Optimización y Programación Lineal

Optimización y Programación Lineal La regla del 100 % 17 de febrero de 2011 La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 1 / 21

Introducción Introducción Veamos ahora cómo utilizar la salida de LINDO para determinar si la solución encontrada continua siendo óptima cuando se cambian dos o más parámetros en la función objetivo o en los lados derechos La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 2 / 21

Dos o más cambios en z: Caso 1 Dos o más cambios en z: Caso 1 1 Los coeficientes que cambian son relativos a variables que tienen, todos, costo reducido diferentes de cero: La solución encontrada sigue siendo óptima si y sólo si el cambio en cada variable se encuentra dentro del intervalo permisible. La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 3 / 21

Dos o más cambios en z: Caso 2 Dos o más cambios en z: Caso 2 2 Hay al menos una variable cuyo coeficiente cambió y ésta tiene costo reducido cero: Se define: c j = coeficiente de x j en z c j = cambio en c j I j = máximo incremento permisible para c j D j = máximo decremento permisible para c j Para cada x j, definamos r j = c j /I j si c j 0 y r j = c j /D j si c j < 0. Así, siempre r j 0. La solución permanece óptima si n r i 1 i=1 La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 4 / 21

Modelo 1 Modelo 1 Mi dieta requiere que toda la comida que yo como sea de uno de los 4 grupos básicos. (Pastelillos de chocolate, nieve, refresco y pay de queso) Las cuatro comidas están disponibles en las presentaciones: brownies, nieve de chocolate, Cola y pay de queso con piña. Cada brownie cuesta 50 centavos de dolar, cada cucharada de nieve de chocolate cuesta 20 centavos, cada botella de Cola cuesta 30 centavos de dolar y cada rebanada de pay de queso con piña cuesta 80 centavos. Cada día yo debo ingerir al menos 500 calorias, 6 oz de chocolate, 10 onzas de azúcar y 8 onzas de grasa. La tabla con la información nutrimental se da a continuación. Modele y resuelva el problema de encontrar un plan alimenticio de mínimo costo. Tipo Calorias Chocolate(Onzas) Azúcar(Onzas) Grasa(Onzas) Brownie 400 3 2 2 Nieve chocolate (1 cucharada) 200 2 2 4 Cola (1 botella) 150 0 4 1 Pay (1 rebanada) 500 0 4 5 Suponga que el precio de los brownies sube hasta los 60 centavos y que el precio del pay disminuye hasta los 50 centavos, seguirá siendo óptima su solución? La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 5 / 21

Modelo 1 Modelo: La dieta se describe indicando la cantidad de productos a consumir, por tanto las variables de decisión son: x 1 = número de brownies al día (x 1 0), x 2 = número de cucharadas de nieve de chocolate al día (x 2 0), x 3 = número de botellas de Cola al día (x 3 0), y x 4 = número de rebanadas de pay de queso con piña al día (x 4 0). Lo que se pretende es minimizar el costo de la dieta, por tanto el objetivo es: Minimizar z = 50 x 1 + 20 x 2 + 30 x 3 + 80 x 4 (en centavos) Las restricciones se imponen por los requerimientos Consumo Requerimiento 400 x 1 + 200 x 2 + 150 x 3 + 500 x 4 500 Calorías 3 x 1 + 2 x 2 6 Chocolate onzas 2 x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 + 4 x 4 100 Azúcar onzas 2 x 1 + 4 x 2 + x 3 + 5 x 4 8 Grasa onzas La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 6 / 21

Modelo 1 MIN 50 X1 + 20 X2 + 30 X3 + 80 X4 SUBJECT TO 2) 400 X1 + 200 X2 + 150 X3 + 500 X4 >= 500 3) 3 X1 + 2 X2 >= 6 4) 2 X1 + 2 X2 + 4 X3 + 4 X4 >= 10 5) 2 X1 + 4 X2 + X3 + 5 X4 >= 8 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 90.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 27.500000 X2 3.000000 0.000000 X3 1.000000 0.000000 X4 0.000000 50.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 250.000000 0.000000 3) 0.000000-2.500000 4) 0.000000-7.500000 5) 5.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 50.000000 INFINITY 27.500000 X2 20.000000 18.333334 5.000000 X3 30.000000 10.000000 30.000000 X4 80.000000 INFINITY 50.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 500.000000 250.000000 INFINITY 3 6.000000 4.000000 2.857143 4 10.000000 INFINITY 4.000000 5 8.000000 5.000000 INFINITY Deducimos que el plan productivo que minimiza el costo es X 1 = 0, X 2 = 3, X 3 = 1 y X 4 = 0 y tal dieta tiene un costo de 90 centavos. Suponga ahora que el precio brownies (X 1) aumenta hasta 60 centavos y que el precio de la rebanada de pay disminuye (X 4) hasta los 50 centavos. El plan de dieta sigue siendo óptimo? Estos cambios afectan sólo a la función objetivo. Como ambas variables (X 1 y X 4) tienen costos reducidos diferentes de cero, estamos en una situación donde aplica el caso 1. La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 7 / 21

Modelo 1 Ejemplo 1 (ejemplos-filminas-sensibilidad.doc: Dieta) Suponga ahora que el precio brownies (X 1) aumenta hasta 60 centavos y que el precio de la rebanada de pay disminuye (X 4) hasta los 50 centavos. El plan de dieta sigue siendo óptimo? OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 90.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 27.500000 X2 3.000000 0.000000 X3 1.000000 0.000000 X4 0.000000 50.000000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 50.000000 INFINITY 27.500000 X2 20.000000 18.333334 5.000000 X3 30.000000 10.000000 30.000000 X4 80.000000 INFINITY 50.000000 Parte del reporte de LINDO La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 8 / 21

Modelo 1 Ejemplo 1 (ejemplos-filminas-sensibilidad.doc: Dieta) Suponga ahora que el precio brownies (X 1) aumenta hasta 60 centavos y que el precio de la rebanada de pay disminuye (X 4) hasta los 50 centavos. El plan de dieta sigue siendo óptimo? OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 90.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 27.500000 X2 3.000000 0.000000 X3 1.000000 0.000000 X4 0.000000 50.000000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 50.000000 INFINITY 27.500000 X2 20.000000 18.333334 5.000000 X3 30.000000 10.000000 30.000000 X4 80.000000 INFINITY 50.000000 Parte del reporte de LINDO La solución encontrada sigue siendo óptima si y sólo si el cambio en cada variable se encuentra dentro del intervalo permisible. Como el rango para el coeficientes de X1 es el intervalo 22.5 = 50 27.5 x 50 + = y el rango para el coeficiente de X4 es en el intervalo 30 = 80 50 x 80 + =, y como ambos cambios están en rango, el plan alimenticio sigue siendo óptimo. La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 8 / 21

Modelo 1 Ejemplo 2 (ejemplos-filminas-sensibilidad.doc: Dieta) Suponga que el precio del brownie (X1) baja a 40 centavos y que el precio de la rebanada de pay (X4) baja a los 25 centavos. Será óptimo el plan? OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 90.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 27.500000 X2 3.000000 0.000000 X3 1.000000 0.000000 X4 0.000000 50.000000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 50.000000 INFINITY 27.500000 X2 20.000000 18.333334 5.000000 X3 30.000000 10.000000 30.000000 X4 80.000000 INFINITY 50.000000 Parte del reporte de LINDO La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 9 / 21

Modelo 1 Ejemplo 2 (ejemplos-filminas-sensibilidad.doc: Dieta) Suponga que el precio del brownie (X1) baja a 40 centavos y que el precio de la rebanada de pay (X4) baja a los 25 centavos. Será óptimo el plan? OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 90.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 27.500000 X2 3.000000 0.000000 X3 1.000000 0.000000 X4 0.000000 50.000000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 50.000000 INFINITY 27.500000 X2 20.000000 18.333334 5.000000 X3 30.000000 10.000000 30.000000 X4 80.000000 INFINITY 50.000000 Parte del reporte de LINDO Como las variables cuyos coeficientes se modificaron tienen ambas costo reducido diferente de cero, entonces el caso 1 se aplica. Los intervalos de variación calculados anteriormente son para el coeficiente de X1 el intervalo [22.5, ] y el coeficiente de X4 el intervalo [30, ]. Apesar de que el coeficiente de X1 en z esté en el intervalo de variación, al estar el coeficiente de X4 en z de 25 fuera de su intervalo de variación, estamos seguros que el óptimo ha cambiado y que debe resolverse el nuevo modelo. La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 9 / 21

Modelo 2 Modelo 2 Dakota Furniture fabrica escritorios, mesas y sillas. La manufactura de cada tipo de mueble requiere madera y dos tipos de trabajo especializado: carpintería y acabado. La cantidad de recursos que requiere cada tipo de mueble se da en la siguiente tabla. Recurso Escritorio Mesa Silla Unidades Madera 8 6 1 en pies Carpintería 4 2 1.5 en horas Acabado 2 1.5 0.5 en horas Se disponen de 48 pies de madera, de 8 horas de carpintería y de 20 horas para acabado. Cada escritorio se vende en 60 dólares, cada mesa en 30 dólares y cada silla en 20 dólares. La compañía cree que que la demanda de escritorios y sillas en ilimitada pero que se pueden vender a lo más 5 mesas. La compañía desea maximizar el ingreso total porque se han comprado los recursos. Resuelva el problema e indique si el plan productivo de la compañía se mantiene si el precio de los escritorios sube hasta 70 dólares y el precio de las sillas baja hasta los 18 dólares. La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 10 / 21

Modelo 2 Solución El plan productivo se define indicando la cantidad de cada producto a producir. Por tanto, las variables de decisión son: E = el número de escritorios a producir (E 0), M = el número de mesas a producir (M 0), y S = el número de sillas a producir (S 0) La función a optimizar es la venta, es decir: z = 60 E + 30 M + 20 S (en dólares) Las restricciones son impuestas por los recursos y las demandas: Utilizado/Producido Disponible/Límite 8 E + 6 M + S 48 (madera en pies) 4 E + 2 M + 1.5 S 20 (horas de acabado) 2 E + 1.5 M + 0.5 S 8 (horas de carpintería) M 5 (ĺımite de demanda de mesas) La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 11 / 21

Modelo 2 MAX 60 E + 30 M + 20 S SUBJECT TO 2) 8 E + 6 M + S <= 48 3) 4 E + 2 M + 1.5 S <= 20 4) 2 E + 1.5 M + 0.5 S <= 8 5) M <= 5 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 280.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST E 2.000000 0.000000 M 0.000000 5.000000 S 8.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 24.000000 0.000000 3) 0.000000 10.000000 4) 0.000000 10.000000 5) 5.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE E 60.000000 20.000000 4.000000 M 30.000000 5.000000 INFINITY S 20.000000 2.500000 5.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 48.000000 INFINITY 24.000000 3 20.000000 4.000000 4.000000 4 8.000000 2.000000 1.333333 5 5.000000 INFINITY 5.000000 Deducimos que el plan productivo que maximiza la ganancia es E = 2, M = 0, y S = 8 y tal plan da una venta de 280 dólares. Suponga ahora que el precio de los escritorios sube hasta los 70 dólares y que las sillas bajan hasta los 18 dólares. El plan productivo sigue siendo óptimo? Estos cambios afectan sólo a la función objetivo. Como al menos una de las variables (E y S) tienen costos reducidos cero, estamos en una situación donde aplica el caso 2. La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 12 / 21

Modelo 2 Ejemplo 3 (ejemplos-filminas-sensibilidad.doc: Dakota) Suponga ahora que el precio de los escritorios sube hasta los 70 dólares y que las sillas bajan hasta los 18 dólares. El plan productivo sigue siendo óptimo? OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 280.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST E 2.000000 0.000000 M 0.000000 5.000000 S 8.000000 0.000000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE E 60.000000 20.000000 4.000000 M 30.000000 5.000000 INFINITY S 20.000000 2.500000 5.000000 Parte del reporte de LINDO La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 13 / 21

Modelo 2 Ejemplo 3 (ejemplos-filminas-sensibilidad.doc: Dakota) Suponga ahora que el precio de los escritorios sube hasta los 70 dólares y que las sillas bajan hasta los 18 dólares. El plan productivo sigue siendo óptimo? OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 280.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST E 2.000000 0.000000 M 0.000000 5.000000 S 8.000000 0.000000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE E 60.000000 20.000000 4.000000 M 30.000000 5.000000 INFINITY S 20.000000 2.500000 5.000000 Parte del reporte de LINDO Para aplicar la regla del 100 %, hagamos los cálculos: Como Para E: C 1 = 70 60 = 10, I 1 = 20 y por tanto r 1 = 10/20 = 0.5. Para S: C 3 = 18 20 = 2, D 3 = 5 y por tanto r 3 = ( 2)/5 = 0.4. Para M: C 2 = 0, y por tanto r 2 = 0. 3 r i = r 1 + r 2 + r 3 = 0.5 + 0.0 + 0.4 = 0.9 < 1 i=1 el plan productivo original sigue dando la máxima ventaja. La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 13 / 21

Dos o más cambios en los lados derechos Dos o más cambios en los lados derechos Caso 1 Condición: Ninguna de las restricciones de los lados derechos que cambia es obligatoria (se cumple con = equivalentemente precio dual cero). Regla: La base (no la solución) sigue siendo óptima si y sólo si el cambio en cada lado derecho se encuentra dentro del intervalo permisible. La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 14 / 21

Dos o más cambios en los lados derechos Caso 2 Condición: Hay al menos una restricción obligada (precio dual diferente de cero) cuyo lado derecho cambia. Se define: b j = lado derecho de la restricción j b j = cambio en b j I j = máximo incremento permisible para b j D j = máximo decremento permisible para b j Para cada x j, definamos r j = b j /I j si b j 0 y r j = b j /D j si b j < 0. Así, siempre r j 0. Regla: n La base permanece óptima si r i 1 No se sabe que puede pasar si se excede 1: habrá casos donde la base sigue óptima y habrá otros donde deje de serlo. i=1 La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 15 / 21

Ejemplo 4 Ejemplo 4 Siguiendo con el ejemplo de la dieta, suponga que se disminuye el requerimiento de calorías hasta 400 y que el requerimiento de grasa aumenta a 10 onzas. Cómo se verá afectado el óptimo? Solución Como las restricciones afectadas no son obligadas pues sus variables de holgura y exceso son diferentes de cero entonces el caso 1 es aplicable. Determinemos los intervalos de variación de los lados derechos para mantener la solución: para la restricción 1: [250, ) = [500 250, 500 + ). para la restricción 4: [3, ) = 8 5, 8 + ] como los nuevos valores están en los intervalos de variación, la base óptima se preserva. El impacto en z No hay impacto en el costo. z nuevo = z anterior ( 100 0 + 2 0) = z anterior La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 16 / 21

Ejemplo 4 Las variables básicas son: Para calcular los valores de las variables básicas X 2, X 3 y E2 y E5 y las restricciones quedan: 200 X 2 + 150 X 3 E2 = 500 2 X 2 = 6 2 X 2 + 4 X 3 = 10 4 X 2 + X 3 E5 = 8 Para encontrar los nuevos valores de las variables básicas, tomamos en cuenta el cambio en los lados derechos, formamos la aumentada y la reducimos: 200 150 1 0 500 100 2 0 0 0 6 + 0 2 4 0 0 10 + 0 4 1 0 1 8 + 2 1 0 0 0 3 0 1 0 0 1 0 0 1 0 250 0 0 0 1 5 Dando como nuevos valores X 2 = 3 y X 3 = 1. Los cuales coinciden con los anteriores pues las variaciones en los lados derechos eran menores que los valores de las variables de exceso en la solución anterior. La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 17 / 21

Ejemplo 5 Ejemplo 5 Siguiendo con el ejemplo de la dieta, suponga que se aumenta la cantidad requerida de calorías en 50 unidades, se aumenta la cantidad requerida de chocolate en 1 onza, se reduce la de azúcar en 1 onza y se reduce la cantidad requerida de grasa en 1 onza Cuál será el valor del plan óptimo? OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1 90.00000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE CAL 500.000000 250.000000 INFINITY CHO 6.000000 4.000000 2.857143 AZU 10.000000 INFINITY 4.000000 GRA 8.000000 5.000000 INFINITY Como al menos uno de los lados derechos modificados corresponde a una restricción obligada debemos utilizar la regla del 100 %. cal = +50: r 1 = 50/250 = 0.2 cho = +1: r 1 = 1/4 = 0.25 azu = 1: r 3 = +1/4 = 0.25 gra = 1: r 4 = +1/ = 0 De donde r 1 + r 2 + r 3 + r 4 = 0.2 + 0.25 + 0.25 + 0 < 1. La base es óptima y podemos medir el impacto en el valor de z óptimo: La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 18 / 21

Ejemplo 5 Siendo óptima la base podemos calcular el valor de z óptimo: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 90.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 27.500000 X2 3.000000 0.000000 X3 1.000000 0.000000 X4 0.000000 50.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES CAL) 250.000000 0.000000 CHO) 0.000000-2.500000 AZU) 0.000000-7.500000 GRA) 5.000000 0.000000 z nuevo = z anterior por minimización ( (+50) = cal (0) =Dual Price de cal + (+1) = cho ( 2.500000) =Dual Price de cho + ( 1) = azu ( 7.5000000) =Dual Price de azu + ( 1) = gra (0) =Dual Price de gra ) = 85 La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 19 / 21

Ejemplo 6 Ejemplo 6 Siguiendo con el ejemplo de la dieta, suponga que se aumenta la cantidad requerida de chocolate hasta 8 onzas y que se reduce la de azúcar hasta 7 onzas. Cuál será el valor del plan óptimo? Solución Como al menos uno de los lados derechos modificados corresponde a una restricción obligada debemos utilizar la regla del 100 %. Para ello requerimos los cálculos: De donde b 1 = b 4 = 0, por tanto r 1 = r 4 = 0. b 2 = 8 6 = 2, I 2 = 4 y así r 2 = 2/4 = 0.5. b 3 = 7 10 = 3, D 3 = 4 y así r 3 = ( 3)/4 = 0.75. 4 r i = r 1 + r 2 + r 3 + r 4 = 0 + 0.5 + 0.75 + 0 = 1.25 > 1 i=1 como la regla no aplica no sabemos si la base sigue óptima. No podemos medir el impacto en z de los cambios; para determinar el impacto el modelo debe ejecutarse de nuevo. La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 20 / 21

Uso Uso Si lo que cambia son los coeficientes de las variables de decisión en la función objetivo, si la regla aplica, la solución ya encontrada con los valores de las variables de decisión nos siguen dando la solución óptima... Pero en caso de que lo que cambie sean los lados derechos de las restricciones es casi seguro que cambiarán los valores de las variables de decisión de óptimo, entonces de qué sirven la regla del 100 %? de qué sirve que la base sigua siendo óptima? En caso de aplicar, la regla permite calcular el impacto en el valor de z óptimo de los cambios en las restricciones. La regla del 100 % () Optimización y Programación Lineal 17 de febrero de 2011 21 / 21