SOLUCIÓN REPASO EXAMEN 1. El gráfico muestra la distribución de las cargas máximas (toneladas) que soportan ciertos cables producidos por una empresa: 35 30 30 25 n de clables 20 15 15 20 18 11 5 6 0 9,2-9,8 9,8 -,4,4-11,0 11,0-11,6 11,6-12,2 12,2-13,0 Carga Máxima (ton) a) Basándose en la información que proporciona el gráfico, complete la siguiente tabla de frecuencias con: Intervalos, marca de clase, frecuencia absoluta, frecuencia absoluta acumulada, frecuencia relativa y frecuencia relativa acumulada. Carga máxima (Ton) mc f F h H 9,2-9,8 9,5 6 6 6 6 9,8 -,4,1 15 21 15 21,4-11,0,7 20 41 20 41 11,0-11,6 11,3 30 71 30 71 11,6-12,2 11,9 18 89 18 89 12,2-13,0 12,6 11 0 11 0 Totales 0 0
b) Interprete f 1, h3, F6, H 4. f 1: Hay 6 cables que soportan entre 9,2 y 9,8 toneladas de carga h 3 : El 20% de los cables soportan entre,4 y 11 toneladas de carga F 6 : Los 0 cables soportan como máximo 13 toneladas de carga H 4 : El 71% de los cables soporta como máximo 11,6 toneladas de carga c) Calcule la media. Interprete el resultado. 1114,3 x = = 11,143 0 La carga máxima promedio de los cables es 11,143ton. d) Cuánto soportan como mínimo el 25% de los cables más resistentes? Explique. 75 0 71 P 11,6 0 75 = + 0,6 = 11,73 18 El 25% de los cables más resistentes soportan por lo menos 11,73ton. 2. Se llevó a cabo un estudio para ver cómo afecta la privación del sueño la habilidad de los individuos para resolver problemas sencillos. La cantidad de horas sin dormir (X) varía entre 8 y 24. Después del periodo de privación del sueño se asignó a cada uno de los individuos un conjunto de problemas sencillos y se registró el número de errores cometidos (Y). La tabla siguiente resume los resultados obtenidos: X Y 6 - - 13 13 15 8 14 3 1 0 14 20 1 0 1 20 24 0 1 3
a) En cuál grupo la variable correspondiente al número de errores cometidos (Y) presenta mayor homogeneidad, en el de las personas con menor privación del sueño (8 a 14 horas) o en el de las personas con mayor privación del sueño (20 a 24 horas)? Explique ( y / 8 x < 14) = 8, 875 ( Sy / 8 x < 14) = 1, 516 1,516 8.875 ( CVy / 8 x < 14) = 0 = 17,082% ( y / 20 x 24) = 13, 375 ( Sy / 20 x 24) = 1, 083 1,083 13,375 ( CVy / 20 x 24) = 0 = 8,097% La distribución del número de errores cometidos por aquellas personas con mayor privación de sueño presenta mayor homogeneidad que en los que fueron sometidos a menor privación de sueño, pues: ( CVy / 8 x < 14) > ( / 20 x 24) CVy. b) Calcule el coeficiente correlación lineal, r. Interprete su valor numérico y su signo. S 9,89 r = = = 0,75 S S 4,92 2,69 x y Luego, existe una cierta relación lineal entre las variables: número de errores cometidos y cantidad de horas sin dormir. Además r >0, por lo que la relación entre las variables es creciente. c) Determine el modelo lineal, Y = a + b X, y según éste calcule cuántos errores cometería una persona que ha pasado 18 horas sin dormir. = S b = 0,41 a = y b x = 4, 33 2 S x y = 4,33 + 0, 41x y ( 18) = 4,33 + 0,41 18 = 11,71
Según el modelo lineal, el número de errores que cometería una persona que ha pasado 18 horas sin dormir sería aproximadamente 12. 3. Hay dos métodos A y B para enseñar cierta destreza industrial. Como el método B es más caro, se aplica sólo el 30% del tiempo (el otro 70% se emplea el A). El porcentaje de fracaso del método A es de 20% y el de B de %. Sean: A: Se usa el método A B: Se usa el método B F: El método fracasa NF: El método no fracasa a) Un empleado fue capacitado con uno de estos métodos. Cuál es la probabilidad de que fracase? F) = F / A) A) + F / B) B) = 0,2 0,7 + 0,1 0,3 = 0,14 + 0, 03 = 0, 17 La probabilidad de que un empleado fracase después de la capacitación es 0,17 b) Una trabajadora que recibió capacitación, no aprendió la destreza correctamente. Cuál es la probabilidad de que se le haya enseñado con el método A? F / A) A) 0,2 0,7 A / F) = = = 0, 82 F) 0,17 La probabilidad que la empleada que no aprendió correctamente la destreza haya sido capacitada con el método A es 0,82.
4. Una empresa de jugo de naranja emplea una máquina para envasarlo que llena automáticamente botellas de vidrio de 500ml de capacidad. a) Antes de ser llenadas con el jugo las botellas pasan por un control de calidad, pues en general el 2% de estas posee algún defecto. Sea X la v.a. discreta con distribución binomial correspondiente al número de botellas defectuosas que se detectan. Si se someten a control botellas, determine el recorrido y los parámetros de la distribución de la v.a. X. n = Rec X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } p = 0,02 q = 0,98 b) Hallar la probabilidad que de las botellas al menos 2 sean defectuosas. P ( X 2) = 1 [ X < 2)] = 1 [ X = 0) + X = 1)] = 1 0,02 0 0 0,98 1 9 + 0,02 0,98 = 0,0161 1 La probabilidad que de las botellas al menos 2 sean defectuosas es 0,0161 c) Se observó que la cantidad de líquido contenido en las botellas se aproxima a una distribución normal con media μ =500ml y desviación estándar σ =ml. Cuál es la probabilidad que una botella se llene con menos de 480ml? Sea 500 = X 480 500 Z, luego: X < 480) = P Z < = Z < 2) = 0,0227 La probabilidad que una botella se llene con menos de 480ml es 0,0227 d) Los distribuidores de este producto hacen un pedido de 1.000 botellas con este jugo. Cuántas de estas botellas contendrán más de 480ml? La probabilidad de que una botella contenga más de 480ml es 1-0,0227, esto es 0,9773. El 97,73% de 1.000 es 977,3 Aproximadamente, 977 botellas contendrán más de 480ml de jugo de naranja