PLANIFICACIÓN DE LA SESIÓN DE APRENDIZAJE Grado: Quinto I. TÍTULO DE LA SESIÓN Determinando las áreas de un vaso Duración: 2 horas pedagógicas UNIDAD 3 NÚMERO DE SESIÓN 4/5 II. APRENDIZAJES ESPERADOS COMPETENCIA CAPACIDADES INDICADORES ACTÚA Y PIENSA MATEMÁTICAMENTE Matematiza situaciones Diferencia y usa modelos basados en cuerpos geométricos de revolución al plantear y EN SITUACIONES DE resolver problemas FORMA, MOVIMIENTO Expresa las propiedades y relaciones entre el Comunica y representa cilindro y cono con su respectivo tronco. Y LOCALIZACIÓN DE ideas matemáticas Representa gráficamente el desarrollo de CUERPOS cuerpos geométricos truncados. Razona y argumenta generando ideas matemáticas Usa formas geométricas, sus medidas y sus propiedades al explicar objetos del entorno. III. SECUENCIA DIDÁCTICA Inicio: (20 minutos) El docente da la bienvenida a los estudiantes y realiza las siguientes preguntas: Qué actividades realizamos en la clase anterior? Qué estrategias utilizamos para hallar el volumen de un tronco de cono? Los estudiantes responden a manera de lluvia de ideas, el docente sistematiza la información y escribe las ideas fuerza según el propósito de la sesión. El docente hace referencia a la importancia de beber 8 vasos diarios de agua para llevar una vida saludable. El docente entrega a cada grupo un vaso de cartón con tapa (los utilizados en las fiestas infantiles, o para la venta de bebidas. De no tenerlos, se pueden confeccionar con cartulina). Luego, el docente pregunta: Qué forma tiene el vaso mostrado? Se parece a algún cuerpo sólido conocido? Cuánto material han utilizado para su construcción? (superficie) Cómo podemos determinarlo? Habrá otros elementos que tengan estas formas? Los estudiantes, observan y manipulan los vasos. Luego de dialogar en equipo, escriben sus respuestas en tarjetas y las pegan en la pizarra. El docente organiza y sistematiza las tarjetas resaltando algunas ideas fuerza. El docente hace referencia a las actividades en las cuales centrará su atención para el logro de los aprendizajes esperados: Se centrará la atención en la determinación de las dimensiones de un vaso
con características especiales y la obtención de sus áreas. Para ello, plantea las siguientes pautas de trabajo que serán consensuadas con los estudiantes: o o o o Se organizan en grupos de trabajo, y acuerdan una forma o estrategia para comunicar los resultados. Los estudiantes tendrán especial cuidado en los trazos y medidas, así como en el armado de la misma. Se respetan los acuerdos y los tiempos de cada actividad para garantizar un trabajo efectivo en el proceso de aprendizaje. Se respetan las opiniones e intervenciones de los estudiantes y se fomentan espacios de diálogo y reflexión. Desarrollo: (60 minutos) El docente invita a cada grupo a abrir el vaso con mucho cuidado y a analizar e identificar los elementos de esta figura plana (anexo 1). Los estudiantes observan la figura plana y con ayuda del docente identifican la generatriz y los radios de la base (la tapa hace las veces de la base mayor). Realizan los trazos respectivos de los elementos identificados. El docente coloca en la pizarra la imagen de la figura plana de un tronco de cono (anexo N 1) y sistematiza en él todos los elementos de un tronco de cono. El docente pide a cada equipo que retiren las bases y se queden con la plancha lateral, como indica la figura:
El docente pregunta: Qué forma tiene? A qué figura se parece? (se espera que los estudiantes lleguen a identificar al trapecio circular). El docente entrega a cada grupo un pliego de cartulina de color (diferente al color del vaso) y solicita que peguen dicha plancha en el centro de la cartulina. De esta manera: El docente solicita que cada grupo reconstruya la circunferencia correspondiente haciendo trazos (con la ayuda de transportador) e identificando el centro de las circunferencias concéntricas y los radios correspondientes. El docente pregunta: Cómo podemos hallar, a partir de la gráfica, el área del trapecio circular? (plancha lateral del vaso). Los estudiantes analizan e identifican el sector circular con sus respectivos radios. Con la ayuda del docente, determinan que el área se puede hallar por diferencia de sectores circulares. El docente pregunta: Qué expresión matemática utilizamos en la clase anterior para determinar el área de un sector circular? Los estudiantes responden a manera de lluvia de ideas. Un estudiante, de manera voluntaria, escribe la expresión matemática correspondiente en la pizarra. Sc=
Los estudiantes en grupo, realizan las operaciones correspondientes con la ayuda de la calculadora. El docente monitorea el trabajo y despeja las dudas de los estudiantes. A=: AOC - AOB Reforzamiento pedagógico Si los estudiantes presentan dificultades inducir el modelo matemático del sector circular o expresar el ángulo en términos del radio y la generatriz se sugiere desarrollar el siguiente indicador: Relaciona elementos y propiedades geométricas de fuentes de información, y expresa modelos de cuerpos geométricos de revolución (Rutas de Aprendizaje -2015, Fascículo VII, 4 grado, página 52.). Se propone trabajar el anexo N 2 El docente pregunta: Esa expresión representa el área de la plancha que dio origen al vaso? (tronco de cono). Los estudiantes reflexionan y entienden que solo se ha hallado el lateral del vaso. El docente concluye que la expresión hallada representa el ÁREA LATERAL DEL TRONCO DE CONO. Matemáticamente se representa: AL= ( ).Expresión N 1 El docente pregunta: Cómo podríamos transformar dicha expresión en término de los radios de las bases (R y r) y la generatriz (g) del tronco de cono? El docente hace referencia a la clase anterior en la que se identificó - en el vaso y en el trapecio circular- a la generatriz. El docente, con la ayuda de todos los estudiantes, realiza las operaciones utilizando regla de tres para determinar la expresión equivalente de ángulo central en función del radio y la generatriz. Hace la observación que la longitud de la circunferencia de la base mayor, es exactamente la misma que el arco mayor; y de la misma manera, la longitud de la circunferencia de la base menor es exactamente la misma que el arco menor. Con esta observación, empieza a analizar -con la
participación de los estudiantes- la transformación de la expresión. Utiliza la regla tres para expresar el ángulo en función de los radios y la generatriz. Se llega a la siguiente expresión: AL= ( + ) Expresión N 2 El docente pregunta: Cómo podemos determinar el área total del vaso? (tronco de cono). Los estudiantes, luego de razonar, entienden que para hallar el área total se debe adicionar el área de las bases del vaso (tronco de cono). Los estudiantes recuerdan la expresión matemática para hallar el área del círculo. Luego, adicionan las dos áreas de los círculos al área lateral hallada. = ( + ) + + = [ ( + ) + + ] Cierre: (15 minutos) Los estudiantes hallan el área lateral del vaso. Para ello, toman las medidas correspondientes con la ayuda de una regla, tanto para la primera expresión como para la segunda. Luego, comparan sus respuestas comprobando la equivalencia de las mismas. Hallan el área total del vaso adicionando las áreas de la bases. Un integrante de cada grupo comparte sus resultados. El docente verifica los resultados e induce a los estudiantes a llegar a las siguientes conclusiones:
-Un tronco de cono es una porción de cono comprendida entre la base y la sección transversal determinada por un plano paralelo a la base. -El área de un tronco de cono depende de la longitud del radio de sus bases y la generatriz. - Existen muchos elementos de nuestro entorno que tienen forma de tronco de cono. Miremos a nuestro alrededor para identificarlas. El docente realiza preguntas metacognitivas: - Qué aprendimos el día de hoy? Cómo lo aprendimos? De qué manera lo aprendido el día de hoy me es útil? Los estudiantes responden a manera de lluvia de ideas. Observación: Esta sesión es una adaptación de la estrategia Prácticas en laboratorio de matemática Rutas del Aprendizaje 2015, ciclo VII, página 66. IV. TAREA A TRABAJAR EN CASA El docente solicita a los estudiantes que: - Resuelvan los problemas de la página 123 y 124 del texto Matemática 5 que hacen alusión al volumen de un cono. - Construyan un vaso de cartón de forma de tronco de cono, cuya capacidad sea aproximadamente 250ml. Hallen su volumen en centímetros cúbicos (especificar sus dimensiones). - Hallar el área total del vaso construido. V. MATERIALES O RECURSOS A UTILIZAR - Ministerio de Educación. Texto escolar Matemática 5 (2012) Lima: Editorial Norma S.A.C. - Calculadora científica, plumones, cartulinas, papelógrafos, cinta masking tape, pizarra, tizas, etc.
Anexo 1 Figura Plana de un tronco de cono
ANEXO N 2 MEJORANDO NUESTROS APRENDIZAJES INTEGRANTES: Lee atentamente la siguiente situación y deduce el modelo matemático para determinar el sector circular. 1. José y Rosa tiene 2 hijos, han decidido ir a una pizzería. Por consenso se ha pedido una pizza hawaiana familiar. José ha pedido que la repartición sea lo más equitativo posible, y que cada uno comería dos pedazos. Javier, el hijo mayor que cursa el 4to año de secundaria, se ha dado cuenta que cada uno de los pedazos se parece a un sector circular. El padre admirado por lo dicho por su hijo pregunta: Y qué ángulo y que área tendría cada pedazo de pizza hijo? Que sucede si juntamos dos pedazos? Si juntamos tres? El mozo al escuchar la conversación dice a la familia que la pizza familiar están hechos en moldes circulares cuyo radio es de 20 centímetros. Ayudemos a Javier a resolver dicha situación. 1. En cuántos pedazos se cortó la pizza? Se espera que los estudiantes respondan: La familia está compuesta por 4 miembros, y como cada uno deberá comer dos pedazos, quiere decir que se ha cortado en 8 pedazos. 2. Representa gráficamente la pizza con sus 8 pedazos:
3. Cómo se halla el área de un círculo? Qué ángulo atrapa una circunferencia? (El docente aclara la diferencia entre círculo y circunferencia) 4. Se espera que los estudiantes respondan: Para hallar el área de un círculo se multiplica el valor de pi por su radio al cuadrado: = Una circunferencia atrapa un ángulo de 360 5. Qué ángulo atrapará un solo pedazo de piza (sector circular)? Se espera que los estudiantes razonen y dividan 360 /8, obteniendo un ángulo de 45 6. Ubica el ángulo en cada sector circular y colorea un sector circular. 7. Cuál es el área de un sector circular de 45 de ángulo central? Se espera que los estudiantes razonen y determinen que es la octava parte del círculo. Llegan a la siguiente expresión: = 8. Podemos reemplazar dicha expresión por la siguiente?: = Expresa lo mismo que = Por qué? 9. Colorea dos sectores circulares Qué Angulo se forma? Qué área tendrá dicha porción? Se espera que los estudiantes respondan 90 y que el área es dos octavos o un cuarto del círculo. Llegan a la siguiente expresión: = 10. Responde: = Expresa lo mismo que = Por qué? 11. Colorea tres sectores circulares Qué Angulo se forma? Qué área tendrá dicha porción? Se espera que los estudiantes respondan 135 y que el área es tres octavos del círculo. Llegan a la siguiente expresión: = 12. Responde: = Expresa lo mismo que = Por qué? Nota: Seguir el proceso lo suficiente para lograr la inducción. 13. Qué relación encuentras en las expresiones anteriores? Cómo se relaciona el ángulo central en la expresión matemática? Se espera que los estudiantes concluyan que para hallar la parte en que fue dividido el círculo se divida el ángulo central entre 360 14. Si la pizza tuviera que ser dividida en n partes de tal manera que cada parte tiene como ángulo central " " Cuál sería el área de ese sector circular formado? Se espera que los estudiantes induzcan la siguiente expresión matemática:
= 360 15. Considerando la expresión matemática hallada responde: a) Cuál es el área de un solo pedazo de pizza? b) Cuánto es el área de 5 pedazos de pizza? Qué ángulo se formó? - c) Si la pizza hubiera sido dividida en 12 pedazos Qué ángulo tendría cada pedazo? Cuánto sería su área? d) Si la familia de Javier hubiera pedido la pizza mediana cuyo radio es de 15cm, y hubiera sido divida en cuatro pedazos Cuánto sería el área que representaría dicha porción?
NEXO N 3 LISTA DE COTEJO AÑO Y SECCIÓN: DOCENTE RESPONSABLE: ESTUDIANTES Identifican las características de un tronco de cono a partir de de las características de un cono Identifican la relación existentes entre los elementos de un tronco de cono y el para el cálculo de su volumen y áreas. Hasllan el volumen del tronco de cono a partir del corte transversal del cono y diferencia de volúmenes. Halla las áreas del tronco de cono a partir de la obtención del área del trapecio circular y la suma de las áreas de sus bases SI NO SI NO SI NO SI NO