PROGRAMA DE ESTUDIOS Análisis Numérico I Área a la que pertenece: Área Sustantiva Profesional Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Créditos: 8 Clave: F0033 Asignaturas antecedentes y subsecuentes Análisis Numérico II PRESENTACIÓN El objetivo principal de los métodos numéricos es el de encontrar soluciones aproximadas a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Es decir, se trata de resolver problemas difíciles mediante muchos pasos fáciles. Ello significa identificar los procedimientos por medio de los cuales las computadoras pueden hacer ese trabajo por nosotros. Los problemas provienen de diversas áreas de las matemáticas, sobre todo del álgebra y el cálculo. Gran parte de la teoría básica que se requiere para este curso proviene de esas áreas, algunas de las cuales se tratan en los cursos básicos de Álgebra Superior, Álgebra Lineal, Cálculo Diferencial e Integral, y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. También se requiere conocimientos básicos de algún lenguaje de programación como Matlab, Turbo Pascal, Fortran ó C. 1.1 Este curso es importante para llevar los cursos de Álgebra Lineal Numérica, Análisis Numérico II y Simulación Numérica de Ecuaciones Diferenciales Parciales. OBJETIVO GENERAL Programar y aplicar los diferentes métodos numéricos o algoritmos, con la finalidad de encontrar soluciones de manera eficiente a problemas de ciencia y tecnología modelados matemáticamente. CONTENIDO 1 ANÁLISIS DE ERROR Y ARITMÉTICA DE PUNTO FLOTANTE Comprender la importancia que tienen los algoritmos para resolver modelos matemáticos, aplicar los criterios de redondeo y de estimación del error e identificar la aritmética de punto flotante con F0033_Análisis Numérico I 1 / 6
que operan las computadoras y calculadoras electrónicas. 1.1. Modelos matemáticos, aproximaciones numéricas y algoritmos. 1.2. Calculando con números reales. 1.3. Conceptos básicos de error. 1.4. Propagación del error. 1.5. Representación de números reales en base β. 1.6. Números punto flotante. 1.7. Distribución de números punto flotante. 1.8. Errores por redondeo en aritmética de punto flotante. 1.9. Cancelación numérica en las operaciones aritméticas de punto flotante. 1.10. Acumulación de errores. Comprensión de los conceptos básicos de modelos matemáticos, algoritmos, errores, aritmética de punto flotante y cancelación numérica. Habilidad para hacer operaciones aritméticas de punto flotante con criterios de redondeo. 2 INTERPOLACIÓN Interpolar un conjunto de datos en el plano por medio de polinomios de grado n, y de un spline cúbico natural. Calcular la estimación de los errores de aproximación en los procesos de interpolación. Programar e implementar los algoritmos correspondientes en y una computadora. 2.1. Planteamiento del problema. 2.2. Interpolación por polinomios 2.3. Fórmulas de Lagrange. 2.4. Eficiencia del algoritmo. 2.5. Fórmula de Newton. 2.6. Comparación de algoritmos. 2.7. Estimación del error de truncamiento. 2.8. Spline cúbico. 2.9. Historia de los spline. Comprensión de la prueba de existencia y unicidad del polinomio de interpolación y del spline cúbico. en una computadora los algoritmos que determinan y grafican el polinomio de interpolación y el spline cúbico, para un conjunto de datos o de una función determinada. Habilidad para determinar el error de F0033_Análisis Numérico I 2 / 6
2.10. Spline cúbico. 2.11. Cálculo del spline cúbico. 2.12. Algoritmo para el cálculo y evaluación del spline cúbico. 2.13. Eficiencia y error de aproximación. aproximación en el proceso de interpolación de una función. 3 ECUACIONES NO LINEALES DE UNA VARIABLE Modelar problemas con ecuaciones no lineales de una incógnita, usando métodos numéricos. Calcular los errores de aproximación y programar los diferentes métodos e implementarlos en una computadora. 3.1. Planteamiento del problema. 3.2. Método gráfico. 3.3. Método de bisección 3.4. Método de la secante. 3.5. Iteración del punto fijo. 3.6. Iteración de Newton. 3.7. Tasa de convergencia y mal condicionamiento. Comprensión de la construcción y convergencia de los métodos de bisección, secante, punto fijo y Newton, para aproximar raíces de ecuaciones no lineales. en una computadora los métodos de bisección, secante, punto fijo y Newton. Habilidad para detectar problemas mas condicionados. Habilidad para visualizar raíces con el método gráfico. 4 DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA Calcular numéricamente las derivadas de los polinomios de interpolación, y a estimar las derivadas numéricas de funciones diferenciables por medio de aproximaciones en diferencias. Determinar el orden de exactitud de las aproximaciones en diferencias para la 1ª, 2ª y 3ª derivada. 4.1. Derivadas de polinomios de Comprensión del proceso de deducción F0033_Análisis Numérico I 3 / 6
interpolación. 4.2. Aproximaciones en diferencias para la primera derivada. 4.3. Aproximaciones en diferencias para la segunda y tercera derivada. de las derivadas numéricas de polinomios de interpolación, y de las fórmulas de diferencias para aproximar derivadas de 1º, 2º y 3er orden de funciones diferenciables. Comprensión de la prueba de convergencia de las fórmulas de diferencias. en una computadora los métodos para obtener derivadas numéricas. 5 INTEGRACIÓN NUMÉRICA Calcular numéricamente integrales que no se pueden evaluar por las fórmulas elementales de integración. Estimar el error de aproximación y programar los diferentes métodos de integración numérica e implementarlos en una computadora. 5.1. Elementos de integración numérica. 5.2. Regla del Trapecio y de Simpson. 5.3. Fórmulas cerradas de Newton- Cotes. 5.4. Fórmulas abiertas de Newton- Cotes. 5.5. Integración numérica compuesta. Comprensión de la construcción y convergencia de los métodos de integración numérica. en una computadora los métodos de integración numérica compuesta (trapecio y Simpson entre otros). Comprensión del proceso de obtención de las fórmulas del error de aproximación en las fórmulas de integración numérica. 6 SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VALORES INICIALES Resolver numéricamente problemas que involucren ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales, mediante los métodos de Euler y de Runge-Kutta de 4º orden. F0033_Análisis Numérico I 4 / 6
6.1. Problemas de valores iniciales. 6.2. Método de Euler. 6.3. Métodos de Runge-Kuta de cuarto orden. 6.4. Implementación práctico de los métodos Comprensión del proceso de construcción y convergencia del método de Euler. Comprensión del proceso de discretización de las ecuaciones diferenciales ordinarias. en una computadora los métodos de Euler y de Runge-Kutta de 4º orden. Sugerencias didácticas Hacer examen de diagnóstico de conocimientos y habilidades previos. Exposiciones del profesor. Resolver conjuntamente con los estudiantes problemas con los métodos expuestos en clase, utilizando para las operaciones calculadora científica. Formar grupos pequeños para que resuelvan problemas mediante la aplicación de los métodos, usando calculadoras científicas. Exposición por parte de los estudiantes de la aplicación de métodos para resolución de problemas, mediante el uso de un lenguaje de programación y la computadora. Trabajar con la clase haciendo grupos pequeños y de forma individual. Usar mapas mentales y conceptuales. Propiciar en el estudiante la reflexión, el análisis, la síntesis y la crítica. Aplicar la técnica de lluvia de ideas. Estrategias de evaluación del aprendizaje Preguntas escritas. Preguntas orales. Exposición de los alumnos. Participación en clase. Elaboración de software. Bibliografía Básica 1 Alavez Ramírez, Justino; Apuntes de Métodos Numéricos I; UJAT, 2002. 2 Burden y Faires; Análisis Numérico; International Thompson Editores, 1998. (G.E.I., México, 1996) ( Numerical Análisis, Brooks/Cole Publishing Company, U.S.A. 2000). 3 Mathews, J.K. y Fink, K.D.; Métodos Numéricos con Matlab, 3ª edición, Prentice-Hall, Madrid, 2000. F0033_Análisis Numérico I 5 / 6
Bibliografía Complementaria 1 Atkinson; Elementary Numerical Analysis; John Wiley & Sons, Inc., USA, 1993. 2 Barrera Sánchez Pablo, et al.; EL ABC de los Splines. Aportaciones Matemáticas de la S.M.M. 1996. 3 Eldén and Wittmeyer Koch; Numerical Analysis: An Introduction; Academic Press, Inc., San Diego, USA, 1990. 4 Gerald, C.F. y Wheatley, P.O.; Análisis Numérico con Aplicaciones, 6ª Edición; Pearson Educación, 2000. 5 Nakamura; Análisis Numérico y Visualización Gráfica con Matlab; Prentice-Hall; México, 1997. 6 Scheid y Di Constanzo; Métodos Numéricos; McGraw Hill (Serie Schaum); México, 1991. 7 Vandergraft; Introduction to Numerical Computtios; Academic Press, USA, 1983. F0033_Análisis Numérico I 6 / 6