INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica Superior Departamento de Matemáticas 1
2. Ecuaciones 2.1. Clasificación. Ecuaciones equivalentes Una ecuación es una expresión que se obtiene: 1) al buscar los ceros o raíces de una función; la ecuación es entonces del tipo f(x) = 0, 2) o más generalmente, al buscar los valores de la variable x para los que dos funciones f y g toman los mismos valores; en este caso, la ecuación es del tipo f(x) = g(x). Resolver una ecuación es encontrar los valores de la variable (también llamada incógnita) que hacen que la función se anule, si estamos con una ecuación del tipo 1), o los valores de x en los que dos funciones coinciden, si la ecuación es del tipo 2). Dichos valores, cuando existen, se llaman soluciones de la ecuación. Ejemplo. El polinomio p(x) = x 2 5x + 6 da lugar a la ecuación x 2 5x + 6 = 0, que es del tipo 1). Puesto que p(2) = 0, tenemos que x = 2 es una solución de la ecuación. En cambio, x 2 5x + 6 = x + 1 es una ecuación del tipo 2) y x = 1 es una solución puesto que 1 2 5 1 + 6 = 1 + 1. Hay que distinguir una ecuación de una identidad. Esta última es una expresión del tipo f(x) = g(x) que significa que las dos funciones f y g son iguales, es decir, que la expresión es válida para todos los valores de x en el dominio de las funciones f y g. Por ejemplo, 5x = 3x + 2x ó 2 x+2 = 4 2 x no son ecuaciones sino identidades, ya que son ciertas para todos los valores de x. Las ecuaciones sólo son válidas para algunos valores de x, las soluciones. Según el tipo de funciones involucradas, se suele denominar a las ecuaciones de una manera o de otra: si las funciones que aparecen son todas polinomios hablamos de ecuación polinómica; si, en cambio, todas son fracciones algebraicas, hablaremos de ecuación algebraica o racional; si aparecen radicales (de polinomios o de fracciones algebraicas), la ecuación se llama irracional; si las funciones que aparecen son trigonométricas, se habla de ecuaciones trigonométricas; si son funciones exponenciales, decimos que la ecuación es exponencial y si son funciones logarítmicas, que es logarítmica. Ver la Sección 3.1 para las definiciones de estas funciones. Con frecuencia las ecuaciones no se suelen presentar como una función igualada a cero, sino como una expresión que involucra una serie de operaciones con diversas funciones. Dada la ecuación f(x) = g(x), a f(x) y g(x) se les llama, respectivamente, el primer y el segundo miembro de la ecuación. Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones. Las siguientes propiedades (que son muy fáciles de verificar) son muy útiles a la hora de resolver ecuaciones: 1) Si se multiplican los dos miembros de una ecuación por un número real distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la primera. 2) Si se suma una misma expresión a los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación que es equivalente a la primera. La primera propiedad es la que permite usar la regla conocida vulgarmente como quitar denominadores : Si en una ecuación algebraica multiplicamos todos los términos por el mínimo común múltiplo de los denominadores que aparecen, obtenemos otra ecuación equivalente, en la que ya no aparecen denominadores. Por ejemplo, la ecuación x 2 +1 = x 1 es equivalente a 3x+6 = 2(x 1) porque se obtiene de la primera 3 multiplicándola por 6=m.c.m.{2,3}. La segunda propiedad es la que nos permite conseguir un segundo miembro nulo: la ecuación f(x) = g(x) es equivalente a f(x) g(x) = g(x) g(x), es decir a f(x) g(x) = 0. Observación. Si se desea comprobar que x 0 es solución de la ecuación f(x) = 0 (para asegurarnos de que no hemos cometido errores en los cálculos) basta con comprobar que f(x 0 ) = 0 (conviene observar que aunque f(x) es una función, como x 0 es un número, entonces f(x 0 ) es simplemente un número). 2.2. Ecuaciones polinómicas Se llama grado de una ecuación polinómica al grado del polinomio del que procede. 8
2.2.1. La ecuación lineal o de primer grado Es una ecuación del tipo ax + b = 0 con a 0. Usando las propiedades anteriores (primero sumamos b a los dos miembros, y luego los dividimos los dos por a), tenemos que es decir, que x = b/a es su solución. 2.2.2. La ecuación de segundo grado ax + b = 0 ax = b x = b a, Es una ecuación del tipo ax 2 + bx + c = 0 con a 0. Se llama completa si también b 0 y c 0 e incompleta si alguno de estos dos coeficientes es nulo. 1) Resolución de la ecuación incompleta ax 2 + bx = 0: esta ecuación se resuelve sacando factor común x en el primer miembro, y usando la conocida propiedad de que el producto de dos números reales es nulo si y sólo si alguno de los factores lo es: { ax 2 x 1 = 0 + bx = 0 x(ax + b) = 0 ax + b = 0 x 2 = b/a. Por tanto, las soluciones son x 1 = 0, x 2 = b/a. 2) Resolución de la ecuación incompleta ax 2 + c = 0: ax 2 + c = 0 ax 2 = c x = ± c a. Por tanto, las soluciones son x 1 = c/a, x 2 = c/a. Es claro, que para que estas expresiones tengan sentido es necesario que c/a 0. 3) Resolución de la ecuación completa: En este caso, es conocido que ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a El término = b 2 4ac es conocido como discriminante ya que la condición 0 es necesaria para que las soluciones sean números reales. Es fácil comprobar que x 1 = b + 2a, x 2 = b 2a S = x 1 + x 2 = b a, P = x 1x 2 = c a,. por lo que ax 2 + bx + c = 0 x 2 + b a x + c a = 0 x2 Sx + P = 0. Por tanto, la ecuación x 2 Sx + P = 0 es equivalente a la de partida. Observación. La fórmula de la ecuación de segundo grado da también la solución aunque la ecuación sea incompleta. 2.2.3. Ecuaciones polinómicas de grado superior a dos Las ecuaciones cúbicas (de grado tres) sin término independiente se pueden resolver inmediatamente sin más que sacar x factor común: ax 3 + bx 2 + cx = 0 x(ax 2 + bx + c) = 0 con lo que x 1 = 0 es una solución y las otras se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0. 9
Cuando el término independiente de la ecuación es no nulo, todavía puede intentarse encontrar soluciones enteras o fraccionarias como ya se explicó en el capítulo anterior. Este comentario es válido no sólo para la ecuación cúbica, sino para cualquier ecuación polinómica de grado superior: Dada la ecuación polinómica con coeficientes enteros a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 = 0, sus raíces enteras deben ser divisores del término independiente a 0 y sus raíces fraccionarias p/q deben verificar que p es divisor de a 0 y q de a n. De entre las ecuaciones de cuarto grado, cabe destacar un tipo de ecuaciones incompletas llamadas bicuadradas. Son las del tipo ax 4 + bx 2 + c = 0. Para resolverlas, efectuamos primero el cambio de variable x 2 = u y resolvemos la ecuación de segundo grado au 2 + bu + c = 0. Si u 1 y u 2 son las soluciones de ésta última, las soluciones de la ecuación bicuadrada son ± u 1, ± u 2, ya que si x 2 = u, entonces x = ± u. Por tanto, la ecuación bicuadrada, puede tener ninguna, dos o cuatro soluciones reales, según sean u 1 y u 2 positivos o negativos. El mismo esquema se aplica a cualquier ecuación del tipo ax 2n + bx n + c = 0, n 2, que se resuelve con el cambio de variable u = x n, ya que entonces se reduce a una de segundo grado. Ejemplo. Resolvamos la ecuación x 6 7x 3 8 = 0. Haciendo u = x 3, tenemos que resolver u 2 7u 8 = 0, cuyas soluciones son u = 7 ± 49 + 32 2 = 7 ± 9 2 = u 1 = 8, u 2 = 1. Por tanto, para terminar hemos de resolver las ecuaciones x 3 = 8 y x 3 = 1, cuyas únicas soluciones reales son x 1 = 2 (de la primera) y x 2 = 1 (de la segunda). 2.3. Ecuaciones algebraicas En estas ecuaciones aparecen fracciones algebraicas. Para resolverlas, se multiplican los dos miembros de la ecuación por el polinomio mínimo común múltiplo de todos los denominadores de las fracciones algebraicas que aparecen en la ecuación. La ecuación obtenida es una ecuación polinómica que se resuelve como se ha indicado en la Sección 2.2. Sin embargo, hay que tener algo de cuidado ya que: Al multiplicar los dos miembros de una ecuación por un polinomio, se obtiene otra ecuación que tiene todas las soluciones de la ecuación de partida, pero puede tener otras adicionales denominadas extrañas. Por tanto, es necesario comprobar que las soluciones obtenidas al final son soluciones de la ecuación de partida, para así poder rechazar las posibles soluciones extrañas. Ejemplo. Resolvamos la ecuación 3x 2x + x 2 1 x + 4 2 + x = 0. El mínimo común múltiplo de los denominadores es 2x + x 2 = x(2 + x), así que multiplicando por él toda la ecuación tenemos que las soluciones buscadas también lo son de la ecuación 3x (2 + x) + 4x = 0 6x 2 = 0 x = 1 3. Finalmente, es un sencillo cálculo comprobar que 1/3 es efectivamente la solución buscada: al sustituir 1/3 en la ecuación original, la ecuación se transforma en una igualdad. Ejemplo. Para resolver la ecuación x x 1 = x + 1 + 1 x 1 multiplicamos los dos miembros de la ecuación por x 1 obteniéndose x = x 2 1 + 1, esto es x = x 2, cuyas soluciones son x = 0, x = 1. La primera de ellas es solución de la ecuación inicial pues 0 1 = 0 + 1 + 1 1. Sin embargo, es claro que x = 1 no puede ser solución ya que no se puede dividir por cero. Así pues, x = 1 es una solución extraña que se ha obtenido al multiplicar por x 1 la ecuación de partida. 10
2.4. Ecuaciones irracionales En estas ecuaciones la incógnita aparece bajo algún radical. Para resolverlas, lo primero que hemos de hacer es separar en uno de los miembros un radical para, a continuación, elevarlo a la potencia adecuada (si es una raíz n-ésima, hemos de elevarlo a la n-ésima potencia). Este procedimiento se repite hasta que la ecuación ya no contenga radicales. Sin embargo, hay que tener las mismas precauciones que con las ecuaciones algebraicas, ya que en el proceso podemos estar añadiendo soluciones extrañas. Es necesario comprobar al final si las soluciones obtenidas son o no soluciones de la ecuación de partida, puesto que también pueden aparecer soluciones extrañas. Ejemplo. Resolvamos la ecuación 3x 2 4 = 0 o equivalentemente 3x 2 = 4. Elevando al cuadrado ambos miembros obtenemos la ecuación 3x 2 = 16 que tiene por solución x = 6. Como 3 6 2 = 4, x = 6 es efectivamente la solución de la ecuación de partida. 2.5. Ecuaciones exponenciales Se llaman ecuaciones exponenciales a aquellas ecuaciones en las que la incógnita aparece en los exponentes. Por ejemplo, lo son las ecuaciones 3 x = 9 y 4 x 2 x = 1. Sabemos que para todo a > 0 se tiene a x = a y x = y. Este hecho, junto con la aplicación de logaritmos que veremos en el siguiente párrafo, permite resolver ecuaciones exponenciales. Ejemplo. Resolvamos la ecuación 3 1 x2 = 1 27. Tenemos que 31 x2 = 3 3, por lo que 1 x 2 = 3, es decir, x 2 = 4, de donde x 1 = 2, x 2 = 2. 2.6. Ecuaciones logarítmicas Son ecuaciones logarítmicas aquellas en las que la incógnita aparece sometida a operaciones logarítmicas. Por ejemplo, lo son las ecuaciones log 3 x = 4 y 3 log 10 x + log 10 4 = log 10 x 2. Para todo a > 0 se tiene log a x = log a y x = y. Para resolver ecuaciones logarítmicas la estrategia usual es aplicar las propiedades de las funciones logarítmicas hasta llegar a una expresión en la que podamos aplicar la propiedad anterior, o bien la definición de logaritmo: log a x = y x = a y. Ejemplo. Para resolver la ecuación 5 log 10 x log 10 32 = log 10 (x/2) aplicamos primero las propiedades de la función logaritmo obteniendo que log 10 (x 5 /32) = log 10 (x/2). Por tanto, la ecuación equivale a la ecuación polinómica x 5 32 = x x 5 = 16 x x(x 4 16) = 0, 2 Por tanto, ha de ser o bien x = 0, o bien x 4 16 = 0. En este último caso, tenemos que x = ±(16) 1/4 = ±2. Por tanto, la solución de la ecuación es x = 2, ya que x = 0 y x = 2 no pueden ser solución pues el logaritmo sólo está definido para números positivos. 2.7. Ecuaciones trigonométricas Llamamos ecuaciones trigonométricas a aquellas en las que la incógnita aparece dentro de funciones trigonométricas. Para resolverlas, debemos utilizar alguna de las diversas fórmulas trigonométricas (ver la Sección 3.1) hasta llegar a una ecuación de alguno de los tres tipos: 1) sen x = a con a [ 1, 1]. Si x = α es una solución de esta ecuación con π/2 α π/2, entonces también π α es solución, con lo que el conjunto de todas las soluciones es ya que sen x es una función 2π-periódica. x = α + 2kπ ó x = (2k + 1)π α, con k Z, 11
2) cos x = a con a [ 1, 1]. Si x = α es una solución de esta ecuación con 0 α π, entonces también α es solución, con lo que el conjunto de todas las soluciones es x = 2kπ ± α, con k Z. ya que cos x es una función 2π-periódica. 3) tan x = a con a R. Si x = α es una solución de esta ecuación con π/2 < α < π/2, entonces como tan x es una función π-periódica, el conjunto de todas las soluciones es x = α + kπ, con k Z. Ejemplo. Para resolver la ecuación sen 2 x cos 2 x = 1/2 observamos en primer lugar que aplicando la fórmula del coseno del ángulo doble (ver la Sección 3.1), la ecuación equivale a cos 2x = 1/2. Puesto que cos(2π/3) = 1/2, tenemos que debe ser y, por tanto, las soluciones de la ecuación son 2x = 2kπ ± 2π 3, con k Z, x = kπ ± π 3, con k Z.