1.3. Oscilador armónico amortiguado 1» Ecuación del movimiento libre de un grado de libertad amortiguado: ED lineal de 2º orden homogénea cuya solución es de la forma: Si introducimos esta solución en la ED:
1.3. Oscilador armónico amortiguado 2 Para obtener una solución distinta de la trivial el primer miembro debe ser cero:» Las raíces pueden ser: reales y distintas reales e iguales complejas conjugadas» La solución general será de la forma:
1.3. Oscilador armónico amortiguado 3» Si el radicando es cero se obtiene el amortiguamiento crítico c cr :» El amortiguamiento de un sistema se puede representar como un porcentaje con respecto del crítico. Se define el ratio de amortiguamiento, como el cociente entre el amortiguamiento del sistema y el crítico:» Las raíces pueden expresarse en función del ratio de amortiguamiento y la frecuencia n :
1.3. Oscilador armónico amortiguado 4» Solución general» Sistemas sobreamortiguados El amortiguamiento del sistema es mayor que el amortiguamiento crítico. Las dos raices son reales y diferentes. Como las dos raices son negativas, x(t) disminuye con el tiempo. El movimiento resultante no es oscilatorio. x(t) 1.6 x 10-4 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t
1.3. Oscilador armónico amortiguado 5» Sistemas con amortiguamiento crítico El amortiguamiento del sistema es igual al crítico. Las raíces son: Desplazamiento del sistema: x disminuye con el tiempo; el movimiento resultante no es oscilatorio: 20 18 16 14 12 x(t) 10 8 6 4 2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t
1.3. Oscilador armónico amortiguado 6» Sistemas subamortiguados El amortiguamiento del sistema es menor que el crítico. Las dos raíces son complejas conjugadas. El desplazamiento del sistema tiende, como en los casos anteriores, a anularse con el tiempo pero en este caso se produce una verdadera oscilación. Los valores de las raíces son: siendo d la frecuencia angular de la vibración amortiguada (libre):
1.3. Oscilador armónico amortiguado 7 El desplazamiento del sistema será: La ecuación que representa el movimiento del sistema tiene la forma: El primer término representa el efecto disipativo y el segundo la función armónica. El periodo T d y frecuencia circular de oscilación del sistema amortiguado será : Tiempo de relajación para la amplitud (envolvente): tiempo que la amplitud tarda en llegar a valer 1/e de su valor inicial:
1.3. Oscilador armónico amortiguado 8 Valores de las constantes de integración a partir del desplazamiento x 0 y velocidad v 0 en t=0 :» Ejercicio
1.3. Oscilador armónico amortiguado 9 x Ae - nt Ae - nt sen( d t+j 0 ) t T d =2p/ d El desplazamiento tiende a cero pero oscila con frecuencia f d = d /2p entre los límites fijados por las curvas de decrecimiento exponencial.
1.3. Oscilador armónico amortiguado 10» Decremento logaritmico Determina como varía la amplitud del movimiento oscilatorio amortiguado. Se define como el logaritmo neperiano del cociente de las oscilaciones máximas en dos ciclos consecutivos separados T d. Para pequeños amortiguamientos se puede aproximar: x(t) x1 Td x2 Permite determinar el amortiguamiento de un sistema si se conoce la evolución temporal de la posición 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
1.3. Oscilador armónico amortiguado 11» Sistemas amortiguados en el espacio de estados Atractor Sistema estable
1.4. Vibraciones forzadas 12 Vibraciones forzadas» Originadas por fuerzas externas exteriores al sistema.» La ecuación del movimiento es una ecuación de 2º orden no homogenea.» Las fuerzas excitadoras, en función de su variación con el tiempo, pueden ser: Excitaciones armónicas. Excitaciones periódicas. Impulsos, choques Excitaciones aleatorias.
1.4. Vibraciones forzadas 13» Sistemas de un grado de libertad amortiguados sometidos a excitaciones armónicas. Excitaciones armónicas del tipo: Ecuación diferencial: Solución:
1.4. Vibraciones forzadas 14» Solución homogénea (vibración libre amortiguada):» Solución particular: Respuesta transitoria Respuesta permanente La respuesta transitoria se produce en el arranque y parada del sistema. En la mayoría de las aplicaciones tiene poco interés. Cuando el sistema funciona de forma continua, normalmente el interés se centra en la respuesta permanente o estacionaria, que quedará determinada conociendo su amplitud X 0 y desfase, ya que la frecuencia coincide con la de excitación.
1.4. Vibraciones forzadas 15 Solución homogénea para un sistema amortiguado: Solución particular: x h (t) x p (t) + t t x(t) = t
1.4. Vibraciones forzadas 16» Determinación de la solución particular (respuesta permanente): Sustituyendo la solución particular en la ED se obtienen los valores de X 0 y. Amplitud X 0 : r (ratio de frecuencias): relación de frecuencias de la fuerza excitadora y la frecuencia natural del sistema libre: r= / n. st deformación estática del resorte bajo una carga constante F 0 : st =F 0 /k.
1.4. Vibraciones forzadas 17 Desfase : retraso de la respuesta respecto de la fuerza aplicada. Factor dinámico de amplificación H: número de veces que la amplitud de oscilación dinámica sobrepasa a la estática.
1.4. Vibraciones forzadas 18» Representación del factor de amplificación en función de r y : H 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 H 3 2,5 2 1,5 =0.1 =0.2 =0.3 =0.4 =0.5 =0.5 1 =1 =1 =1.5 0,5 =1.5 =3 =3 =5 =5 0 =0.1 =0.2 =0.3 =0.4 =0 =0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 / n Animació n / n
1.4. Vibraciones forzadas 19» Representación del desfase en función de r y : 0-45 =0.1 0 0,5 1 =0 1,5 2 2,5 3 0-45 / n =0.1 0 0,5 1 =0 1,5 2 2,5 3 =0.2 =0.2 / n -90-90 =0.3 =0.4 =0.3 =0.4 =0.5 =0.5 =5 =5-135 -135 =3 =1.5 =1 =3 =1.5 =1-180 -180 F 0 (º) F 0 (º)
1.4. Vibraciones forzadas 20» Análisis de los gráficos: Para frecuencias de excitación menores que la mitad de la frecuencia propia del sistema, la amplitud es del mismo orden que la deflexión estática. Para frecuencias de excitación muy próximas a la propia del sistema la amplitud se incrementa bruscamente: RESONANCIA. Para frecuencias de excitación cercanas a la propia, pero no muy próximas: PULSACIÓN. Para frecuencias de excitación doble de la propia la amplitud de vibración es muy pequeña. El ancho de la curva de aumenta con el amortiguamiento. Hay un cambio de fase para una frecuencia de excitación igual a la frecuencia propia
1.4. Vibraciones forzadas 21» Resonancia en amplitud» Frecuencia de resonancia» Resonancia en energía (velocidad y energía cinética máximas)» Frecuencia de resonancia:
1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad 22 Un sistema de n grados de libertad, tendrá n frecuencias propias y n modos de vibración.» Ejemplo: Sistema de dos grados de libertad:
1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad 23 Ecuaciones del movimiento: Forman un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas: En forma matricial:
1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad 24 Resulta: De forma general, la ecuación del movimiento se puede escribir en forma matricial: sistema de n ecuaciones diferenciales de segundo orden.» Características: La matriz de rigidez [K] es simétrica k ij =k ji. La matriz de amortiguamiento [C] es simétrica c ij =c ji. La matriz de masas [M] es diagonal, eligiendo el sistema de referencia adecuado. Las matrices suelen ser matrices huecas ( sparse )
1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad 25» Ejemplo: Sistema de dos grados de libertad, libre, no amortiguado Igual que para 1 GL, la solución será armónica pero las masas vibran con distinta amplitud. Utilizando la solución compleja: Sustituyendo las soluciones en la ecuación del movimiento:
1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad 26 En forma matricial: Para obtener una solución distinta de la trivial el determinante debe ser cero:» Sistemas no amortiguados (en general): Soluciones imaginarias: Problema de valores propios (autovalores) de orden n en 2
1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad 27» Consecuencias La resolución de la ecuación obtenida para 2 da dos soluciones 1 2 y 2 2 que son las frecuencias propias del sistema (o n frecuencias en el caso de orden n). La frecuencia menor 1 se denomina fundamental. Las frecuencias propias dependen de las características del sistema: masas y rigideces. Las frecuencias propias son independientes de las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad. Las condiciones iniciales determinan el grado de excitación de cada frecuencia.
1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad 28 Si se introducen en las ecuaciones los valores de 1 y 2, se obtiene la relación que existe entre las amplitudes del movimiento para los modos 1 y 2, respectivamente: 1 2 Hay dos modos naturales, uno por cada frecuencia. Si se desplaza el sistema de su posición de equilibrio según un modo natural y se deja evolucionar libremente, oscila armónicamente a la frecuencia correspondiente a ese modo. Las dos soluciones obtenidas para los modos propios son armónicas. La solución general es una combinación lineal de los modos propios. El movimiento general es suma de dos movimientos armónicos de distinta frecuencia y el resultado es un movimiento no armónico.
1.6 Aplicación a sistemas mecánicos simples 29 Rigidez equivalente Acumula la misma energía potencial que el sistema» Fuerza: F=-kx Energía potencial: U=kx 2 /2» Vigas: Deflexión st sometido a la fuerza F» Resortes en paralelo: k eq = F/ st F s =k 1 st + k 2 st F s =k eq st k eq = k i
1.6 Aplicación a sistemas mecánicos simples 30» Resortes en serie: st = 1 + 2 F s =k 1 1 =k 2 2 F s =k eq st 1/k eq = 1/ k i
1.6 Aplicación a sistemas mecánicos simples 31
1.6 Aplicación a sistemas mecánicos simples 32
1.6 Aplicación a sistemas mecánicos simples 33 Viga Cable