MÓDULO 8: VECTORES Física Magnitud vectorial. Elementos. Producto de un vector por un escalar. Operaciones vectoriales. Vector unitario. Suma de vectores por el método de componentes rectangulares. UTN Facultad Regional Trenque Lauquen 29/01/2015
MÓDULO 8: VECTORES Física MAGNITUD VECTORIAL Es aquella magnitud que aparte de conocer su valor numérico y su unidad respectiva, es necesario conocer también la dirección y sentido para que así dicha magnitud logre estar perfectamente determinada. Veamos un ejemplo sencillo: Si una persona desea disparar una flecha al blanco, ella debe conocer la fuerza (módulo) mínima que debe aplicar a la flecha para que ésta se incruste en el tablero; pero supongamos que a dicha persona después de conocer la distancia de ella al blanco, le tapan los ojos. Sabrá a donde apuntar?, la respuesta es no, pues conocerá cuanto debe tirar de la cuerda pero no sabrá hacia donde. Qué falta? le falta la ubicación del blanco (dirección y sentido). Queda demostrado entonces que la fuerza es una magnitud vectorial, pues aparte del valor y unidad respectiva, se necesita la dirección y sentido. VECTOR Es un segmento de línea recta orientada que sirve para representar a las magnitudes vectoriales. ; se lee vector A vector A ; se lee: Módulo del 1
Elementos de un vector: A) Punto de aplicación.- Está dado por el origen del vector. B) Intensidad, módulo o magnitud.- Es el valor del vector, y generalmente, está dado en escala. Ejemplo: 5 unidades de longitud equivale a 5 N (si se tratase de fuerza). C) Sentido.- Es la orientación del vector. D) Dirección.- Está dada por la línea de acción del vector o por todas las líneas rectas paralelas a él. Algunos tipos de vectores: A) Vectores colineales: Son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de acción. B) Vectores concurrentes: Son aquellos vectores cuyas líneas de acción, se cortan en un solo punto. C) Vectores coplanares: Son aquellos vectores que están contenidos en un mismo plano. D) Vectores iguales: Son aquellos vectores que tienen la misma intensidad, dirección y sentido. 2
E) Vector opuesto (-A): Se llama vector opuesto (-A) de un vector A cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentido contrario. Producto de un vector por un escalar Cuando un vector se multiplica por un escalar, resulta otro vector en la misma dirección y de módulo igual a tantas veces el escalar por el módulo del vector dado. Ejemplos. Operaciones vectoriales Adicción de vectores Sumar dos o más vectores, es representarlos por uno sólo llamado resultante. Este vector resultante produce los mismos efectos que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la suma aritmética. 3
Adición de vectores Método gráfico A) Método del Paralelogramo Este método es válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes, para hallar la resultante se une a los vectores por el origen (deslizándolos) para luego formar un paralelogramo, el vector resultante se encontrará en una de las diagonales, y su punto de aplicación coincidirá con el origen común de los dos vectores. B) Método del Triángulo Válido sólo para dos vectores concurrentes y coplanares. El método es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a continuación del otro para luego formar un triángulo, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el triángulo y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector. 4
C) Método del Polígono Válido sólo para dos o más vectores concurrentes y coplanares. El método es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a continuación del otro para luego formar un polígono, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el polígono y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector. En el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del último, el vector resultante es nulo; y al sistema se le llama polígono cerrado. En la adición de vectores se cumplen varias propiedades, éstas son: Propiedad Conmutativa: Propiedad Asociativa: Adición de vectores Método Analítico A) Suma de Vectores Colineales: En este caso la resultante se determina mediante la suma algebraica de los módulos de los vectores, teniendo en cuenta la siguiente regla de signos. Ejemplo: Determinar la resultante de los siguientes vectores: 5
Sabiendo: ; Solución: Teniendo en cuenta la regla de signos: El signo negativo indica que el vector está dirigido hacia la izquierda. B) Suma de Vectores Concurrentes y Coplanares: En este caso el módulo de la resultante se halla mediante la siguiente fórmula. La dirección del vector resultante se halla mediante la ley de senos. Caso particular Si: Resultante Máxima y Mínima de dos vectores Resultante Máxima Dos vectores tendrán una resultante máxima cuando éstos se encuentren en la misma dirección y sentido ( ). 6
Resultante Mínima Dos vectores tendrán una resultante mínima cuando éstos se encuentren en la misma dirección; pero en sentidos contrarios ( ). Sustracción de vectores A) Método del Triángulo: En este caso se unen los dos vectores por sus orígenes y luego se unen sus extremos, el vector D será el vector diferencia. B) Método del Paralelogramo: En este caso se invierte el sentido del vector que está acompañado del signo negativo; y luego se sigue el mismo procedimiento para adición de vectores por el método del paralelogramo. 7
Componentes de un vector Se denominan componentes de un vector a todos aquellos vectores que sumados por el método del polígono, dan como resultado un determinado vector. Hay que tomar en cuenta que un vector puede tener infinitas componentes. son componentes del vector. Componentes rectangulares de un vector Son aquellos vectores componentes de un vector que forman entre sí un ángulo de 90. Vector unitario Es un vector cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector. A dicho vector se le llama también versor. = vector unitario de. Versores rectangulares Son aquellos vectores unitarios que se encuentran en los ejes coordenados rectangulares. : Vector unitario en el eje x (positivo). : Vector unitario en el eje x (negativo). : Vector unitario en el eje y (positivo). : Vector unitario en el eje y (negativo). Ahora tendremos: ó 8
Ejemplo de aplicación: En el sistema mostrado en la figura, expresar el vector A en términos de los vectores unitarios rectangulares, sabiendo que su módulo es de 30 unidades. Suma de vectores por el método de componentes rectangulares Para hallar la resultante por este método, se sigue los siguientes pasos: 1.- Se descomponen los vectores en sus componentes rectangulares. 2.- Se halla la resultante en el eje x e y (, ), por el método de vectores colineales. 3.- El módulo del vector resultante se halla aplicando el teorema de Pitágoras. Ejemplo: En el sistema de vectores mostrado en la figura. Hallar el vector resultante y su módulo. Solución: Por motivos didácticos, trabajaremos con números. 9
Por lo tanto, 10
Problemas de aplicación 1. Se tienen dos fuerzas iguales a 10 N cada una, como muestra la figura, determinar el valor de su resultante. 2. Cuál es la resultante en N, de dos fuerzas de 10 N de módulo cada una, si forman entre sí un ángulo de 90? 11
3. Encontrar la magnitud del vector sabiendo que = 5 unidades, = 8 unidades. 4. Es posible aplicar a un cuerpo simultáneamente una fuerza de 6 kn y otra de 8 kn de modo que produzcan el mismo efecto de una sola fuerza. Determinar la magnitud de dicha fuerza (kn). 5. En la figura mostrada determinar las componentes del vector (en módulo),. 6. Sea el vector = ( ). Determinar un vector unitario en la dirección de. 7. Si: ; ;. Calcular 8. Determinar en la figura que se muestra, el ángulo para que la resultante quede en el eje. 9. Determinar la magnitud del vector resultante si cada cuadrado tiene de lado 10 m. 10. Respecto a los vectores, señalar verdadero o falso: I.- Al multiplicar un escalar positivo por un vector, se obtiene otro vector en el mismo sentido que el primero. II.- Al multiplicar un escalar negativo por un vector, se obtiene otro vector en sentido contrario al primero. III.- Un vector sólo puede ser descompuesto en dos vectores. N.A.: Ninguna de las anteriores. a) VFF d) FFF b) VVF e) FVV c) VVV f) N.A. 12