Teoría del Consumidor El Problema del Consumidor
Preferencias y funciones de utilidad Los axiomas A1, A2 y A4 implican que existe una función de utilidad continua u: R 2 + R que representa las preferencias del consumidor. El axioma A3 implica que la función u(x,y) es no decreciente en x y no decreciente en y; además es creciente en (x,y). El axioma A5 implica que u es cóncava.
Ejemplos Los bienes x e y son complementarios y sustitutivos imperfectos. y u(x,y)=x α y β x
Ejemplos Los bienes x e y son sustitutivos perfectos y u(x,y)=αx+βy x
Ejemplos Los bienes x e y son complementarios perfectos. y u(x,y)=min{αx,βy} x
Relación Marginal de Sustitución (RMS) Definimos la RMS(x,y) como el valor absoluto de la pendiente de la recta tangente a la curva de indiferencia en el punto (x,y). y RMS(x,y) = 1/2 x
Relación Marginal de Sustitución (RMS) Conceptualmente, la RMS(x,y) es la cantidad de bien y que hay que dar al consumidor para compensarle por renunciar a consumir una unidad (infinitesimal) de x, de manera que el consumidor mantenga el bienestar que tiene cuando consume la cesta (x,y). Es decir, la RMS(x,y) es el valor que el consumidor que tiene la cesta (x,y) atribuye a una unidad (infinitesimal) del bien x, expresado en unidades del bien y.
1. u(x,y) = xy Ejemplos Sea (x,y) una cesta de bienes cualquiera; denotemos xy = u* el nivel de utilidad Por tanto, u* = xy y =f(x) = u*/x. f (x) = -u*/x 2. Sustituyendo u*=xy obtenemos RMS(x,y) = -xy/x 2 = y/x. Si evaluamos la RMS en la cesta (2,1), tenemos RMS(2,1) = 1/2.
Ejemplos y RMS = pte = 1/2 x
Ejemplos 2. u(x,y) = 2x + y Sea (x,y) una cesta de bienes cualquiera; denotemos el nivel de utilidad como 2x + y = u* u* = 2x + y y = f(x) = u* - 2x. Por tanto, RMS(x,y) = f (x) = 2. En este caso la RMS es una constante.
y 4 Ejemplos 3. Los bienes x e y son sustitutivos perfectos 2 0 1 2 x
Ejemplos 3. u(x,y) = min{x,2y} La función de utilidad no es derivable en los puntos (x,y) tales que x 2y. Para estos puntos la RMS no está definida. En los puntos (x,y) tales que x > 2y, tenemos RMS(x,y)=0.
Ejemplos 3. RMS(x,y) = 0 si y < x/2 y RMS(x,y) está indefinida si y x/2. y u(x,y)=min{x,2y} y = x/2 x
La RMS como ratio de utilidades marginales Podemos encontrar una fórmula para calcular la RMS(x,y) sin necesidad de obtener la función y = f(x) que define la curva de indiferencia. Para calcular RMS(x0,y0), partimos de la ecuación que define la curva de indiferencia que pasa por el punto (x0,y0) u(x,y) = u0, (*) con u(x0,y0) = u0. El Teorema de la Función Implícita establece condiciones que garantizan que esta ecuación define una función alrededor del punto (x0,y0), y nos dice que en estas condiciones la derivada de esta función se puede obtener diferenciando totalmente la ecuación. 14
La RMS como ratio de utilidades marginales Si denotamos las derivadas parciales de u(x,y) con respecto a x e y como ux y uy, derivando totalmente la ecuación (*) obtenemos dx ux + dy uy = 0. La derivada de la función que define la ecuación (*) es dy/dx = -ux/uy Por tanto, podemos obtener la RMS(x0,y0) evaluando esta expresión en (x0,y0): RMS(x0,y0) = -ux(x0,y0)/uy(x0,y0) 15
La RMS como ratio de utilidades marginales Si aplicamos esta fórmula a los ejemplos 1 y 2 que hemos tratado, obtenemos: 1. u(x,y)=xy u x = U/ x=y u y = U/ y=x RMS(x,y)= - u x /u y = y/x. 2. u(x,y)=2x+y u x = U/ x=2 u y = U/ y=1 RMS(x,y)= - u x /u y = 2/1= 2 (constante).
El problema del consumidor El consumidor elige la cesta de bienes que maximiza su bienestar (utilidad) dentro del conjunto de cestas de bienes factibles (conjunto presupuestario). Es decir, el problema del consumidor (PC) es: Max x,y u(x,y) s. a. xp x + yp y I x 0, y 0.
El problema del consumidor Solución: supongamos que (x*, y*) resuelve el PC. 1. x*p x + y*p y = I. Prueba: Supongamos que x*p x + y*p y = I -, donde > 0. Entonces la cesta (x*+ /2p x,y*+ /2p x ) es factible y preferida a la cesta (x*, y*) - axioma A.3. Esto es una contradicción.
El problema del consumidor Solución: supongamos que la cesta (x*, y*) resuelve el PC. 2.a. Si x*> 0 RMS(x*,y*) p x /p y 2.b. Si y*> 0 RMS(x*,y*) p x /p y
El problema del consumidor y I/p y B En B, la RMS p x /p y. La cesta C es preferida a la B y es factible. Por tanto, B no es óptima. C I/p x x
El problema del consumidor Solución interior: (x*,y*) >> (0,0) (1) xp x + yp y = I (2) RMS(x,y) = p x /p y
Solución esquina: El problema del consumidor Sólo se consume bien x: x*= I/p x, y*= 0 (2) RMS(I/p x, 0) p x /p y Sólo se consume bien y: x*= 0, y*= I/p y (2) RMS(0, I/p y ) p x /p y
Ejemplos 1. u(x,y) = xy; p x =1, p y =2, I=80. RMS(x,y) = y/x. Usando (2): RMS(x,y) = p x /p y tenemos y/x = 1/2 x = 2y Sustituyendo en (1): xp x + yp y = I tenemos x+2y =80 2x=80. Es decir, x*= 40, y*= 20. (No hay solución de esquina: u(x,0)=u(0,y)=0.)
Ejemplos y x
Ejemplos 2. u(x,y) = 2x + y; p x =1, p y =2, I=80. RMS(x,y) = 2. Solución Interior: (1) xp x + yp y = I x + 2y = 80 (2) RMS(x,y) = p x /p y 2= 1/2?? No es posible satisfacer la ecuación (2). No hay solución interior!
Ejemplos Soluciones de Esquina: y RMS(0,40) = 2 > p x /p y = 1/2. 40 0 20 40 80 x La cesta (0,40) no es una solución.
Ejemplos Soluciones de Esquina: y RMS(80,0) = 2 > p x /p y = 1/2. 40 0 80 x La cesta (80,0) es una solución.
Ejemplos 3. u(x,y) = min{x,2y}; p x =1, p y =2, I=80. La RMS(x,y) = 0 si y < x/2 (la curva de indiferencia es horizontal en estos puntos). La RMS(x,y) no está definida si y x/2 (en estos puntos la curva de indiferencia es vertical o tiene varias tangentes). El método que hemos discutido basado en la RMS no es útil para resolver este problema.
Ejemplos Veamos que la solución es la cesta (40,20), como sugiere la inspección del gráfico adjunto. y 40 y = x/2 0 40 80 x
Ejemplos Supongamos que (x*,y*) resuelve el PC. a. Si y* < x*/2, como x* + 2y* = 80, tenemos y* = (80- x*)/2 < 40- y* y* < 20. Por tanto, u(x*,y*)=2y* < 40 = u(40,20). b. Si y* > x*/2, como x* + 2y* = 80, tenemos x* = 80-2y* < 80- x* x* < 40. Por tanto, u(x*,y*)=x* < 40 = u(40,20). a. y b. implican que (x*,y*) = (40,20).