Ecuaciones Diofánticas

1. Introducción Una ecuación diofántica es una ecuación con coeficientes enteros y de la que tenemos que calcular las soluciones enteras. En este tema aprenderemos a deducir cuando tienen solución y a calcular sus soluciones cuando las tengan, las ecuaciones diofánticas más sencillas, las de la forma ax+b y= c siendo x e y las incógnitas y a, b y c números enteros. Fijémonos por ejemplo en la ecuación 4x+ 6y= 1. Si x e y tienen que ser números enteros, sean cuales sean los valores elegidos, el primer miembro siempre será un número par, puesto que 4x+ 6y = 2(2x+ 3y) por lo tanto en ningún caso podríamos obtener el 1. Éste es un ejemplo de ecuaciones diofánticas que no tienen solución. El ejemplo se puede generalizar si podemos sacar un factor común de a y b que no divida a c. Para analizar este caso empecemos viendo lo que es el máximo común divisor. 2. Máximo común divisor Dados dos números enteroa a y b, diremos que a divide a b si existe otro número entero c tal que ac=b. Esta relación se suele representar como a b y también se dice que b es un múltiplo de a o que a es un divisor de b. Si a es un divisor de b entonces a también es un divisor de b puesto que si ac= b entonces( a)( c)= b. Entonces cada divisor de un número tiene siempre a su correspondiente divisor de signo contrario. Podemos pues considerar únicamente divisores positivos teniendo presente que los divisores negativos cumplen las mismas propiedades.

Dados dos números a y b, podemos considerar el conjunto de divisores comunes entre los dos. De entre todos ellos habrá uno que es el más grande de todos, al divisor común más grande de todos lo llamaremos máximo común divisor y lo denotaremos mcd(a, b). Veamos un ejemplo: Consideremos a=12 y b=16. Podemos calcular los divisores positivos de 12 que son {1,2,3,4,6,12} y los divisores positivos de 16 que son {1,2,4,8,16}, los comunes a ambos números son{1,2,4} y el más grande de todos ellos es 4 que será por tanto el máximo común divisor. Este método de cálculo es muy poco efectivo si lo aplicamos a números grandes. Para números grandes, se utiliza un algoritmo muy sencillo que está basado en dos propiedades: (1) Dados dos números a y b, si a b entonces todo divisor de a es un divisor de b y en particular, como a es el mayor divisor de a, deducimos que mcd(a, b) = a. (2) Dados dos números a y b, sea r el resto de dividir a entre b, entonces a= bq+ r y los divisores comunes de a y b son los mismos que los de b y r, por lo tanto mcd(a, b)=mcd(b, r). (Si d divide a a y b entonces a=a d y b= b d y por tanto r= a bq= d(a b q). Recíprocamente si b = b d y r = r d entonces a=d(b q+ r )). Estas dos propiedades hacen que podamos calcular el máximo común divisor reduciendo paulatinamente el tamaño de los números calculando el resto de la división hasta que lleguemos a que el segundo número divida

exactamente al primero, en cuyo caso tendremos ya el máximo común divisor. En forma de tabla, el algoritmo es el siguiente: Partimos de los valores de los cuales queremos calcular el máximo común divisor, por ejemplo 360 y 228, llamándolos por ejemplo a y b. En cada paso calculamos el resto de dividir a entre b y lo llamamos r. Como sabemos que el máximo común divisor de a y b es el mismo que el de b y r, cambiamos a y b por b y r. Esto lo hacemos mientras la división no sea exacta, en cuyo caso el valor que haya quedado en b es el máximo común divisor. Si hacemos un paso más, podemos continuar el proceso hasta que no se pueda hacer la división porque tengamos que dividir por 0, en ese caso el resultado estará en a. En este ejemplo llegamos al máximo común divisor 12. a b r q 360 228 132 1 228 132 96 1 132 96 36 1 96 36 24 2 36 24 12 1 24 12 0 2 12 0 Si alguno (o los dos) valores son negativos, podemos tomarlos positivos para el cálculo de máximo común divisor ya que los divisores de a son los mismos que los de a y mcd(a, b)= mcd( a, b).

Si b es más grande que a, este algoritmo sigue funcionando sin ningún problema, simplemente la primera división nos proporcina un cociente 0. 3. Máximo común divisor extendido Una de las propiedades más interesantes que tiene el máximo común divisor d de dos números a y b, es que podemos encontrar valores u y v enteros tal que d= au+ bv. El cálculo efectivo de dichos valores es necesario entre otras cosas para la resolución de ecuaciones diofánticas. Vamos a ver un procedimiento para calcular dichos coeficientes que requiere únicamente el cálculo de dos columnas adicionales en la tabla del máximo común divisor que hemos visto antes. Estas dos columnas las llamaremos v y t y tendrán inicialmente los valores 0 y 1 respectivamente. En cada paso, el valor de v tomará el valor de t el paso anterior y el valor de t será v tq para los valores(v, t) del paso anterior. Por ejemplo, en la segunda fila de esta tabla t toma el valor 0 1 1= 1 y en la tercera 1 ( 1) 1=2. a b r v t q 360 228 132 0 1 1 228 132 96 1 1 1 132 96 36 1 2 1 96 36 24 2 3 2 36 24 12 3 8 1 24 12 0 8 11 2 12 0 11 Al llegar al final obtenemos el máximo común divisor 12 y el valor que queda en la columna v el el coeficiente que

buscamos de b. Es decir 12=u 360+( 11) 228 El cálculo del segundo coeficiente se hace despejando de la ecuación anterior u 360 = 12+11 228 = 12+2508 = 2520 por lo que u = 2520/360 = 7. El resultado final es pues 12=7 360+( 11) 228 Si alguno de los valores a o b (lo los dos) son negativos, podemos hacer el cálculo como si fueran positivos y ajustar el signo al final. Por ejemplo, supongamos que tenemos que hacer el máximo común divisor extendido de 360 y 228, entonces hacemos el de 360 y 228 y obtenemos 12=7 360+( 11) 228 Entonces ponemos un signo negativo en 360 y para compensarlo cambiamos el signo de su coeficiente 7 que pasa a 7, con lo que tenemos 12=( 7) ( 360)+( 11) 228 4. Fórmula General para la Ecuación Diofántica Vamos a utilizar el algoritmo del máximo común divisor extendido para resolver una ecuación diofántica del tipo ax+b y= m. Lo primero que tenemos que tener presente es que si d es un divisor común de a y b, entonces se puede sacar factor común del primer miembro, con lo que podemos estar seguros de que si m no es un múltiplo exacto de d, la ecuación no tiene solución. Al tener que suceder ésto para todos los divisores comunes de a y b, tiene que suceder en particular para el máximo común divisor de a y b. Esto

será lo primero que comprobaremos, si el máximo común divisor de a y b no divide a m podemos estar seguros de que la ecuación no tiene solución. Si esa división es exacta, entonces podemos garantizar que la ecuación tiene infinitas soluciones y para calcularlas lo que hacemos es aplicar el algoritmo del máximo común divisor extendido de a y b, poniendo d = au+ bv para ciertos valores u y v. Con esa notación, las soluciones de la ecuación son: x= u (m/d)+ t (b/d) y= v (m/d) t (a/d) Donde t puede tomar cualquier valor de (las soluciones son infinitas). Comprobar que estos valores son solución de la ecuación es sencillo ax+b y = aum/d+t ab/m+bvm/d t ab/m =(au+bv)m/d La demostración de que son las únicas soluciones posibles no es tan trivial, pero no es difícil. Vamos a ver cómo se aplica con un ejemplo: Supongamos que tenemos que resolver la ecuación 24 = 360x+ 228y. Calculamos el máximo común divisor extendido y obtenemos que 12=( 7) ( 360)+( 11) 228, entonces tenemos que m=24, d= 12, a= 360, u= 7, v = 11 y b = 228. Poniendo las fórmulas tenemos que x= u (m/d)+ t (b/d)= 7 2+ t 19= 14+19t y=v (m/d) t (a/d)= 11 2 t ( 30)= 22+30t