Matrices y Determinantes para Matemáticas II. 2n BAT * Definición de matriz * Tipos de matrices * Operaciones con matrices * Matriz inversa * Rango de una matriz * Determinante de una matriz * Propiedades * PROBLEMAS RESUELTOS * TEST DE COMPRENSIÓN Prof. Ximo Beneyto IES Sant Blai Alacant Tema: Matrius i Determinants. Pàgina
MATRICES MATRIZ Definición: Llamamos matriz, a una tabla rectangular de m n elementos de un cuerpo (K, +, ), dispuestos en filas y columnas, de la siguiente forma: FILAS 6 6 6 6 6 COLUM AS 9 9 9 9 9 a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a 3 a 32 a 33 a 3n!!!!! a m a m2 a m3 a mn A lo largo del tema tomaremos como cuerpo (K, +, ), el cuerpo de los números reales (ú, +, ), a los números que forman la matriz les llamaremos "entradas" o simplemente "elementos de la matriz", en nuestro caso serán números reales. NOTACIÓN Al conjunto de las matrices de "m" filas y "n" columnas, con elementos reales le llamamos M mxn (ú) o simplemente M mxn. Cuando m=n, decimos que la matriz es CUADRADA, notamos M n. Las matrices vienen representadas habitualmente por letras mayúsculas A, B, C, etc. y cuando hacemos mención a sus elementos, notaremos A = ( a ij ) i =,2,..m ; j =,2,..,n. Donde "i" indica el número de la fila y "j" número de la columna que ocupa el elemento.. Al producto indicado ("x") del número de filas por el número de columnas le llamamos DIME SIO ES o TAMAÑO de la matriz, y al elemento de la misma que ocupa la posición: fila "i" columna "j" le representamos por a ij. 2 &3 5 4 6 Ejemplo: A = 4 2 0 0 0 4 3 Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 2
A es una matriz: 4x3 ( Se lee cuatro por tres ) y alguno de sus elementos son: a =2 a 23 = 6 a 42 = 0 * Los elementos de una matriz de la forma a ii se dice que forman la DIAGO AL PRI CIPAL de la matriz. En el ejemplo anterior, la diagonal principal sería la formada por los números, 2, 4 y 2. * Dos matrices de las mismas dimensiones se llaman EQUIDIME SIO ALES. * Dos matrices EQUIDIME SIO ALES, A y B, son IGUALES si tienen los mismos elementos y dispuestos en la misma posición en ambas matrices. 2 2 Ejemplo : Para que A = y B = sean iguales, a = 4 3 4 3 a * Asociado a toda matriz cuadrada tenemos su DETERMI A TE obtenido mediante reglas y propiedades que veremos más adelante de, notaremos, det(a) ó * A *. TIPOS DE MATRICES * Veamos a continuación algunos de los tipos más usuales de matrices *..-MATRIZ FILA También se le llama VECTOR FILA, y es una matriz x n. Ejemplo : A = 2 3 4 7 x5 B = - 2 3 x3 son MATRICES FILA. * Las siguientes definiciones contienen conceptos que se verán más adelante (suma de matrices, producto, determinante, etc), pero se han puesto aquí para un mejor agrupamiento en la clasificación..-matriz COLUM A También se le llama VECTOR COLUMNA, y es una matriz m x. Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 3
Ejemplo: A = - 3 5 4x ; B = 2 3 4 son matrices columna. 5 5x 3.-MATRIZ ULA Llamamos matriz nula mxn, a una matriz cuyos elementos son todos ceros, la representamos por O mxn. Ejemplo: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Es la matriz nula 3x5 4.- MATRIZ OPUESTA Llamamos matriz opuesta de una matriz A y notamos - A, a la matriz que obtenemos cambiando de signo todos los elementos de A. Si A = ( a ij ) Y - A = ( -a ij ) Ejemplo: Si A = 2 3 &4 &5 &6 su matriz opuesta es & A = - -2-3 4 5 6 Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 4
5.- MATRIZ TRASPUESTA Llamamos matriz traspuesta de una matriz A y notamos A t, a la matriz que obtenemos cambiando filas por columnas en la matriz A. Si A = ( a ij ) Y A t = ( a ji ) 5..- Propiedades de la trasposición de matrices: i) (A t ) t = A ii) ( A + B) t = A t + B t iii) ( A B ) t = B t A t ( Si el producto A B está definido ) iv) (a A) t = a A t, a0ú &2 7-2 9 0 Ejemplo: Si A = 9 2 la matriz traspuesta A t = 7 3 0 3 2 Observa, que al trasponer una matriz, los elementos de la diagonal principal quedan invariables 6.- MATRIZ CUADRADA Llamamos matriz cuadrada, a una matriz que tiene el mismo número de filas que columnas. Al número de filas o columnas de una matriz cuadrada se le llama ORDE de la matriz. 2 7 Ejemplo: A 9 2 4 es una matriz cuadrada de orden 3. A 0 M 3 3 & Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 5
Dentro del conjunto de las matrices cuadradas, vamos a citar alguno de los tipos m á s importantes: 6. MATRIZ SIMÉTRICA Una matriz cuadrada A 0 M n es una matriz simétrica si es igual que su matriz traspuesta, es decir: A 0 M n es SIMÉTRICA ] A t = A 2 5 7 Ejemplo: A 5 3 es una matriz simétrica 7 3 0 6.2 MATRIZ A TISIMÉTRICA Una matriz cuadrada A 0 M n es antisimétrica si es igual que su matriz opuesta, es decir: A 0 M n es ANTISIMÉTRICA ] A t = - A Ejemplo: A 0 2 & &2 0 3 &3 0 es una matriz antisimétrica Recordemos que, al trasponer una matriz, los elementos de la diagonal principal permanecen invariables, así, la diagonal principal de cualquier matriz antisimétrica deberá estar formada por ceros. Propiedad: Toda matriz cuadrada se puede descomponer como suma de una matriz SIMÉTRICA y otra matriz ANTISIMÉTRICA de forma única ( A = ½( A+A t ) + ½( A - A t )) 6.3 MATRIZ TRIA GULAR Una matriz cuadrada A 0 M n es triangular inferior/superior si todos los elementos de la misma situados por encima/debajo de la diagonal principal son Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 6
2 3 0 Ejemplo: A 0 0 0 0 0 es una matriz TRIA GULAR SUPERIOR. 0 0 0 0 6.4 MATRIZ DIAGO AL Una matriz cuadrada A 0 M n es diagonal, si todos sus elementos son nulos excepto, tal vez, los situados en la diagonal principal. 2 0 0 Ejemplo: A 0 0 es una matriz diagonal. 0 0 &2 6.5 MATRIZ U IDAD Llamamos matriz unidad de orden n y notamos I n, a la matriz diagonal, cuya diagonal está formada por unos. 0 0 Ejemplo: A 0 0 es la matriz unidad de orden 3. 0 0 Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 7
6.6 MATRIZ REGULAR Una matriz cuadrada A 0 M n, es regular, si su determinante es distinto de cero. A 0 M n es regular si det(a) 0. [Las matrices regulares tienen gran importancia en el estudio matricial y sus aplicaciones, al ser las únicas que admiten matriz inversa ] 2 3 Ejemplo: A es una matriz regular ( det (A) Y 0 ). 0 0 6.7 MATRIZ SI GULAR Una matriz cuadrada A 0 M n, es singular, si su determinante es cero. A 0 M n es singular si det(a) = 0. Ejemplo: A 2 4 & &2 es una matriz singular ( det (A) 0 ) Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 8
6.8 MATRIZ I VERSA Dada una matriz regular A 0 M n ( det(a) 0 ), llamamos matriz inversa de A y notamos A - a la única matriz de M n, que cumple: A A - = A - A = I n Propiedades de la inversión de matrices: i) ( A - ) - = A ii) ( A B ) - = B - A - iii) ( I ) - = I iv) ( A t ) - = ( A - ) -t v) ( 8A) - = 8A - 2 3 & &2 Ejemplo: Sea A su MATRIZ I VERSA es: A & & 2 0 0 0 0 6.9 MATRIZ ORTOGO AL Una matriz cuadrada A, es ortogonal, si su inversa coincide con su traspuesta A - = A t 2 6 3 0 Ejemplo: A & 6 3 2 es una MATRIZ ORTOGO AL A & A t. & & 6 3 2 Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 9
6.0 MATRICES SEMEJA TES Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden, A,B, decimos que A y B son SEMEJA TES, si existe una matriz regular P / B = P - A P. Propiedades: Si A y B son matrices SEMEJA TES Y i) Tienen el mismo determinante. ii) Tienen el mismo rango. iii) Tienen el mismo polinomio característico. Ejemplo: 2 0 0 2 3 Sea B 0 3 0 6 A 0 4 es SEMEJA TE a B 0 0 0 0 3 &3 &7 pues existe la matriz P 0 4 0 0 2 Tal que B P & A P 6. MATRIZ ADJU TA Dada una matriz A, llamamos matriz adjunta de A, y notamos adj(a), a la matriz que obtenemos reemplazando cada elemento de la matriz A, por el determinante que resulta de suprimir la fila y la columna en la que se encuentra el elemento a ij, multiplicado por (-) i+j. Notamos A ij al adjunto de a ij en la matriz A. Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 0
6 3 &3 &3 Ejemplo: Sea A 0 3 Y adj(a) 3 3 &7 & 0 5 &3 ADJU TOS: A (&) % 3 0 &3 ; A 2 (&) %2 0 3 & 0 &3 ; A 3 (&)%3 0 & A 2 (&) 2% 6 3 0 3 ; A 22 (&) 2%2 3 & 0 3 ; A 23 (&) 2%3 6 & &7 ; A 3 (&) 3% 6 3 3 5 ; A 32 (&) 3%2 3 0 3 &3 ; A 33 (&) 3%3 6 0 En particular, empleando esta matriz, podemos definir la matriz inversa A - = adj(a)/det(a), como veremos más adelante. OPERACIONES CON MATRICES A lo largo de este punto, vamos a DEFINIR las operaciones en el conjunto de las matrices de "m" filas y "n" columnas, M mxn, con elementos en el cuerpo (ú, +, ).. SUMA DE MATRICES Sean A = ( a ij ) 0 M mxn y B = ( b ij ) 0 M mxn, definimos la SUMA DE MATRICES A + B, a la matriz A+B = ( a ij + b ij ) 0 M mxn. Es decir, la suma de dos matrices se efectúa sumando los elementos de ambas matrices situados en la misma posición. Obviamente, solo podemos sumar entre sí matrices EQUIDIMENSIONALES. Tema: Matrius i Determinants. Pàgina
2 3 4 0 & 3 4 4 0 Ejemplo : 2 0 % 0 0 0 2 0 2 2 3 3 2 5 PROPIEDADES:. ASOCIATIVA ( A + B ) + C = A + ( B + C ). œ A, B, C 0 M mxn 2. CO MUTATIVA A + B = B + A œ A, B 0 M mxn 3. ELEME TO EUTRO œ A 0 M mxn O 0 M mxn / A + O = O + A = A. ( Pues claro!! la matriz nula de M mxn.) 4. ELEME TO SIMÉTRICO œ A 0 M mxn (-A) 0 M mxn / A + (-A) = (-A) + A = O ( Sí, sí, la matriz opuesta ) Cumpliendo estas cuatro propiedades de la ley de composición interna (Suma de matrices), el conjunto de las matrices de m filas y n columnas tiene estructura de GRUPO ABELIA O. ( M mxn, + ) GRUPO ABELIA O ( o Grupo Conmutativo ) PRODUCTO DE U UMERO REAL POR U A MATRIZ Sea A = ( a ij ) 0 M mxn y a 0 ú Definimos el PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ a A a A = ( a a ij ) 0 M mxn Es decir, el producto de un número real por una matriz se efectúa multiplicando por dicho número todos los elementos de la matriz. ( ota: Observa que hemos definido a A y no A a, con lo cual, un producto tipo A ( a v ) debemos expresarlo como a (A v) ) Ejemplo: 4 2 3 4 2 0 8 2 6 4 8 0 PROPIEDADES. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO POR U ÚMERO RESPECTO DE LA SUMA DE MATRICES a ( A + B ) = a A + a B œ A, B 0 M mxn y œ a 0 ú Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 2
2. DISTRIBUTIVA DE LA SUMA E ú RESPECTO DEL PRODUCTO DE U UMERO POR U A MATRIZ ( a + b ) A = a A + b A œ A 0 M mxn y œ a, b 0 ú 3. ASOCIATIVIDAD MIXTA.. a ( b A ) = ( a b ) A œ A 0 M mxn y œ a, b 0 ú 4. EUTRALIDAD.. A = A œ A 0 M mxn y 0 ú Por consiguiente, si consideramos las propiedades de la ley de composición interna (SUMA DE MATRICES) junto con las de la ley de composición externa ( PRODUCTO DE U ÚMERO REAL POR U A MATRIZ ) obtenemos que el conjunto de las matrices de m filas y n columnas tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL REAL. ( M mxn (ú), +, ) tiene estructura de Espacio Vectorial Real 3. PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices cualesquiera A, B no siempre se pueden multiplicar, debemos imponer unas condiciones dimensionales para que el producto de las mismas sea factible. Dos matrices: A 0 M mxn, A = ( a ij ) y B 0 M nxp, B = ( b jk ), se pueden multiplicar en este orden,si la matriz A tiene el mismo número de columnas que filas tiene B En este caso definimos el producto de matrices: A B (En este orden ), de la siguiente forma: À Condición para poder multiplicar A B nº de COLUM AS de A nº de FILAS de B a a 2 a 3... a n a 2 a 22 a 23... a 2n...................... a m a m2 a m3... a mn b b 2 b 3... b p b 2 b 22 b 23... b 2p...................... b n b n2 b n3... b np n a j b j j n a 2j b j j n j n j n a j b j2... j n a 2j b j2... j.................. n a mj b j j n j n a mj b j2... j a j b jp a 2j b jp a mj b jp Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 3
Ejemplo: Sean las matrices : A 2 4 5 A B 2 4 5 2 3 4 7 3 9 Observamos que son matrices distintas. B 2 3 B A 2 3 2 4 5 6 9 3 7 Por tanto A B B A Observa, que en el ejemplo anterior, el producto B A no se podría hallar. El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir, aunque se puedan multiplicar A B y B A, el resultado no siempre es el mismo. En particular, cuando tomamos el producto de matrices sobre M n, es decir, matrices CUADRADAS, todas las matrices se pueden multiplicar entre sí, cumpliéndose las propiedades: I. PROPIEDAD ASOCIATIVA (A B) C = A (B C) œ A, B, C 0 M n II. ELEME TO EUTRO œ A 0 M n, I 0 M n / A I = I A = A Y junto con la suma de matrices definida anteriormente: I. DISTRIBUTIVA DE LA SUMA RESPECTO DEL PRODUCTO (A+B) C = A C+B C œ A, B, C 0 M n II. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA A (B + C) = A B + A C œ A, B, C 0 M n Que junto con las propiedades que ya conocemos de la SUMA DE MATRICES: ( M n, +, ) tiene estructura de A ILLO U ITARIO y no CO MUTATIVO. [ No debes confundir el producto ( ) de Matrices con el producto por un número real ( ), a pesar de que empleemos el mismo símbolo]. POTE CIA n.sima DE U A MATRIZ Como aplicación del producto de matrices, dada una matriz cuadrada, A, podemos hallar potencias sucesivas de la misma multiplicando por sí misma esta matriz tantas veces como Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 4
indique el exponente, así: A 2 = A A, A 3 = A A A = A 2 A, etc. En ocasiones, podemos encontrar una relación entre A n y sus elementos mediante una fórmula, lo cual nos da lugar a la potencia n.sima de una matriz. Ejemplo: Dada la matriz A 0 0 0 0 Hallar A n 0 0 2 0 2 A 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 2 0 2 0 4 0 4 2 2 0 2 2 A 3 A 2 A 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 4 0 4 0 2 0 2 2 0 2 2 4 0 4 0 8 0 8 2 3 0 2 3 A 4 A 3 A 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 4 0 8 0 8 2 3 0 2 3 A n 2 n& 0 2 n& 0 0 2 n& 0 2 n& Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 5
MATRIZ I VERSA Dada una matriz regular ( det(a) 0 ), A 0 M n, decimos que A es una matriz INVERTIBLE ( o que tiene matriz inversa), si existe una matriz A - 0 M n, : / A A - = A - A = I n. Para obtener la matriz A -, hay varios procedimientos ( Método de Gauss, Lange- Gale, etc. ), en este apartado, vamos a obtener la matriz inversa tal como definimos en la introducción. A & adj (A t ) det(a) Inversa = Adjunta de la traspuesta dividida por el determinante. En la práctica consideraremos invertibles aquellas matrices cuyo determinante sea distinto de cero (Matrices regulares). Podemos establecer, pues, el proceso de cálculo de la matriz inversa Proceso de Inversa.& Trasponer. ( Hallar A t ) 2.& Adjunta. (Hallar la adjunta de la traspuesta Ojo con los signos! ) 3.& Dividir por el Determinante. Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 6
Ejemplo: Hallar la matriz inversa de : Traspuesta Adjunta A & & &4 &3 &4 &4 4 2 & 0 3 %(&) &(2) %(5) &(3) %(&2) &(&) %() &(2) %(&9) &2 &4 &2 &4 2 &4 5 &4 &4 &9 &4 4 3 4 Á 2 2 & 4 & 2 & 2 3 4 & 0 & 0 4 4 & 0 & 5 4 & 4 9 4 & & 2 0 3 3 2 0 ; det(a) &4 & 2 & 3 4 3 4 2 & Comprobamos el resultado : 4 3 4 2 2 & 4 & 2 & 5 4 & 4 9 4 2 3 4 & 0 0 0 0 0 0 0 Resolviendo una ecuación matricial con la matriz inversa Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 7
x %2y &z Ejemplo: Resolver matricialmente : 2x %y %3z 4 2 & x x %y %z 6 La expresión matricial del sistema, será : 2 3 y 4 y como observamos que la matriz es REGULAR : z x 6 2 & & y 2 3 4 I VERSA: z 6 66Traspuesta 2 2 & 3 6 Adjunta &2 &3 7 2 &5 3 6 adj det 6 A & 2 3 &7 & &2 5 & & 3 x 2 3 &7 2 x2 y & &2 5 4 6 / 0 y z & & 3 6 3 z3 Ejemplo : Dadas las matrices A, B, C 0 M n,todas ellas regulares, hallar la matriz X 0 M n / A X B C - = B A Paso a paso : A X B C - = B A ( Multiplicamos por A - (izquierda) ) A - A X B C - = A - B A ( Ordenamos ) X B C - = A - B A ( Multiplicamos por C (derecha) ) X B C - C = A - B A C ( Ordenamos ) X B = A - B A C ( Multiplicamos por B - (derecha) ) X B B - = A - B A C B - ( Ordenamos ) X = A - B A C B - SOLUCIÓN : X = A - B A C B - A primera vista, da la impresión de poderse simplificar aún más el resultado, pero, al no poder colocar las matrices en el orden deseado para multiplicarlas, debido a la no conmutatividad del producto de matrices, hemos de dejarlo así. Fundamental: El lado por el cual multiplicamos la matriz correspondiente en la ecuación Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 8
RA GO DE U A MATRIZ Llamamos rango de una matriz dada A 0 M mxn, al número de vectores fila/columna linealmente independientes que forman parte de la matriz. Notaremos el RANGO de una matriz A: Rang(A), Rg(A), R(A). En lo sucesivo emplearemos Rang(A). Propiedades: i. El RA GO de una matriz no varía si a una fila/columna le sumamos otra u otras filas/columnas multiplicadas por constantes. ii. El RA GO de una matriz no varía si cambiamos sus filas por sus columnas ( Rango (A) = Rango (A t ) ) iii. El RA GO de una matriz es el ORDE DEL MAYOR ME OR no nulo de la matriz A. iv. El RA GO de una matriz no varía si suprimimos una fila/columna de ceros. v. El RA GO de una matriz no varía si suprimimos una fila/columna que sea combinación lineal de otras filas/columnas. Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 9
Ejemplos: De una forma intuitiva podemos establecer el Rango de estas matrices : & 0 A & 0 & 0 & 0 & 0 6 Rang(A) Hay una única fila Linealmente Independiente B C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 Rang(B) 3 ( Las tres filas son Independientes. ) 6 Rang(C) 0 MÉTODOS DE CALCULO DEL RA GO DE U A MATRIZ ) Método del PIVOTE 2) Método de MENORES ORLADOS ) MÉTODO DEL PIVOTE Utilizando las propiedades mencionadas más arriba, el método del pivote consiste en ir efectuando transformaciones elementales en las filas de la matriz mediante combinaciones lineales entre ellas para conseguir una matriz más sencilla del mismo rango. De forma práctica, haremos ceros los elementos de la matriz situados por debajo de la diagonal principal, pivotando sobre los elementos a, a 22, así sucesivamente. El Rango de la matriz será el número de filas con algún elemento no nulo una vez finalizado e interpretado el proceso. No hay prácticamente limitaciones al establecimiento de combinaciones lineales entre filas/columnas, salvo multiplicar o dividir por cero, aunque tomaremos el mismo consejo del cálculo de determinantes : Efectuar una transformación muy ordenada de la matriz por filas y empezando por la primera. Eso sí, tantas veces como haga falta, podemos permutar la posición de las filas, sin alterar el valor del RANGO de la matriz. Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 20
Observa con detalle los siguientes ejemplos Ejemplo: Hallar el rango de la matriz : 2 & 0 2 2 & 3 3 3 2 2 4 4 Pivotando sobre el elemento a 2, Convertimos en ceros los restantes elementos situados por debajo de a en la primera columna 2 & 0 2 2 & 3 3 3 2 2 4 4 2 & 0 0 &5 &2 &3 &2F 2 % F 0 6 3 2F 3 % F 0 5 2 3 %2F 4 & 3F 0 3 4 3 F 5 & F Pivotando sobre el elemento a 22 &5 Convertimos en ceros los restantes elementos situados por debajo de a 22 en la segunda columna 2 & 0 0 &5 &2 &3 0 6 3 0 5 2 3 0 3 4 3 2 & 0 0 &5 &2 &3 0 0 28 2 5F 3 % F 2 0 0 0 0 F 4 % F 2 0 0 4 6 5F 5 % 3F 2 Pivotando sobre el elemento a 33 28 Convertimos en ceros los restantes elementos situados por debajo de a 33 en la tercera columna 2 & 0 2 & 0 7 0 &5 &2 &3 0 &5 &2 &3 7 0 0 28 2 0 0 28 2 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 6 0 0 0 0 &2F 5 % F 3 Por lo tanto, el rango de la matriz es 3. Ya que quedan tres filas con algún elemento 0. Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 2
Ejemplo: Hallar el rango de la matriz A, según valores de a 0 ú 2 & 0 F 2 & 0 F 2 & 3 F 3 3 &2 &3 a A & 3 3 &2 &3 a F 2 & 0 2F 2 %F 0 6 3 2F 3 &3F 0 & &6 2a&3 F 2 & 0 F 2 0 6 3 F 2 %F 3 0 0 0 2a Si a 0 6 2a 0, la última fila es toda ceros, por tanto el rango es 2. Si 2a 0 6 a 0, hay tres filas con algún elemento no nulo, por lo tanto el rango es 3. Si a 0 6 Rang(A) 2 Si a 0 6 Rang(A) 3 2) MÉTODO DE ME ORES ORLADOS Se apoya este método en ir buscando progresivamente el número de filas linealmente independientes que forman parte de la matriz de una forma ordenada y a la vez eficaz. Recordemos que un ME OR de una matriz dada A 0 M n, es un determinante que se construye a partir de los elementos de la matriz, suprimiendo filas y columnas en ésta. El ORDE de un ME OR, es el número de filas/columnas que tiene. Si un MENOR es distinto de cero, entonces las filas que forman parte del mismo son Linealmente Independientes. Dado un ME OR de orden "n", entenderemos por ME OR ORLADO de dicho MENOR, a un MENOR de orden "n+" obtenido a partir de éste añadiendo elementos de una fila y una columna de la matriz. Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 22
Ejemplo: Sea la matriz A 2 3 4 & 2 0 0 2 3x4 2 3 2 ; / 3 & 0 2 2 4 no es un ME OR. 0 2 son ME ORES DE ORDE 2. 2 3 & 2 ; 3 4 & 2 0 son ME ORES DE ORDE 3. 0 2 2 2 3 & 2 3 4 2 ; 2 0 son ME ORES ORLADOS del menor 0 2 Anota que en este ejemplo, no pueden haber menores de orden 4. 2 3 2 Puesto que hemos definido el rango de A como el ORDE del mayor ME OR O ULO de la matriz A, vamos a organizar la búsqueda de uno MENOR que marque el RANGO de la matriz. Claro!!!, sin indicar un camino de búsqueda, localizar el mayor MENOR distinto de cero, nos puede llevar a un interminable "paseo" entre los menores de la matriz, hasta conseguir el mayor de ellos no nulo. Pensemos en una matriz 3x6, por ejemplo, en la que habría que analizar 20 MENORES de orden 3. ME ORES ORLADOS (M.M.O.). Si la MATRIZ es CUADRADA Hallar su DETERMINANTE y :. Si el determinante es distinto de cero Y El orden de la matriz es el RANGO de la misma..2 Si el determinante vale cero Y Empezar el proceso de orlación. 2. Si la matriz no es cuadrada ( Proceso de ORLACIÓ ) 2. Seleccionar un MENOR de ORDEN 2, no nulo ( Si no es posible, el rango será ó 0 ) 2.2 Efectuar mediante ORLACIÓN, todos los MENORES de orden 3. 2.2. Si todos son NULOS Y El RANGO será 2 2.2.2 Si alguno es NO NULO Y El RANGO será mayor o igual que tres. 2.3 Efectuar mediante ORLACIÓN del MENOR de orden 3,no nulo, todos los MENORES de orden 4. Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 23
2.3. Si todos son nulos Y El RANGO es 3 2.3.2 Si alguno es NO NULO Y El Rango es mayor o igual que 4 Y así sucesivamente. Para matrices de grandes dimensiones ésta técnica puede resultar un poco engorrosa y tal vez sea conveniente emplear el método del PIVOTE, aunque en cualquier discusión del rango de una matriz en la que intervengan parámetros, es, con mucho, más rigurosa y eficaz, al hacer depender el RANGO de la matriz de los MENORES ORLADOS exclusivamente. Ejemplo: Hallar el rango de la matriz A 3 & & 2 2 0 3 2 por ME ORES ORLADOS Como 3 & & es 0 YRang(A) $ 2 3 & & 2 0 ORLEMOS este ME OR 2 0 3 3 & & 0 2 0 2 Puesto que los dos únicos ME ORES ORLADOS son nulos Y Rang(A) 2. * Si alguno de ellos hubiera sido 0 Y Rang(A) 3 * Ejemplo: Hallar según valores de a 0 ú el rango de la matriz a A a a Como la matriz es cuadrada, tal como sugerimos, hallamos su determinante: det(a) = a 3-3a + 2. Veamos qué valores lo anulan. a 3-3a + 2 = 0, aplicando la regla de Ruffini nos da : a = ( raíz doble ) a = -2 ( raíz simple ) Obviamente si a, -2 Y det(a) 0 y, por tanto Rang(A) = 3 Si a =. Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 24
Sustituyendo en la matriz nos queda: A Y Rang(A) Hay una única fila Linealmente Independiente Si a = -2. Sustituyendo en la matriz: A &2 &2 &2 Y Como &2 &2 es 0 Y Rang(A) 2 [ No habiendo necesidad de calcular el determinante de orden? ] Y ordenando la solución, tenemos: Si a = Y Rang(A) = Si a = -2 Y Rang(A) = 2 Si a, -2 Y Rang(A) = 3 CO EXIÓ MATRICES/ESPACIO VECTORIAL. Análisis de la dependencia lineal de un Sistema de Vectores. Sea ( R n (R), +, ), y S { Pv, Pv 2,...,Pv p } un Sistema de vectores, sean Pv, Pv 2,...,Pv p las matrices columna formadas con las componentes de cada vector. Si llamamos A = (v v 2... v p ) a la matriz cuyas columnas/filas son las matrices anteriores, el rango de la matriz nos indica el número máximo de vectores del Sistema linealmente independientes, y el MENOR que determina el rango, nos indica cuales de ellos, por ejemplo, son. Puesto que según tomemos un MENOR u otro tendremos unos vectores u otros. Obviamente, la matriz con las componentes se puede considerar por filas o columnas, pues el rango es el mismo. Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 25
Operemos por filas : Ejemplo: Estudiar la dependencia lineal de los vectores (,2,,3), (,2,,), (0,0,0,2) 2 3 sea la matriz A 2. El orden no importa. 0 0 0 2 Vamos a obtener su rango por ME ORES ORLADOS 3 0 2 3 2 0 ORLEMOS este ME OR 0 0 2 3 0 0 0 2 Por lo tanto Y Rang(A) 2 6 Los vectores son Linealmente Dependientes Hay dos vectores LI EALME TE I DEPE DIE TES. Por ejemplo : (,2,,3), (,2,,). Ximo. Tema: Matrius i Determinants. Pàgina 26