TRIGONOMETRÍA. UNIDADES PARA MEDIR ÁNGULOS Un ángulo es una porción de plano limitada por dos semirrectas que tienen un origen común. Las unidades que más frecuentemente se utilizan para medir ángulos son el grado y el radián. El grado sexagesimal es la medida de cada uno de los ángulos que resultan al dividir la circunferencia en 60 partes iguales. El grado tiene dos submúltiplos: el minuto, que equivale a la sexagésima parte del grado (º 60 ), y el segundo, que equivale a la sexagésima parte del minuto ( 60 ). Por tanto: º 60.600 El radián es el ángulo plano que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferencia de ese círculo un arco de longitud igual al radio. Es decir, un radián es la medida de un ángulo central cuyo arco mide un radio. Su símbolo es rad. Si mide un radián, el arco AB mide un radio. El radián es independiente del radio de la circunferencia: Si el radio de la circunferencia es cm, el arco correspondiente al radián mide cm. Si el radio de otra circunferencia concéntrica es cm, el arco correspondiente al radián medirá cm. Los sectores son semejantes y, por tanto, el ángulo central igual. El ángulo completo, 60º, abarca toda la circunferencia, luego su media es π radianes, que es precisamente la medida de la circunferencia cuando se toma como unidad el radio. Por tanto, para pasar de grados a radianes, o al revés, basta con recordar que 60 grados p radianes, y con una sencilla regla de tres es suficiente: 60º p n a con n amplitud en grados y a en radianes Ejemplo. Expresa en radianes º: 60º π π º π º 60º rad Ejemplo. π Expresa en grados radianes: π 60º 60º π n 60º n π π Matemáticas o ESO (Opción B) Trigonometría
. Dados los ángulos 0º 6 0 y β 0º 8, calcula + β, β, y /.. Expresa en radianes los siguientes ángulos medidos en grados. a) 0º, 0º, º, 60º b) 90º, 0º, º, 0º c) 80º, 0º, º, 0º d) 70º, 00º,, 0º. Expresa en grados los siguientes radianes. π π a) rad, π rad, rad, π rad b) π π 9π rad, rad, rad, π rad 0 9. AMPLIACIÓN DEL CONCEPTO DE ÁNGULO La interpretación geométrica de ángulo como región plana sólo permite expresar ángulos menores o iguales a 60º, por lo que no es suficiente para analizar y resolver ciertos problemas reales. Por ello vamos a introducir la idea de ángulo como un giro Sentido de giro: ángulos positivos y negativos El punto P puede girar en sentido contrario a las agujas del reloj, se conviene que describe ángulos positivos, por ejemplo, al pasar el punto P a P describe el ángulo. Si el punto P gira en el mismo sentido que las agujas del reloj, describe ángulos negativos, por ejemplo, al pasar el punto P a P describe el ángulo. Si el sentido de giro es contrario al de las agujas del reloj, se dice que los ángulos son positivos y su medida es un número positivo. Si el sentido de giro es el mismo que el de las agujas del reloj, a los ángulos se les pone el signo menos delante para distinguirlos de los positivos, y su medida es un número negativo. Ángulo de giro Supongamos que un móvil se desplaza, con sentido positivo, en una circunferencia de radio r partiendo de A. Si el móvil se detiene en P, el arco recorrido es AP. Si el móvil no se detiene en P, sigue girando, pasando por A y parándose en la segunda vuelta en P, el camino recorrido es una vuelta entera (πr) más el arco AP, es decir, πr + AP. Si el móvil da k vueltas antes de detenerse en P, entonces el camino recorrido será k πr + AP. Teniendo en cuenta que p radianes 60 grados vuelta, por ejemplo en una circunferencia de radio, vueltas y media equivalen a: π + π 7π rad ó 60º + 80º.60º Matemáticas o ESO (Opción B) Trigonometría
Amplitud de giro Medida del arco ángulo en radianes Ángulo en grados AP vuelta + πr + AP 60º + k vueltas + k πr + AP k 60º + Reducción de un ángulo al primer giro Para ello se divide el ángulo por 60º. El número de vueltas es el cociente y el ángulo menor de 60º es el resto. Por ejemplo: 70º 60º + 0º vueltas + 0º.90º 60º + 0º vueltas + 0º.00º 60º 8 + 0º 8 vueltas + 0º. Reduce al primer giro los siguientes ángulos, expresándolos como suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor de 60º. a) 70º b).000º c) 900º d) 7.º. Expresa los siguientes ángulos como suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor de π rad. π 6π a) rad b) 60π rad c) rad. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO.. Definición de las razones trigonométricas Tenemos, hasta ahora, una relación entre los lados de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras, y otra entre sus ángulos: su suma es 80º. Las razones trigonométricas nos van a permitir relacionar los lados con los ángulos. En un sistema de coordenadas cartesianas OXY, consideremos una circunferencia de centro O y radio r. Dado un punto P sobre la circunferencia, de coordenadas P(x, y), trazamos su proyección ortogonal sobre el eje de abscisas, A. Se forma el triángulo rectángulo OAP cuyos catetos son OA x, AP y, que son las coordenadas del punto P, y por hipotenusa OP r, el radio de la circunferencia. El ángulo se representa tomando como vértice el origen de coordenadas. Matemáticas o ESO (Opción B) Trigonometría
El seno del ángulo a es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se simboliza por sen a. catetoopuesto sen a hipotenusa y r El coseno del ángulo a es el cociente entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se simboliza por cos a. cos a catetocontiguo hipotenusa x r La tangente del ángulo a es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo al ángulo. Se simboliza por tg a. tg a catetoopuesto catetocontiguo y x Otra expresión de la tangente se obtiene dividiendo el seno entre el coseno: sen cos y r : x r y r x r y tg x sena tg a cos a Veamos a continuación que las razones trigonométricas sólo dependen de la medida del ángulo a y no del radio de la circunferencia utilizada para definirlas (por tanto, no dependen del tamaño del triángulo rectángulo). En efecto, si consideramos la circunferencia de centro O y radio r, el punto asociado al ángulo es P. Si trazamos otra circunferencia de centro O y radio r, el punto asociado al ángulo es ahora P. Como los triángulos OAP y OA P son semejantes (tienen sus tres ángulos iguales), sus lados son proporcionales: y y' sen r r' x x' ; cos r r' y y' ; tg x x' Ejemplo. En el triángulo rectángulo de la figura, de catetos y cm, calcula las razones trigonométricas de los ángulos y β. Hallamos la hipotenusa: h + + 69, de donde h cm. Las razones trigonométricas de los ángulos y β son: sen a sen ß cos a cos ß tg a tg ß 6. a) Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a cm y b cm. b) En un triángulo rectángulo, uno de sus catetos mide a 6 cm y la hipotenusa h 0 cm. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos c) Compara los resultados de los anteriores apartados y obtén conclusiones. 7. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 0 cm y uno de los catetos cm. Matemáticas o ESO (Opción B) Trigonometría
.. Razones trigonométricas de 0 o, o y 60 o Razones trigonométricas de º Calculamos las razones trigonométricas de º en un triángulo rectángulo isósceles, como el de la figura, cuyos catetos miden cm. Utilizando el teorema de Pitágoras calculamos la hipotenusa: h + h Las razones trigonométricas de º son: cm sen º cosº tg º Razones trigonométricas de 0º Calculamos las razones trigonométricas de 0º en un triángulo equilátero de cm de lado como muestra la figura. Utilizando el teorema de Pitágoras calculamos la altura: altura Las razones trigonométricas de 0º son: sen 0º cos 0º tg 0º Razones trigonométricas de 60º Calculamos las razones trigonométricas de 60º en el mismo triángulo equilátero del caso anterior y obtenemos: sen 60º cos 60º tg 60º 8. Halla el valor del lado x en los siguientes triángulos rectángulos. Matemáticas o ESO (Opción B) Trigonometría
.. Las razones trigonométricas en la calculadora Las calculadoras científicas nos permiten calcular las razones trigonométricas de un ángulo dado y al revés, calcular el ángulo conocida una de sus razones trigonométricas, tanto en grados como en radianes. Cálculo del seno, coseno y tangente de un ángulo Para trabajar en grados ponemos la calculadora en modo DEG. Por ejemplo, hallemos las razones trigonométricas del ángulo 8º 8. Seno: 8 º 8 º º sin pantalla 0.8968 Coseno: 8 º 8 º º cos pantalla 0.0097 Tangente: 8 º 8 º º tan pantalla.608688 Para trabajar con radianes, hay que poner la calculadora en modo RAD. Cálculo del ángulo conocida una de sus razones trigonométricas Conocida una de las razones trigonométricas de un ángulo podemos calcular la medida de este ángulo. Por ejemplo, si cos 0 0097, para hallar el ángulo tecleamos: 0.0097 SHIFT Cos SHIFT º pantalla 8º 8 9. Con la calculadora, halla las razones trigonométricas con cuatro decimales redondeados de los siguientes ángulos. a) 7º b) º c) 90º d) 76º e) 8º 7 f) º 0. Utilizando la calculadora halla el valor de los siguientes ángulos agudos. a) sen 0 b) cos 0 78 c) tg 0 7 d) cos 0 9 e) tg f) sen 0. Un triángulo tiene por lados cm, 6 cm y 0 cm. Halla los ángulos.. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA En muchas ocasiones aparecen ángulos cuya amplitud es mayor de 90º. Por tanto, es necesario ampliar las definiciones de las razones trigonométricas para un ángulo cualquiera. Las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera se definen de la forma siguiente: ordenada de sen a radio abscisa de cos a radio P P ordenada de P tg a abscisa de P x r y x y r Observa que las definiciones de las razones trigonométricas dadas para un ángulo agudo en el epígrafe. coinciden con las anteriores. Matemáticas o ESO (Opción B) Trigonometría 6
.. Interpretación geométrica de las razones trigonométricas Ya vimos que las razones trigonométricas sólo dependen de la medida del ángulo y no del radio de la circunferencia auxiliar que se elija. Por comodidad, se suele utilizar la circunferencia de radio unidad, también llamada circunferencia goniométrica. Circunferencia goniométrica es una circunferencia de radio una unidad de longitud y centrada en el origen de coordenadas de un sistema de referencia de coordenadas cartesianas. Utilizando esta circunferencia, las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera se convierten en líneas trigonométricas (segmentos). Así, para un ángulo agudo del primer cuadrante, la interpretación geométrica de las razones trigonométricas es la siguiente: Tenemos entonces: y sen y ordenada de x cos x abscisa de P y BC BC tg BC x OB P De forma análoga obtenemos las líneas trigonométricas en los restantes cuadrantes: De lo anterior, se deduce fácilmente que el seno y el coseno de cualquier ángulo están acotados: sena cos a También podemos deducir que los ángulos 90º y 70º no tienen tangente.. Dibuja un ángulo de º en la circunferencia goniométrica y marca el seno, el coseno y la tangente. Haz lo mismo con los ángulos 60º, º y 0º.. Al crecer un ángulo de 0º a 90º, el seno, el coseno y la tangente del ángulo, aumentan o disminuyen? Matemáticas o ESO (Opción B) Trigonometría 7
.. Signo de las razones trigonométricas Las coordenadas del punto P no siempre son positivas, pues dependen del cuadrante donde se encuentre. Por tanto, el signo de las razones trigonométricas dependerá del cuadrante donde se encuentre situado el ángulo. En particular, el signo del seno es igual al de la ordenada y, el signo del coseno es igual al de la abscisa x, y el signo de la tangente es igual al del cociente de y por x. La siguiente tabla muestra el signo de las distintas razones trigonométricas en los cuatro cuadrantes: Cuadrante sen cos tg I 0º < < 90º + + + II 90º < < 80º + III 80º < < 70º + IV 70º < < 60º + Ejemplo. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos 0º, 90º, 80º y 70º. Observando la figura, las coordenadas de los puntos determinados por los ángulos y las razones de los mismos son: A(, 0): sen 0º 0 cos 0º tg 0º 0 B(0, ): sen 90º cos 90º 0 tg 90º no existe C(, 0): sen 80º 0 cos 80º tg 80º 0 D(0, ): sen 70º cos 70º 0 tg 70º no existe Ejemplo. Determina el signo de las razones trigonométricas de 0º. 0º es un ángulo del cuarto cuadrante, por tanto: sen 0º < 0, cos 0º > 0 y tg 0º < 0 Ejemplo. En qué cuadrante se encuentra situado el ángulo si se sabe que sen 0 6? La respuesta se puede dar teniendo en cuenta el signo de la razón trigonométrica dada. Como el seno es positivo, el ángulo podrá estar situado en el primer o segundo cuadrante. Por tanto, 0 < < 80º.. Indica el signo que tienen las razones trigonométricas de los siguientes ángulos, identificando el cuadrante en que se encuentran. a) 66º b) 7º c) º d) 8º e).º f) 0º. Si cos, qué se puede asegurar del ángulo? Matemáticas o ESO (Opción B) Trigonometría 8
. RELACIONES ENTRE RAZONES DE ÁNGULOS DIFERENTES Ángulos complementarios: a y 90º a Dos ángulos, y β, son complementarios si su suma es 90º, es decir, cuando + β 90º. Los triángulos sombreados son iguales. La ordenada de P es igual a la abscisa de P sen (90º ) x cos La abscisa de P es igual a la ordenada de P cos (90º ) y sen Dividiendo: sen (90º ) cos tg (90º ) cos (90º ) sen tg sen (90º a) cos a cos (90º a) sen a tg (90º a) tg a Ejemplo. Calcula las razones trigonométricas de 60º, conocidas las de 0º. Primer cuadrante: 0º y 60º son ángulos complementarios (60º 90º 0º). sen 60º cos 0º Ángulos suplementarios: a y 80º a cos 60º sen 0º tg 60º tg0º Dos ángulos, y β, son suplementarios si su suma es 80º, es decir, cuando + β 80º. Los triángulos sombreados son iguales. Los punto P y P son simétricos respecto del eje de ordenadas. Las ordenadas de P y P son iguales sen (80º ) y sen Las abscisas de P y P son opuestas cos (80º ) x cos Dividiendo: sen (80º ) sen tg (80º ) tg cos (80º ) cos sen (80º a) sen a cos (80º a) cos a tg (80º a) tg a Ejemplo. Calcula las razones trigonométricas de 0º, conocidas las de 0º. Segundo cuadrante: 0º y 0º son suplementarios (0º + 0º 80º). sen 0º sen 0º cos0º cos 0º tg0º tg0º Ángulos que difieren en 80º: a y 80º + a Los triángulos sombreados son iguales. Los punto P y P son simétricos respecto del origen de ordenadas. Las ordenadas de P y P son opuestas sen (80º + ) y sen Las abscisas de P y P son opuestas cos (80º + ) x cos Dividiendo: sen (80º + ) sen tg (80º + ) tg cos (80º + ) cos sen (80º + a) sen a cos (80º + a) cos a tg (80º + a) tg a Matemáticas o ESO (Opción B) Trigonometría 9
Ejemplo. Calcula las razones trigonométricas de 0º, conocidas las de 0º. Tercer cuadrante: 0º y 0º difieren en 80º (0º 0º 80º). sen 0º sen 0º cos 0º cos 0º tg 0º tg0º Ángulos opuestos: a y 60º a Observa primeramente que 60º. Los triángulos sombreados son iguales. Los punto P y P son simétricos respecto del eje de abscisas. Las ordenadas de P y P son opuestas sen (60º ) y sen Las abscisas de P y P son iguales cos (60º ) x cos sen (60º ) sen Dividiendo: tg (60º ) tg cos (60º ) cos sen (60º a) sen a cos (60º a) cos a tg (60º a) tg a Ejemplo. Calcula las razones trigonométricas de 60º, 0º, 0º y 0º conocidas las de 0º. Cuarto cuadrante: 0º y 0º son ángulos opuestos, pues 0º 60º 0º. sen 0º sen 0º cos 0º cos 0º tg0º tg0º 6. Halla, sin usar la calculadora, las razones trigonométricas de los siguientes ángulos. a) 0º b) º c) 00º d) º e) 0º f) 0º g).0º h).700º 6. FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA En el siguiente triángulo rectángulo de la figura, se verifica el teorema de Pitágoras: a + b c Las razones trigonométricas del ángulo son: Elevamos al cuadrado ambas expresiones y sumándolas obtenemos: (sen ) + (cos ) sen + cos a c b + c a sen, c a + b c Nota. Los valores (sen ) y (cos ) se escriben también como sen y cos. c c b cos c Fórmula fundamental de la trigonometría El seno al cuadrado de un ángulo más el coseno al cuadrado del mismo ángulo es igual a la unidad. sen a + cos a Matemáticas o ESO (Opción B) Trigonometría 0
Dividiendo esta fórmula por sen cos cos + cos cos se tiene: tg cos +, esto es, cos + tg a cos a Análogamente, dividiendo por sen sen cos + sen sen se tiene:, con lo que obtenemos, sen + tg a sen a Estas relaciones permiten, conocida una razón trigonométrica, calcular las restantes sin recurrir a la calculadora. Ejemplo. Ejemplo. Sabiendo que sen, siendo 90º < < 80º, halla las demás razones trigonométricas del ángulo. sen 8 8 + cos cos sen cos (pues 90º < < 80º) 9 9 9 sen tg cos : 6 Se sabe que para un cierto ángulo, 70º < < 60º, es tg. Halla sen y cos. 6 tg cos + + + cos 9 9 sen tg sen tg cos sen cos 9 cos 9 (pues 70º < < 60º) 7. Calcula las otras dos razones trigonométricas del ángulo en cada uno de los siguientes casos. a) cos, 70º < < 60º b) sen, 90º < < 80º c) tg, 80º < < 70º d) sen, 70º < < 60º e) tg, 90º < < 80º f) cos, 80º < < 70º 7 8. Sabiendo que sen 8º, completa la siguiente tabla. º 8º º 8º º sen cos tg 9. Si sen / y es un ángulo agudo, halla las siguientes razones trigonométricas. a) sen (90º ) b) cos (80º ) c) cos (80º + ) d) tg ( ) 0. Si cos (80º ) / y es un ángulo del primer cuadrante, calcula las siguientes razones trigonométricas. a) sen b) cos (90º ) c) sen ( ) d) tg (80º + ). Simplifica las siguientes expresiones. a) sen b) cos tg sen c) sen + sen cos. Demuestra que cualquiera que sea el ángulo se verifica la siguiente relación. tg sen cos tg cos sen Matemáticas o ESO (Opción B) Trigonometría
Soluciones a los ejercicios propuestos. Dados los ángulos 0º 6 0 y β 0º 8, calcula + β, β, y /. a + b º a b 9º 7 a 9º 0 0 a/ 0º 8 6.6. Expresa en radianes los siguientes ángulos medidos en grados. a) 0º, 0º, º, 60º b) 90º, 0º, º, 0º c) 80º, 0º, º, 0º d) 70º, 00º,, 0º Grados 0º 0º º 60º 90º 0º º 0º Radianes 0 p 6 p Grados 80º 0º º 0º 70º 00º º 0º Radianes p 7p 6. Expresa en grados los siguientes radianes. π π a) rad, π rad, rad, π rad Radianes π π p p p p p p p p 7p b) π π 9π rad, rad, rad, π rad 0 9 π π π π 9π 0 p 6 p 6 Grados 90º 80º 70º 60º º 00º 6º 80º. Reduce al primer giro los siguientes ángulos, expresándolos como suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor de 60º. a) 70º b).000º c) 900º d) 7.º a) 70º 60º + 0º vueltas + 0º b).000º 60º 8 + 0º 8 vueltas + 0º c) 900º 60º + 80º vueltas + 80º d) 7.º 60º 0 + º 0 vueltas + º. Expresa los siguientes ángulos como suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor de π rad. π 6π a) rad b) 60π rad c) rad a) p p p + vuelta + p b) 60 p p 0 + 0 0 vueltas c) 6 p p p 8 + 8 vueltas + p 6. a) Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a cm y b cm. b) En un triángulo rectángulo, uno de sus catetos mide a 6 cm y la hipotenusa h 0 cm. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos c) Compara los resultados de los anteriores apartados y obtén conclusiones. En ambos apartados, a) y b), se tienen las siguientes razones trigonométricas: π 9 sen a cos a tg a sen ß cos ß tg ß c) Como puedes observar, los resultados son iguales en ambos casos, pero te dejo a ti que averigües por qué? Matemáticas o ESO (Opción B) Trigonometría
7. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 0 cm y uno de los catetos cm. sen a cos a tg a sen ß cos ß tg ß 8. Halla el valor del lado x en los siguientes triángulos rectángulos. x 0 0 x 0 x 9. Con la calculadora, halla las razones trigonométricas con cuatro decimales redondeados de los siguientes ángulos. a) 7º b) º c) 90º d) 76º e) 8º 7 f) º 7º º 90º 76º 8º 7 º sen 0 969 0 6700 0 970 0 0 88 cos 0 88 0 7 0 0 9 0 9899 0 969 tg 7 0 906 ERROR 88 0 9 0 679 0. Utilizando la calculadora halla el valor de los siguientes ángulos agudos. a) sen 0 b) cos 0 78 c) tg 0 7 d) cos 0 9 e) tg f) sen 0 a) a 0º b) a 8º c) a º 9 d) a º 0 e) a 8º f) a 7º 7 7. Un triángulo tiene por lados cm, 6 cm y 0 cm. Halla los ángulos. + 6 + 6 00 0 se trata de un triángulo rectángulo (a, b 6, h 0). Lógicamente, un ángulo es recto (90º) y los otros dos tienen una amplitud de 6º y º 7 8.. Dibuja un ángulo de º en la circunferencia goniométrica y marca el seno, el coseno y la tangente. Haz lo mismo con los ángulos 60º, º y 0º. Manos a la obra, verás que es bastante fácil.. Al crecer un ángulo de 0º a 90º, el seno, el coseno y la tangente del ángulo, aumentan o disminuyen? Aumentan el seno y la tangente, mientras que el coseno disminuye. Sabrías explicar por qué?. Indica el signo que tienen las razones trigonométricas de los siguientes ángulos, identificando el cuadrante en que se encuentran. a) 66º b) 7º c) º d) 8º e).º f) 0º Ángulo 66º 7º º 8º.º 0º Cuadrante I II IV IV II III Seno + + + Coseno + + + Tangente + +. Si cos, qué se puede asegurar del ángulo? Se deja para que razone el alumno. Matemáticas o ESO (Opción B) Trigonometría
6. Halla, sin usar la calculadora, las razones trigonométricas de los siguientes ángulos. a) 0º b) º c) 00º d) º e) 0º f) 0º g).0º h).700º Seno Coseno 0º º 00º º 0º 0º.0º.700º Tangente 0 0 7. Calcula las otras dos razones trigonométricas del ángulo en cada uno de los siguientes casos. a) cos, 70º < < 60º b) sen, 90º < < 80º c) tg, 80º < < 70º d) sen, 70º < < 60º e) tg, 90º < < 80º f) cos, 80º < < 70º 7 a) d) sen a cos a tg a b) tg a e) cos a cos a 0 0 tg a c) 0 sen a f) 0 sen a sen a 6 9 7 cos a tg a 9 8. Sabiendo que sen 8º, completa la siguiente tabla. º 8º º 8º º Sen Cos Tg 9. Si sen / y es un ángulo agudo, halla las siguientes razones trigonométricas. a) sen (90º ) b) cos (80º ) c) cos (80º + ) d) tg ( ) a) 7 b) 7 c) 7 d) 7 7 0. Si cos (80º ) / y es un ángulo del primer cuadrante, calcula las siguientes razones trigonométricas. a) sen b) cos (90º ) c) sen ( ) d) tg (80º + ) a) b). Simplifica las siguientes expresiones. c) d) a) sen b) cos tg sen c) sen + sen cos a) cos a b) + sen a c) sen a. Demuestra que cualquiera que sea el ángulo se verifica la siguiente relación. tg sen cos tg cos sen Se deja para el alumno. Matemáticas o ESO (Opción B) Trigonometría