EJERCICIOS DE MATRICES

EJERCICIOS DE MATRICES a) º) Escribir los siguientes sistemas en forma matricial: x+ y= x + y = 0 x+ y z = x+ y+ z = 0 ; b) x y= 3 ; c) y + z = ; d) 6x + y = 4 x + z = 3 x = 3 y = 4 z = 5 ; e) x+y+z+t=3 a) º) Halla la matriz traspuesta de las siguientes matrices: ; b) 3 4 3 ; c) 4 5 6 3 3 4 ; d) 4 5 6 ; e) (a b c d) ; f) 5 6 7 8 9 x y z t 3 3 4 3º) Siendo A = ; B = y C =, calcula : 0 0 0 a) A+B C ; b) A B ; c) calcula X para que A+X+B = C 0 0 4º) Si A = 3 4 ; B = y C =, calcula, si es posible: 0 3 0 a) A B ; b) B A ; c) B t A t ; d) C (A+B) ; e) C (A t +B) ; f) (A+B t ) C. 5º) Siendo A = 3 5 A B C ; c) (A B) C ; d) A A t 0 - ; B = y C = 3 3, calcula : a) A ; b) 0 ; e) calcula X para que A X = I (matriz unidad). A = 6º) Calcula, por el método de Gauss, la inversa de las matrices siguientes, si existe: 3 0 3 4 3 ; B = 3 6 ; C = 0 y D = 5 -. 0 3 3 8-5 4 7º) Dada la matriz A =, comprobar que A = A I, siendo I la matriz 4 4 unidad. Usando la fórmula anterior, calcular A 4. Similares: Ejemplos,, 3, 4, 5 y ejercicios: 6, 8, 9, 0,, del al 34. 6

8º) Una editorial lanza al mercado un nuevo libro del que hace tres ediciones: una en rústica, otra encuadernada y otra numerada. La editorial recibe pedidos de dos librerías A y B. La primera tiene por costumbre abonar el importe de los pedidos que realiza entregando inmediatamente el 50 % del total y aplazando el otro 50 % a 90 días. En esta ocasión, la librería A solicita 50 ejemplares en rústica, 0 encuadernados y 5 numerados. La librería B, que abona la cuarta parte al contado y aplaza el resto a 90 días, solicita 00, 0 y 0 ejemplares respectivamente. Expresar matricialmente el número de ejemplares de cada edición que la editorial cobra al contado y el número de los que tienen el pago aplazado. 9º) Tres compañías de productos derivados del petróleo instalan estaciones de servicio. A la salida de una población hay un surtidor de cada una; un día determinado las tres han vendido la misma cantidad :.500 l. de gasolina super y 890 l. de normal. La matriz de SUER NORMAL A 7 65 precios en pesetas, es: B 70 65. Se pide: a) Cuáles fueron los ingresos de cada C 7 64 gasolinera ese día?; b) Cuál es el significado del producto de la matriz (/3 /3 /3) por la obtenida en el apartado a)?. 0º) Una fábrica de bolígrafos ( ), encendedores ( ) y llaveros ( 3 ) requiere para su elaboración tinta (M ), gas (M ), metacrilato (M 3 ) y aleación metálica (M 4 ). Dos distribuidores (D y D ) se encargan de distribuir a los establecimientos comerciales los 3 D 500 300 000 mencionados productos. Sea pues = A la matriz de demanda de los D 350 600 000 tres productos por parte de los distribuidores, 3 M M M 3 M4 0 0 50 0 0 0 60 5 0 0 30 30 = B la matriz que expresa, en gramos, la cantidad de cada uno de los cuatro materiales que entran en la K M M 3 formación de cada unidad del producto y = C la matriz de los costos por gramo de M3 M 4 4 cada uno de los materiales. Calcula e interpreta el significado de : a) A B ; b) B C ; c) A B C. 7

º) Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de, 5, y 5 cm. con los precios respectivos siguientes: Clavos A: 0,0 0,30 0,40 0,50 pts Clavos Q: 0,30 0,45 0,60 0,75 pts. Clavos H: 0,40 0,60 0,80 pts. Sabiendo que en un minuto se producen: De cm. de longitud: 00 A 50 Q 700 H De,5 cm. de longitud: 00 A 0 Q 600 H De cm. de longitud: 500 A 30 Q 400 H De,5 cm. de longitud: 300 A 0 Q 800 H se pide: a) resumir la información anterior en dos matrices M y N. M será una matriz 3 4 que recoja la producción por minuto y N una matriz 4 3 que recoja los precios; b) calcular los elementos de la diagonal principal de la matriz M N y dar su significado; c) hacer los mismo para la matriz N M. [ Selectividad, junio 990]. /3 /3 º) Dada la matriz A = debes probar que : ) A es matriz idempotente, /3 /3 es decir que A = A; ) el sistema de ecuaciones lineales con 4 incógnitas obtenido a partir a b /3 /3 0 del siguiente producto matricial es incompatible: c d = /3 /3 [Selectividad, 0 sept. 9]. 3º) De una matriz A n n se sabe que es idempotente (es decir que se cumple A = A). Se define B = A I, donde I es la matriz unidad n n. Calcular el producto A p B q A r, donde p, q y r son números enteros positivos. [Selectividad, junio 94]. 0 4º) Sea A =. Se pide: a) demostrar que A = A I, donde I es la matriz identidad ; b) expresar A 3 y A 4 en función de A; c) calcular A 00.[Selectividad, septiembre 95]. 5º) Un constructor construye chalets de lujo (C.L.), chalets adosados (C.A.) y viviendas de protección oficial (V..O.). Se sabe que cada C.L. tiene 3 cuartos de baño, aseos y cocinas, cada C.A. tiene cuarto de baño, aseo y cocina, y cada V..O. tiene aseo y cocina. or otra parte, cada cuarto de baño tiene una ventana grande y una pequeña; cada aseo tiene una ventana pequeña y cada cocina tiene grandes y pequeña. a) Hallar la matriz A que expresa el número de habitáculos (cocinas, cuartos de baño y aseos) en función de cada tipo de vivienda; b) hallar la matriz B que expresa el número de ventanas grandes y pequeñas en función el tipo de habitáculo; c) Hallar la matriz C que expresa el número de ventanas grandes y pequeñas en función del tipo de vivienda. uede calcularse C como resultado de una operación matricial entre A y B?; d) si al final del año ha construido 0 C.L.; 0 C.A. y 50 V..O., cuántas ventanas grandes y pequeñas ha empleado en la construcción?. Si el número de ventanas grandes y pequeñas se expresa por 8

medio de una matriz D, cómo puede obtenerse esta a partir de la matriz C?; e) sabiendo que el carpintero cobra 40.000 pts. por cada ventana grande y 0.000 pts. por cada pequeña, cuánto dinero tendrá que pagar el constructor al carpintero?. Si este resultado se expresa mediante una matriz E, cómo puede obtenerse a partir de la matriz D?. (Selectividad, junio 96) 6º) ueden existir matrices cuadradas de orden, A y B, tales que verifiquen la ecuación A B B A = I, donde I es la matriz identidad?. (Selectividad, junio 96) 7º) Un cuadrado mágico de orden es una matriz de números enteros positivos tal que la suma de los elementos de las filas, columnas y diagonales coinciden. a) Existe algún cuadrado mágico de suma.995?; b) Cuántos cuadrados mágicos existen de suma 3.99?; c) Si un cuadrado es mágico, lo es también el que se obtiene al transponer la matriz?; d) Cuándo la suma, diferencia y producto de cuadrados mágicos es otro cuadrado mágico? [Selectividad, septiembre 996] SOLUCIONES t). x 0 º) a) 3 = 0 0 x x = = y ; b) - ; c) 0 y ; y z 6 4 0 z 3 x 0 0 x 3 d) 0 0 ; ( ) ( ) = y y 4 e) = 3. z 0 0 z 5 t a 4 4 7 3 º) a) ; b) 5 4 ; c) 3 5 ; d) 5 8 4 6 ; e) b ; f) (x y z c 3 6 3 6 9 d 3 5 4 3º) a) 0 ; 5 0 ; X = 3 5 4 b) c) 0 9

4 3 0 t 4º) a) A B= 3 8 ; B A= ; B b) 3 6 c) A t = ; d) imposible; 0 4 8 e) C (A t 0 +B) = f) (A+B t ) C = 0 9 9 6 6 5 6 9 5º) A 5 8 = ; b) A B C = 9 9 ; c) (A B) C = 3 9 ; d) A A t = 3 5 3 3 5 0 7 ; 7 9 5 3 e ) X =. 3 5 6º) A 3 4 = ; B no existe ; C = 3 6 3 ; D no existe. 0 3º) A 4º) a) A 0 = = A I ; b) A 3 = 3A I ; A 4 = 4A 3I ; c) A 00 = 00A 99I = 0 = 00 3 5º) a) A = ; b) B = 0 0 ; c) C = 7 7 3 3 ; sí : C = A B ; d) nº ventanas 7 7 grandes= nº ventanas pequeñas = 30; D = (0 0 50) 3 3 = (30 30), e) 3.800.000 40. 000 pts; E = (30 30) = (3.800.000) 0. 000 6º) No; poniendo C = A B B A se obtiene que c = c, luego C I. a b 7º) Obsérvese que si es un cuadrado mágico a = b = c = d, luego: a) No, c d 996 996 pues a es entero positivo; b) Uno: ; c) Sí; d) siempre 996 996 0

EJERCICIOS DE DETERMINANTES º) Desarrollar por la regla de Sarrus : a) 5+ 3 3 cos a cos a tg a sec a 0 3 ; b) ; c) 5 3 cos a sec a tg a ; d) 3 ; e) 4 5 ; 6 3 3 3 0 0 0 a b a b c f) 0 ; g) 0 5 0 ; h) a 0 c 0 0 0 7 b c 0 ; i) b c a c a b. º) Cuál es el determinante de la matriz unidad de orden n?. 4 3º) Demuestra, sin desarrollar los determinantes, que: a) 3 0 7 3 = 3 5; b) 3 = 4. 3 4º) Justificar mediante las propiedades de los determinantes la igualdad: 3 4 3 4 34 0 5 = 0 05. 7 0 7 70 5º) Calcular, efectuando previamente las transformaciones convenientes: 4 7 9 5 9 3 6 6 6 6 a) 3 0 6 0 4 4 ; b) ; c) ; d) 4 3 3 7 5 5 3 7 3 8 3 5 4 8 0 6 3 3 ; 6º) Demostrar, sin desarrollarlos, que son nulos los siguientes determinantes: 0 4 6 5 8 a b c a b + c a) b c + a c a + b = 0 ; b) 3 4 7 b c a ; c) ;d) 0 4 6 0 3 6 9 c a b 3 5 7 3 4 a b b c c a 7º) Demostrar, sin calcularlo, que el siguiente determinante es múltiplo 5 0 9 3 3 0 8 0 de :. 5 6 5 4 9 3 6 8º) Resolver las siguientes ecuaciones: a) 8 4 0 x + 6 4 x + 4 3 3 = 0 ;b) 3 3 3 0 x 3 7 5 0 = 0; 3 x 5 c) 4 + x x = 0 ; d) 3x 6 4 x + 4 = 0. 3 3 9º) Halla la inversa de las siguientes matrices, en caso de que la posean, y comprueba el resultado: 3 4 5 6 7 3 3 3 4 7 A = ; B = ; C = ; D = 5 5 6 4 4 ; E = 3 ; F = 3. 3 5 0 4 5 8 0 Matemáticas II Determinantes

0 7 5 0º) Averigua para qué valores de a tiene inversa la matriz A = 3 4 a y calcúlala. 7 0 5 º) Averigua para qué valores de a no tiene inversa la matriz A = a =, si es posible. º) Resuelve matricialmente los sistemas: a) x + y = 7 x y= 4 ; b) x y x+ 4y z= 8 + 4 = 0 5x 6y= 0 ; c) x + y+ z= 3 x y z = 0 3º) Resuelve por la regla de Cramer, si es posible, los sistemas: x+y= x+y= a) ; b) ; c) x - y = 3 x + y = x y z= 0 x y+ 3z= d) x+ y z= 0 ; e) 4x y z= 3 ; f) x y+ z= 0 x+ y 4z= 4 8 4 00 ; d) 0 0 a 3. Calcula A para 4 a x+y= ; x + y = 3 x+ y+ z= x y+ z= x + y z= x 3y = 0 x + 3z = 0 x + y z = 0 4º) Indicar las propiedades de los determinantes que permiten escribir las siguientes igualdades: ) 5 30 0 6 4 6 4 = 8 4 0 4 =8 0 ; ) 6 9 = 5 3 4 = 5 3 4 = 0.[Sel. jun. 9] 3 0 3 0 3 4 Ejercicios recomendados de la lección 4 del texto:,, 4, 6, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 0,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 30, 3, 3, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 4, 4, 43. Matemáticas II Determinantes

SOLUCIONES º) a) ; b) sen a ; c) ; d) 4 ; e) 45 ; f) 3 ; g) -70 ; h) a b c ; i) 3 a b c a 3 b 3 c 3. º) 3º) a) A la ª columna se le suma la ª y se le resta la 3ª ; b) a la ª columna se le suman la ª y la 3ª. 4º) En el primer determinante, sumamos a la 3ª columna la ª multiplicada por 00 y la ª multiplicada por 0, con lo que se obtiene el segundo determinante. 5º) a) -6 ; b) -7 ; c) 440 ; d) 84 ; e) a b c + a b d + +a c d + + b c d + a b c d ; f) a(b a)(c b)(d c)(e d) 6º) a) (3ª col.) = (3ª col.)+(ª col.) con lo que resulta la 3ª columna múltiplo de la ª ; b) Restando a cada columna la anterior; c) Restando a la ª fila la 3ª; d) sumando a la 4ª columna la ª y la 3ª. 7º) Obsérvese que los números 5093, 3080, 5654 y 936 son múltiplos de, luego sumando a la 4ª columna la ª multiplicada por 000, la segunda por 00 y la tercera por 0, se obtiene una columna de múltiplos de. 8º) a) x = 4, x = 3; b) x = 6; c) x = 0, x = 6 ; d) x = 5/. 9º) A = 3 ; B = 5 0 7 3 5 / ; C no tiene inversa; D 3/ = 5 8 6 ; E = 3 3 5 0 ; F no tiene inversa. A = 0º) Si a = 5 no tiene inversa. ara a 5 se tiene : 0 35 7a 0 7a 5 35 5. 49a 45 8 49 7 º) A tiene inversa si a y a 3. ara a = A = 3. 8 x º) a) y = 3 ; b) x y = x x 0 0 ; c) y = 9/ 5 ; d) y = z / 5 z 3º) a) x = 4/3, y = /3 ; b) x = 0 ; y = 0 ; c) no es posible (es incompatible); d) x = 0, y = 0, z = 0 ; e) x = 4/7, y = 0 ; z = 5/7; f) no es posible. 3 Matemáticas II Determinantes