REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NUCLEO ACADEMICO TACHIRA Estadistica Aplicada a la Educación CODIGO: HOC220 Distribuciones de Frecuencia y Gráficos Dr. Rodolfo Márquez M.Sc. Reinaldo Clemente COMPILADORES San Cristóbal, Abril 2011
Definición de Estadística La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones. Un estudio estadístico consta de las siguientes fases: Recogida de datos. Organización y representación de datos. Análisis de datos. Obtención de conclusiones. Conceptos de Estadística Población Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico. Individuo Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población. Muestra Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población. Muestreo El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población. Valor Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz. Dato Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.
Definición de variable Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población. Tipos de variable estadísticas Variable cualitativa Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos: Variable cualitativa nominal Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden. Por ejemplo: El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo. Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas, en las que existe un orden. Por ejemplo: 1. La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente. 2. Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º,... 3. Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce. Variable cuantitativa Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos: Variable discreta Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Por ejemplo: 1. El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3. Variable continua Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números. Por ejemplo: 1. La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.
2. En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales. Distribución de frecuencias La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente, se realizan tanto para datos simples como para datos agrupados. Tipos de Frecuencias Frecuencia absoluta o Frecuencia Simple (f i ) La frecuencia absoluta o frecuencia simple es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Se representa por f i. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N. + + + + = Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria. = Frecuencia Relativa (fr ó n i ) La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por n i. = La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.
Frecuencia Acumulada (F i ) La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. Se representa por F i. Frecuencia Relativa Acumulada (Fr a ó N i ) La frecuencia relativa acumulada es el cociente entree la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento. Ejemplo para Datos Simples Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas: 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29. En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta. x i 27 28 29 30 31 32 33 34 Conteo f i F i n i I 1 1 0.032 0..032 II 2 3 0.065 0..097 6 9 0.194 0..290 7 16 0.226 0.0516 8 24 0.258 0..774 III 3 27 0.097 0..871 III 3 30 0.097 0..968 I 1 31 0.032 1 31 1 N i Este tipo de tablas de frecuencias se utiliza con variables discretas.
Distribución de frecuencias para Datos Agrupados La distribución de frecuencias con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua. Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente. Números de la Clase ó Intervalos: Para calcular el tamaño de clase es necesario calcular primeramente el número de clases, es recomendable que no sean pocos los intervalos ó clases debido a que al condensar la pérdida de información sería importante con relación a los datos originales. Por otra parte, el número excesivo de clases, si bien produce poca pérdida de la información no simplifica el trabajo. Para calcular el número de clases existen diferentes métodos para realizarlas, en este curso las realizaremos bajos el esquema de dos autores: Ryan y Sturges al momento de calcular la cantidad de clases. El primer criterio para determinar el número de clases es el propuesto por Ryan en 1982 presentado en la siguiente tabla: Tabla de Ryan Nº de Datos Nº de Clases 8 a 16 4 17 a 32 5 33 a 64 6 65 a 128 7 129 a 256 8 257 a 512 9 514 a 1024 10 Para el segundo criterio se utilizará la regla de Sturges y después se obtiene el tamaño de clase dividiendo el rango entre el número de clases.
Nº de clases = 1 + 3.332 * log(n) Rango: Es el resultado de la sustracción del valor mayor menos el valor menor. Rango = Valor Mayor valor menor Tamaño de la Clase ó Intervalos: Es el resultado de dividir el Rango entre el Nº de clases Tamaño de clase = Rango / Nº de clases Límites de la Clase Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase. Estos representan el tamaño de cada clase. El límite inferior de la primer clase toma el valor del dato menor de la colección de datos, para obtener el límite inferior de la clase siguiente, se suma al límite inferior de la clase anterior el tamaño de clase. Amplitud de la Clase La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase. Marca de Clase ó Punto Medio de Clase (c i ó PM) La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros. Este se obtiene de la suma de los limites tanto inferior como superior y se divide entre 2. Punto Medio = (LS + li) / 2
Ejemplo 1: Bebes nacidos en un hospital (según el Criterio de Ryan) Se tiene un conjunto de 50 datos que representan el peso en kilogramos de los bebés nacidos en un hospital durante el mes de febrero y se desea representarlos mediante una tabla de frecuencias. Determinar el número de clases que se requieren para construir dicha tabla?. Solución. Nº de Clases = 6, de acuerdo a la tabla de Ryan. Ejemplo 2: Estudiantes de una Universidad (según el Criterio de Ryan) La siguiente tabla muestra el peso de 50 estudiantes entrevistados. 50 67 50 58 61 59 41 59 42 60 55 48 45 58 69 46 51 52 40 65 53 52 68 53 46 60 50 54 54 40 44 41 49 45 47 56 48 53 55 51 47 52 51 58 54 51 52 55 60 58 1. Ordenar los datos de menor a mayor. 2. Determinar el rango. 3. Construir los intervalos de clase con su respectiva frecuencia. 4. Determinar las frecuencias relativas. 5. Determinar las frecuencias relativas porcentuales. 6. Determinar las frecuencias acumuladas 7. Determinar las frecuencias acumuladas relativas. 8. Determinar las marcas de clase de cada intervalo. Solución. 1. Ordenando de menor a mayor la tabla queda ordenada como se indica enseguida: 40 44 47 50 51 52 54 56 59 65 40 45 47 50 51 53 54 58 59 66 41 45 48 50 52 53 55 58 60 67 41 46 48 51 52 53 55 58 60 68 42 46 49 51 52 54 55 58 61 69
2. Rango Rango = Valor Mayor - valor menor = (69-40) = 29 3. Para construir los intervalos de clase con su respectivas frecuencias se procede a determinar primeramente el tamaño de las clases usando la siguiente fórmula: Tamaño de Clase = Rango / Nº de clases = 29 / 6 = 4.83 Redondeando este valor se determina que el tamaño de las clases será igual a 5. Para los 50 datos, utilizando la tabla de Ryan, se emplearán 6 clases. Tamaño de Clase = 5 Teniendo estos valores se procede a realizar la tabla de frecuencias. Se empezará con el valor menor que es 40 y se toman 5 valores en orden ascendente de acuerdo al tamaño de clase que obtuvimos anteriormente, esto es: 40, 41, 42, 43 y 44. Por lo que el primer intervalo quedará como: 40-44, el segundo sería 45, 46, 47, 48, 49 (45-49), el tercero 50-54 y así sucesivamente hasta completar la tabla que se muestra enseguida: Clases fi 40-44 6 45-49 9 50-54 17 55-59 10 60-64 3 65-69 5 50
Clases fi Fa fr Fra fr % Fra % 40-44 6 6 0,12 0,12 12 12 45-49 9 15 0,18 0,30 18 30 50-54 17 32 0,34 0,64 34 64 55-59 10 42 0,20 0,84 20 84 60-64 3 45 0,06 0,90 6 90 65-69 5 50 0,10 1,00 10 100 50 1,00 100 De acuerdo a la tabla que se encuentra inmediatamente arriba de éstas líneas se obtiene lo siguiente: 4. Los valores de las frecuencias acumuladas (Fa) se obtienen sumando el valor anterior más el valor posterior. Por ejemplo, el valor de 15 se obtiene sumando 6 (valor anterior) más 9 (valor posterior), el 32, sumando 15 (valor anterior) más 17 (valor posterior) y así sucesivamente hasta completar el total de los 50 datos. 5. Los valores de la frecuencia relativa (fr) se obtienen dividiendo cada frecuencia entre el total de datos. Por ejemplo: 6/50 = 0.12, 9/50 = 0.18, así sucesivamente. 6. Los valores de las frecuencias relativa acumuladas (Fra) se obtienen sumando el valor anterior más el valor posterior. Por ejemplo, el valor de 0,30 se obtiene sumando 0,12 (valor anterior) más 0,18 (valor posterior), el 0,64, sumando 0,30 (valor anterior) más 0,34 (valor posterior) y así sucesivamente hasta completar el total de los 50 datos. 7. Los valores de la frecuencia relativa porcentual (fr %) se obtienen multiplicando las frecuencias relativas por 100. 8. Las frecuencias relativa acumuladas porcentual (Fra %) se obtienen sumando las respectivas frecuencias porcentuales: valor anterior + valor posterior. El primer valor es el mismo del inicio de la frecuencia porcentual. El segundo valor (30), se obtiene sumando 12+18, el tercero 30+34=64 y así sucesivamente hasta completar el 100. 9. Las marcas de clase se obtienen por medio de la siguiente fórmula:
Marca de clase = (Límite inferior + Límite superior) / 2 Para la Primera clase: (40+44) / 2 = 84 / 2 = 42; Para la Segunda clase: (45+49) / 2 = 94 / 2 = 47; Por lo que tabla completa quedará como se indica enseguida: Clases PM fi Fa fr Fra fr % Fra % 40-44 42 6 6 0,12 0,12 12 12 45-49 47 9 15 0,18 0,30 18 30 50-54 52 17 32 0,34 0,64 34 64 55-59 57 10 42 0,20 0,84 20 84 60-64 62 3 45 0,06 0,90 6 90 65-69 67 5 50 0,10 1,00 10 100 50 1,00 100 Las marcas de clase nos servirán para construir histogramas y polígonos de frecuencia que será un tema que se verá más adelante. Lo importante por ahora es conocer claramente como se construye una tabla de frecuencias y las partes que se originan después de dicha construcción. Ejemplo 3: Estudio de la cantidad de asientos vacios de los diferentes autobuse (según el Criterio de Sturges) La siguiente tabla muestra datos corresponden a la cantidad de asientos vacíos que reportaron 50 autobuses foráneos en un domingo. 12 11 4 6 6 11 3 10 12 4 10 1 1 2 4 5 2 4 4 8 8 7 8 4 10 4 2 6 2 9 5 6 6 4 12 8 1 12 1 7 7 6 8 4 6 9 3 7 7 5
Solución. 1. Ordenando de menor a mayor la tabla queda ordenada como se indica enseguida: 1 2 4 4 5 6 7 8 9 11 1 2 4 4 5 6 7 8 10 12 1 2 4 4 6 6 7 8 10 12 1 3 4 4 6 6 7 8 10 12 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 2. Rango = 12-1 = 11 3. Tamaño de clase No de clases = 1 + 3.332 * log (50) = 6,66 6 ó 7 para este caso será 6 4. Tamaño de clase = 11/6 = 1,83 2 5. Límites de clase 6. Marca de clase Clase Intervalo LI LS PM fi Fa fr Fr % Fra Fra % 1 1 2 1,5 8 8 0,16 16 0,16 16 2 3 4 3,5 11 19 0,22 22 0,38 38 3 5 6 5,5 10 29 0,20 20 0,58 58 4 7 8 7,5 10 39 0,20 20 0,78 78 5 9 10 9,5 5 44 0,10 10 0,88 88 6 11 12 11,5 6 50 0,12 12 1,00 100 50 1,00 100 Ejemplo 4: La siguiente distribución de frecuencias muestra el número de minutos semanales que pasan viendo televisión 400 estudiantes de secundaria. (según el Criterio de Ryan)
Tiempo de ver TV (en Minutos) Nº de Estudiantes 300 399 14 400 499 46 500 599 58 600 699 76 700 799 68 800 899 62 900 999 48 1000 1099 22 1100 1199 6 Total de Estudiantes 400 Con referencia a esta tabla, determinar: 1. El límite superior de la 5 a. clase. Respuesta: 799. 2. El límite inferior de la 8 a. clase. Respuesta: 1000. 3. La marca de clase de la 7 a. clase. Respuesta. MC = (900+999) / 2 = 949.5 4. El tamaño de los intervalos de clase. Respuesta. Tomando como referencia cualquier intervalo, por ejemplo, 800-899. Hay que tener cuidado en esto, ya que se puede caer en la confusión de que el tamaño del intervalo es 99 pero no es así. Se empieza a contar desde el límite inferior que es 800 y a partir de ahí tomar loa demás valores; esto es: 800, 801, 802, 803, 804, 805,...,899 que serán 100 valores, por lo tanto el tamaño de los intervalos de clase será igual a 100. 5. La frecuencia de la 4 a. clase. Respuesta: 76. 6. La frecuencia relativa de la 6 a. clase. Respuesta: 62 / 400 = 0.155 7. El porcentaje de estudiantes cuyo tiempo de ver TV no excede de 600 minutos.
Respuesta. Para ello se tomará hasta la 3 a. clase (500-599) y se calcula el porcentaje de las frecuencias: (14+46+58) / 400 = 0.295 x 100% = 29.5 % 8. El porcentaje de estudiantes cuyo tiempo de ver TV es mayor o igual a 900 minutos. Respuesta. Para esto se sumará a partir del intervalo 900-999 y se hace algo similar al inciso anterior: (48+22+6)/ 400 = 0.19 x 100% = 19 % 9. Porcentaje de estudiantes cuyo tiempo de ver TV es mayor a 500 minutos pero menor a 1000 minutos. Respuesta: (58+76+68+62+48) / 400 = 0.78 x 100% = 78 % Representación Gráfica de Datos Diagrama de Barras Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto. Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas. Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia. Ejemplo Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado: Grupo Sanguíneo f i A 6 B 4 AB 1 0 9 20
Diagrama de Barras Agrupados según el Tipo de Sangre 10 9 8 7 6 fi 5 4 3 2 1 0 A B AB O Grupo Sanguineo Polígonos de Frecuencia Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos. También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos. Ejemplo Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones: Hora Temperatura 6 7º 9 12 12 14 15 11 18 12 21 10 24 8
Poligono de Frecuencia de Variaciones de Temperatura en el Día Hora 16 14 12 10 8 6 4 2 0 6 9 12 15 18 21 24 Temperaturas Diagrama de Sectores Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas. Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente. El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos. Ejemplo En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 4 juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte.
Tipo Deporte Alumnos Ángulo Baloncesto 12 124 Natación 3 36 Fútbol 9 108 Sin deporte 6 72 Total 30 360 Gráfico de Sectores de Alumnos Agrupados según Disciplina Deportiva Sin deporte Baloncesto Fútbol Natación Diagrama de Histograma Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras. Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado en clases. En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo. La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.
Polígono de frecuencia Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo. Ejemplo El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla: c i f i F i [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100) [100, 110) [110, 120) 55 65 75 85 95 110 115 8 10 16 14 10 5 2 8 18 34 48 58 63 65 65 Polígono de Frecuencia
Histograma y polígono de frecuencias acumuladas Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados se obtiene el histograma de frecuencias acumuladas o su correspondiente polígono.. Histograma Polígono de Frecuencia Acumulada Histogramas con intervalos de amplitud diferente Para construir un histogramas con intervalo de amplitud diferente tenemos que calcular las alturas de los rectángulos del histograma. Donde: h i es la altura del intervalo. f i es la frecuencia del intervalo. a i es la amplitud del intervalo.
Ejemplo En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. f i h i [0, 5) [5, 7) [7, 9) [9, 10) 15 20 12 3 3 10 6 3 50 Histogramas con intervalos de amplitud diferente