LOS POLIEDROS: El cubo, la pirámide, la esfera, el cilindro... son figuras sólidas. Observando tales figuras, vemos que algunos sólidos, como el cubo y la pirámide, tienen su superficie exterior formada por polígonos; en otros, por el contrario, como el cilindro y la esfera, la superficie no está constituida por dichos polígonos. Se presenta así una distinción entre las figuras sólidas. Llamaremos poliedro a todo sólido limitado por polígonos. Más adelante examinaremos algunos de estos más a fondo. POLIEDROS REGULARES: Se dice que un poliedro es regular cuando sus caras son polígonos regulares iguales y sus ángulos poliedros tienen el mismo número de caras. Únicamente existen cinco poliedros regulares convexos, puesto que las sumas de las caras de un ángulo poliedro tiene que ser forzosamente menor que 360º. No puede constituirse ningún poliedro regular con más de cinco caras concurrentes en un mismo vértice, puesto que si tuviera seis caras tendríamos que 6 x 60º = 360º. Tetraedro. Tiene tres caras concurrentes en un mismo vértice. En efecto, 3 x 60º = 180º < 360º. Octaedro. Tiene cuatro caras concurrentes en un mismo vértice. En efecto, 4 x 60º = 240º < 360º. Icosaedro. Tiene cinco caras concurrentes en un mismo vértice. En efecto, 5 x 60º = 300º < 360º. Tomando como caras, cuadrados, se puede construir otro poliedro regular, el hexaedro o cubo, que tiene tres caras concurrentes en un mismo vértice. En efecto, 3 x 90º = 270º < 360º. Tomando como caras, pentágonos regulares, se puede constituir otro poliedro regular, el dodecaedro regular, que tiene tres caras concurrentes en un mismo vértice. 3 x 108º = 324º < 360º. Así pues solo existen cinco poliedros regulares, que reciben sus nombres de acuerdo con el número de caras: Tetraedro 4 caras. Hexaedro 6 caras. Octaedro 8 caras. Dodecaedro 12 caras. Icosaedro 20 caras. EL CUBO: El cubo es un hexaedro, ya que tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. 1
El cubo es el poliedro que tiene por caras seis cuadrados iguales. a) Área de su superficie. Puesto que la superficie del cubo está formada por seis cuadrados iguales, es muy fácil encontrar su área S: el área del cubo viene dada por el séxtuplo del área de una cara. Si indicamos por l la longitud de la arista, se tendrá: S = 6 l2 b) Volumen del cubo. Si la arista del cubo es de 1 metro, cada una de las caras del cubo tiene 1 m2 de área, y el cubo tendrá 1 m3 de volumen. Por tanto: El volumen del cubo se halla elevando a la 3ª potencia la longitud de su arista: V = a3 PARALELEPÍPEDO RECTÁNGULO U ORTOEDRO. El paralelepípedo rectángulo, u ortoedro, es un poliedro que tiene por caras 6 rectángulos iguales dos a dos. Las aristas de un ortoedro no son todas iguales, hay tres longitudes distintas. a b c Así pues, a, b y c tienen distintas longitudes. Área de la superficie. Si a, b y c son las dimensiones de un paralelepípedo rectángulo, el área S estará dada por la suma de las de los seis rectángulos. Con lo cual, el área de la superficie exterior de un ortoedro se encuentra multiplicando el perímetro de la base por la altura y agregando a este producto el área de las dos bases. S = (b + c + b + c) a + 2Ab Volumen. Para calcular el volumen de un ortoedro podemos imaginar que el espacio cerrado por él se divide en varios cubos unitarios. Con lo cual, el volumen del ortoedro se obtiene multiplicando el área de la base por la altura. V = Ab a ó V = a b c QUÉ ES UN POLIEDRO? Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras poligonales. 2
Estas caras que delimitan el poliedro son polígonas regulares cuyas intersenciones se denominan aristas y el lugar geométrico donde concurren tres de ellas o más, recibe el nombre de vértice. Los poliedros se caracterizan por el número y tipo de polígonos que constituyen sus caras. Cara Lateral Vértice Arista TIPOS DE POLIEDROS Según como corta el plano al poliedro (plano resultante al prolongar cualquiera de sus caras) se distinguen dos clases de poliedros: poliedros convexos o poliedros cóncavos. Un poliedro se llama cóncavo cuando el plano que contiene a alguna de sus caras parte al poliedro en dos trozos. Un poliedro es convexo si no es cortado por el plano. POLIEDROS SEMEJANTES Se dice de dos poliedros con el mismo número de caras que son semejantes cuando la forma de sus caras también lo son y sus ángulos resultan iguales. Este principio tiene gran importancia al relacionar los volúmenes y áreas de polígonos semejantes, de forma que las áreas de polígonos semejantes están relacionadas con los cuadrados de las aristas y los volúmenes con los cubos de las aristas. POLIEDROS IRREGULARES Un poliedro irregular está limitado por caras poliédricas, que pueden presentar diferentes formas. En este tipo de poliedros, el número de caras no presenta límites como ocurre con los poliedros regulares. Los poliedros irregulares más comunes son los prismas, las pirámides, y todas sus variedades. LOS PRISMAS EL PRISMA: Un prisma recto es un poliedro que tiene por bases dos poliedros iguales e igualmente dispuestos, y por caras, rectángulos, de los cuales, dos lados opuestos son lados correspondientes de los polígonos de la base. Si sus caras fuesen paralelogramos, se llamaría prisma oblicuo. Y un prisma se llamará prisma regular cuando sus bases sean polígonos regulares. Prisma Recto Prisma oblicuo Area de la superficie. El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al perímetro de la base multiplicado por la altura. Si al área lateral añadimos el área de cada una de las bases, obtendremos el área de la superficie total, que 3
indicaremos con St. Sl = p h St = p h + 2Ab Volumen de un prisma. Para determinar el volumen de los prismas, hay que compararlo con un ortoedro de base un rectángulo equivalente a la base del prisma, y así poderlo hallar mediante el principio de Cavalieri. En resumen, podemos decir que el volumen de un prisma se obtiene multiplicando la base por la altura. V = Abase h LAS PIRÁMIDES El nombre de pirámide se remonta al antigua Egipto, referído a aquellas construcciones monumentales levantadas a orillas del Nilo más de dos mil años antes de Cristo para servir de tumba a los reyes. Una pirámide es un poliedro limitado por un polígono (base de la pirámide) y por triángulos (caras de la pirámide). Así pues, si la pirámide tiene de base un triángulo se llamará triangular, un cuadrado, cuadrangular, etc. Cuando la base sea un polígono regular, podemos decir que es una pirámide recta de base regular, cuando la altura (h) caiga sobre el centro de la base. Apotema hipotenusa h Pirámide recta de base regular Área de la pirámide. El área de la superficie lateral de una pirámide recta de base regular (de una pirámide regular) se obtiene multiplicando la longitud del perímetro de la base por la apotema y dividiendo el producto por 2. Sl = ½ p a El área de la superficie total se obtendrá añadiendo al área lateral el área de la base. St = ½ p a + A Volumen de la pirámide. El volumen de la pirámide es igual al tercio del producto de la base por la altura. V = 1/3 A h TEOREMA DE EULER En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler consiguió definir una fórmula que servía para hallar el número de caras, vértices y aristas, aplicable a cualquier poliedro regular. 4
La fótmula es la siguiente: Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2 PRINCIPIO DE CAVALIERI. El principio de Cavalieri dice así: Si dos cuerpos tienen la misma altura y al cortarlos por planos se obtienen figuras con la misma área, entonces tienen el mismo volumen. misma área ha hb ha = hb ÍNDICE Indice...1. Qué es un poliedro?...2. Tipos de poliedros...2. Poliedros semejantes...3. Los poliedros: Poliedros regulares...4 5. El cubo...6. Poliedros Irregulares Los prismas: El prisma...7 8. Paralelepípedo u ortoedro...9. Las pirámides: Pirámides... 10. Teorema de Euler...11. Principio de Cavalieri...11. Bibliografía...12. BIBLIOGRAFÍA Título: Consultor Matemático v. III: Geometría. Editorial: CULTURAL, S. A. 5
Autor: L. Galdós. Título: Geometría Intuitiva. Editorial: EDITORIAL LABOR, S. A. Autor: Emma Castelnuovo. 6