Euclides Extendido y Teorema Chino del Resto

Transcripción

1 Euclides Extendido y Teorema Chino del Resto Taller de Álgebra I Segundo cuatrimestre de 2013

2 Lema de Bézout Recordemos este lema: Lema (Étienne Bézout) Sean a, b Z, alguno distinto de 0. Entonces existen n, m Z tal que an + bm = mcd(a, b).

3 Lema de Bézout Recordemos este lema: Lema (Étienne Bézout) Sean a, b Z, alguno distinto de 0. Entonces existen n, m Z tal que an + bm = mcd(a, b). Cómo encontraríamos los coeficientes n y m?

4 Euclides Ya sabemos cómo encontrar mcd(a, b) usando el algoritmo de Euclides. Para recordar, su implementación en Haskell era: gcd :: Integer > Integer > Integer gcd 0 b = b gcd a b = gcd (b `mod` a) a

5 Euclides Ya sabemos cómo encontrar mcd(a, b) usando el algoritmo de Euclides. Para recordar, su implementación en Haskell era: gcd :: Integer > Integer > Integer gcd 0 b = b gcd a b = gcd (b `mod` a) a Cómo podemos usar este algoritmo para obtener los coeficientes n y m del lema de Bézout?

6 Euclides Extendido Idea Vamos a modificar el algoritmo de Euclides para que, además del mcd, nos devuelva el n y m del lema de Bézout.

7 Euclides Extendido Idea Vamos a modificar el algoritmo de Euclides para que, además del mcd, nos devuelva el n y m del lema de Bézout. Entonces vamos a tener una función con este tipo: euclides :: Integer > Integer > (Integer, Integer, Integer)

8 Euclides Extendido Idea Vamos a modificar el algoritmo de Euclides para que, además del mcd, nos devuelva el n y m del lema de Bézout. Entonces vamos a tener una función con este tipo: euclides :: Integer > Integer > (Integer, Integer, Integer) Semántica euclides a b = (d, n, m) cuándo an + bm = d, y d = mcd(a, b).

9 Euclides Extendido En el caso base, qué deberíamos devolver?

10 Euclides Extendido En el caso base, qué deberíamos devolver? euclides 0 b = (b, 0, 1)

11 Euclides Extendido En el caso base, qué deberíamos devolver? euclides 0 b = (b, 0, 1) Y en el caso recursivo? euclides a b =...

12 Euclides Extendido Supongamos que ya tenemos el valor de euclides (b `mod` a) a, y lo llamamos (d, n, m). Cómo nos ayuda esto?

13 Euclides Extendido Supongamos que ya tenemos el valor de euclides (b `mod` a) a, y lo llamamos (d, n, m). Cómo nos ayuda esto? Escribamos b = q a + r, con 0 r < a.

14 Euclides Extendido Supongamos que ya tenemos el valor de euclides (b `mod` a) a, y lo llamamos (d, n, m). Cómo nos ayuda esto? Escribamos b = q a + r, con 0 r < a. Entonces, (d, n, m) = euclides r a, pues r = b `mod` a.

15 Euclides Extendido Supongamos que ya tenemos el valor de euclides (b `mod` a) a, y lo llamamos (d, n, m). Cómo nos ayuda esto? Escribamos b = q a + r, con 0 r < a. Entonces, (d, n, m) = euclides r a, pues r = b `mod` a. Ya sabemos que d = mcd(a, b), esto es la base del algoritmo de Euclides original.

16 Euclides Extendido Supongamos que ya tenemos el valor de euclides (b `mod` a) a, y lo llamamos (d, n, m). Cómo nos ayuda esto? Escribamos b = q a + r, con 0 r < a. Entonces, (d, n, m) = euclides r a, pues r = b `mod` a. Ya sabemos que d = mcd(a, b), esto es la base del algoritmo de Euclides original. Por inducción, tenemos que d = r n + a m

17 Euclides Extendido Supongamos que ya tenemos el valor de euclides (b `mod` a) a, y lo llamamos (d, n, m). Cómo nos ayuda esto? Escribamos b = q a + r, con 0 r < a. Entonces, (d, n, m) = euclides r a, pues r = b `mod` a. Ya sabemos que d = mcd(a, b), esto es la base del algoritmo de Euclides original. Por inducción, tenemos que d = r n + a m Y también sabemos que r = b q a. Reemplazemos esto en la ecuación de arriba... d = r n + a m = (b q a) n + a m = b n q a n + a m = a (m q n) + b n

18 Euclides Extendido Supongamos que ya tenemos el valor de euclides (b `mod` a) a, y lo llamamos (d, n, m). Cómo nos ayuda esto? Escribamos b = q a + r, con 0 r < a. Entonces, (d, n, m) = euclides r a, pues r = b `mod` a. Ya sabemos que d = mcd(a, b), esto es la base del algoritmo de Euclides original. Por inducción, tenemos que d = r n + a m Y también sabemos que r = b q a. Reemplazemos esto en la ecuación de arriba... d = r n + a m = (b q a) n + a m = b n q a n + a m = a (m q n) + b n Entonces podemos devolver (d, m - q * n, n) en euclides a b!

19 Euclides Extendido Algoritmo de Euclides Extendido euclides :: Integer > Integer > (Integer, Integer, Integer) euclides 0 b = (b, 0, 1) euclides a b = (d, m (b `div` a) * n, n) where (d, n, m) = euclides (b `mod` a) a

20 Euclides Extendido Demostración Idea: Por inducción en a. El caso recursivo del algoritmo es el paso inductivo de la demostración, el caso base es el caso base. Deben probar que en ambos casos, la función cumple con su semántica.

21 Inverso multiplicativo Una aplicación útil de este algoritmo es encontrar inversos multiplicativos. Definición (Inverso multiplicativo) Dados a, m Z, m 2, si existe t Z tal que a t 1 (mod m), t se dice un inverso multiplicativo de a, módulo m. 1 Observación Notemos que no siempre existe tal t. Por ejemplo, no existe un t Z tal que 2 t 1 (mod 4). En general, este va a existir exactamente cuando a y m sean coprimos. 1 Se pide que t esté entre 0 y m 1 para decirle el inverso, y no un inverso. Haciendo esto, se nota t = a 1 (mod m)

22 Inverso multiplicativo Cómo conseguimos un inverso multiplicativo?

23 Inverso multiplicativo Cómo conseguimos un inverso multiplicativo? Si tomamos (d, s, t) = euclides a m, vamos a tener un s, t tales que sa + tm = mcd(a, m) = 1 Mirando a esta ecuación (mod m), tenemos que sa 1 (mod m), entonces s es un inverso multiplicativo de a, módulo m.

24 En la compu... Inverso multiplicativo inverso :: Integer > Integer > Integer inverso a m = s where (d, s, t) = euclides a m

25 Teorema Chino del Resto Para envolver todo esto en una gran aplicación, veamos cómo usamos lo que acabamos de ver para calcular el resultado de aplicar el Teorema Chino del Resto (TCR) a un conjunto de ecuaciones modulares. Teorema (Chino del Resto) Sean m 1,..., m n Z tal que mcd(m i, m j ) = 1 i j. Sean a 1,..., a n Z. n Llamemos M = m i. i=1 Entonces existe un único x [0... M 1] tal que x a i (mod m i ) 1 i n Cómo encontramos ese x?

26 Teorema Chino del Resto Sea M = Calculamos n i=1 m i, y sean z i = M m i. Por último, sean y i = z 1 i (mod m i ). x = n a i y i z i i=1

27 Teorema Chino del Resto Sea M = Calculamos n i=1 m i, y sean z i = M m i. Por último, sean y i = z 1 i (mod m i ). x = n a i y i z i i=1 Veamos que x es efectivamente una solución a nuestras ecuaciones modulares. Cuánto es x (mod m i )?

28 Teorema Chino del Resto Sea M = Calculamos n i=1 m i, y sean z i = M m i. Por último, sean y i = z 1 i (mod m i ). x = n a i y i z i i=1 Veamos que x es efectivamente una solución a nuestras ecuaciones modulares. Cuánto es x (mod m i )? Vemos que para todo j i, z j es múltiplo de m i, y por lo tanto, z j 0 (mod m i ). Luego, el j-ésimo término desaparece.

29 Teorema Chino del Resto Sea M = Calculamos n i=1 m i, y sean z i = M m i. Por último, sean y i = z 1 i (mod m i ). x = n a i y i z i i=1 Veamos que x es efectivamente una solución a nuestras ecuaciones modulares. Cuánto es x (mod m i )? Vemos que para todo j i, z j es múltiplo de m i, y por lo tanto, z j 0 (mod m i ). Luego, el j-ésimo término desaparece. Entonces el único término que no desaparece, módulo m i, es el i-ésimo. x a i y i z i (mod m i )

30 Teorema Chino del Resto El i-ésimo término tiene a y i y a z i multiplicandose pero... y i z i 1 (mod m i ), por definición de z i! Entonces x a i y i z i (mod m i ) x a i (mod m i ) Y esto va a pasar para todo i. Luego, x es una solución a nuestro sistema de ecuaciones modulares.

31 combinacion :: [Integer] > [Integer] > [Integer] > Integer combinacion [] [] [] = 0 combinacion (a:as) (y:ys) (z:zs) = a * y * z + combinacion as ys zs En la compu... Teorema Chino del Resto tcr :: [Integer] > [Integer] > Integer tcr as ms = combinacion as ys zs where m = product ms zs = divisiones m ms ys = inversos zs ms inversos :: [Integer] > [Integer] > [Integer] inversos [] [] = [] inversos (a:as) (m:ms) = (inverso a m) : inversos as ms divisiones :: Integer > [Integer] > [Integer] divisiones [] = [] divisiones m (m':ms) = (m `div` m') : divisiones m ms