal que ]x ε, x + ε[ I. 11. Demuestre que un intervalo I es abierto si y sólo si para cada x / I existe ε > 0 tal que ]x ε, x + ε[ I =. 1.4 Axioma Topológico. Es fácil comprobar que Q satisface los axiomas algebraicos y los axiomas topológicos. Sin embargo, como vimos en I.1.1.6 2 Q. Por lo tanto, los Axiomas Algebraicos y de Orden no permiten demostrar la existencia de 2. Por lo tanto, agregaremos un último axioma que, además solucionar esto, nos permitirá construir una teoría satisfactoria del Cálculo. Antes de introducir este axioma, necesitamos algunas definiciones. Si A R, entonces una sucesión en A [o simplemente una sucesión cuando A = R ] es una función a : N A. Usaremos la notación a = (a n n N) [o simplemente (a n ) cuando no haya peligro de confusión]. Es muy importante notar que si a = (a n n N) y b = (b n n N) son dos sucesiones en A R, entonces a = b a n = b n para todo n N Ejemplo 1. Nótese que para definir una sucesión es necesario definir su primer [ a 1 ], su segundo elemento [ a 2, que puede ser igual a a 1 ], su tercer elemento que es a 3, etc. Por lo tanto, una sucesión (a n n N) es algo muy diferente del conjunto {a n n N}. Ejemplo 2. Veamos algunos ejemplos sencillos de sucesiones. i. Si k R, entonces la función a : N R tal que a(n) = k para todo n N es la sucesión (a n n N) tal que a n = k para todo n N y que también denotamos por (k n N) = (k). También podemos decir que (k) es la sucesión k, k,, k,. Es importante notar que {a n N} = {k}, que es algo muy distinto de (k n N) ii. La función a : N R tal que a(n) = 1/n para todo n N es la sucesión (1/n n N) que también denotamos por (1/n). También podemos decir que (1/n) es la sucesión 1, 1/2, 1/3,, 1/n,. iii. La función a : N R tal que a(n) = ( 1) n para todo n N es la sucesión (( 1) n n N) que también denotamos por (( 1) n ). También podemos decir que (( 1) n ) es la sucesión 1, 1, 1,, ( 1) n,.

190 CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES. Es importante notar que esta sucesión es distinta de la sucesión b tal que b(n) = ( 1) n+1 para todo n N. Nótese que (( 1) n+1 ) es la sucesión 1, 1, 1,, ( 1) n+1,. Sin embargo, {a n n N} = {b n n N} = { 1, 1}, a pesar de que las dos sucesiones son distintas. Ejemplo 3. La fórmula a n = 1/(230 n) no define una sucesión ya que a 230 no está definido. Si a = (a n ) y b = (b n ) son dos sucesiones en A R, podemos construir la siguientes nuevas sucesiones en A. i. La suma de a y b que es la sucesión a + b tal que para todo n N Dicho de otra manera, se tiene que (a + b)(n) = a(n) + b(n) (a n n N) + (b n n N) = (a n + b n n N) o, cuando no hay peligro de confusión (a n ) + (b n ) = (a n + b n ). ii. El producto de a y b que es la sucesión ab tal que para todo n N Dicho de otra manera, se tiene que (ab)(n) = a(n)b(n) (a n n N)(b n n N) = (a n b n n N) o, cuando no hay peligro de confusión (a n )(b n ) = (a n b n ). iii. Si b n 0 para todo n N, el cuociente de a y b es la sucesión a/b tal que para todo n N Dicho de otra manera, se tiene que (a/b)(n) = a(n)/b(n) (a n n N)/(b n n N) = (a n /b n n N) o, cuando no hay peligro de confusión (a n )/(b n ) = (a n /b n ). iv. Si A R y f : A B es una función tal que B R, la sucesión f a que es la sucesión en B tal que c = (c n ) = (f(a n )) tal que para todo n N Dicho de otra manera, se tiene que (f a)(n) = f(a(n)) f (a n n N) = (f(a n ) n N)

1.4. AXIOMA TOPOLÓGICO. 191 o, cuando no hay peligro de confusión f (a n ) = (f(a n )). La siguiente definición es el concepto básico de todo el Cálculo. Sean a una sucesión y a R. Entonces diremos que a converge a a ssi para todo ε R tal que ε > 0 existe N N tal que a a n < ε para todo n N. Además, diremos que una sucesión a es convergente ssi existe a tal que a converge a a. Intuitivamente, esto dice que cuando n es suficientemente grande, la distancia entre a n y a es pequeña. Por lo tanto, este concepto es la formalización de la idea de acercarse a a que usamos en la Parte I. La siguiente formulación de la definición de sucesión convergente ayuda a una mejor comprensión de este concepto. Teorema 1. Sea a una sucesión y a R. Entonces a converge a a si y sólo si para todo ε > 0 existe N N tal que para todo n N. a n ]a ε, a + ε[ Demostración. Basta notar que, por 1.2 Teorema 6, a a n < ε a n ]a ε, a + ε[ A continuación veremos que una sucesión no puede converger a dos números distintos. Teorema 2. Sean a una sucesión y a, a R tales que a converge a a y a a. Entonces a = a. Demostración. Comprobaremos que si suponemos que a a obtenemos una contradicción. En efecto, si a converge a a y a a y entonces existen N, N N tales que Si elegimos cualquier k N, N a a 2 > 0 a a n < ε n N y a a n < ε n N [por ejemplo, k = N + N ], se tiene que a a k < a a y a k a < a a 2 2 y usando la desigualdad triangular, tenemos que a a = (a a k ) + (a k a ) a a k + a a < ε + ε = a a 2 = a a + a a 2

192 CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES. y, por lo tanto, concluimos que a a < a a, lo cual es falso. En vista de este resultado, si a = (a n n N) es una sucesión convergente, diremos que a R es el límite de a y usaremos la notación a = lím a = lím (a n N) = lím (a n ) ssi a = (a n ) converge a a [a veces, para evitar confusiones usaremos la notación lím n (a n ) ]. Ejemplo 4. En casi todos los textos de Cálculo se usa la notación lím n a n para denotar el límite la sucesión (a n ). Sin embargo, preferimos no usarla ya que introduce el símbolo cuyo significado no se explicita y sólo conduce a confusión. Por ejemplo, es común oír a principiantes que afirman que es un número real y que, de alguna manera se tiene que lím n (a n ) = a. Ejemplo 5. El siguiente ejemplo no matemático y algo irreal puede ayudar a una comprensión intuitiva del concepto de límite de una sucesión. Supongamos que queremos medir una cierta distancia y que su valor [que nadie conoce] es a. Para ello efectuamos mediciones todos los años usando instrumentos cada vez más precisos, obteniendo en el año n una medida aproximada a n. Entonces, a pesar de que a n no necesariamente es igual a a, si queremos un valor con un error [que consideramos pequeño] basta usar la medida efectuada en el año n para un n suficientemente grande. Dicho de otra manera, si queremos que a a n sea pequeño, basta tomar n suficientemente grande. Ejemplo 6. A continuación veremos algunos ejemplos de sucesiones convergentes. Sin embargo, no es posible dar ejemplos interesantes ya que, para ello necesitamos el Axioma Topológico [que asegura que ciertas sucesiones son convergentes]. i. Sea a = (a n N) [es decir, a n = a(n) = a para todo n N ]. Entonces [como es de esperar], a es convergente y lím a = a. Para demostrarlo notamos que si ε > 0, entonces podemos elegir N = 1 y se tiene que a a n = a a = 0 < ε para todo n 1 = N. Nótese que podríamos haber elegido cualquier otro N N. ii. Sea a = (a n n N) la sucesión tal que { 0 si n 8 a(n) = a n = a si n > 8

1.4. AXIOMA TOPOLÓGICO. 193 Nótese que esta sucesión no es la misma de i. Demostraremos que lím a = a. Para ello, si ε > 0, elegimos N = 9 y entonces, si n 9 = N, se tiene que a a n = a a = 0 < ε. iii. Sea a = (( 1) n n N) la sucesión tal que a n = ( 1) n para todo n N. Demostraremos que a no es convergente. Para ello, demostraremos que si suponemos que a es convergente, obtenemos una contradicción. En efecto, si a converge a a, como ε = 1 > 0, existe N N tal que a a n < 1 para todo n N. En particular, tenemos que tenemos que a N a N+1 = ( 1) N ( 1) N+1 = ( 1) N + ( 1) N = 2 2 = a N a N+1 = (a N a) + (a a N+1 a a N + a a N+1 < 1 + 1 = 2 es decir, 2 < 2, lo cual es falso. Ejemplo 7. Es intuitivamente claro que lím (1/n n N) = 0 ya que, dado varepsilon > 0, basta elegir N N tal que N > 1/ε y, entonces si n N, 0 1 n = 1 n 1 N < ε Sin embargo, este razonamiento no es válido ya que no se puede demostrar que para todo x R existe N N tal que N > x. En efecto, esta propiedad es equivalente a la llamada Propiedad Arquimediana que dice que no existe K R tal que n < K para todo n N. Existen ejemplos de conjuntos que satisfacen los Axiomas Algebraicos y de Orden y que no satisfacen la Propiedad Arquimediana [estos objetos matemáticos se llaman Cuerpos No Arquimedianos]. La siguiente definición es necesaria para enunciar el Axioma Topológico: Sea a una sucesión. Entonces diremos que C R es una cota superior [cota inferior] de a ssi a n C

194 CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES. [ a n C ] para todo n N. Además, diremos que a es acotada superiormente [acotada inferiormente] ssi existe una cota superior [cota inferior] de a y que es acotada ssi es acotada superiormente e inferiormente. Las siguientes afirmaciones se demuestran fácilmente. Teorema 3. Sea a = (a n ) una sucesión. Entonces i. C R es cota superior de a si y sólo si C es cota inferior de la sucesión a = ( a n ). ii. Si C es cota superior [cota inferior] de a y C C [ C C ] entonces C es cota superior [cota inferior] de a. iii. a es acotada si y sólo si existe C tal que a n C para todo n N. iv. a es acotada si y sólo si existen N N y C R tales que a n C para todo n N. Demostración. Las demostraciones de i, ii y iii son muy sencillas y son dejadas al lector. iv. [ ] Es muy sencilla y es dejada al lector. [ ] Supongamos que a n C para todo n N. Entonces si C = máx { a 1, a 2,, a N 1, C} se tiene que a n C para todo n N. El siguiente resultado muestra la relación que hay entre las sucesiones convergentes y las sucesiones acotadas. Teorema 4. Toda sucesión convergente es acotada. Demostración. Sea a una sucesión convergente y a = lím a. Entonces existe N tal que a a n < 1 para todo n N y, por lo tanto, para todo n N a n = a n a + a a n a + a < 1 + a Por el Teorema 3, concluimos que a es acotada. Nótese que la implicación inversa no es verdadera; es decir, las sucesiones acotadas no necesariamente son convergentes. Por ejemplo, la sucesión (( 1) n ) es acotada y [como vimos en el Ejemplo 5] no es convergente. Más adelante usaremos la siguiente propiedad que se demuestra en forma análoga. Teorema 5. Sea a = (a n ) una sucesión convergente tal que lím a = a 0. Entonces existe N N tal que a n > a /2 para todo n N.

1.4. AXIOMA TOPOLÓGICO. 195 Demostración. Como a /2 > 0, existe N N tal que a a n a /2 para todo n N. Entonces si n N, se tiene que a = a a n + a n a n a + a n < a 2 + a n y, por lo tanto, a n > a 2. Otra propiedad útil es la siguiente. Teorema 6. Sean c R y a = (a n n N) una sucesión convergente tal que a n c [ a n c ] para todo n N. Entonces lím a c [ lím a c ]. Demostración. Sea a = lím a. Si suponemos que a > c, obtendremos una contradicción. En efecto, como a c > 0, existe N N tal que a a n < a c para todo n N. Entonces, como a a n < a c, concluimos que a n > c para todo n N, lo cual es falso. El caso en que a n c se demuestra en forma análoga. Es importante notar que si lím a es una sucesión convergente tal que a n < c para todo n N entonces sólo se puede afirmar que lím a c. Más adelante veremos un ejemplo en que esto no se cumple. El siguiente resultado es exactamente lo que es de esperar. Teorema 7. Sean a y b dos sucesiones convergentes. Entonces i. a + b es convergente y lím (a + b) = lím a + lím b. ii. ab es convergente y lím ab = lím a lím b. iii. Si además b n 0 para todo n y lím b 0, entonces lím a/b = lím a/ lím b. Demostración. Para simplificar la notación, sean a = lím a y b = lím b. i. Sea ε > 0. Entonces, como (a + b) (a n + b n ) = (a a n ) + (b b n ) tenemos que encontrar N N tal que para todo n N a a n + b b n a a n < ε/2 y b b n < ε/2 Para ello notamos que, como ε/2 > 0, existen N 1, N 2 N tales que a a n < ε 2 n N 1 y b a n < ε 2 n N 2

196 CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES. si elegimos N N 1, N 2, tenemos que para todo n N (a + b) (a n + b n ) a a n + b b n < ε 2 + ε 2 ii. Es conveniente ver primero el caso en que b = 0. Sea ε > 0. Entonces, por el Teorema 4, podemos elegir C > 0 tal que a n C para todo n N y, como = ε ab a n b n = a n b n < C b n si elegimos N N tal que b n < ε/c para todo n N, tenemos que para todo n N ab a n b n < C b n < Cε/C = ε Veamos el caso en que b 0. Entonces como [usando C > 0 tal que a n < C para todo n ] ab a n b n = a n b n + (a n b a n b n ) tenemos que encontrar N tal que para todo n N ab a n b + a n b a n b n = a a n b + a n b b n a a n b + C b b n a a n b < ε/2 y C b b n < ε/2 Para ello notamos que, si elegimos N 1, N 2 N tales que a a n < ε 2 b n N 1 y b b n < ε 2C y elegimos N N tal que N N 1, N 2, se tiene que para todo n N ab a n b n a a n b + C b b n < ε 2 b b + C ε 2C = ε 2 + ε 2 = ε n N 2 iii. Primero demostraremos que si b 1 = (1/b n n N), entonces lím b 1 = b 1. Para ello, sea ε > 0. Entonces, como 1 1 b n b = b b n b n b = 1 1 b n b b n b si elegimos N 1, N 2 N [en la elección de N 1 usamos el Teorema 5] tales que 1/ b n < 2/ b N 1 y b n b < b 2 ε/2 n N 2

1.4. AXIOMA TOPOLÓGICO. 197 Entonces si elegimos N N tal que N N 1, N 2, se tiene que para todo n N, 1 1 b n b = 1 1 b n b b n b 2 1 b b = ε b 2 ε 2 Finalmente, para demostrar el caso general, basta notar que a/b = ab 1 y usar el caso especial y ii. Antes de introducir el Axioma Topológico veremos un resultado sumamente útil, que será usado muy a menudo. Teorema 8 (Teorema del Sandwich). Sean a = (a n ) y b = (b n ) dos sucesiones convergentes tales que lím a = lím b = a y c = (c n ) una sucesión tal que a n c n b n para todo n N. Entonces c es convergente y lím c = a. Demostración. Sea ε > 0. Elijamos N 1, N 2 N tales que a a n < ε n N 1 y a b n < ε n N 2 Si elegimos N N es tal que N N 1, N 2 entonces, para todo n N a ε < a n c n b n < a + ε y, por lo tanto, a c n ε. El nombre de este resultado se debe a que si consideramos a n, b n y c n el jamón entonces el jamón sigue al pan. como el pan de un sandwich Ejemplo 8. Espero que a nadie se le ocurra la aberración de demostrar que lím (1/n) = 0 usando el Teorema 7 para concluir que ( ) 1 1 lím = n lím (n) = 1 = 0 Ejemplo 9. Si c R y a = (a n n N) es una sucesión, entonces definimos la sucesión ca = (ca n n N) = (c n N)(a n n N) Por el Teorema 7 se tiene que lím ca = c lím a.

198 CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES. Ejemplo 10. Si a = (a n n N) es una sucesión y a R, entonces definimos la sucesión a a = (a n a n N). Entonces, a es convergente y lím a = a si y sólo si a a es convergente y lím (a a) = 0. Para demostrarlo, basta escribir el significado de cada una de estas afirmaciones. Para enunciar el Axioma Topológico necesitamos una última definición. Diremos que una sucesión a es creciente [decreciente] ssi a n a n+1 [ a n a n+1 ] para todo n N. Nótese que a es creciente [decreciente] si y sólo si a es decreciente [creciente]. Finalmente, podemos enunciar el último axioma de R. Axioma Topológico. AT. Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente. El siguiente resultado es equivalente al Axioma Topológico. Teorema 9. Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es convergente. Demostración. Sea a = (a n n N) una sucesión decreciente y acotada inferiormente. Entonces la sucesión a = ( a n n N) es creciente y acotada superiormente. Por el Axioma Topológico, es convergente y, por el Teorema 7, a es convergente. A continuación veremos algunos resultados importantes que se deducen fácilmente del Axioma Topológico. Teorema 10. No existe K R tal que n K para todo n N. Demostración. Queremos demostrar que la sucesión (n n N) no es acotada superiormente. Si suponemos que es acotada superiormente, como es creciente, por el Axioma Topológico, debería convergente. Veremos que esto nos lleva a una contradicción. En efecto, si lím (n n N) = a, entonces existe N N tal que a n < 1/2 para todo n N y, por lo tanto, 1 = (N + 1 a) + (a N) N + 1 a + a N < 1 2 + 1 2 = 1 es decir, 1 < 1, lo cual es falso. Este resultado también puede ser expresado de la siguiente manera. Corolario (Propiedad Arquimediana). Sean ε > 0 y K R. Entonces existe n N tal que nε > K. Demostración. Supongamos que la afirmación es falsa, es decir, que existe K R tal que nε K para todo n N. Entonces la sucesión (εn) es acotada superiormente y, como también es creciente, ella es convergente, lo cual es falso. Usaremos el Teorema 10 para dar ejemplos interesantes de sucesiones convergentes.

1.4. AXIOMA TOPOLÓGICO. 199 Teorema 11. La sucesión (1/n n N) es convergente y lím (1/n n N) = 0. Demostración. Sea ε > 0. Entonces [por el Teorema 10] existe N N tal que Nε > 1. Entonces, para todo n N tal que n N se tiene que 1 n = 1 n 1 N < ε lo cual significa que lím n (1/n) = 0. El siguiente resultado es será usado en el próximo capítulo. Teorema 12. Sean a una sucesión y a ± { a a n si a n 0 n = 0 si a n 0 las sucesiones tales que { y a + 0 si a n 0 n = a n si a n 0 Entonces lím a = 0 si y sólo si lím a ± = 0. Demostración. [ ] Supongamos que lím a = 0 y sea ε > 0. Elijamos N N tal que a n < ε para todo n N. Entonces, para todo n N [ ] Como a = a + a +, concluimos que a ± n a n < ε lím a = lím a + lím a + = 0 Ejemplo 11. La propiedad arquimedeana dice que, por pequeño que sea ε y, por grande que sea K, es posible obtener un número más grande que K sumando ε un número suficiente de veces. Este es el principio del ahorro: si uno ahorra diariamente una cantidad pequeña, entonces al cabo de un tiempo suficientemente grande se ha ahorrado una cantidad apreciable. Este fenómeno crea problemas en el uso de computadores ya que si se hacen muchos un cálculos con errores pequeños se puede obtener un resultado con un error muy grande. Ejemplo 12. Para todo k N lím En efecto, basta notar que para todo n N, ( ) 1 n k n N = 0 0 1 n k 1 n y usar el Teorema 11 y el Teorema del Sandwich.

200 CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES. Ejemplo 13. Sean a una sucesión convergente y b la sucesión tal que b 1 = 0 y b n = a n 1 n > 1 Entonces b es convergente y lím b = lím a. En forma más resumida este resultado se expresa diciendo que lím (a n 1 n N) = lím (a n n N) Para demostrarlo, sea lím a = a. Entonces, si ε > 0, existe N 1 N tal que para todo n N 1 a a n < ε Por lo tanto, si n N = N 1 + 1, como b n = a n 1, y n 1 > N 1 = N 1, se tiene que a b n = a a n 1 < ε Ejemplo 14. Usaremos el ejercicio anterior para demostrar que, si 0 a < 1, entonces lím (a n n N) = 0 Para ello notamos que (a n n N) es convergente ya que es decreciente y acotada inferiormente. Si c = lím (a n n N), entonces c = lím (a n n N) = lím a(a n 1 n N) = a lím (a n 1 n N) = a lím (a n n N) = ac Entonces, como c = ac y a 0, concluimos que c = 0. Nótese que, si suponemos que a > 1, podríamos hacer el mismo cálculo y concluir algo falso ya que en este caso el límite no existe. Esto es un ejemplo de los errores que se pueden cometer haciendo cálculos a ciegas, sin tener una buena teoría. Como aplicación de la noción de límite de sucesiones, demostraremos que todos los números reales tienen un desarrollo decimal. Es decir, daremos un sentido preciso a afirmaciones tales como 1/2 = 0, 5000 ; 1 = 0, 3333 ; π = 3, 141582653589793 3 y demostraremos que todos los números reales pueden ser expresados de esta manera.

1.4. AXIOMA TOPOLÓGICO. 201 Como la demostración es bastante larga, la separaremos en lemas más manejables. Esto permite que el lector omita o postergue las demostraciones de algunos de estos resultados para obtener así una idea cabal de la demostración. En primer lugar notamos que si (α n n N) es una sucesión en D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} [es decir, que α n D para todo n N ], entonces podemos definir una nueva sucesión a = (a n ) tal que 1 a n = α 1 10 + α 1 2 10 2 + + α 1 n 10 n n = α i 10 i i=1 = 0, α 1 α 2 α n [donde la última igualdad es la definición del símbolo 0, α 1 α 2 α n ]. Por ejemplo, 1/2 = 5 1 10 = 0, 5 y 1 4 = 25 100 = 2 1 10 + 5 1 = 0, 25 102 Nuestra primera meta es demostrar que a es convergente. Para ello demostraremos que es creciente y acotada superiormente. Lema a. La sucesión a = (a n ) es creciente. Demostración. Como n+1 n a n+1 a n = α i 10 i α i 10 i i=1 i=1 = α n+1 10 (n+1) 0 concluimos que a n a n+1 para todo n N. Antes de demostrar que a es acotada superiormente, estableceremos una fórmula muy útil que usaremos en muchas oportunidades. Su demostración es un truco muy sencillo y permite reconstruir la fórmula en caso de olvido. Lema b. Para todo r 1, se cumple que n r i = r 1 r (1 rn ) i=1 Demostración. Si S = r + r 2 + + r n, entonces rs = r 2 + r 3 + + r n+1 = r + r + r 2 + r 3 + + r n + r n+1 = r + S + r n+1

202 CAPÍTULO 1. AXIOMAS PARA LOS NÚMEROS REALES. y, despejando S, obtenemos la fórmula. Ahora podemos demostrar el resultado que queremos. Lema c. La sucesión a es convergente y lím a 1. Demostración. Demostraremos que a n 1 para todo n N. Para ello, notamos que a n = n i=1 α i 1 10 i n 9 1 10 i i=1 n ( 1 = 9 10 i=1 ) i 1 ( ( ) n ) = 9 10 1 1 1 1 10 10 = 1 10 n < 1 [donde usamos el Lema b con r = 1/10 ]. Como a es creciente y acotada superiormente, [por el Axioma Topológico] es convergente y [por el Teorema 6], lím a 1. En vista de este resultado definimos 0, α 1 α 2 = lím (a n n N) = lím (0, α 1 α 2 α n n N) Es importante notar que 0, 999 = lím = lím = 1 ( n ) 9 10 n n N i=1 ( 1 1 ) 10 n n N En forma análoga se puede demostrar que 0, 333 = 1/3 [Ejercicio]. Lema d. x [0, 1] si y sólo si existe una sucesión (α n ) en D tal que x = 0, α 1 α 2. En el Lema c demostramos que 0, α 1 α 2 [0, 1]. Demostraremos la afirma- Demostración. ción inversa.