Los Números Enteros (Z) Los números enteros: representación gráfica, orden, modulo o valor absoluto. Operaciones en Z, procedimientos y propiedades de estas. Prioridades de operaciones y paréntesis. Problemas que involucran operatoria con enteros.
Los Números enteros: Son los elementos del conjunto Z ; donde: Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} ; definiéndose: Z + = {1,2,3,4,5,...} Z - = {-1,-2,-3,-4,-5,...} enteros positivos enteros negativos Donde el cero es solo entero, no siendo positivo como tampoco negativo; luego Z = Z - {0} Z +.
Representación Gráfica: A todo número entero le corresponde un punto sobre la recta numérica; así: -6-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 Notar que no todo punto de la recta representa a un número entero; por ejemplo 1/2 es un punto de la recta; 1/2 ˇZ. 0 1 1 2 En base a la definición de IN, IN o, Z se cumple que IN IN o Z.
Orden en Z: Las definiciones de >, <,, son las mismas ya definidas en IN; así al comparar: > a) 7 3 d) 0-8 < b) 5 9 e) -9 15 c) -3 0 f) 12-23 < g) -7-3 j) -47-54 < h) -8-12 k) -75-67 > < i) -32-19 l) -18-18 De acuerdo a los ejemplos anteriores y con la ayuda de una recta numérica se puede concluir que todo número de esta es menor que los que se encuentran a su derecha y mayor que los que se encuentran a su izquierda. > < >
Ejercicios: a) Ordene en forma creciente: (de menor a mayor) -12, 0, 7, -3, -16, 9, 18, -7, -10, 11, -1, 12. -16, -12, -10, -7, -3, -1, 0, 7, 9, 11, 12, 18 b) Ordene en forma decreciente: (de mayor a menor) -9, 17, 2,-3, 8, -12,-7, 0, 6, 15,-18,-23, 10. 17, 15, 10, 8, 6, 2, 0, -3, -7, -9, -12, -18, -23
Modulo o Valor Absoluto en Z: A todo a Z se le asocia un entero no negativo llamado Modúlo o Valor Absoluto, el que se denota por a ; definiéndose: i) Si a > 0 a = a ii) Si a = 0 a = 0 iii) Si a < 0 a = -a (opuesto de a) Ejemplos: a) 3 = 3 c) -7 = 7 e) 34 = 34 b) 0 = 0 d) -25 = 25 f) -45 = 45
g) -32 - -17 = 32-17 = 15 = 15 h) -25-25 = 25-25 = 0 = 0
Operaciones en Z: (1) Adición: Se distinguen dos casos: i) De enteros de igual signo: Se suman sus valores absolutos y se conserva el signo común. Ejemplos: (a) 12 + 9 = 21 (c) -6 + -9 + -14 = -29 (b) -8 + -15 = -23 (d) -4 + -13 + -5 + -1 = -23
ii) De enteros de distinto signo: Se restan sus valores absolutos (mayor menos menor) y se conserva el signo del número de mayor valor absoluto. Ejemplos: (a) 17 + -23 = -6 (c) 23 + -14 = (b)-15 + 36 = 21 (d) 43 + -56 = 9-13 Propiedades: La adición en Z ; cumple con la clausura es conmutativa, asociativa, posee elemento neutro (es el 0 ya que " a Z ; se tiene que a + 0 = a = 0 + a) y cada entero "a" posee como inverso aditivo u opuesto al entero -a ; teniéndose que : a + -a = 0 = -a + a
Notar que al operar un elemento con su inverso, se tiene que obtener como resultado el neutro de la operación; en este caso cero. Ejemplo: El inverso aditivo u opuesto de 7 es -7 y viceversa ya que: Ejercicio: 7 + -7 = 0 = -7 + 7 Resolver las siguientes adiciones entre enteros de igual o distinto signo:
Número + Número = Suma Número + Número = Suma 9 + 7 = 16-8 + -5 = -13-5 + -2 = -7 7 + 9 = 16-6 + 8 = 2 10 + -15 = -5 4 + -9 = -5 8 + -8 = 0-3 + -8 = -11-9 + 12 = 3-8 + 2 = -6-10 + -20 = -30 Número + Número = Suma -18 + 6 = -12-7 + -12 = -19-21 + 15 = -6 17 + -28 = -11 25 + 15 = 40-32 + 12 = -20
(2) Sustracción: Se define a - b = a + -b ; es decir la sustracción se transforma en adición, sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. Ejemplos: a) 9-5 = 9 + -5 c) 12 7 = -12 + -7 = 4 = -19 b) 7 - -15 = 7 + 15 d)-19 - -25 = -19 + 25 = 22 = 6 Propiedad: La sustracción en Z; cumple sólo con la propiedad de clausura o ley de composición interna, es decir la resta de dos enteros es siempre un nuevo entero.
Ejercicio: 1) Resolver las sustracciones pedidas en el cuadro: Número - Número = Resta 10-6 = 4 5-9 = -4 6 - -3 = 9-4 - -7 = 3-5 - 4 = -9 Número - Número = Resta 5-8 = -3 2 - -9 = 11-6 - -12 = 6 8 - -8 = 16-9 - -3 = -6 Número - Número = Resta -10 - -18 = 8-17 - 22 = -39 21-15 = 6-18 - 12 = -30-25 - -15 = -10
2) Reducir las expresiones: a) 3 + -2 - - 5 3 10 = -5 + 5 + -3 + -10 = -13 b) 10 - -12 + -3 - -10 + 20 = 10 + 12 + -3 + 10 + 20 = 52 + -3 = 49 c) 12 + -15 23 + 18 - -9 + -15 = -27 + -23 + 18 + 9 + -15 = -65 + 27 = -38 d) 7 16 + -5 - -12 + -8 15 3 = 7 + -16 + -5 + 12 + -8 + -15 + -3 = 19 + -47 = -28
3) Multiplicación: Para multiplicar dos enteros es necesario tener presente que el producto de dos enteros de igual signo es siempre positivo y que el producto de dos enteros de distinto signo es siempre negativo. Ejemplos: a) 12 7 = 84 c) 15-6 = b) 15 12 = -180 d) -17-30 = Propiedades: -90 510 La multiplicación en Z cumple con la propiedad de clausura, es conmutativa, asociativa, posee elemento neutro (el 1) y es distributiva sobre la adición.
Ejercicio: Resolver las siguientes multiplicaciones: a b Producto a b Producto 2 9 18 8-3 -24-6 -8 48-7 -5 35-5 7-35 9-4 -36 10 3 30-5 -9 45-9 6-54 -12 5-60
(4) División: La división en Z no siempre tiene solución; sin embargo, para dividir dos enteros es necesario tener presente que el cuociente de dos enteros de igual signo es siempre positivo y que el cuociente de dos enteros de distinto signo es siempre negativo. Ejemplo: a) 18 : 9 = 2 c) 54 : -27 = -2 b) 75 : 15 = -5 d) 108 : -12 = 9 e) 35 : -8 = No tiene solución en Z Propiedades: La división en Z no cumple con la propiedad de clausura ni con ninguna de las propiedades de la adición y multiplicación de enteros.
Ejercicios: 1) Resolver las siguientes divisiones: a : b Cuociente a : b Cuociente : 32 8 4 : 21-7 -3 : -20-5 4 : -60-4 15 : 16-2 -8 : 72-12 -6 : -80 16-5 : -40-8 5 : -54-9 6 : -75 15-5
2) Resolver las siguientes operaciones combinadas sin paréntesis, recordando que todo cálculo aritmético se resuelve de izquierda a derecha respetando las siguientes prioridades: a) 3 4 6 : -3 - -4 = -12 + 2 + 4 = -10 + 4 = -6 b) -72 : 8 + -6-3 - -8 : -2 = -9 + 18-4 = 9 + -4 = 5
c) 16 : -8 + -2-6 - -4 5 = 2 + 12 - -20 = 14 + 20 = 34 d) 100 : -4 2 - -2-3 + -4 2 : -2 = 25 2-6 + -8 : -2 = 50-6 + 4 = 44 + 4 = 48
3) Resolver las siguientes operaciones combinadas con paréntesis, teniendo presente que se eliminan primero los paréntesis más interiores; es decir de a dentro hacia fuera respetando en su interior la prioridad de las operaciones: a) 15 [ 6 (2 1) 7 (3 2) ] b) 4 [(2 3 + 6) ( 6 + 2 4) ] 15 - [6 3-7 5] 15 - [ 18-35 ] 15 - -17 15 + 17 = 32 4 [(2 + 3 + 6)- (-6 + 2 + 4)] 4 [ 11-0 ] 4 11 = 44
c) [ ( 2 8 + 3) ]: [ ( 7 + 5 9 ] = ) -[-(-2 + 8 + 3 ) ] : [ -( -12 + 9) ] -[ - ( 6 + 3 )] : [ - ( -3 ) ] -[ - ( 9 ) ] : 3 9 : 3 = 3
d) { } { } 9 5 (4 3) : 3 1 (2+ 6) = [9 { 5 - (4 + 3)}] : [ 3 { 1-4} ] [9 { 5-7 } ] : [ 3 {1 + -4} ] [9 {5 + -7 } ] : [3-3 ] [9-2 ] : [ -9 ] -18 : -9 = 2
4) Las temperaturas mínimas de 5 ciudades son 36º ; -23º ; 11º ; -19º y 7º. Cuál es la temperatura mínima promedio de tales ciudades? Suma datos: -36 + -23 + 11 + -19 + 7 = -60 Temperatura Promedio = -60 5 = -12º
Ejercicios Complementarios: 1) Si a = 3 ; b = -5 ; c = -9 ; luego el valor de la expresión ab ac + bc =? A) 87 B) 57 C) 3 D) 3 E) 33 ab ac + bc = a b a c + b c -3-5 - -3-9 + -5-9 15-27 + 45-12 + 45 33
2) Si x = [ 8 {-2(-9+3)}]:[1 - -3] ; luego se tiene que x =? A) 10 B) 5 C) 1 x = [ 8 {-2(-9+3)}] : [1 - -3] x = [ 8 {-2-6 }] : [1 + 3] x = [ 8 12 ] : [ 4 ] x = [ 20 ] : [ 4 ] D) 5 E) 10 x = -5 -x = 5 / -1
3) Al reducir la expresión: -8-6 : -3 18 : -6-3 = A) 25 B) 17 C) 15 48 : -3 + 3-3 -16 + -9-25 D) 7 E) 5
4) A = {x/x=3n 1 con n IN 5 < n 8} B = {z/z=5m 3 con m IN 4 m < 7} La diferencia entre el mayor valor de x y el menor valor de z es: A) 1 B) 2 C) 5 D) 6 E) 10 A = {x/x=3n 1 con n IN 5 < n 8} El mayor valor de x se obtiene para el mayor valor de n Si n = 8 x = 3 8-1 = 24-1 x = 23 B = {z/z=5m 3 con m IN 4 m < 7} El menor valor de z se obtiene para el menor valor de m Si m = 4 z = 5 4-3 = 20-3 z = 17 mayor valor x menos menor valor z es: 23-17 = 6
5) Si: a = (15 7) (3 5) b = (-3 + 1) (2-7) c = (-3 1) (13 8) La relación correcta entre a, b y c es: A) a > b > c B) a > c > b C) b > a > c D) b > c > a E) c > a > b a = (15 7) (3 5) b = (-3 + 1) (2-7) a = 8-2 b = -2 9 a = -16 b = -18 c = (-3 1) (13 8) c = -4 5 c = -20 Luego: -16 > -18 > -20 a > b > c
6) Si al producto de dos números impares positivos consecutivos se le suma 1; el resultado es siempre: l) Un número par. ll) Un múltiplo de 4. lll) Un cuadrado perfecto. A) Sólo l B) Sólo ll C) Sólo lll D) Sólo l y lll Ejemplos: 5 7 + 1 = 35 + 1 = 36 = 6 2 11 13 + 1 = 143 + 1 = 144 = 12 2 27 29 + 1 = 783 + 1 = 784 = 28 2 E) l, ll y lll
7) A las 8 horas había una temperatura de -28º. Si cada media hora la temperatura subió 3 grados. A qué hora llego a los 14º? A) A las 7 horas B) A las 14 horas C) A las 15 horas D) A las 19 horas E) A las 22 horas Si cada media hora la temperatura sube 3º ; en una hora sube 6º. De -28º a 14º la temperatura debe de subir 42º ; luego: 42º : 6 = 7 horas 8 + 7 = 15 horas.
8) Un comerciante compró 30 lápices a $20 c/u; luego vendió 20 lápices a $18 c/u. A cómo tiene que vender c/u de los restantes para no perder? A) $22 B) $24 C) $36 D) $42 Invierte: 30 20 = $600 Recibe : 20 18 = $360 - Falta recuperar: $240 Nº lápices que queda: 30-20 = 10 E) $44 Nuevo valor 1 lápiz : 240 : 10 = $24
9) Si a = -5 y b = 4 ; entonces el valor de la expresión 4 a--b-a b +a =? 4 a--b-a b +a = A) 9 B) -5 C) 4 D) 9 E) 31 4-5 - -4 - -5 4 + -5 4-5 - -4 - -20 + -5 4 5-4 - 20 + -5 20-4 - 20 + -5 16-20 + -5-4 + -5-9
10) Se tiene que a b = 3; donde b varía entre -1 y 1 ; entonces a varía entre: b varía entre -1 y 1 A) 3 y 2 B) 2 y 4 C) 4 y 2 D) 2 y 4 E) 2 y -4 a b = 3 Si b =-1 a -1 = 3 a + 1 = 3 a = 3-1 a = 2 Si b = 1 a 1 = 3 a = 3 + 1 a = 4 a varía entre 2 y 4
11) Si a b = b a y a b = a b. Cuál(es) de las siguientes expresiones dan el mismo resultado de (5 3)+(-6 + 3)? A) Sólo l B) Sólo l y ll C) Sólo ll y lll D) Todas 2 + -3-1 E) Ninguna. l) (5 3) (6 3) ll) (3 6) (3 5) lll) (6 3) (5 3) Ejemplo: Si a 2-1 3 3-1 2 3-1 2 Si a b = a b 5 3 = 5-3 = 2 b = b a 3 6 = 6-3 = 3
12) Sean a,b,c,d números enteros tales que a + b = 18 y a + c = 12. Se puede determinar el valor de b + d si: a + b = 18 con a = 8 b = 10 (1) a = 8 y d = 6c a + c = 12 con a = 8 c = 4 d = 6c d = 6 4 d = 24 b + d = 10 + 24 = 34 a + c = 12 con c = 4 a = 8 (2) c = 4 y d = 3a a + b = 18 con a = 8 b = 10 d = 3a d = 3 8 d = 24 A) (1) por sí sola b + d = 10 + 24 = 34 B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.
Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-03 1) B 6) A 11) E 16) E 2) E 7) E 12) C 17) C 3) C 8) B 13) A 18) D 4) A 9) B 14) A 19) A 5) B 10) A 15) E 20) A