ECUACIONES DIMENSIONALES 1. En la expresión x = k v n / a, x = distancia, v = velocidad, a = aceleración y k es una constante adimensional. Cuánto vale n para que la expresión sea dimensionalmente homogénea? Rpta n =. Si la presión p de un gas varia con su densidad y su velocidad v según la reilación: p = 3p α v β, en donde 3, α y β son números enteros, determinar los valores de α y β. Rpta. α = 1 y β = 3. Si la ecuación W = BL sen (α + π /) + B q es dimensionalmente homogénea, donde W = energía y L = longitud, determine las dimensiones de B y q. Rpta. [B] = MT - y [q] = M -1 L T 4. En la ecuación física A = Bv +Cd, A se mide en joule, v en km/h y d en metros, determine las dimensiones de B/C. Rpta. T 5. Determine los valores de a, b y c si la ecuación FL/T = M a L b T c es dimensionalmente homogénea, en donde F = fuerza, M = masa y T = tiempo. Rpta. a = 1, b = y c = -3 6. Determine las dimensiones del coeficiente B que aparece en la ecuación dimensionalmente homogénea: = At + (Bt/R + Ch) en donde: = densidad, R = radio, t = tiempo, h = altura. Rpta. M ½ L ½ T -1 7. Si la ecuación V = t 3 /a + (b + h) / c es dimensionalmente homogénea, en donde V = volumen, t = tiempo y h = altura, determine la dimensión de ac/b. Rpta. T 3 L -6 8. Dada la ecuación dimensionalmente homogénea: v = a cos (π bt + Φ ), en donde: v = velocidad, t = tiempo y Φ = ángulo en radianes, determinar [a / b]. 9. Si la ecuación P = A sen30 (C + 1/D) es dimensionalmente homogénea, en donde P = presión y c = velocidad, determinar la dimensión de [A / D]. Rpta. M L 3 T 10. La aceleración radial a R de una partícula que se mueve sobre una trayectoria circular depende de la velocidad tangencial v y del radio de la trayectoria R. Hallar la formula empírica para la aceleración radial. Rpta. k v /R 11. La aceleración a de una partícula se relaciona con su velocidad v, su coordenada de posición x y el tiempo t por la ecuación: a = Cx 3 t + Dvt, en donde C y D
son constantes con dimensiones. Determine las dimensiones de C y D si la ecuación es dimensionalmente homogénea. Rpta. [C] = L - T -3 y [D] = T -3 1. La ecuación x = k 1 + k t + k 3 t es dimensionalmente homogénea, en donde x = longitud y t = tiempo. Determinar las dimensiones de k 1, k y k 3. 13. Si la ecuación v = C 1 sen(c t ) + C 3 cos(c 4 t 3 ) +C 5 t sen30 es dimensionalmente homogénea, en donde v = velocidad y t = tiempo, determine las dimensiones de P = C 1 C C 3 / C 4 C 5. 14. La fuerza de resistencia F a un disco que se mueve en el aire depende del área A de la superficie del disco, de su velocidad V y de la densidad del aire ρ Cuál es la ecuación de F en función de A, V y ρ?. Rpta. F = k A 3 V ρ 15. La fuerza de rozamiento que sufre una esfera dentro de un líquido está dada por la expresión f= 6π n x r y v z, donde: f = fuerza de rozamiento, n= viscosidad (masa / longitud por tiempo), v = velocidad y r = radio. Si la expresión es dimensionalmente correcta, hallar los valores de x, y, z. Rpta. x = y =z = 1. 16. Si la ecuación: A 1/ = B log ( Ct ) + E, es dimensionalmente homogénea, a)determine la dimensión de [C/B], si A (potencia) y t (tiempo). (3 puntos).b)si la ecuación y=m x 3 t +Nev donde y es la aceleración, v es la velocidad, e la energía t el tiempo y x la longitud hallar las dimensiones de M y N. (1 punto) 17. El periodo de un péndulo físico es dado por la siguiente expresión: T = π I mgd donde T es el periodo, m la masa del péndulo, g el valor de la gravedad, d una distancia y I el momento de inercia del péndulo alrededor del punto de oscilación. Con la información dada cual es la dimensión del momento de inercia I. 18. La ecuación C = [A x / v] F, es dimensionalmente homogénea o correcta. Si A se mide en (m ), v en (m/s) y F en (N), determinar las unidades de x /C en el sistema internacional. 19. La presión que se ejerce sobre un cuerpo que está en movimiento es dado por la ecuación dimensionalmente correcta: p = A t 3 + B h -1 + C v donde, p es la presión, t el tiempo, h la altura, v la velocidad y A, B, y C constantes. Determinar: a) Las dimensiones de las constantes A, B y C. b) Las unidades en el sistema internacional (SI) de la siguiente expresión:
U = B. C / A /3 a + b+ c 0. Si en la ecuación P =, b se mide en metros y e en m/s, determine d + e las unidades de Q = c 3 en el Sistema Internacional, si ambas ecuaciones son P dimensionalmente homogéneas. ( B+ h) 1. Si la ecuación V = At + es dimensionalmente homogénea, en donde V = C volumen, t = tiempo y h = altura, determinar las dimensiones de CB A.. El periodo T de un péndulo simple, es el tiempo requerido para que complete una oscilación. Si la longitud del péndulo es L y la aceleración de la gravedad es g, la expresión de T se da por : T = π L p g q, encontrar las potencias p y q para que la ecuación sea dimensionalmente correcta. 3. La energía E y la cantidad de movimiento lineal P, están relacionadas por la ecuación dimensionalmente correcta: E = AP + Bc. Donde : c es la velocidad de la luz y las dimensiones de E y P son respectivamente ML T - y MLT -1, Determinar: a) Las dimensiones de los coeficientes A y B. ( puntos) b) A Las unidades de D = en el Sistema Internacional (SI). ( puntos) B 4. La siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, donde: S representa la presión, v la velocidad, ρ la densidad, t el tiempo y A, C son coeficientes: S = A v C t / ρ Determinar las dimensiones de los coeficientes A y C y sus unidades en el sistema internacional. (p) 5. La presión P (fuerza /área) que un fluido ejerce sobre una pared depende de: la velocidad V (longitud/tiempo) del fluido y su densidad D(masa/volumen). La expresión de P es: P = m V m D n. a) Aplicando el análisis dimensional determinar m y n.(4p) b) Calcular P para V = m/s y D = 1000 kg/m 3 (1p) 6. La siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea: ah t = A v t t sen30 h vb 0 donde a es la aceleración, h es la altura, t es tiempo y ν es la velocidad. Determinar:
a) Las dimensiones de A y B. ( 3 puntos) b) Las dimensiones y unidades en el sistema internacional de C = A/B. (1 punto) 7. Dada la ecuación dimensionalmente correcta: v t W = A + B t a Donde W es el trabajo, v la velocidad, t el tiempo y a la aceleración. Encontrar: a) Las dimensiones de los coeficientes A y B. (3 puntos) b) Las unidades de los coeficientes A y B en el Sistema Internacional. (1 punto) c) Con la calculadora encuentre el valor de W y sus unidades si: v = 3.0 m/s, t = 10 s, a = 1.5 m/s y los valores numéricos de los coeficientes A y B en el SI son respectivamente A = 3.5 y B = 0.75. Tome en cuenta las cifras significativas en la respuesta. (1 punto) 8. Si la velocidad v de un cuerpo en movimiento varia con el tiempo t según la ecuación dimensionalmente homogénea: v = αt + β (t+γ) -1. a) Halle las dimensiones de α, β y γ. ( ptos) αβ b) La dimensión y las unidades en el Sistema Internacional de γ. ( ptos) 9. La ley de la gravitación universal de Newton establece que la magnitud de la fuerza de atracción gravitatoria entre dos partículas de masas m 1 y m separadas una distancia d esta dada por la expresión: m1m F = G d Donde G es una constante universal llamada la constante gravitacional. Cuales son las dimensiones de G y sus unidades en el SI. a t 30. Dada la ecuación dimensionalmente correcta: W = A B t v Donde W es el trabajo (fuerza x distancia), v la velocidad, t el tiempo y a la aceleración, encontrar: a) Las dimensiones de los coeficientes A y B. (p) b) Las unidades de los coeficientes A y B en el sistema internacional. (1p) c) El valor de W, si: v = 3.0 m/s, t = 10 s, a = 1.5 m/s y los valores numéricos de los coeficientes A y B en el S.I son respectivamente A = 3.5 y B = 0.75. Tome en cuenta las cifras significativas y las unidades en su respuesta. (1p) 31. Dada la ecuación dimensionalmente correcta A Ba W = ρ v Donde W es el trabajo, la densidad, a la aceleración, v la velocidad y A y B coeficientes. Encontrar:
a) Las dimensiones de los coeficientes A y B. (1.5 puntos) b) Las unidades en el Sistema Internacional de los coeficientes A y B. (1 punto) c) El valor del trabajo W si = 13.6 gr/cm 3, a = - 1.5 m/s, v = 10.0 m/s y los coeficientes A y B tienen los valores 0.35 y 0.65x10 4 respectivamente en el Sistema de Unidades Internacional. (1.5 puntos) 3. En el laboratorio se mide la velocidad con la que mueve una esferita dentro de un líquido, encontrándose la siguiente relación: v = 1.5F a R b c ρ Donde v es la velocidad de la esferita, R el radio de la esferita y la densidad del liquido. Encontrar a) El valor de los exponentes a, b y c para que la ecuación sea dimensionalmente correcta. ( puntos) b) La velocidad de la esferita en el SI de unidades cuando F = 1 N, R = 10 cm. y la densidad del liquido.5 gr/cm 3. (3 puntos)