Regiones en el plano complejo Disco abierto, vecindad o entorno: El conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad donde es número real positivo [ : entorno] ====================================== Recordemos que representa la distancia entre y
Regiones en el plano complejo Ejemplos
Regiones en el plano complejo Punto interior: un punto en un conjunto S se le llama punto interior de S, si hay un disco abierto, o vecindad circular, que está completamente contenido en S Ejemplo: en el conjunto Re(z)>0, pues existe un disco contenido en el conjunto:
Regiones en el plano complejo Si cada punto del conjunto S es un punto interior, entonces S es un conjunto abierto Ejemplo: un disco abierto es un conjunto abierto Un conjunto abierto S es conexo, si para cada par de puntos y en S pueden unirse por una línea poligonal.
Regiones en el plano complejo Ejemplo: el anillo conjunto abierto y conexo es un
Regiones en el plano complejo A un conjunto abierto y conexo se le llama dominio
Regiones en el plano complejo Punto frontera: un punto está en la frontera de S, si cada vecindad de contiene al menos un punto en S y punto fuera de S Un conjunto es cerrado si contiene a todos sus puntos frontera Ejemplo: (disco cerrado)
Regiones en el plano complejo Los números complejos pueden visualizarse como puntos en la esfera unidad o esfera de Riemann por medio de una proyección estereográfica. Esta proyección asocia un punto z en el plano ecuatorial con un punto sobre la esfera, por el cual una línea recta corta la esfera al unir z y el polo norte de la esfera
Regiones en el plano complejo El punto infinito se identifica con el polo norte de la esfera. A la unión de este punto y el plano complejo se le llama plano complejo extendido
Regiones en el plano complejo Riemann movie
Funciones analíticas Una vez introducido y estudiado los números complejos (y definido regiones en el plano x-y) quisieramos estudiar funciones de esos números: Recordemos que un función f es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A uno y sólo (*) un elemento de un conjunto B (*) las funciones multivaluadas las veremos más tarde
Mapeos Si f asigna el valor b al elemento a en A, es decir, tenemos que: imagen de a sobre f El conjunto A es el dominio(*) de definición de f y el conjunto de imágenes f(a) es el rango de f (*) puede no ser el dominio que hemos definido anteriormente
Mapeos Comentario Podemos construir, de hecho ya lo hemos hecho, funciones que van del conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos Por ejemplo Pero estas funciones se pueden estudiar mediante el análisis vectorial de funciones reales
Mapeos Ejemplo: Sea a)describa las curvas en el plan x-y tales que y
Mapeos b) Describa las curvas en el plan u-v cuya preimagen está dada por las coordenadas x=a e y=b
Mapeos Ejemplo: Describa la función para z en el semidisco dado por con
Límites y continuidad De manera informal: se dice que es el límite de la función f(z) cuando z se aproxima a, si f(z) se encuentra arbitrariamente cerca de para z suficientemente cerca de.
Límites y continuidad Formalmente tenemos que: Sea f(z) una función definida en alguna vecindad, o entorno, con la posible excepción del punto Se dice que el límite de f(z) cuando z tiende a es el número, y se escribe como, si para cada tal que existe un número positivo siempre que
Límites y continuidad Algunos teoremas sobre límites: Si y entonces
Límites y continuidad Continuidad: Sea f una función definida en el entorno de. Entonces f es continua en si Es decir, para que f sea una función continua en, ésta debe tener un valor límite y este límite debe ser
Límites y continuidad Si f(z) y g(z) son continuas en entonces son funciones continuas en
Límites y continuidad De aquí que las funciones polinomiales de la forma son también funciones continuas
Funciones analíticas De manera informal podemos decir que una función analítica trata a z=x + iy como una sóla unidad Ejemplo: si con entonces f(z) es admisible. En cambio si esta función no es admisible y y
Funciones analíticas Para definir formalmente analiticidad, primero veamos el concepto de derivada. Definición: Sea f una función compleja definida en un entorno de. Entonces la derivada de f en está dado por el límite suponiendo que este límite existe. Notemos que es un número complejo y puede aproximarse a cero de muchas formas.
Algunos teoremas: Funciones analíticas Si f y g son funciones diferenciables entonces C : constante
Funciones analíticas Como consecuencia de los teoremas anteriores tenemos cualquier polinomio es diferenciable en todo el plano y su derivada es
Funciones analíticas Comentario: existen funciones que sólo son diferenciables en un punto, pero estos son casos especiales. En general, aquí trataremos con funciones diferenciables en un conjunto abierto. Esto nos lleva a la siguiente observación: una función continua no es necesariamente derivable. Sin embargo, la existencia de la derivada de una función en un punto implica que la función es continua en ese punto.
Funciones analíticas Definición (función analítica): Una función compleja f(z) se dice que es analítica en un conjunto abierto si la derivada de esta función existe en cada punto del conjunto Si la función es analítica en todo el plano complejo, se dice que la función es entera. Por ejemplo, los polinomios son funciones enteras.
Funciones analíticas Comentario: En ocasiones se dice f(z) es analítica en el punto. Con esto se quiere decir que f es analítica en un entorno de Veremos pues que analiticidad es el criterio que buscabamos para funciones que respetan la estructura de la variable z
Ecuaciones de Cauchy-Riemann Veamos como la propiedad de analiticidad induce ciertas relaciones entre la parte real e imaginaria de una función. Ecuaciones de Cauchy-Riemann: