Aplicaciones de problemas de Máximos y Mínimos. En la resolución de problemas de máximos y mínimos el mayor desafío consiste generalmente en obtener, a partir del enunciado, la función que se necesita optimizar. Como en los casos anteriores de problemas de aplicación, no existen reglas específicas para alcanzar sus soluciones, sin embargo, existen algunos pasos importantes que pueden conformar una estrategia general. Se recomienda al alumno asumir y utilizar las siguientes instrucciones cuando aborde este tipo de problemas: 1. Entender el problema: Leer cuidadosamente el problema hasta que esté completamente entendido. Realice la lectura con mentalidad positiva, tratando de obtener la respuesta a las siguientes preguntas: Cuál es la función a maximizar o minimizar? Cuáles son los datos? Cuáles son las condiciones establecidas? 2. Dibujar la situación problemática: Esbozar, cuando sea posible, un diagrama que sintetice el problema y que incluya los datos y las cantidades desconocidas. 3. Introducir las simbología: Asignar símbolos a todas las cantidades dadas y a las cantidades a determinar, esto es, asignar una letra a cantidad que se va a optimizar (Por ejemplo, A: Área, V: Volumen, c: costo, etc). Elegir letras para la o las variables de las cuales depende la función a optimizar (Por ejemplo; V: Volumen depende de y: altura y x: radio). Enunciar toda la relación que exista entre las variables. 4. Precisar la función a optimizar: Utilizar la simbología convenida para definir la función a maximizar o minimizar (función objetivo). Si esta función depende de una sola variable independiente se deberá seguir al paso siguiente. Si esta función depende de dos variables independientes se deberá emplear la relación existe entre ellas, obtenida en 3. (ecuación de restricción) para reducir la función a una sola variable independiente. También es importante determinar el dominio de la función a optimizar, puesto que indica los valores para los cuales el problema tiene sentido.
5. Determinar el valor máximo o mínimo: Usar las técnicas contenidas en el Criterio de la 1ª Derivada (Teorema 3.1) o el Criterio de la 2ª Derivada (Teorema 3.2) 6. Constancia: No desanimarse si no logra resolver un problema. Adquirir habilidad para resolver problemas aplicados requiere de una gran cantidad de esfuerzo y práctica. Hay que seguir intentando! EJEMPLO: Un granjero dispone de 2400 metros de alambre para cercar un terreno rectangular contiguo a un río de curso rectilíneo, no se requiere cercar la orilla del río Cuáles deberían ser las dimensiones del terreno para que la cerca abarque el área máxima posible? Paso 1: De la lectura se desprende que: i) La función a maximizar es el área del terreno rectangular. ii) Datos: Se dispone de 2400 metros de alambre. Paso 2: Un dibujo que esquematiza la situación planteada está dado por: Paso 3: Para definir adecuadamente las variables, es conveniente realizar algunos experimentos previos, consistentes en mostrar algunas posibilidades de cercas rectangulares pedidas con 2400 metros de alambre. En efecto:
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Notar que en cada caso el área encerrada es distinta. En la figura 1 se tiene: A = 115000 m², En la figura 2 se tiene: A = 640000 m² y En la figura 3 se tiene: A = 400000 m². Por lo tanto el área varía según las dimensiones de los lados de la región rectangular que constituyen las variables independientes de nuestro problema, que denotaremos por x e y la situación grafica queda entonces dada por: x A y Además la relación entre las variables está dada por: Paso 4: i) Función a maximizar (Función objetivo) ii) Relación entre las variables (Ecuación de restricción) Luego: Debemos expresar el área en términos de una sola variable. Reemplazando en en A se obtiene: ( ) Como es una función cuadrática se podría pensar que el dominio de es, sin embargo, por las condiciones del problema es necesario restringir los valores de al intervalo [0,2400], puesto que carece de sentido disponer de una cantidad negativa de alambre y por otra parte no se puede sobrepasar los 2400 metros de alambres disponible.
Paso 5: Aplicando el Criterio de la 2ª Derivada, se tiene: Luego, los puntos críticos estacionarios corresponden a, esto es: Además entonces. Por lo tanto la función A alcanza un máximo en. En este caso: y