CAPÍULO. MEDICIÓN DE PARÁMEROS ELÉCRICOS 8.3. Medición de potencia bajo condiciones no sinusoidales.3.1. Definición general de potencia El algoritmo implementado se basó en las definiciones propuestas por C Budeanu [3] y por las recomendaciones del grupo de trabajo en armónicos de la IEEE [53], que para los efectos de medida previstos en este trabajo cumplen con los requerimientos del sistema. A partir de dos señales, voltaje v y corriente i, la potencia eléctrica esta definida como el promedio del producto de ellas. P = vidt (.1) Donde es el tiempo de observación o el período de la señal (señales periódicas). En un sistema de potencia ideal los voltajes y corrientes son señales sinusoidales puras con frecuencias de 60 Hz. Pero en la realidad existen elementos y cargas no ideales que producen distorsión. En este caso los voltajes y corrientes serán señales aproximadamente periódicas con frecuencias fundamentales a 60 Hz. Si ambas señales cuentan con el mismo perìodo, el voltaje y la corriente pueden ser expresados en términos de series de Fourier y la potencia P se puede definir como: P = n V n I n cosθ n (.) Donde n es el númerodearmónicos existentes en la señal y es el ángulo de fase entre los diferentes armónicos de V n e I n. Hasta ahora no existe controversia en la utilización de las ecuaciones (1.) y (1.3) para señales de corriente y voltaje con contenidos armónicos. Para la medición de potencia reactiva y potencia aparente a partir de señales no sinusoidales no existe una única definición, eso sí, se sabe con seguridad que para señales sinusoidales puras la potencia reactiva se puede expresar como: Y la potencia aparente como: Q = VIsenθ (.3) Q = S P (.4) S = VI (.5) S = P + Q (.6) Para condiciones no sinusoidales la potencia aparente se puede definir también como: S = Vn I n (.7) n
CAPÍULO. MEDICIÓN DE PARÁMEROS ELÉCRICOS 9 La definición de potencia reactiva para señales no sinusoidales que más ampliamente se utiliza y se recomienda por el estándar ANSI/IEEE [3] está dada por Budeanu [5] Q = n V n I n senθ n (.8) Además es usual la denotación de potencia reactiva por Q B.Eltriángulo de potencia generalmente no se satisface y por lo tanto se requiere redefinir la relación entre potencia activa, reactiva y aparente como: S = P + Q B + D B (.9) El factor D B es llamado distorsión de potencia cuyo valor es cero si no existen armónicos presentes en las señales. Sin embargo la definición de acuerdo con Budeanu no se considera frecuentemente en algunas aplicaciones ya que no se ajusta totalmente a las interpretaciones físicas dadas a la potencia reactiva. Las más importantes interpretaciones físicas dadas a la potencia reactiva para condiciones sinusoidales son: [61]. 1. La potencia reactiva es igual a la magnitud valor pico de las pulsaciones bidireccionales de la potencia instantánea a través de un punto en un sistema de potencia.. La potencia reactiva es proporcional al promedio de la diferencia entre la energía almacenada en los inductores y la energía guardada en los capacitores. 3. Si el factor de potencia es igual a uno, la potencia reactiva es igual a cero. 4. La potencia reactiva completa el triángulo de potencia. S = P + Q 5. La suma de todas las potencias reactivas en un nodo de un sistema de potencia es cero. 6. La potencia reactiva se puede evaluar en términos de V, I y el senθ 7. La potencia reactiva puede ser positiva o negativa (el signo determina si es una carga inductiva o capacitiva. 8. La potencia reactiva se puede llevar a cero insertando cargas inductivas o capacitivas. 9. La caída de voltaje en las líneas de un sistema de potencia es aproximadamente proporcional a la potencia reactiva. Estas características son aplicables al caso de señales sinusoidales puras y depende del ángulo entre el voltaje y la corriente y válidas para la expresión Q = VIsenθ, Para el caso de señales con armónicos la definición de potencia de Budeanu no siempre concuerda con las características tres, cuatro y ocho. Se puede demostrar que la potencia aparente es el producto cruz de los armónicos de voltaje y corriente, mientras que la potencia activa no. La característica cuatro requiere entonces que la potencia reactiva no contenga el producto cruz, que contradice la característica seis. Por lo tanto una definición de potencia reactiva para casos no sinusoidales que contengan las características seis y cuatro es imposible encontrarla.
CAPÍULO. MEDICIÓN DE PARÁMEROS ELÉCRICOS 30.3.. Definición de potencia reactiva propuesta por C Budeanu [5] La potencia activa bajo condiciones no sinusoidales pero bajo condiciones periódicas de las señales está definida por: P = n p n (.30) Donde los valores de V n e I n son los valores armónicos de voltaje y corriente r.m.s. de orden n y donde θ n es el ángulo de desfase entre los diferentes armónicos. Pero como ya se comentó la ecuación propuesta por Budeanu, no cumple con la definición del triángulo de potencia (1.6),S = P + Q, de acuerdo con: S = n Vn n ( ) ( ) In V n I n cosθ n + V n I n senθ n (.31) n n La cantidad adicionada por Budeanu la llamó distorsión de potencia D de acuerdo con: La principal característica de esta definición es que cumple con la característica 5. Es decir la suma de todas las potencias reactivas en un punto de un sistema es cero. La principal desventaja es que la definición no cumple con las características tres y ocho. Es decir, el factor de potencia no es siempre uno si la potencia reactiva es reducida a cero y la potencia reactiva se puede compensar al adicionarle a la red componentes inductivos o capacitivos [61].3.3. Definición de S Fryze [56] Su análisis se hace en el dominio del tiempo y consiste en dividir la corriente en dos partes. La primera parte consiste en contar con una corriente de la misma forma de onda y fase que la del voltaje y su amplitud multiplicada por el voltaje es equivalente a la potencia activa. La segunda parte es el residuo denominado por. e i a = P V v (.3) i r = i i a (.33) Como i a e i r son mutuamente ortogonales el valor r.m.s. de I se puede calcular como: I = I a + I r (.34) De lo anterior se puede decir que la potencia aparente se puede obtener como el producto de la corriente r.m.s. yelvoltajer.m.s. S = V I (.35) V ( Ia + Ir ) = P + Q (.36)
CAPÍULO. MEDICIÓN DE PARÁMEROS ELÉCRICOS 31 La definición para S. Fryze en algunos cálculos denotada Q como Q f y la llama potencia ficticia. La definición anterior cumple con la característica 3 pero no cumple con la característica 5. Además el valor de Q f no provee la información de cómo compensar los componentes pasivos [61].3.4. Definición propuesta por NL Kuster y W J M Moore [43] La definición de potencia reactiva, también se expresa en el dominio del tiempo. Pero Kuster complementa la definición de Fryze haciendo un ajuste de las componentes ortogonales dependiendo de si la carga es predominantemente capacitiva o predominantemente inductiva. Las tres componentes de corriente son llamadas corriente activa, corriente reactiva inductiva o capacitiva y corriente residual. Que en términos de la potencia aparente está dado por: S = P + Q (.37) = P + Q c + Q cr (.38) = P + Q l + Q lr (.39) La corriente activa igual que Fryze está definida por: Y la corriente reactiva capacitiva por: 1 i p = P vidt V v = V v (.40) i qc = v der = 1 v der idt Vder (.41) El valor de corriente reactiva inductiva por: i qc = v int = 1 v int idt Vint (.4) Donde v der y v int son la parte periódica de la derivada e integral del voltaje instantáneo y V der y V int corresponden a los valores r.m.s. Donde el valor de P, Q c y Q l están definidos por: P = VI p (.43) Q c = VI qc (.44) Q l = VI ql (.45) Las potencias Q c y Q l son cantidades que cuentan con signo. Y que se pueden compensar con shunts capacitivos o inductivos en caso de ser estos valores negativos.
CAPÍULO. MEDICIÓN DE PARÁMEROS ELÉCRICOS 3 Q c sigue la convención de potencia reactiva para situaciones sinusoidales cuando Q l cuenta con un signo opuesto. El resto de los términos serán determinados por: Y i qcr = i i p i qc (.46) i qlr = i i p i ql (.47) Q cr = S P Q c (.48) Q lr = S P Q l (.49) Los valores de Q c y Q l no son iguales a la potencia reactiva de acuerdo con Budeanu, pero para señales sinusoidales son iguales a Q. De acuerdo con la descomposición de Fryze, la definición de Kuster y Moore tiene más ventajas ya que permite la compensación con shunts capacitivos o inductivos. Y las características 7 y 8 se cumplen por Q c y Q l [61].3.5. Definición propuesta por W Shepherd y P Zakikhani [59] El análisis de la potencia reactiva se determina en el dominio de la frecuencia. Una carga no lineal conectada a una fuente ideal da como resultado una corriente con armónicos que no tiene ninguna correspondencia con los armónicos de voltaje. Los armónicos de corriente y voltaje se dividen en armónicos comunes y no comunes. Para los armónicos comunes de orden n ambos V n e I n son diferentes de cero. Cuando los armónicos de orden n no son comunes uno de V n e I n es diferente de cero. Entonces la potencia aparente está definida por: S = ( Vn + ) Vm In + m N p P I p (.50) Donde N es el conjunto de armónicos comunes y M y P contienen todos los no comunes. Donde la potencia activa es: P = n V n I n cosφ n (.51) Y donde la potencia aparente es: SR = Vn Incos Φ n (.5) SX = Vn Insen Φ n (.53) p P Yelrestodetérminos
CAPÍULO. MEDICIÓN DE PARÁMEROS ELÉCRICOS 33 SD = Vn Finalmente, In + V m Ip + p P m N p P I p (.54) S = S R + S X + S D (.55) odos los valores de potencia aparente se definen por valores r.m.s. y ninguno de ellos cuenta con signo. Shepherd consideró que su definición se encontraba muy cerca de la realidad física en especial en lo referente a la compensación de potencia reactiva. Solamente S D contiene armónicos no comunes que no se pueden compensar por componentes pasivos [61].3.6. Definición de Sharon [58] La definición de potencia reactiva también está basada en el dominio de la frecuencia, y comienza con la misma división de componentes armónicos comunes y no comunes a las señales de voltaje y corriente. S = ( Vn + ) Vm In + m N p P I p (.56) Donde N es el conjunto de armónicos comunes. M y P contienen todos los armónicos no comunes diferentes de cero de las señales de voltaje y corriente. (Esto es M es el conjunto de armónicos de voltaje diferentes de cero cuando le corresponden armónicos de corriente debido a la nolinealidad son cero.) La potencia activa es: P = n V n I n cosφ n (.57) Sharon sugirió que la potencia aparente fuese igual a: SQ = V rms Insen Φ n (.58) Yelrestodeltérmino se denomina S c Sc = Vm I n cosφ n + V rms Ip + 1 (V β I γ lcosφ γ U γ I β lcosφ β ) (.59) β N γ N Y por lo tanto se denota a S como: S = P + S Q + S c (.60)
CAPÍULO. MEDICIÓN DE PARÁMEROS ELÉCRICOS 34.3.7. Definición de acuerdo con L S Czarnecki [11], [1] La definición de potencia reactiva está basada también en el dominio de la frecuencia. El valor instantáneo de voltaje en un período es: v = Re V n e jnω1t (.61) Donde ω 1 es la frecuencia angular de la fundamental y n es el orden del armónico para el cual V n es diferente de cero. Definiendo la carga en un sistema de potencia en términos de su admitancia se tiene: Y n = G n + jb n (.6) Y que G y B pueden depender de la frecuencia. Por lo tanto i está definido por: v = Re n V n (G n + jb n ) e jnω1t (.63) Asumiendo que toda la potencia activa es consumida por la conductancia se tiene que: G e = P V (.64) La corriente a través de la conductancia será igual a la corriente activa i a. La corriente residual se puede calcular como: i i a = Re n (G n G e + jb n ) V n e jnω1t (.65) La corriente residual se puede dividir en dos partes. La corriente reactiva dada por: i r = Re n jb n V n e jnω1t (.66) De donde: I = I a + I s + I r (.67) = P V + n (G n G e ) V n + B n V n (.68) La expresión anterior es multiplicada por V y se obtiene la potencia aparente. S = P + D s + Q r (.69)
CAPÍULO. MEDICIÓN DE PARÁMEROS ELÉCRICOS 35.3.8. Sugerencias de grupo de trabajo en armónicos de la IEEE [53] La principal diferencia entre la definición aquí planteada y las otras definiciones es que se separa las cantidades fundamentales P 1 y Q 1 del resto de componentes de potencia aparente. El punto de arranque es la separación entre el voltaje fundamental y los armónicos de corriente por medio de los valores r.m.s. V = V 1 + V H = V 1 + h 1 V h (.70) e I = I 1 + I H = I 1 + h 1 I h (.71) La potencia aparente está definida por: Donde: S = (VI) =(V 1 I 1 ) +(V 1 I H ) +(V H I 1 ) +(V H I H ) (.7) (V 1 I 1 ) = S 1 = P 1 + Q 1 =(V 1 I 1 cosφ 1 ) +(V 1 I 1 senφ 1 ) (.73) Y que se puede llamar la potencia aparente fundamental. Las otras partes están definidas por: Donde la potencia no activa se define por: S N = (V 1 I H ) +(V H I 1 ) +(V H I H ) = S S 1 (.74) N = S P (.75) Y donde S h, Potencia aparente de las componentes no fundamentales se define por: S H = (V H I H ) = P H + H H (.76) Donde P H es la potencia armónica y N H es la potencia total no activa armónica. La relación S H /S 1 es aproximadamente igual HD U HD 1
CAPÍULO. MEDICIÓN DE PARÁMEROS ELÉCRICOS 36.3.9. National and Internacional standards [1] La Internacional Electrotechnical Comisión (IEC) Standard IEC-7 y el Swedish nacional Standard SEN 01 01 01 denotan al símbolo Q la potencia reactiva y la definen como: Para señales sinusoidales puras el valor de Q está definido como: S = P + Q (.77) Q = S P (.78) Pero debido a que la potencia aparente está definida de manera unívoca como S = V rms I rms (.79) El grupo de trabajo C5/WG 7 investigó cómo tratar la potencia reactiva bajo condiciones no sinusoidales y determinó usar una cantidad denominada potencia de distorsión o D, sugerida por Budeanu. La sugerencia del grupo fue incluir esta cantidad dentro de la potencia reactiva como: Y definió a la potencia aparente como: Q = Q B + D (.80) Además utilizó el factor potencia ficticia como: S = P + jq B (.81) F = jq B + kd (.8) Donde el factor j y k son vector unitarios y perpendiculares. Esta potencia aparente es igual a la potencia reactiva de acuerdo con Fryze. De otra forma la potencia no activa N es definida por: La potencia aparente se denota por U y dada por: N = ip + kd (.83) U = P + F = P + Q + D (.84)