Transformada de Laplace.

Ampliación de Matemáticas (GITI) Curso 213/14 1 Curso 2 o. Grado de Ingeniería en las Tecnologías Industriales. Ampliación de Matemáticas. Lección 2. Transformada de Laplace. Índice 1. Definición y propiedades de la transformación de Laplace. 2 1.1. Definición y primeros ejemplos............................. 2 1.2. Propiedades de la transformación de Laplace..................... 5 2. Aplicación a las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. 9 3. El producto de convolución. 13 4. Tabla resumen. 14 5. Quieres saber más de la transformada de Laplace? Temas avanzados. 15 5.1. La función Gamma.................................... 15 5.2. Ecuaciones de coeficientes no constantes........................ 16 5.3. Ecuaciones integrales................................... 16 5.4. La función delta de Dirac................................ 18 5.5. La función de transferencia............................... 21 6. Bibliografía recomendada. 23 7. Ejercicios. 24

2 Lección 2. Transformada de Laplace 1. Definición y propiedades de la transformación de Laplace. En esta lección presentamos un nuevo procedimiento para la resolución de ecuaciones y sistemas lineales con coeficientes constantes: el método de la transformación de Laplace, que será especialmente adecuado para el caso no homogéneo con condiciones iniciales en el origen. El uso del concepto de transformación de Laplace es un elemento central del análisis y el diseño de sistemas en la ingeniería. Este tipo de métodos, también llamados métodos operacionales, fue propuesto por el ingeniero inglés O. Heaviside (185 1925) para resolver las ecuaciones diferenciales que aparecen en el estudio de los circuitos eléctricos ya que permiten pasar de una ecuación diferencial a una ecuación algebraica. Usando estas ideas, Heaviside fue capaz de resolver problemas sobre la propagación de la corriente eléctrica a lo largo de cables que no podían ser resueltos usando los métodos clásicos. Si bien los métodos operacionales demostraron ser muy potentes en sus aplicaciones, fueron catalogados como poco rigurosos. Ello puede explicar que el reconocimiento de las aportaciones de Heaviside llegara tardíamente. La transformación de Laplace, introducida por P.S. Laplace un siglo antes en sus estudios sobre probabilidad, fue posteriormente utilizada para proporcionar una base matemática sólida al cálculo operacional de Heaviside. La idea es trasladar el problema desde el espacio original de las funciones y(t) soluciones de la ecuación diferencial el dominio del tiempo al espacio de sus transformadas Y (s) el dominio de la frecuencia donde el problema se expresa en términos de resolver una ecuación algebraica lineal, cuya solución deberá ser antitransformada para obtener la solución de la ecuación diferencial original. El método de la transformación de Laplace, en razón de su capacidad para algebrizar los problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, es ampliamente utilizado en la teoría de circuitos y en la teoría de sistemas lineales de control. Estas aplicaciones se estudian a fondo en las asignaturas correspondientes, nosotros daremos en la sección final de esta lección una somera introducción al estudio de los sistemas lineales en ingeniería, presentando el concepto básico de función de transferencia. 1.1. Definición y primeros ejemplos. Definición. Sea f : [, ) R una función continua o continua a trozos. La transformada de Laplace de f es la función F definida por F (s) = f(t)e st dt

Ampliación de Matemáticas (GITI) Curso 213/14 3 en los valores de s para los que dicha integral impropia es absolutamente convergente (es decir, para aquellos valores en los que la integral impropia f(t)e st dt es convergente). Como los valores de f(t) para t <, si es que existen, no intervienen en la definición de transformada de Laplace, se suele suponer, simplemente, que f(t) = para t < y se dice, en ese caso, que f es una función causal. Ejemplo. Consideremos la función f(t) = 1 para todo t. Su transformada de Laplace es la función F (s) = 1 s para s > y no está definida si s. Ejemplo. Consideremos la función f(t) = sen(t) para todo t. Su transformada de Laplace es la función F (s) = 1 para s >. En efecto, integrando por partes dos veces deducimos que s 2 +1 sen(t)e st dt = 1 s e st sen(t) + 1 cos(t)e st dt s = 1 s e st sen(t) + 1 [ 1 s s e st cos(t) 1 ] sen(t)e st dt s = 1 s e st sen(t) 1 s 2 e st cos(t) 1 sen(t)e st dt. s 2 Es decir, (1 + 1s2 ) sen(t)e st dt = 1 s e st sen(t) 1 s 2 e st cos(t). Por tanto, tomando R >, tenemos que (1 + 1s 2 ) R sen(t)e st dt = 1 s e st sen(t) 1 ] t=r s 2 e st cos(t) t= = 1 s e sr sen(r) 1 s 2 e sr cos(r) + 1 s 2. Si ahora tomamos s > y tomamos límite cuando R tiende a infinito, concluimos que (1 + 1s ) + sen(t)e st dt = 1 2 s. 2 Usando los resultados sobre integración impropia vistos en las asignaturas de primer curso, es fácil deducir que la integral impropia + sen(t)e st dt es convergente si s > ( Hágase!). Por tanto, F (s) = 1 para s >. s 2 +1 Ejemplo. Consideremos la función f(t) = e at para todo t, siendo a un número real arbitrario. Su transformada de Laplace es la función F (s) = 1 s a para s > a. Observaciones. (1) Vemos en los ejemplos anteriores que el conjunto de valores s en los que está definida la correspondiente transformada de Laplace es un intervalo de la forma (σ f, ).

4 Lección 2. Transformada de Laplace Esto es cierto en general porque si la integral f(t)e st dt converge absolutamente para un cierto valor del parámetro s entonces, por el criterio de comparación, también converge para todos los valores mayores que el dado. El ínfimo σ f de los valores de s para los que está definida la transformada de Laplace F (s) de una función f(t) se llama abscisa de convergencia y puede probarse que si f es continua a trozos y de orden exponencial, entonces la función F es continua en (σ f, ) y que lím s F (s) =. (2) Cuando la variable t representa el tiempo, el parámetro s tiene las dimensiones de una frecuencia porque en las aplicaciones se exige que e st sea adimensional. Por ello se dice que f(t) actúa en el dominio del tiempo y que su transformada de Laplace F (s) actúa en el dominio de la frecuencia. (3) La notación dada utiliza las letras minúsculas para las funciones que actúan en el dominio del tiempo y las correspondientes letras mayúsculas para sus transformadas de Laplace (f(t) F (s)) y, normalmente, no produce confusiones. Otras notaciones habituales son Lf}(s) o Lf}(s). En algunas ocasiones usaremos esta otra notación. (4) No todas las funciones continuas admiten transformada de Laplace. El ejemplo típico de esta situación es la función f(t) = e t2. Una hipótesis natural que implica que la función f tiene transformada de Laplace es que tenga orden exponencial M, es decir, que exista una constantes c tal que f(t) ce tm para todo t >. En este caso, existe la transformada de Laplace de f al menos en el intervalo (M, ). Definición. La función de Heaviside, o función de salto en el origen, viene dada por si t < u (t) = 1 si t >. La función de salto en un punto a se define de la siguiente manera si t < a u a (t) = u (t a) = 1 si t > a. El valor de u a (t) en el punto t = a no lo hemos definido y, de hecho, en el contexto de la transformación de Laplace no influye a la hora de calcular las integrales que aparecen. A veces se pone el valor para que sea continua por la izquierda, a veces se pone 1 para que sea continua por la derecha y otras veces se pone 1/2. No existe una notación muy extendida para la función de salto. Nosotros usamos u a (t) pero en otros libros aparece H a (t) o h a (t) ( h por Heaviside y minúscula para mantener el convenio de usar letras minúsculas para las funciones en el dominio del tiempo). Estas funciones son muy

Ampliación de Matemáticas (GITI) Curso 213/14 5 útiles para trabajar con funciones discontinuas; esto lo veremos en especial cuando estudiemos cómo se aplica la transformación de Laplace a la resolución de ecuaciones diferenciales lineales. Calculando la correspondiente integral, es muy fácil ver que la transformada de Laplace de la función de salto u a (t) = u (t a) es U a (s) = e as s para s >. Transformada inversa de Laplace. Cuando tengamos una función en el dominio de la frecuencia F (s) y calculemos una función f(t) en el dominio del tiempo cuya transformada de Laplace sea la función F dada, diremos que f es la transformada de Laplace inversa o, más coloquialmente, la anti-transformada de F, lo que se suele escribir f = L 1 F }. Puede probarse que f es única salvo, a efectos prácticos, cambios de sus valores en un número finito de puntos. 1.2. Propiedades de la transformación de Laplace. Vamos a describir ahora algunas de las propiedades más importantes de la transformación de Laplace. Éstas nos permitirán construir nuevas parejas f(t) F (s) sin necesidad de calcular directamente las integrales impropias. En muchos casos mostraremos la demostración por su simplicidad y para mostrar que es más sencillo reproducir la prueba que recordar de memoria la demostración. En esta sección, supondremos siempre que las funciones cuyas transformadas calculamos son continuas a trozos. Linealidad. Si a y b son números reales entonces la transformada de Laplace de af(t) + bg(t) es af (s) + bg(s) para s > máxσ f, σ g }. O sea, s s 2 a 2 Laf + bg}(s) = alf}(s) + blg}(s). Una consecuencia sencilla de esta propiedad es que L(senh(at))(s) = siempre que s > a. a y L(cosh(at))(s) = s 2 a 2 Ejemplo. Un pulso rectangular es una función constante y no nula en un cierto intervalo de tiempo [t 1, t 2 ] que vale cero fuera de dicho intervalo, o sea, k si t1 < t < t 2, f(t) = en otro caso. Escribiendo f(t) = k (u t1 (t) u t2 (t)) = k (u (t t 1 ) u (t t 2 )), la propiedad de linealidad nos dice que su transformada de Laplace es F (s) = k s (e t 1s e t 2s ). Dilatación en el dominio del tiempo. Si a es un número real positivo y consideramos g(t) = f(at), entonces G(s) = 1 a F ( s a).

6 Lección 2. Transformada de Laplace Demostración. Para demostrar esta propiedad es suficiente hacer un cambio de variable obvio: G(s) = = 1 a + + g(t)e st dt = + f(x)e sx/a dx = 1 a f(at)e st dt [x = at] + f(x)e s a x dx = 1 a F ( s a ). Ejemplo. Como aplicación de esto vemos que si a > y tomamos f(t) = sen(t) (recordemos que ya conocemos la transformada de la función seno que vale F (s) = 1 L(sen(at))(s) = a s 2 +a 2 s 2 +1 para s > ), entonces para s >. Usando que la función seno es impar, obtenemos sin dificultad que la anterior fórmula también es válida para a <. Traslación en el dominio de la frecuencia. Si a es un número real entonces la transformada de Laplace de e at f(t) es F (s a) para s > a + σ f. O sea, Le at f(t)}(s) = Lf}(s a). Ejemplo. Aplicando esta propiedad obtenemos que Le at sen (bt)}(s) = b (s a) 2 +b 2 para s > a. Traslación en el dominio del tiempo. Si a es un número real entonces la transformada de Laplace de la función trasladada f(t a)u (t a) es e as F (s) para s > σ f. En otras palabras, Demostración. Lf(t a)u (t a)}(s) = Lf(t a)u (t a)}(s) = e as Lf}(s). + a + s st f(t a)dt = [t a = x] = e as s sx f(x)dx = e as F (s). Es interesante que el alumno tenga clara la relación entre la función f y su trasladada. Como ejercicio, tome una función causal y dibuje tanto su gráfica como la de su trasladada. Esta propiedad dará mucho juego en la resolución de ecuaciones diferenciales. Transformada de Laplace de una función periódica. Sea f(t) una función periódica de período T, o sea f(t + T ) = f(t) para todo t. La transformada de Laplace F (s) de f(t) es Lf}(s) = F (s) = 1 1 e st T e st f(t) dt, para s >. La ventaja de esta expresión radica en que evitamos tener que realizar una integral impropia. Ahora es suficiente con una integral definida.

Ampliación de Matemáticas (GITI) Curso 213/14 7 Demostración. Recordemos que si x ( 1, 1), entonces la serie geométrica de razón x es convergente y n= xn = 1. Por tanto, 1 x F (s) = + f(t)e st dt = = [t = x + nt ] = = T f(x)e sx dx n= n= nt T (n+1)t (e st ) n = n= f(t)e st dt f(x + nt )e s(x+nt ) dx = 1 1 e st T T e snt f(x + nt )e sx dx n= f(x)e sx dx, donde hemos usado en la serie que s > y sumado la serie geométrica de razón x = e st (, 1). Ejemplo. Calculamos ahora la transformada de Laplace de la función T -periódica f que en el intervalo [ T/2, T/2] toma los valores a si < t < T/2, f(t) = a si T/2 < t <. Se tiene que F (s) = = 1 1 e st T e st f(t) dt = 1 1 e st ( a T/2 a s(1 e st ) (1 e st/2 ) 2 = a(1 e st/2 ) s(1 + e st/2 ). ) T e st dt a e st dt T/2 Derivada de la transformada de Laplace. Si f es de orden exponencial M, entonces la transformada de Laplace F (s) de una función f(t) es derivable y se tiene que F (s) es la transformada de Laplace de tf(t) para s > máxσ f, M}. De hecho, por inducción, se tiene que Lt n f(t)}(s) = ( 1) n dn Lf} ds n para n = 1, 2,... y s > máxσ f, M}. Demostración. No pretendemos hacer aquí una demostración rigurosa, simplemente mostrar una regla que permita recordar la anterior propiedad. Por la convergencia en (σ f, ) se puede intercambiar la integral y la derivada (esto se conoce como regla de Leibnitz) obteniéndose que d ds F (s) = d n ds n e st f(t) dt = s n ( e st f(t) ) dt = ( 1) n e st t n f(t) dt = ( 1) n L(t n f(t))(s).

8 Lección 2. Transformada de Laplace Ejemplo. Aplicando la anterior propiedad a la función f(t) = 1 y considerando la función g(t) = t n para todo t, siendo n un número natural, obtenemos que su transformada de Laplace es la función G(s) = n! para s >. Combinando este resultado con la propiedad de s n+1 traslación en el dominio de frecuencia concluimos que Le at t n n! }(s) = para s > a. (s a) n+1 Ejercicios. Calcular la transformada de Laplace de las funciones f(t) = t 2 e t y f(t) = t sen (t). Transformada de Laplace de una derivada y de una integral. Supongamos que la función f es derivable a trozos y tiene orden exponencial. Entonces la transformada de Laplace de la derivada f (t) es sf (s) f() para s > σ f. Es decir, Lf }(s) = slf}(s) f(). Demostración. Por hipótesis existen constantes c y M tales que f(t) ce tm. Por tanto, f(t)e st ce t(m s). Luego si s > máxm, σ f }, deducimos que lím t f(t)e st =. Fijemos R >. Integrando por partes tenemos que R e st f (t) dt = f(t)e st] R t=r ( s)e st f(t) dt = f(r)e sr f() t= Tomando límites obtenemos la propiedad deseada L(f (t))(s) = R ( s)e st f(t) dt. e st f (t) dt = f(t)e st] t= ( s)e st f(t) dt = f () + sf (s). t= Nota: en la anterior propiedad hemos supuesto que f es continua en. Si no lo es, debe sustituirse f() por el valor lím t + f(t). Ejemplo. Si tomamos f(t) = sen(at), tenemos que La cos(at)}(s) = slsen(at)}(s) sen(). Es decir, Lcos(at)}(s) = s para s >. s 2 +a 2 Aplicando esta propiedad a f tenemos, como consecuencia, la transformada de la derivada segunda Lf }(s) = s 2 Lf}(s) sf() f (). Análogamente, aplicándolo a la función integral t f(τ) dτ, tenemos t } L f(τ) dτ (s) = 1 s F (s).

Ampliación de Matemáticas (GITI) Curso 213/14 9 Mostramos finalmente unos resultados que, aunque no los usaremos en nuestro curso para resolver ecuaciones diferenciales, son de utilidad en distintas aplicaciones de la transformada de Laplace en la ingeniería. Teoremas del valor inicial y final. (1) Teorema del valor inicial: Si existe lím s sf (s), entonces lím sf (s) = lím f(t). s t + (2) Teorema del valor final: Si existe lím t f(t) y la abscisa de convergencia es σ f <, entonces lím t f(t) = lím sf (s). s Ejercicio. Como aplicación de todo lo aprendido vamos a calcular la transformada de Laplace de la función f(t) = 1 (1 cos(at)) para t > y f() = a, siendo a un número real. Como uno t intuye rápidamente, el cálculo directo es difícil. Sin embargo, observemos que la transformada de la función g(t) := tf(f) = 1 cos(at) es simplemente G(s) = 1 s. Por la propiedad que s s 2 +a 2 hemos llamado Derivada de la transformada de Laplace tenemos que G(s) = F (s). Es decir, F (s) = 1 + s. Ergo, s s 2 +a 2 F (s) = log(s) + 1 2 log(s2 + a 2 ) + c = 1 ( ) s 2 2 log + a 2 + c. Pero, cuánto es la contante c? Puesto que lím s F (s) debe ser cero concluimos que ( ) 1 s 2 = lím F (s) = lím s s 2 log + a 2 + c = c. s 2 ( Es decir, F (s) = 1 log s 2 +a ). 2 2 s 2 s 2 2. Aplicación a las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Supongamos que tenemos el problema de valores iniciales y (t) + py (t) + qy(t) = r(t) con y() = y e y () = y. El método de la transformación de Laplace para resolver este problema consiste en calcular las transformadas de Laplace de ambos miembros de esta ecuación. Para ello necesitamos saber

1 Lección 2. Transformada de Laplace qué relación hay entre las transformadas de Laplace de una función y de su derivada. Sean Y (s) = Ly(t)}(s) y R(s) = Lr(t)}(s). Entonces, calculando las transformadas de Laplace de ambos miembros de esta ecuación, tenemos s 2 Y (s) sy() y () + p [sy (s) y()] + qy (s) = R(s). Reordenando y usando las condiciones iniciales, nos queda de donde (s 2 + ps + q)y (s) = R(s) + (s + p)y + y, Y (s) = R(s) + (s + p)y + y. s 2 + ps + q esto nos proporciona la transformada de Laplace Y (s) de nuestra solución, así que y(t) = L 1 Y (s)} y la cuestión ahora es calcular la transformada inversa. Veamos un ejemplo. Ejemplo. Vamos a resolver el problema de valor inicial y + 5y + 6y = 2e t con y() = 1 e y () =. Como L2e t }(s) = 2Le t }(s) = 2, la transformada de Laplace de la solución y es s+1 Y (s) = 2 + s + 5 s+1 s 2 + 5s + 6 = 2 (s + 1)(s + 2)(s + 3) + s + 5 (s + 3)(s + 2). Para hallar la transformada inversa de Y (s), descomponemos en fracciones simples Y (s) = 1 s + 1 + 1 s + 2 1 s + 3, con lo que, de acuerdo con la tabla de transformadas, } } } 1 1 1 y(t) = L 1 Y } = L 1 + L 1 L 1 = e t + e 2t e 3t. s + 1 s + 2 s + 3 El método de la transformación de Laplace convierte la ecuación diferencial y (t) + py (t) + qy(t) = r(t) con y() = y e y () = y. en una ecuación sin derivadas en la que podemos despejar Y (s): Y (s) = R(s) + (s + p)y + y. s 2 + ps + q

Ampliación de Matemáticas (GITI) Curso 213/14 11 Cuando R es una función racional (cociente de polinomios), puede resolverse descomponiendo en fracciones simples y, después, calculando la transformada inversa de cada fracción usando la tabla de pares f(t) F (s) conocidos. Más adelante veremos otros ejemplos más elaborados donde R no es una función racional. Una observación importante es que el denominador s 2 + ps + q que aparece a la derecha coincide con la ecuación auxiliar de la ecuación diferencial. La función (s 2 + ps + q) 1, que no depende del término independiente r(t) de la ecuación diferencial, sino de los coeficientes de y, y e y, se llama función de transferencia de la ecuación; volveremos sobre ella en la última sección de la lección. Ecuaciones con término independiente discontinuo. Si el segundo miembro r(t) de la ecuación y (t) + py (t) + qy(t) = r(t) es una función discontinua, por ejemplo una función con un salto, difícilmente podemos esperar que la ecuación tenga una solución con derivada segunda continua. Los métodos que vimos en las lecciones anteriores no sirven para hallar una solución. Sin embargo, el método de la transformación de Laplace sí permite trabajar con este tipo de ecuaciones mediante las propiedades de las funciones de salto u a (t) y sus transformadas. Ejemplo. Haciendo uso de la transformada de Laplace, vamos a resolver el problema de valores iniciales t, t < π, y + y = g(t) = y() =, y () = 1. cos(2t), t π, Finalmente evaluaremos y(π/2), y(π) e y(2π). Llamaremos Y (s) a la transformada de Laplace de la solución del problema de valores iniciales. Aplicando la transformada a ambos miembros de la ecuación y usando la linealidad de la transformada obtenemos que L(y )(s) + L(y)(s) = G(s), siendo G(s) la transformada de Laplace de la función g(t). Por las propiedades conocidas de la transformada de Laplace, tenemos que L(y )(s) = sl(y)(s) y() = sy (s) y L(y )(s) = sl(y )(s) y () = s 2 Y (s) 1. El cálculo de la transformada de Laplace de la función g se puede hacer directamente, pero resulta un proceso largo y donde es fácil cometer errores de cálculo. Optamos por ello por expresar la función g como combinación de varias funciones salto: g(t) = t(1 u π (t)) + u π (t) cos(2t) = t (t π)u π (t) πu π (t) + u π (t) cos(2(t π)) (hemos usado en la última igualdad que la función coseno tiene período 2π). Este proceso suele costar un poco de trabajo a los alumnos que se inician en estos temas pero con un poco de constancia y esfuerzo, se llega a coger con rapidez la suficiente agilidad para obtener estas expresiones.

12 Lección 2. Transformada de Laplace Por tanto, usando la tabla de transformadas de Laplace y la propiedad de la transformada de una traslación en el dominio del tiempo, deducimos que Así que Es decir, G(s) = 1 s 1 2 e πs s 1 2 πe πs s + s e πs s 2 + 4. s 2 Y (s) 1 + Y (s) = 1 s 1 2 e πs s 1 2 πe πs s + s e πs s 2 + 4. Y (s) = 1 s 1 2 e πs s 2 (s 2 + 1) 1 πe πs s(s 2 + 1) + s e πs (s 2 + 4)(s 2 + 1). Tras hacer las descomposiciones en fracciones simples de las funciones racionales que aparecen multiplicando a la función exponencial obtenemos que Y (s) = 1 [ 1 s 2 e πs s 1 ] [ 1 πe πs 2 s 2 + 1 s s s 2 + 1 ] + 13 e πs [ s s 2 + 1 s ]. s 2 + 4 Usando de nuevo la propiedad de traslación en el dominio del tiempo y nuestra tabla de transformadas, tenemos que y(t) = t + u π (t) [ (t π) sen (t π) π + π cos(t π) + 13 cos(t π) 13 ] cos(2(t π)). Es decir, y(t) = t si t < π sen(t) π cos(t) 1 cos(t) 1 cos(2t) si t π. 3 3 Por tanto, y(π/2) = π/2, y(π) = π e y(2π) = π 2/3. Ejercicios. Calcula la solución de los siguientes problemas de valor inicial usando el método de la transformación de Laplace. En la mayoría de los casos, hay que calcular la transformada de Laplace de una función con un salto. Es mucho más simple hacerlo si previamente hemos expresado dicha función como una combinación adecuada de varias funciones salto. 1. y + 4y = f(t) con y() = y () = siendo f(t) = 1 para < t < 1, f(t) = 1 para 1 < t < 2 y f(t) = para t > 2. 2. y + 5y + 6y = f(t) con y() = e y () = 2, siendo f(t) = 3 para < t < 6 y f(t) = para t > 6. 3. y + 5y + 6y = e 2t con y() = e y () =.

Ampliación de Matemáticas (GITI) Curso 213/14 13 4. y + 2y + 2y = f(t) con y() = 1 e y () = 1, siendo f(t) = para < t < 1, f(t) = 1 para t > 1. 5. y 2y + y = f(t) con y() = 1 e y () =, siendo f(t) = 1 t para < t < 1, f(t) = para t > 1. 6. y + 5y + 17y + 13y = 1 con y() = y () = 1 e y () =. Observación. En los ejemplos de esta sección hemos visto que el último paso en la aplicación de la transformación de Laplace es el cálculo de una transformada inversa. Las tres ideas básicas para anti-transformar son, en espíritu, las mismas que las del cálculo de primitivas: conocer las anti-transformadas de las funciones más usuales, saber aplicar técnicas básicas (específicamente, la descomposición en fracciones simples) para reducir una transformada complicada a una combinación de transformadas más simples y conocer los teoremas sobre transformadas para poder aplicarlos. De todas formas, existen tablas de transformadas de Laplace que recogen la práctica totalidad de las que suelen aparecer en las aplicaciones a las diversas ramas de la ingeniería. 3. El producto de convolución. No es cierto que la transformada de Laplace de un producto sea el producto de las transformadas de Laplace de los factores: Lfg} Lf}Lg}. Sin embargo, el cálculo de la transformada inversa de un producto Lf}Lg} puede hacerse de manera relativamente simple. En esta sección aprendemos este proceso. Definición. Dadas dos funciones f, g : [, ) R, su producto de convolución es la función f g definida para t por (f g)(t) = t f(τ)g(t τ) dτ. El producto de convolución tiene una serie de propiedades fáciles de probar. Por ejemplo, es conmutativo, asociativo y distributivo: f g = g f, f (g h) = (f g) h, y (af + bg) h = a(f h) + b(g h). Justifiquemos la primera de ellas: (f g)(t) = t f(τ)g(t τ) dτ = [t τ = x] = f(t x)g(x) dτ = x x f(t x)g(x) dτ = (g f)(t).

14 Lección 2. Transformada de Laplace Sin duda, la propiedad más relevante del producto de convolución es la expresión de su transformada de Laplace. Ésta es una consecuencia del Teorema de Fubini que permite intercambiar las integrales dobles en un triángulo. Transformada de Laplace del producto de convolución. Dadas dos funciones continuas a trozos f, g : [, ) R, se tiene que Lf g}(s) = F (s)g(s) (s máxσ f, σ g }). Demostración. F (s)g(s) = = = T f(t)e st dt g(x)e sx dx = f(u v)g(v)e su dudv = e su (f g)(u) du = Lf g}(s), [ e su [ u ] [ t + x = u f(t)g(x)e s(t+x) dt dx = x = v ] f(u v)g(v) dv du ] siento T := (u, v) : u v}. Ejercicio. Podemos usar el anterior resultado para calcular, por ejemplo, la transformada inversa de H(s) = 1 (s 2 +1) 2 como el producto de convolución del seno consigo mismo. Un método alternativo para el cálculo de la transformada inversa es relacionar H(s) con la derivada de la función 1 s 2 +1. Sabrías hacerlo de esta forma? 1 Ejemplo. Calcular la transformada inversa de la función (aquí también es posible calcular s 2 (s 2 +1) la transformada inversa haciendo una descomposición en fracciones simples). Ejemplo. Calcula la solución del problema de valores iniciales y + 16y = f(t) con y() = e y () = 1 siendo f(t) = cos(4t) para < t < π, f(t) = para t > π. 4. Tabla resumen. Antes de continuar, recopilamos en la siguiente tabla algunas de las transformadas obtenidas:

Ampliación de Matemáticas (GITI) Curso 213/14 15 f(t) F (s) f(t) F (s) (1) 1 1 s (s > ) (2) e at t n n! (s a) n+1 (s > a) (3) e at t b Γ(b+1) (s > a) para b > 1 (4) e at 1 (s > a) (s a) b+1 s a (5) e at sen (bt) b (s > ) (6) e at cos(bt) s a (s > ) (s a) 2 +b 2 (s a) 2 +b 2 (7) senh(at) a (s > a ) (8) cosh(at) s (s > a ) s 2 a 2 s 2 a 2 (9) 1/ t π/s (s > ) (1) u a (t) e as (s > ) s (11) f(t a)u (t a) e as F (s) (12) T -periódica 1 1 e st T e st f(t) dt 5. Quieres saber más de la transformada de Laplace? Temas avanzados. 5.1. La función Gamma. Puede extenderse la noción de transformada de Laplace a algunas funciones f(t) que no son continuas en t = y para las que la integral f(t)e st dt es impropia y absolutamente convergente también en el extremo inferior. El ejemplo típico es f(t) = 1/ t cuya transformada de Laplace es F (s) = π/s para s >. Recordemos que la función Γ de Euler viene dada por Γ(p) = e x x p 1 dt. Un uso adecuado de los resultados estudiados en los cursos elementales de Cálculo, muestra que esta integral impropia es convergente si, y sólo si, p >. Además, integrando por partes se obtiene que Γ(p + 1) = pγ(p) para cualquier p >, de lo que deducimos que Γ(n + 1) = n! para cualquier número natural n. Si ahora hacemos el cambio de variable x = st con s > en la anterior integral obtenemos que Γ(p) = s p e st t p 1 dt. De esta forma, si a > 1 y consideramos la función f(t) = t a, tenemos que Lt a }(s) = Γ(a+1) s a+1 siempre que s >. En particular, si n es un número natural obtenemos que Lt n }(s) = Γ(n+1) = s n+1 n!, algo que ya sabíamos. Por otro lado, tomando a = 1/2, tenemos la función f(t) = 1/ t s n+1 cuya transformada es, por tanto, Γ(1/2). Usando que Γ(1/2) = π, concluimos que Lt 1/2 }(s) = s 1/2 π/s. Ejercicio. Podrías calcular con lo que has aprendido en esta subsección el valor de Lt 1/2 }(s)?

16 Lección 2. Transformada de Laplace Ejemplo. Aplicando la propiedad de traslación en el dominio de frecuencia obtenemos que Le at t b }(s) = Γ(b+1) (s a) b+1 para s > a. 5.2. Ecuaciones de coeficientes no constantes. Usando la propiedad de la derivada de la transformada de Laplace, podemos emplear este método para ecuaciones con coeficientes polinómicos. Ejemplo. La función de Bessel de orden cero J (t) es la solución de la ecuación de Bessel ty + y + ty = tal que y() = 1. Es posible construir esta función mediante una serie de potencias: J (t) = 1 t2 2 2 + t4 2 2 4 2 t 6 2 2 4 2 6 2 + Veamos cómo calcular su transformada de Laplace. Si aplicamos la transformación de Laplace a la ecuación nos queda d ds ( s 2 Y (s) s y () ) + sy (s) 1 d Y (s) =, ds o sea, (s 2 + 1)Y = sy. Observa que al no ser la ecuación diferencial original de coeficientes constantes, no hemos transforma nuestra ecuación diferencial en una ecuación algebraica, pero sí que sabemos como concluir nuestro trabajo. Separando variables e integrando resulta Y (s) = c. Usando el teorema del valor inicial puede verse que c = 1, así que LJ (t)}(s) = 1 s2 + 1. c s para una cierta constante 2 +1 Ejercicio. La función de Bessel de orden uno J 1 (t) es la solución de la ecuación de Bessel t 2 y + ty + (t 2 1)y = tal que y() = e y () = 1/2. Calcula su transformada de Laplace. 5.3. Ecuaciones integrales. En la práctica pueden darse ecuaciones que contienen tanto derivadas como integrales de la función incógnita. Un ejemplo típico es la ecuación de un circuito LRC que puede escribirse con la intensidad de corriente i(t) como incógnita Li (t) + Ri(t) + 1 C t i(τ) dτ = e(t) con i() = i.

Ampliación de Matemáticas (GITI) Curso 213/14 17 Naturalmente, podemos derivar y transformar esta ecuación en una ecuación diferencial con la carga q(t) como incógnita. Sin embargo, podemos trabajar con la integral usando la fórmula para la transformada de Laplace de una integral. Llamando I(s) = Li(t)} nos queda luego L(sI(s) i ) + RI(s) + 1 I(s) = Le(t)}, Cs I(s) = Le(t)} + Li sl + R + 1. Cs Ejemplo. Tenemos un circuito RC (o sea, con L = ) en reposo (o sea, con i() = ) que se conecta con una pila de v voltios durante t segundos. La ecuación que gobierna la intensidad de corriente en el circuito es Ri(t) + 1 C t i(τ) dτ = v si < t < t, si t > t. } = v (u (t) u t (t)) = v (1 u (t t )). Llamando I(s) = Li(t)} y usando la transformación de Laplace nos queda RI(s) + 1 Cs I(s) = v ( ) 1 e t s, s luego I(s) = v /R ( ) 1 e t s. s + (1/RC) Usando las propiedades de traslación en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia para calcular la transformada inversa obtenemos, finalmente, la solución o, más cómodamente, i(t) = L 1 I(s)} = v ( e t/rc e (t t)/rc u (t t ) ), R i(t) = Ejercicio. Resolver la ecuación integral v R e t/rc si < t < t, v R e t/rc ( 1 e t /RC ) si t > t. y(t) = t 3 + t y(τ)sen(t τ) dτ.

18 Lección 2. Transformada de Laplace 5.4. La función delta de Dirac. En muchas situaciones de la ingeniería se busca la respuesta de un sistema cuando se le aplica una fuerza externa muy intensa pero que actúa durante un intervalo muy corto de tiempo, lo que se conoce como una fuerza impulsiva. Para modelar estas situaciones se introduce un objeto, la función delta de Dirac 1 δ t (t), o función de impulso, mediante las siguientes propiedades: δ t (t) = dh t (t) si t t, = δ t (t) dt = 1, y δ t (t)f(t) dt = f(t ). dt si t = t, La función delta de Dirac no es una función en el sentido habitual, pero es un ejemplo de lo que se conoce como funciones generalizadas o distribuciones para las que existen las correspondientes nociones de derivada e integral. Manejadas con cuidado, las propiedades que hemos mostrado proporcionan resultados de contenido práctico que no se pueden obtener por los métodos usuales, lo que hace de esta función una herramienta muy útil. Como tal, la función delta de Dirac es físicamente irrealizable, pero podemos aproximarla suficientemente bien de una manera que, además, nos permite entender de dónde vienen sus propiedades. Nunca debemos ver estas funciones generalizadas como una regla que a cada valor (número) le asigna otro. Para manipularlas correctamente hay que entender cómo se comportan al interactuar con otras funciones. Analicemos esto con detalle. Para cada n = 1, 2,..., sean d n (t) la función definida por n si t t < t + 1/n, d n (t) = en otro caso, y g n (t) la función integral de d n (t), t si t < t, g n (t) = d n (τ) dτ = n(t t ) si t t t + 1/n, 1 si t t + 1/n. entonces g n(t) = d n (t) salvo para t = t y t = t +1/n. Si tomamos límite para n obtenemos si t lím d t, si t < t, n(t) = δ t (t) = y lím g n (t) = h t (t) = n si t = t, n 1 si t > t, Por otro lado, d n(τ) dτ = 1 para todo n = 1, 2,..., así que lím d n n(τ) dτ = 1. Ahora, si f(t) es una función cualquiera continua en t, se tiene mín f(t) [t,t +1/n] t +1/n t f(τ)d n (τ) dτ = f(τ)d n (τ) dτ máx f(t). [t,t +1/n] 1 El estudio de la función delta de Dirac es mucho más complicado que las restantes técnicas desarrolladas en este curso. No está a nuestro alcance hacer un estudio riguroso de ella y nos limitamos a describir algunas ideas.

Ampliación de Matemáticas (GITI) Curso 213/14 19 De nuevo, tomando límite para n, obtenemos Luego f(t ) = lím d n (τ)f(τ) dτ. n Calculemos ahora las transformadas de Laplace D n (s) = Ld n }(s) D n (s) = Ln ( h t (t) h t +1/n(t) ) }(s) = n s e t s ( 1 e s/n). lím D n n(s) = lím ( n n s e t s 1 e s/n) = e st, lo que justifica introducir la transformada de Laplace de la función delta de Dirac como Lδ t }(s) = e st que, además, enlaza con la propiedad de la transformada de una derivada Lδ t }(s) = slh t }(s) h t (), siempre que t >, y afianza la afirmación de que la función delta es la derivada de la función de salto. Igual que con la función de salto, teniendo en cuenta que δ t (t) = δ (t t ), es cómodo usar sólo la función delta en el origen δ para la que, en particular, se tiene que Lδ } = 1. Así, si f es causal, podemos escribir f(t ) = δ t (t)f(t) dt = t δ (t t )f(t) dt = t lo que se conoce como propiedad de replicación o de cribado. δ (t t)f(t) dt = (f δ )(t ) Ejemplo. Supongamos que una masa m = 1 está unida a un muelle con constante de elasticidad 4 y sin amortiguador con unas condiciones iniciales x() = 3 y x () =. Supongamos que en el instante 2π la masa es golpeada con un martillo que proporciona un impulso 8δ 2π (t). Por tanto, x + 4x = 8δ 2π (t). Llamando X(s) a la transformada de Laplace de x(t) y aplicando la transformada de la Laplace en la anterior ecuación se tiene que s 2 X(s) 3s + 4X(s) = 8e 2πs. De esta manera, X(s) = 3s s 2 + 4 + 8e 2πs s 2 + 4.

2 Lección 2. Transformada de Laplace Antitransformando obtenemos que 3 cos(2t), si t < 2π, x(t) = 3 cos(2t) + 4u 2π (t) sen(2t) = 3 cos(2t) + 4 sen(2t), si t > 2π. La función 3 cos(2t) + 4 sen(2t) tiene amplitud 5, por lo que la solución pasa de tener amplitud 3 a 5 tras el instante 2π. La gráfica de x(t) es: Se observa que la solución es continua pero no es derivable en el punto t = 2π. Para justificar el anterior resultado es interesante ver el comportamiento de las soluciones de los problemas de valores iniciales cuando reemplazamos la fuerza externa 8δ 2π (t) por la función 8d n que asintóticamente aproxima la función delta. Concretamente, tomamos n si 2π t < 2π + 1/n, d n (t) = en otro caso, y consideramos el problema de valores iniciales x + 4x = 8d n (t), x() = 3, x () =. Llamaremos x n a la solución de este problema y X n a su transformada de Laplace. Aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuación y despejando X n (s) obtenemos que X n (s) = 3s s 2 + 4 + 8n e 2πs 8ne (2π+1/n)s s(s 2 + 4) s(s 2 + 4). Antitransformando deducimos que x n (t) = 3 cos(2t) + 2n [ cos(2(t 2π 1/n))u 2π+1/n (t) cos(2(t 2π))u 2π (t) ]. Esta función coincide claramente con x(t) si t < 2π. Por el contrario, si t > 2π concluimos que lím n + x n (t) = x(t). A continuación mostramos tanto la solución x(t) como x n (t) (esta última a trazo discontinuo) para n = 2 y n = 1:

Ampliación de Matemáticas (GITI) Curso 213/14 21 Se puede apreciar que las funciones x n son suaves y cómo aproximan la solución original x(t). 5.5. La función de transferencia. Un circuito LRC o un muelle son ejemplos típicos de lo que en ingeniería se suele llamar un sistema. Si tenemos el circuito en reposo, continuará así salvo que le proporcionemos un estímulo externo, una fuerza electromotriz. Ante este estímulo el circuito responde con una corriente eléctrica. Análogamente, un muelle en reposo continuará así salvo que apliquemos un estímulo externo, que será una fuerza mecánica en este caso, a la que el muelle contestará moviéndose. En general, un sistema es un dispositivo que produce respuestas de salida y(t) a estímulos de entrada u(t). Tanto el circuito como el muelle son sistemas regidos por una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes ay (t) + by (t) + cy(t) = u(t) donde u(t) es el estímulo de entrada e y(t) es la respuesta de salida a dicho estímulo. En esta ecuación, el miembro izquierdo ay (t) + by (t) + cy(t) es, digamos, lo intrínseco al sistema, lo que hace que el sistema responda de una determinada manera ante el estímulo externo u(t). Se dice que un sistema es invariante en el tiempo cuando estímulos iguales, pero aplicados con una diferencia en el tiempo, producen respuestas iguales pero con la misma separación en el tiempo. Se dice que un sistema es lineal cuando la respuesta a la suma de dos estímulos es la suma de las respuestas a cada uno de ellos; esto se conoce como principio de superposición. Cuando el estímulo se produce en un instante dado, que se toma como t =, al no tener en cuenta lo que ocurre antes de ese instante, podemos poner u(t) = si t < y se dice u(t) que es una función causal. Se dice que el sistema es causal si la respuesta de salida a una función causal,

22 Lección 2. Transformada de Laplace es también una función causal o, en otras palabras, si la respuesta de salida y(t) en un instante t depende sólo de los valores del estímulo u(τ) con τ t, o sea en ese instante y en instantes anteriores. Los sistemas gobernados por ecuaciones diferenciales lineales de segundo (o mayor) orden con coeficientes constantes y condiciones iniciales dadas en t = son ejemplos de sistemas lineales, causales e invariantes en el tiempo. Dado un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo, se define su función de transferencia como el cociente entre las transformadas de Laplace de la repuesta de salida y el estímulo de entrada G(s) = Ly(t)} Lu(t)} = Y (s) U(s). Las propiedades de linealidad e invariancia en el tiempo permiten probar que esta función sólo depende de los componentes intrínsecos del sistema, no de la entrada que se tome; es decir, si y 1 (t) e y 2 (t) son las respuestas de salida a sendos estímulos u 1 (t) y u 2 (t) entonces Y 1 (s) U 1 (s) = Y 2(s) U 2 (s) = G(s). Esto se ve fácilmente en el caso de un sistema gobernado por la ecuación diferencial ay (t) + by (t) + cy(t) = u(t) que parte del reposo, es decir, con y() = y () =. Al aplicar la transformación de Laplace tenemos que U(s) Y (s) = as 2 + bs + c o, en otros términos, su función de transferencia es G(s) = 1 as 2 + bs + c = Y (s) U(s). Vemos que, efectivamente, la función de transferencia sólo depende de los componentes intrínsecos del sistema (a = L, b = R y c = 1/C en el caso de un circuito). Esto es así en muchos casos de interés y el conocimiento de la función de transferencia permite analizar completamente el sistema; yendo más lejos, se pueden diseñar sistemas con propiedades específicas, por ejemplo, un filtro de baja frecuencia o un amplificador, encontrando una función de transferencia adecuada. Si en la relación Y (s) = G(s)U(s) tomamos como estímulo de entrada la función delta de Dirac δ (t), entonces la transformada de Laplace de la respuesta del sistema será Y (s) = G(s), la función de transferencia, y su transformada inversa g(t) = L 1 G(s)}

Ampliación de Matemáticas (GITI) Curso 213/14 23 se llama respuesta al impulso unidad o función de transferencia en el dominio del tiempo. Si, en cambio, tomamos como estímulo de entrada la función de Heaviside u (t), entonces la transformada de Laplace de la respuesta del sistema será Y (s) = s 1 G(s) y su transformada inversa } G(s) a(t) = L 1 s se llama admitancia. Puesto que La(t)} = G(S), se tiene que la respuesta al impulso unidad es s la derivada de la admitancia: g(t) = a (t). Volviendo a la relación Y (s) = G(s)U(s) para un estímulo de entrada general u(t), si conocemos la respuesta al impulso unidad g(t), entonces se tiene que y(t) = L 1 G(s)U(s)} = (g u)(t) = t u(t τ)g(τ) dτ = t g(t τ)u(τ) dτ, o sea, la respuesta de salida es la convolución de la respuesta al impulso unidad con el estímulo de entrada. Esta igualdad se conoce como primera fórmula de Duhamel. Si en vez de la respuesta al impulso, lo que conocemos es la admitancia a(t), entonces se tiene que Y (s) = sla(t)}lu(t)} = sla u}, luego y(t) = d dt (a u)(t) = d dt t u(t τ)a(τ) dτ = a(t)u() + t u (t τ)a(τ) dτ que se conoce como segunda fórmula de Duhamel. De nuevo vemos que el conocimiento de g(t) o de a(t) caracterizan el sistema. 6. Bibliografía recomendada. El contenido de esta lección se corresponde con el Capítulo 7 del libro de [1]. Es muy importante recordar a los alumnos que deben repasar el tema de integrales impropias de las asignaturas cursadas en primer curso. Referencias [1] C.H. Edwards y D. e. Penney, ecuaciones diferenciales y problemas con valores frontera, editorial Pearson, Cuarta edición, 29. [2] R.K. Nagle y e.b. Saff, Fundamentos de ecuaciones diferenciales, editorial Addison-Wesley Iberoamericana, segunda edición, 1999.

24 Lección 2. Transformada de Laplace [3] R.K. Nagle, e.b. Saff y A.D. Snider, ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, editorial Pearson, cuarta edición, 25. [4] G.F. Simmons, ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas, editorial Mc- GrawHill, segunda edición, 1995. 7. Ejercicios. Ejercicio 1. Cuál es la transformada de Laplace de la función que a cada número real le asigna su parte entera? Ejercicio 2. Comprueba que las siguientes funciones f tienen la transformada de Laplace F que se indica. 1. f(t) = (t 2) 3 u (t 2) F (s) = 6e 2s s 4. 2. f(t) = u (t 2π)sen (t) F (s) = e 2πs s 2 +1. 3. f(t) = t sen(at) F (s) = 2as(s 2 + a 2 ) 2. 4. f(t) = e t cos(2t) + 3e t sen(2t) F (s) = s+7 s 2 +2s+5. Ejercicio 3. Las siguientes funciones f se definen sobre un intervalo y se extienden periódicamente. Dibújalas y halla sus transformadas de Laplace. 1. La función rectangular de período T k, si < t < T/2; f(t) = k, si T/2 < t < T. 2. La función de onda dentada f(t) = t/t para < t < T. 3. La función de onda triangular t/t, si < t < T ; f(t) = (2T t)/t, si T < t < 2T. 4. La función de onda sinusoidal rectificada f(t) = sen (πt/t ) si < t < T. 5. La función de onda sinusoidal semi-rectificada sen(πt/t ), si < t < T ; f(t) =, si T < t < 2T.

Ampliación de Matemáticas (GITI) Curso 213/14 25 Ejercicio 4. Comprueba que las siguientes funciones F (s) tienen la transformada inversa de Laplace f(t) que se indica. (1) 1 s 5 F (s) f(t) F (s) f(t) t4 3s+5 (2) 3 cos(2t) + 5 sen (2t) 24 s 2 +4 2 te 2t 1 1 (3) t sen (t) (4) s 2 +s 4 (s+2) 2 (5) e 2s /s u (t 2) (6) e 2s 3 3(t 2)u s 2 (t 2) (7) e 4s 3 s 2 3e2(t 4) s u (t 4) (8) s 2 +4s+5 e 2t (cos(t) 2sen (t)) a (9) s(s a) eat 2 1 (1) (s+1)(s 2 +1) (e t + sen (t) cos(t)). Ejercicio 5. Enuncia la propiedad de la transformada de Laplace de una integral y úsala para calcular la transformada de Laplace de la función definida para t por f(t) = t τ 2 e τ dτ. Ejercicio 6. Halla la transformada de Laplace inversa de F (s) = 1 2s. s(s 2 +1) Ejercicio 7. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial usando el método de la transformación de Laplace. 1. y + y = t con y() = 1 e y () = 2. 2. y 3y + 2y = 4t 6 con y() = 1 e y () = 3. 3. y 6y + 9y = t 2 e 3t con y() = 2 e y () = 6. 4. y + 2y + 2y = e t sen (t) con y() = 1 e y () = 1. 5. y y 2y = 4t 2 con y() = 1 e y () = 4. Ejercicio 8. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial con término independiente continuo a trozos 1. y + y = t, si < t < 1;, en otro caso, con y() =. 2. y + 4y = 8π 4t, si < t < 2π;, en otro caso, con y() = 2, y () =.

26 Lección 2. Transformada de Laplace cos(4t), si < t < π; 3. y + 16y =, en otro caso,, si < t < 2; 4. y + 3y + 2y = e 3t, en otro caso, con y() =, y () = 1. con y() = 2, y () = 3. 5. y + 3y + 2y = 1, si < t < 1;, en otro caso, con y() =, y () =. Ejercicio 9. Resuelve el problema de valor inicial y + y = 1 t 2, si < t < 1;, en otro caso, cony() = 1. Ejercicio 1. (1) Resuelve el problema de valor inicial f (t) + tan(t)f(t) = 1 cos(t) con f() =. (2) Resuelve, usando la transformación de Laplace, el problema de valor inicial y (t) + y(t) = f(t), si < t < 2π;, en otro caso, con y() = 1 e y () =. siendo f(t) la solución del apartado anterior. Escribe el valor y(8) con tres cifras decimales.