COMPOSICIÓN DE FUNCIONES (TEXTO PARA UN OBJETO DE APRENDIZAJE) ING. ALEJANDRA VARGAS ESPINOZA DE LOS MONTEROS ING. SERGIO CARLOS CRAIL CORZAS
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES La composición es una operación entre unciones que se establece de la siguiente manera: Dadas dos unciones y g, se deine como la composición de la unción con la unción g, a la unción denotada g ( léase composición g ), cuya regla de correspondencia es ( g )( x ) = [ g ( x) ] donde su dominio está representado por el conjunto { ; ( ) g } D = x x D g x D g Para obtener la regla de correspondencia de la unción g, según la deinición anterior, basta con sustituir la unción g en la variable independiente de la unción. Así por ejemplo, sean las unciones ( x ) = 4x y g ( x) = x, entonces, la regla de la unción g se obtiene mediante la siguiente sustitución ( g )( x ) = [ g ( x) ], por lo que ( g )( x ) = x, entonces ( g )( x ) = 4x
Del mismo modo resolvamos el siguiente ejemplo: Escribir en el paréntesis la letra de la columna de la derecha que corresponda a la regla de correspondencia de la composición indicada, para ( x ) = x +, g ( x ) = x y h ( x ) = x ).- ( g )( x ) =... ( ) a) x + ).- ( g h )( x ) =... ( ) b) x + 3).- ( h g )( x ) =... ( ) c) x 4).- ( g )( x ) =... ( ) d) x + 5).- ( h )( x ) =... ( ) e) x ) x g) x + 3
Para entender mejor cómo se obtiene el dominio y el recorrido de la composición, recurramos a la notación uncional, pues la deinición se expresa en estos términos. Notación Funcional.- Es una simbología que sirve para representar sucintamente una unción, se expresa de la siguiente manera y = w( x) Donde: w x w Representa la regla de correspondencia de la unción. Indica el dominio de la unción w, o bien, a la variable independiente. ( x ) Representa al recorrido de la unción w, indica los valores de la variable dependiente. Entonces, en estos términos, el signiicado de [ g ( x ) ] Es que el dominio de la unción resultante, es un subconjunto, propio o impropio, del dominio de la unción g, y que su recorrido es un subconjunto propio o impropio de la unción. De lo anterior, es importante tener presente que la condición para que se pueda eectuar esta operación es el cumplimiento de R D g 4
A partir de la condición anterior, indicar si es posible o no obtener la composición entre las unciones que se indican: Si: g ( x ) = x ( x ) = x h ( x ) = + x i ( x ) = ( x ) j ( x ) = x k ( x ) = x Entonces: a) g ; no es posible b) g ; sí es posible c) i h ; no es posible d) h i ; sí es posible e) j k ; sí es posible ) k j ; no es posible g) k g ; sí es posible h) g k ; sí es posible i) j ; sí es posible j) i g ; no es posible 5
Para visualizar mejor cómo se obtiene el dominio y el recorrido de la unción composición g, recurramos a su representación en un diagrama de Venn. Podemos ver que el D g ( dominio de g ) lo ormarán aquellos elementos del D g para los cuales, al sustituirlos en la unción g, el resultado pertenece al conjunto R g D. Para obtener el R g ( recorrido de g ), analizamos los valores que obtenemos de la unción, cuando la valuamos en todos los elementos del conjunto R g D. 6
Ejemplo.- Si ( x) = + x y y trazar su gráica. g ( x) = x, obtener la unción g, Si hacemos la representación correspondiente en un diagrama de Venn Si además trazamos las gráicas de las unciones involucradas: El D g lo ormarán aquellos elementos del D g tales que al valuarlos en la unción g, se encuentren en el conjunto [, ). Podemos darnos cuenta que ese conjunto es IR. 7
El R g estará ormado por aquellos valores que se obtienen de sustituir en la unción, los elementos del conjunto [, ). El resultado de esta sustituciòn es el conjunto (, 0 ] Al obtener la regla de correspondencia de la unción g queda [ ( ) ] ( ) g x = x = + x = x De lo analizado antes, concluímos que la regla de correspondencia de la unción g no puede ser x, sino x cuya gráica será. 8
Ejemplo.- Si ( x) = x y trazar su gráica. g ( x) = x, obtener la unción g, y Si hacemos la representación en un diagrama de Venn. Sea g (, ] R D = 0 El dominio de og lo ormarán aquellos elementos del dominio de g tal que al sustituirlos en ella, se obtienen (, 0 ] (, ] [, ). ; vemos que esos elementos son 9
El recorrido de og estará ormado por todos los valores que se obtienen al, 0 en la unción ; el resultado sustituir cada elemento del conjunto ( ] que se obtiene es [ 0, ). La regla de correspondencia de la unción g está dada por ( g ) x [ g x ] x x ( ) = ( ) = =, cuya gráica es: 0
Ejemplo.- Para las unciones del ejercicio anterior obtener g trazar su gráica., así como Sea R D = [ 0, ), entonces el D = (, 0 ] g g g y el (, ], entonces ( ) ( ) R = gráica es g x = g x = + x cuya Como se pude observar la operación composición no cumple la conmutatividad g g salvo casos particulares.