Nombre del alumno: Profesora Noelia Freita Colegio Pablo Neruda

Pasos para la resolución de un problema 1

Instancia Final de la Olimpíada Nacional de Matemática 2013 Nivel I A (4to. Año Escolar) PROBLEMA 1: Colocando signos de adición entre algunos de los dígitos del número 123456789 se puede obtener varias sumas. Por ejemplo, podemos obtener 279 con cuatro signos de adición; 123+4+56+7+89=279. Cuántos signos de adición son necesarios para que se obtenga de esa manera el número 63? Indica cómo ubicarlos. PROBLEMA 2: Con un cuadrado C, con un triángulo equilátero T y con un triángulo isósceles t, se armaron las figuras que se muestran a continuación. El perímetro de la Figura I es 104cm y el perímetro de la Figura II es 127cm. Cuánto mide el perímetro del cuadrado C, y de los triángulos T y t? PROBLEMA 3: Juan vive en la ciudad A y quiere visitar la ciudad D y luego regresar. Para eso debe pasar por las ciudades B y C, tanto a la ida como al regreso. Gracias a la información que obtuvo del Sistema de Autopistas, sabe que a la ida estarán habilitadas todas las carreteras a excepción de las rojas, y que al regreso estarán habilitadas todas las carreteras a excepción de las verdes. De cuántas formas diferentes puede organizar su viaje? (Los colores de las rutas se indican con la letra inicial encima). PROBLEMA 4: Aldo escribe en el primer renglón de un papel un número terminado en 7. Bea escribe en el siguiente renglón el resultado de sumarle al número de Aldo, el último dígito de ese número. Por ejemplo, si Aldo escribe 27 en el primer renglón, Bea escribe 34 en el segundo renglón. Luego, Bea va repitiendo esta operación. Cada vez, le suma al último número de la lista el último dígito de ese número y escribe el resultado en el renglón siguiente. No sabemos qué número terminado en 7 escribió Aldo, pero sabemos que en el décimo renglón, Bea escribió el número 4.984. Qué número escribió Aldo en el primer renglón? JUSTIFICA TODAS TUS RESPUESTAS 2

Comencemos con los problemas de 5º 1) Un obrero concluyó su trabajo en 20 días, trabajando 6 horas diarias. En cuántos días hubiera terminado ese trabajo, trabajando 8 horas diarias? 2) La señora Claudia, que trabaja en la cantina de la escuela, observa que si agrupa los alfajores que tiene para vender en grupos de 10 o de 12 alfajores, siempre le sobran 9. Si los venden a $5 c/u sabe que obtiene una suma entre $900 y $1000. Cuántos alfajores hay para vender? 3) Antonio, Beto y Carlos corrieron una carrera. Se sabe que: El ganador fue Antonio o Beto. Si Beto ocupó el segundo lugar, Carlos fue el ganador. Si Beto ocupó el tercer lugar, Antonio no fue el ganador. Beto o Carlos ocuparon el segundo lugar. En qué orden llegaron a la meta? 4) Un terreno cuadrado se ha dividido en 5 terrenos rectangulares, como se ve en la figura. El perímetro de cada terreno rectangular es 150 metros. Cuál es el perímetro del terreno cuadrado? 6) Con un cuadrado C, un triángulo equilátero T y un triángulo isósceles t, se armaron las figuras que se muestran a continuación. El perímetro de la figura I es 96 cm. El perímetro de la figura II es 134 cm. Cuáles son los respectivos perímetros del cuadrado C, del triángulo equilátero T y del triángulo isósceles t? 3

7) 8) Cuántos triángulos se pueden construir cuyos lados tengan medidas enteras y su perímetro sea 12 cm? 9) El número del casillero de Ana es un número múltiplo de 5 de tres dígitos. El dígito de las decenas es la suma del dígito de las centenas y el dígito de las unidades. La suma de todos los dígitos del número es 16. Ningún dígito se repite. Cuál es el número del casillero de Ana? 10) Cuál es el dígito de las unidades de 2 2016? 11) La figura muestra los distintos caminos que tiene Oscar para ir de su casa a la escuela. Por ejemplo 1, 3 y 6 es un posible camino. Cuántos caminos diferentes hay que conducen a Oscar de su casa a la escuela? 4

12) Cici arma triángulos con palitos y bolitas como muestra la figura. Cuántos palitos y cuántas bolitas tendrá la figura 2011? 13) En la escuela se hace una rifa. Para ello se utiliza una libreta numerada correlativamente del 1 al 200. Si quiero comprar los números que tienen al dígito 5 y son divisibles por 5 a la misma vez, Cuántos números voy a comprar? 14) Matías olvidó la contraseña para entrar a su usuario en la sala de informática. Recuerda que es un número de tres dígitos. El dígito de las decenas es 5, el número es mayor que 500 y divisible por 3. Cuáles son las posibles contraseñas de Matías? 15) La cédula de identidad del abuelo de Ana es un número de 6 dígitos como éste: 741.92_. Lamentablemente se ha borrado el dígito de las unidades pero él recuerda que el número de la cédula es divisible por 6. Cuál es el número de cédula de identidad del abuelo de Ana? 17) Las edades de cuatro amigos son números naturales pares consecutivos. El promedio de sus edades es 29. Qué edad tiene el mayor de los amigos? 18) ABCD está dividido en 8 rectángulos y un cuadrado de 4 cm de perímetro, como lo muestra la figura. El perímetro está marcado dentro de ellos. Cuál es el perímetro del ABCD? 5

Instancia Final de la Olimpíada Nacional de Matemática 2013 Nivel I B (5to. Año Escolar) PROBLEMA 1: Carlos tiene varios hijos. Actualmente, la suma de las edades de sus hijos es 100, pero hace algunos años era 86, dentro de algunos años más, la suma será de 121. Cuántos hijos tiene Carlos? PROBLEMA 2: Cuántos números enteros mayores que 10 y menores o iguales que 2013 cumplen que la suma de todos sus dígitos es igual a 6? Nota: Los dígitos son; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. PROBLEMA 3: Un bolillero contiene 30 bolillas numeradas del 1 al 30. Ana elige 6 bolillas, anota los números en su cuaderno y las devuelve al bolillero. Beto saca 9 bolillas, anota los números en su cuaderno y las devuelve al bolillero. Los números que escribió Ana son todos consecutivos y los números que escribió Beto también son todos consecutivos. Carlos observó que la suma de los números que escribió Ana es igual a la suma de los números que escribió Beto. Qué números escribió cada uno? Dar todas las posibilidades. PROBLEMA 4: En la figura, FCDE es un cuadrado, GHF, FHC y HBC son triángulos equiláteros y GAB es un triángulo isósceles, GA = AB. El perímetro de la figura ABCDEFG es 130 cm. El perímetro de ABG es 2 cm más que el perímetro de EDCHF. Cuál es el perímetro de FCHG? Cuál es el perímetro de GAB? JUSTIFICA TODAS TUS RESPUESTAS 13

Instancia Final de la Olimpíada Nacional de Matemática 2012 Nivel I (5to. Año escolar) PROBLEMA 1: Si al número de 3 dígitos ABC se resta el número de dos dígitos C6 se obtiene por resultado el número AA9. Sabiendo que a letras diferentes corresponden dígitos diferentes, calcular los posibles valores del número ABC. PROBLEMA 2: Nicolás tiene un bidón que contiene 3 litros de una mezcla de agua y jugo de limón. En dicha mezcla el 50 % es agua. Por otro lado, Fabricio tiene dos botellas que contienen, cada una, 1 litro de otra mezcla también de agua y jugo de limón, pero en esta mezcla el 25 % es jugo de limón. Nicolás y Fabricio deciden verter ambas mezclas en un bidón de 5 litros, obteniéndose una mezcla definitiva de agua y jugo de limón. Cuál es el porcentaje de jugo de limón de esta última mezcla? PROBLEMA 3: Los números 543 o 542 tiene sus tres dígitos en orden decreciente, en cambio el número 533 no tienen sus dígitos en orden decreciente. Cuántos números entre 100 y 800 tienen sus dígitos en orden decreciente? PROBLEMA 4: Se dividen los lados del triángulo ABC del siguiente modo: AB en dos partes iguales, BC en tres partes iguales y CA en cuatro partes iguales. El área de la región sombreada es de 11cm 2 Determinar el área del triángulo ABC. JUSTIFICA TODAS TUS RESPUESTAS 14

Instancia Final Olimpíada Nacional de Matemática 2011 Nivel I B (5to. Año escolar) PROBLEMA 1: Nacho pensó un número de dos dígitos con las siguientes características: el dígito de las decenas es mayor que el dígito de las unidades, la diferencia entre las cifras es mayor que 3, la suma de los dígitos es mayor que 10, el número es múltiplo de 12. Qué número pensó Nacho? PROBLEMA 2: En la papelería venden lápices bicolores (de dos colores). Cada lado de un lápiz es de distinto color al otro lado y es de alguno de los colores rojo, naranja, amarillo, verde, azul, negro o violeta. Cuántos lápices necesito comprar para garantizar que tendré 2 lápices iguales si el señor de la papelería no me deja elegirlos? PROBLEMA 3: Se construye la siguiente secuencia de figuras, con cuadrados de 1cm de lado, siguiendo cierta regla de formación. Cuál es el valor del perímetro de la figura 2.011? Cuántos cuadraditos tiene esa figura? 15

PROBLEMA 4: Nadia practica gimnasia olímpica. En los torneos los jueces le dan un puntaje del 1 al 10, sólo número naturales (1, 2, 3,.10) En un torneo 6 jueces la califican del siguiente modo: el promedio de puntaje dado por los cuatro primeros jueces es 9.25 el promedio de puntajes dados por los cuatro últimos jueces es 9.75 el promedio de puntajes dados por los seis jueces es 9.50 Qué puntaje obtuvo de cada juez? Dar todas las posibilidades. NOTA: El promedio de varios números es igual a la suma de todos ellos dividida entre el número de sumandos. Por ejemplo el promedio de 2, 7, 6 es (2+7+6) 3 = 5 PROBLEMA 5: En la figura puedes ver un pentágono regular ABCDE y un rectángulo EDNM que tienen el mismo perímetro. El perímetro de la figura ABCDNME es 104cm. Un punto R esta ubicado sobre el segmento AC de modo que RC=BC. El triángulo BCR tiene 34cm de perímetro. Cuál es la medida del perímetro del triángulo ABR? Determina la medida de los ángulos del cuadrilátero ACDE. JUSTIFICA TODAS TUS RESPUESTAS 16