PROBABILIDAD. 1 EXPERIENCIAS ALEATORIAS. SUCESOS. Experiencia aleatoria es aquella cuyo resultado depende del azar. Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no dependiendo del azar. Espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Lo designaremos por E. Por ejemplo: en el lanzamiento de un dado, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Suceso es cualquier subconjunto de E. A = salir par en el lanzamiento de un dado = {2, 4, 6} Los elementos de E se llaman sucesos individuales, sucesos elementales o casos. También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible, φ y el propio E, suceso seguro. Si E tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2 n. En la experiencia lanzamiento de un dado el número de sucesos es 2 6 = 64. Dados dos sucesos A y B, se llama UNIÓN. A B es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. El suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos. INTERSECCIÓN. A B es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez de A y de B. El suceso A B se verifica cuando ocurre simultáneamente, A y B. DIFERENCIA. A - B es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. El suceso A B se verifica cuando lo hace A y no B. COMPLEMENTARIO o CONTRARIO. A = E A. El suceso A se verifica siempre y cuando no se verifica A. 57
SUCESOS INCOMPATIBLES. Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Es decir, cuando A B = φ Ejercicio 1: Consideremos la experiencia lanzar un dado y los sucesos A = salir un número par ; B = salir un número mayor que dos ; C = salir un número menor que dos a) Cuál es el espacio muestral? b) Cuántos sucesos tiene esta experiencia? c) Describe los sucesos A, B, C d) Obtén: A B; A B; A C; A C; A B e) Obtén: A ; B ; C Algunas propiedades importantes: Si A B, entonces A B = B y A B = A Leyes de Morgan: (A B) = A B (A B) = A B Ejercicio 2: Consideremos la experiencia lanzar un dado y los sucesos: A = {1, 2, 3, 4}; B = {1, 3, 5}; C = {2, 4}. a) Halla: A B, A B, A, B b) Obtén (A B), (A B), A B, A B y comprueba que se cumplen las leyes de Morgan. c) Obtén A C; A C, y razona los resultados. 2 FRECUENCIA Y PROBABILIDAD. FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA DE UN SUCESO. Realizamos N veces una experiencia aleatoria. Se llama frecuencia absoluta de un suceso A, al número de veces que ocurre A y se designa por f(a). Se llama frecuencia relativa de A a la proporción de veces que ocurre A. f (A) f r (A) = N LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS. Al realizar reiteradamente una experiencia aleatoria, la frecuencia relativa de un cierto suceso, f r (A), va tomando distintos valores. Estos valores al principio sufren grandes 58
oscilaciones pero, poco a poco, se van estabilizando (oscilan cada vez menos). Cuando N crece mucho, se aproximan a un cierto valor que es la probabilidad de A, P[A]. limf r (A) = N P[ A] Ley de los grandes números PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES. Las probabilidades de los distintos sucesos de una misma experiencia aleatoria deben cumplir las propiedades que damos a continuación. Las tres primeras se imponen (son axiomas), inspirándonos en las propiedades de las frecuencias relativas. Las siguientes se deducen de las primeras (teoremas). Axiomas: La probabilidad de cada suceso es un número que ha de cumplir los siguientes axiomas: 1.- Cualquiera que sea el suceso A, P[A] 0. 2.- Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades. A B = φ P[A B] = P[A] + P[B] 3.- La probabilidad del suceso seguro es 1. P[E] = 1 Teoremas: 1.- P[A ] = 1 - P[A] 2.- P[ φ ] = 0 3.- Si A B, entonces P[B] = P[A] + P[B - A] 4.- Si A B, entonces P[A] P[B] 5.- Si A 1, A 2,..., A k son incompatibles dos a dos, entonces: P[A 1 A 2... A k ] = P[A 1 ] + P[A 2 ] + +P[A k ] 6.- P[A B] = P[A] + P[B] - P[A B] 7.- Si el espacio muestral E es finito y un suceso es A ={x 1, x 2,...,x k }, entonces : P[A] = P[x 1 ] + P[x 2 ]+...+ P[x k ] Ejercicio 3. Se lanza un dado chapucero mil veces y se obtiene f(1) = 117, f(2) =302, f(3) = 38, f(4) = 234, f(5) = 196, f(6) = 113. Estima las probabilidades de las distintas caras. Cuáles son las probabilidades de los sucesos par, menor que 6, {1, 2} Ejercicio 4. Se sabe que P[A] = 0,4 P[B] = 0,7 P[A B ] = 0,2 Calcula P[(A B) ]; P[A B]; P[A B] Ejercicio 5. Sabemos que P[M N] = 0,6 P[M N] = 0,1 P[M ] = 0,7 Calcula P[M]; P[N] 59
3 LEY DE LAPLACE. Si el espacio muestral, E = {x 1, x 2,..., x n }, consta de n sucesos elementales equiprobables, esto es P[x 1 ] = P[x 2 ] =...= P[x n ] = n 1 número de elementos de A La probabilidad de un suceso A: P[A] =, es decir, n número de"casos favorables"de A P[A] = número de "casos posibles" Cuándo no se puede aplicar la ley de Laplace. La ley de Laplace se puede aplicar cuando todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad. Pero hay muchos casos en que esto no ocurre. a) Instrumentos irregulares: Hay instrumentos aleatorios claramente irregulares: un dado mal construido, una chincheta...para hallar la probabilidad de un suceso A se recurre a la ley de los grandes números. Por ejemplo dejamos caer 100 chinchetas del mismo tipo 10 veces con lo que obtenemos 1000 resultados. Contamos el número de veces que la chincheta cae con la punta hacia arriba. b) Instrumentos regulares, sucesos elementales no equiprobables. Por ejemplo: un dado con tres caras 1, dos caras 2, y una cara 3. Ejercicio 6. En una baraja española de 40 cartas, halla : P[AS], P[OROS] Ejercicio 7. En el lanzamiento de dos dados, calcula las siguientes probabilidades: a) Obtener 12 al multiplicar los dos resultados. b) Que la diferencia de las dos puntuaciones sea 2. 4 PROBABILIDAD CONDICIONADA. SUCESOS INDEPENDIENTES. Dados dos sucesos A y C, se llama probabilidad de A condicionada a C y se escribe P[A / C] a: P [ A C ] P[A / C] =. Mide la proporción de veces que ocurre A de entre las que P[ C] ocurre C. De la expresión anterior se deduce que P[A C] = P[C] P[A / C] Dos sucesos A y C, se dice que son independientes cuando: P[A / C] = P[A] y P[C / A] = P[C] 60
Cuando dos sucesos son independientes, la probabilidad de su intersección es igual al producto de sus probabilidades: A y C independientes P[A C] = P[A] P[C] Ejercicio 8: En una bolsa se tiene: tres bolas verdes numeradas con el 1, el 2 y el 3. Cuatro bolas rojas numeradas con el 4, el 5, el 6 y el 7. Una bola negra con el 8. Se saca una bola y se pide: a) Probabilidad de que sea par b) Sabiendo que la bola es verde, halla la probabilidad de que sea par. c) Halla la probabilidad de que sea par, sabiendo que es roja. d) Halla la probabilidad de que sea par, sabiendo que es negra. e) Los sucesos PAR y ROJO son independientes? Estudio de probabilidades en tablas de contingencia. Se ha seguido la pista a 100 000 coches, durante un año, de tres marcas distintas: SETA, VOVO, y ADI. Unos han tenido algún accidente serio AC y otros NO AC SETA VOVO ADI TOTAL AC 400 200 400 1000 NO AC 49 600 19 800 29 600 99 000 TOTAL 50 000 20 000 30 000 100 000 Una tabla de este tipo se llama tabla de contingencia Ejercicio 9: Observando la tabla, halla: a) La probabilidad de que un coche tenga un accidente. b) La probabilidad de que un coche que ha tenido un accidente sea SETA. c) La probabilidad de que un coche SETA tenga accidente. d) La probabilidad de que un coche VOVO tenga accidente. e) La probabilidad de que un coche ADI tenga accidente. f) Los sucesos VOVO y AC son independientes? g) Los sucesos SETA y AC son independientes? 61
5 PRUEBAS COMPUESTAS. Hay experiencias en las que fácilmente podemos distinguir dos o más etapas. Se llaman pruebas compuestas Experiencias independientes. Se dice que dos o más pruebas son independientes cuando el resultado de cada una de ellas no influye en las probabilidades de los distintos resultados de las otras. Si n pruebas son independientes y los sucesos S 1, S 2,..., S n corresponden, respectivamente, a cada una de ellas se cumple que: P[S 1 en la 1ª y S 2 en la 2ª y... y S n en la n-ésima] = P [S 1 ] P [S 2 ]... P [S n ] Ejercicio10: Se lanza un dado y una moneda. Halla la probabilidad de obtener par y cara. Experiencias dependientes. Dos experiencias son dependientes cuando el resultado de la primera influye en las probabilidades de los sucesos de la segunda. Las probabilidades se obtienen así: P[S 1 en la 1ª y S 2 en la 2] = P [S 1 ] P [S 2 / S 1 ] es decir: P[S 1 en la 1ª ] P [S 2 en la 2ª supuesto que ocurrió S 1 en la 1ª] Si se encadenan más de dos experiencias dependientes, las probabilidades de los sucesos compuestos se obtienen análogamente. Por ejemplo para tres pruebas: P[S 1 en la 1ª y S 2 en la 2 y S 3 en la 3ª] = P [S 1 ] P [S 2 / S 1 ] P [S 3 / S 1 y S 2 ] Ejercicio11: Tenemos una moneda y dos urnas. La urna I contiene una bola negra, tres rojas y 6 verdes. La urna II contiene dos bolas negras, seis rojas y dos verdes.. Lanzamos la moneda y si sale cara, extraemos una bola de I y si sale cruz, extraemos una bola de II. Halla: a) La probabilidad de bola verde, sabiendo que hemos obtenido cara b) La probabilidad de cara y bola verde. 6 PROBABILIDAD TOTAL. Se tienen n sucesos A 1, A 2,..., A n, incompatibles dos a dos y tales que A 1 A 2... A n = E. Entonces, para cualquier suceso S se cumple que: P[S] = P [A 1 ] P [S / A 1 ] + P [A 2 ] P [S / A 2 ] + + P [A n ] P [S / A n ] A la probabilidad P[S] calculada de este modo se la llama probabilidad total. Ejercicio12: Enunciado del ejercicio 11. Halla la probabilidad de bola verde. 62
7 PROBABILIDADES A POSTERIORI. FÓRMULA DE BAYES. En una experiencia compuesta de dos, si A es un suceso correspondiente a la primera y S es un suceso correspondiente a la segunda, se puede llegar al suceso S pasando por A o por otros sucesos. Si sabemos que ha ocurrido S, cuál es la probabilidad de que haya sido pasando por A? P [A/ S] = P[ A S] P = [ A ] P [ S/ A] P[ S] P[ S] Fórmula de Bayes. Ejercicio13: Enunciado del ejercicio 11. Sabiendo que la bola es verde, halla la probabilidad de que haya salido cara. EJERCICIOS. 1.- En un sorteo de lotería nos fijamos en la cifra en que termina el gordo. a) Cuál es el espacio muestral? b) Describe, escribiendo todos sus elementos, los sucesos: A = Menor que 4, B = par, C = Mayor que 5 c) Halla los sucesos A B, B C, A B, A C. d) Halla la probabilidad de todos los sucesos de los apartados anteriores. e) Cuántos sucesos hay? 2.-De los sucesos A y B se sabe que: P[A] = 0, 4 P[B] = 0,5 P[A B ] = 0,3. Halla P[A B] y P[A B]. 3.- De dos sucesos A y B conocemos P[A B] = 0,83; P[A B] = 0,35 ; P[B ] = 0,6. Calcula P[B] y P[A]. 4.- Determina si son compatibles o incompatibles los sucesos A y B: P[A] = 1/4 ; P[B] =1/2; P[A B] = 2/3. 5.- De dos sucesos A y B conocemos P[A B] = 3/4; P[A B] = 1/4 ; P[B ] = 2/3. Calcula P[B], P[A] y P[A B]. 6.-Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con: P[A] = 0,7 ; P[B] =0,6; P[A B ] = 0,58. Son independientes A y B? M '/ A'? Si M A, cuál es el valor de P[ ] 7.- Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad, de manera que P[A] = 0, 4 P[B] = 0,3 P[A B] = 0,1. Calcula razonadamente: P[A B]; P[A B ]; P[A / B]; P[A B ] 63
8.- Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que pase la primera prueba es 0`6. La probabilidad de que pase la segunda es 0`8 y la de que pase ambas es 0`5. Se pide: Probabilidad de que pase al menos una prueba. Probabilidad de que no pase ninguna prueba. Son las pruebas sucesos independientes? Probabilidad de que pase la segunda prueba en caso de no haber superado la primera. 9.-Una clase se compone de veinte alumnos y diez alumnas. La mitad de las alumnas y la mitad de los alumnos aprueban las matemáticas. Calcula la probabilidad de que, al elegir una persona al azar, resulte ser: a) Alumna o que apruebe las matemáticas. b) Alumno que suspenda las matemáticas. c) Sabiendo que es alumno, cuál es la probabilidad de que apruebe las matemáticas? d) Son independientes los sucesos ALUMNO y APRUEBA LAS MATEMÁ- TICAS?. 10.- Un gato persigue a un ratón. Este puede entrar en uno de los callejones A, B o C. La probabilidad de que entre por A es 0 3; la probabilidad de que entre por B es 0 5 y la de que entre por C es 0 2. La probabilidad de que lo cace es 0 4 si ha entrado por A; 0 6 si ha entrado por B; 0 1 si ha entrado por C. Halla: La probabilidad de que entre por el camino B y cace el ratón La probabilidad de que cace el ratón. Probabilidad de que haya seguido el camino B sabiendo que ha cazado el ratón. 11.-En una casa hay tres llaveros, A, B, C, el primero con 5 llaves, el segundo con 7 y el tercero con 8, de las que solo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él, una llave para intentar abrir el trastero. Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave? Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el C y la llave no abra? Y si la llave escogida es la correcta, cuál será la probabilidad de que pertenezca al llavero A? 12.-En una comarca hay dos periódicos: El Progresista y El Liberal. Se sabe que el 55% de las personas de la comarca lee El Progresista (Pr), el 40% lee El Liberal (L) y el 25% no lee ninguno de ellos. Expresa en función de Pr y L estos sucesos: a) Leer los dos periódicos. b) Leer sólo El Liberal. c) Leer sólo El Progresista. d) Leer alguno de los dos periódicos. e) No leer ninguno de los dos f) Leer solo uno de los dos. g)halla las probabilidades de: Pr, L, Pr L, Pr L, Pr-L, L-Pr, (L Pr), (L Pr) h) Sabemos que una persona lee El Progresista. Qué probabilidad hay de que, además, lea El Liberal? Y de que no lo lea? Ejercicios de selectividad. 64