Tema 4.- MATRICES INVERTIBLES!MATRICES INVERTIBLES!TÉCNICAS PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR 1 Hemos hablado anteriormente de la matriz cuadrada unidad de orden n (I n ).. Es posible encontrar matrices cuadradas A para las cuales existe una matriz cuadrada B de forma que Por ejemplo: A B = B A = I Estas matrices cuadradas son muy interesantes y reciben un nombre especial: matrices invertibles o matrices inversibles. En este capítulo enseñamos cómo c distinguir las matrices invertibles a través s de su determinante y explicamos métodos m para calcular de un modo eficaz la inversa de A. 2
Las matrices invertibles son indispensables en el Álgebra Lineal, principalmente para cálculos c algebraicos y deducciones de fórmulas. f Hay también n ocasiones en las que una matriz inversa permite entender mejor un modelo matemático tico de una situación n de la vida real. es regular si es singular si es invertible si esta matriz B es única y se denomina inversa de A : 3 MATRICES INVERTIBLES Si tal que o, entonces A es regular y con siendo la matriz que se obtiene al sustituir los elementos de A por sus adjuntos. Esta fórmula f apenas se utiliza en la práctica 4
Técnicas útiles para calcular la inversa de una matriz regular A Operaciones elementales de filas Resolución de un sistema de ecuaciones lineales Matrices que satisfacen una ecuación n del tipo: 5 Operaciones elementales de filas Cómo llegamos a la matriz unidad I? Conseguimos ceros debajo de la diagonal principal Conseguimos unos en la diagonal principal Sin deshacer lo conseguido: conseguimos ceros encima de la diagonal principal 6
-EJEMPLO. EJEMPLO.- Calcular la inversa de la matriz: A A -1 = I 7 -EJEMPLO. EJEMPLO.- Resolución de un sistema de ecuaciones lineales: Esta técnicat suele resultar útil para matrices triangulares Escribiendo en forma matricial: Sugerencia.- Comprobar el resultado Sugerencia.- Comprobar el resultado A A -1 = I 8
-EJEMPLO. EJEMPLO.- Matrices que satisfacen una ecuación n del tipo: Sea A una matriz regular que satisface la ecuación: Calcular A -1, luego, según la definición: 9 PROPIEDADES DE LAS MATRICES REGULARES Sean : matrices regulares de orden n Atención 1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- Si A es triangular, entonces A -1 es triangular. Enunciamos a continuación n un teorema que nos permite caracterizar las matrices invertibles en varias formas básicas, b utilizando conceptos estudiados previamente: 10
Teorema de la matriz invertible.- Sea A una matriz cuadrada de orden n.. Entonces los enunciados que siguen son equivalentes. Esto es, para una matriz A dada, los enunciados son o todos ciertos o todos falsos. 1.- A es una matriz invertible. 2.- A es una matriz regular. 3.- A es equivalente por filas a la matriz I n, es decir:. 4.- Los vectores columna de A son linealmente independientes. 5.- Los vectores columna de A generan. 6.- Los vectores columna de A forman una base de. 7.- Los vectores fila de A son linealmente independientes. 8.- Los vectores fila de A generan. 9.- Los vectores fila de A forman una base de. 10.- A T es una matriz invertible. 11.- Existe una matriz B cuadrada de orden n tal que A B = I n. 12.- Existe una matriz C cuadrada de orden n tal que C A = I n. 1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 8.- 9.- 10.- 11.- 12.- 13.- r ( A ) = n. 14.-. 11 POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO DE MATRICES REGULARES Cuando, es decir es una matriz regular de orden n,, o lo que es lo mismo, una matriz invertible, tiene sentido hablar de potencias de A con exponente entero, como por ejemplo: Si y : -PROPIEDADES.- 1.- 2.- 12
MATRICES ORTOGONALES se dice ortogonal si:, es decir : Su inversa y su traspuesta coinciden -PROPIEDADES.- Sean 1.- 2.- 3.- 4.- Nuestra primera observación n acerca de las matrices ortogonales es que son matrices invertibles. Se cumple también n que la inversa de una matriz ortogonal es su traspuesta. En este caso no hay que hacer inversiones complicadas. Las matrices ortogonales surgirán n de nuevo en el curso en el capítulo 7. 13 Matriz regular Matriz singular Matriz invertible Resultado fundamental PROPIEDADES MÉTODOS DE CÁLCULO POTENCIACIÓN ENTERA MATRIZ ORTOGONAL Propiedades Matriz de cambio de base 14