Tabla de contenido. Lista de figuras

Tabla e contenio 1. Introucción..................................................................... 2 2. Topología y aspectos básicos....................................................... 5 2.1. Invariante.................................................................. 7 3. Complejos simpliciales............................................................ 8 3.1. Filtraciones................................................................ 10 4. Elementos e teoría e grupos...................................................... 11 5. Homología simplicial............................................................. 16 5.1. Grupos e homología........................................................ 19 6. Persistencia homológica........................................................... 20 6.1. Distancia e Bottleneck...................................................... 24 6.2. Algoritmo incremental....................................................... 24 7. Persistencia homológica multiimensional............................................ 25 7.1. Multifiltraciones............................................................ 25 7.2. Persistencia en multifiltraciones............................................... 26 7.3. Invariante el rango......................................................... 27 8. Conclusiones.................................................................... 28 Lista e figuras 1. La figura (a) es topológicamente equivalente a la figura (b), una invariante topológica no poría iferenciarles............................................................... 2 2. Agrupamiento e una nube e puntos. A la izquiera la agrupamiento inicial, utilizano hill-climbing. A la erecha agrupamiento luego e la unión e grupos inestables. Tomao e [1].............................................................................. 3 3. Segmentación e una imagen meiante el métoo escrito en [2].......................... 3 4. Segmentación e una forma meiante el métoo escrito en [3]........................... 4 5. A la izquiera una esfera. A la erecha una rosca. Tomao e [4].......................... 6 6. El alfabeto inglés particionao por el tipo topológico e caa una e sus letras............... 7 7. Espacio topológico e la superficie e una res representao por un complejo simplicial....... 9 8. Símplices e imensiones 0, 1, 2 y 3 e izquiera a erecha.............................. 9 9. Filtración orenaa e un complejo simplicial formao por un triángulo y sus caras. El símplice en rojo es el añaio a caa complejo para obtener el siguiente en la filtración....... 11 10. Las aristas resaltaas en amarillo forman una 1-caena, mientras que los triángulos coloreaos en rojos forman una 2-caena.............................................. 16 11. Complejo simplicial K compuesto por vértices, aristas y triángulos. A la izquiera una 1-caena Z = {{c,},{,e},{e, f },{ f,c}} Z 1 (K). A la erecha una 1-caena B = {{,e},{e, f },{ f,g},{g,h},{h,}} B 1 (K), la cual borea a la 2-caena {{,e,h},{g,e,h},{g,e, f }}........................................................ 18 12. La caena muestra que 3 (C 3 ) = B 2, 3 (Z 3 ) = /0, 2 (C 2 ) = B 1, 2 (Z 2 ) = /0, 1 (C 1 ) = B 0, 1 (Z 1 ) = /0. La iguala B 3 = /0 es causa e que no hay 4-símplices, y por tanto ningún 3-símplice es bore e algún 4-símplice. La iguala C 0 = Z 0 se ebe a que el bore e too 0-símplice o vértice es el conjunto vacío, luego toa 0-caena es un 0-ciclo. Tomao e [4].... 19

13. Complejo Simplicial K formao por los 0-símplices {a, b, c,, e, f }, los 1-símplices {{a,b},{b,c},{c,},{,e},{e,a},{b,e},{b, f },{c, f },{c,e}} y los 2-símplices {{b,c,e},{b,c, f }}................................................................ 19 14. Diagramas e Persistencia Homológica............................................... 22 15. Ejemplo e bifiltración e un complejo simplicial. Tomao e [5]......................... 26

De la homología simplicial a la persistencia homológica Un estao el arte Raúl Antonio Alonso Baryolo, Eel Bartolo García Reyes y Javier Lamar León Equipo e Investigaciones e Reconocimiento e Patrones, Centro e Aplicaciones e Tecnologías e Avanzaa (CENATAV), La Habana, Cuba {rbaryolo,egarcia,jlamar}@cenatav.co.cu RT 073, Serie Azul, CENATAV Aceptao: 3 e marzo e 2015 Resumen A pesar e ser consieraa una e las ramas más pura e las matemáticas, la topología algebraica ha contao con el avance e nuevas líneas e investigación en las últimas écaas; líneas encaminaas al esarrollo e algoritmos y a la aplicación en iversas ramas e la ingeniería y las ciencias. Sin temer a la alta complejia e esta rama, la comunia matemática, motivaa por la gran cantia e contextos one se requiere manejar información geométrica ese el punto e vista cualitativo, ha lograo importantes avances aplicables a la solución e problemas actuales. Campos one se reportan aplicaciones son la visión por computaora y el procesamiento e imágenes, la biología molecular, la moelación geométrica, entre otros. Este trabajo tiene como objetivo funamental brinar una introucción, hacieno énfasis en explicaciones intuitivas, a los resultaos alcanzaos en las teorías e homología simplicial y persistencia homológica. La selección se ebe a que en estas áreas se han obtenio los mayores avances respecto a aplicaciones prácticas. Durante este proceso e introucción y análisis e los resultaos alcanzaos, se persigue aemás etectar los principales problemas no resueltos hasta el momento, los cuales quearán resumios en las conclusiones el trabajo. La homología simplicial es una herramienta que introuce una vía para asignar un conjunto e grupos abelianos finitamente generaos a un espacio topológico, con el objetivo e extraer información cualitativa sobre la conectivia e tal espacio. La persistencia homológica por su parte se formula sobre las bases e la homología simplicial. Esta permite extraer información cualitativa acerca e la variación e la conectivia e un espacio que crece con el avance el tiempo. Palabras clave: topología, homología simplicial, complejo simplicial, espacio topológico, perisitencia homológica. Abstract. Despite being consiere one of the purest branches of mathematics, algebraic topology accounts with new research lines emerge in the last ecaes. These new lines of research are oriente to the evelopment of algorithms, an the application of topology to many areas of engineering ans science. Without any fear to the inner complexity of this branch of mathematics, an motivate by the ammount of contexts where is requeste cualitative information of geometric objects, the community has got important results applicable to the solution of art state problems of many areas. Computer vision, image processing, molecular biology an geometric moeling are examples of areas where new avances in algebraic topology have been applie. The principal goal of this work is to introuce the results obtaine in theories of simplicial homology an persistent homology, emphasizing in intuitive explanations whenever possible. These areas are of special interest because of they show the major avances applie to real problems. In the boy of the work, we pursue the unresolve problems so far, which are summarize in the conclusions. The simplicial homology is a tool aime to assign a set of finitely generate abelian groups to a topological space, with the goal of extracting cualitative information about the connectivity of such space. The Persistent homology, meanwhile, emerges from the basis of simplicial homology, an has as goal to extract cualitative information from the variation of a growing space in time. Keywors: topology, simplicial homology, simplicial complex, topological space, persistent homology.

2 Raúl Antonio Alonso Baryolo, Eel Bartolo García Reyes y Javier Lamar León 1. Introucción La topología es una e las ramas más jóvenes e las matemáticas. Esta se ocupa e los objetos geométricos atenieno a la forma, posición, y en general a sus propieaes cualitativas. No tiene en cuenta aspectos relativos a magnitues ni requiere cálculos con cantiaes. Suele verse como la rama e las matemáticas que estuia las propieaes e las figuras geométricas que no se ven alteraas por ninguna clase e transformaciones continuas. Es una especie e geometría one está permitio oblar, estirar, encoger, retorcer los objetos, pero siempre que se haga sin romper ni separar lo que estaba unio (la transformación ebe ser continua), ni pegar lo que estaba separao (la inversa también ebe ser continua). Este conjunto e transformaciones, mayor que en el caso e la geometría, permite que se utilice la topología para extraer información cualitativa tal como la cantia e componentes conexas, cantia e agujeros, entre otros. Las propieaes que no varían en un espacio topológico (invariantes topológicas) bajo el gran conjunto e transformaciones permisibles por la topología suelen ser muy robustas, ebio precisamente a esta cantia e transformaciones posibles. Por ejemplo, se pueen aplicar toas las transformaciones antes mencionaas a un espacio topológico y su cantia e componentes conexas y agujeros permanecerán invariantes. La homología es una invariante topológica que asigna grupos a los espacios topológicos (llamaos grupos e homología); precisamente estos grupos permiten conocer la cantia e componentes conexas y agujeros en caa imensión e un espacio topológico. A la homología se le confiere una gran importancia ebio a que la eficiencia e los algoritmos esarrollaos en esta área permite su aplicación para propósitos prácticos [6]. Contrasta con esto, el hecho e que la mayoría e los algoritmos existentes en la rama e la topología tienen alto costo computacional. La excesiva robustez e las invariantes topológicas suele invaliarles para aplicaciones prácticas. Por una parte sucee que figuras totalmente iferentes pueen ser equivalentes topológicamente, como es el caso mostrao en la figura 1, lo cual a al traste con rasgos muy ébiles para representar y comparar espacios topológicos. Por otra parte las invariantes topológicas son muy sensibles respecto al ruio, por ejemplo en el caso e la homología si se le añae un pequeño punto a la figura 1.b, esta ejaría e ser equivalente a la figura 1.a por tener una componente conexa más. (a) (b) Fig. 1. La figura (a) es topológicamente equivalente a la figura (b), una invariante topológica no poría iferenciarles. Con el objetivo e liiar con estas ebiliaes, en particular e la homología, surge la persistencia homológica. Esta, aemás e capturar características topológicas e un espacio en crecimiento, captura el tiempo e uración e ichas características. Esto permite eshacerse e características e poca uración, las cuales son referenciaas en la literatura como ruio topológico [7]. Si se toma como ejemplo la figura 1 y se esplaza la línea horizontal hacia abajo como inica la flecha, puee notarse que sobre la línea va queano el espacio en crecimiento, mientras que por ebajo están las partes que aún no se han escubier-

Introuccio n a la homologı a simplicial y a la persistencia homolo gica 3 to. Aema s, urante el esplazamiento e la lı nea, en la figura 1.a aparecen tres componentes que luego se convierten en os y finalmente en una. Sin embargo, para la figura 1.b too el esplazamiento transcurre con una componente. Por tanto, este mecanismo permite iferenciar a la figura 1.a e la figura 1.b. La persistencia homolo gica ha visto su surgimiento y esarrollo en el trascurso e los u ltimos 15 an os [8], y a pesar e su corta via ya ha tenio aplicaciones exitosas en varios campos, como a continuacio n se escribe. Agrupamiento En el campo el agrupamiento se ha estacao el trabajo [1]. Segu n los autores, la novea e su trabajo consiste en la eteccio n y unio n e grupos inestables, luego e ser estos calculaos por algu n me too e la literatura. Para ello hacen uso e la persistencia homolo gica. Aema s los autores afirman que los avances en la teorı a e la persistencia homolo gica, les han sio u tiles para aportar una nocio n teo rica el significao e que un agrupamiento sea bueno. Otra ventaja el me too propuesto es que provee retroalimentacio n visual, la cual puee ser utilizaa para corregir los para metros el me too. En la figura 2 se muestra un ejemplo e la aplicacio n el algoritmo tomao e la fuente [1]. Fig. 2. Agrupamiento e una nube e puntos. A la izquiera la agrupamiento inicial, utilizano hill-climbing. A la erecha agrupamiento luego e la unio n e grupos inestables. Tomao e [1]. Segmentacio n En el a rea e la segmentacio n se reportan os resultaos importantes. Uno e ellos eica los esfuerzos a la segmentacio n e ima genes [2]. Para ello utiliza un enfoque que en un primer paso extrae bores e la imagen. Luego se aplica la persistencia homolo gica para filtrar y completar los bores etectaos, e moo que la imagen quee separaa en regiones por los bores. Finalmente se unen regiones con persistencias similares para lograr la segmentacio n final. La figura 3 muestra un resultao e segmentacio n e este me too. Fig. 3. Segmentacio n e una imagen meiante el me too escrito en [2].

4 Rau l Antonio Alonso Baryolo, Eel Bartolo Garcı a Reyes y Javier Lamar Leo n Un seguno trabajo utiliza la persistencia homolo gica para segmentar objetos eformables [3]. En este trabajo se utilizan en conjunto la funcio n HKS1 y la persistencia homolo gica, para esarrollar un algoritmo que opera en mu ltiples escalas para lograr una buena segmentacio n e objetos triimensionales. Este trabajo hace uso intensivo e los resultaos alcanzaos en [1], one se introuce el agrupamiento en varieaes e Riemann hacieno uso e la persistencia homolo gica. En la figura 4 se muestra un resultao e segmentacio n el algoritmo propuesto en [3]. Fig. 4. Segmentacio n e una forma meiante el me too escrito en [3]. Rees e sensores Se reporta un trabajo que hace uso e la persistencia homolo gica en el tema e rees e sensores [9]. En este trabajo se introuce una te cnica noveosa para etectar huecos en el cubrimiento e una re e sensores, para lo cual se hace uso e la persistencia homolo gica. Un elemento importante e este trabajo es que asume, entre sus preceptos, que no es necesario conocer la ubicacio n e los noos e la re en el espacio, es ecir que no se necesitan sus coorenaas. Deteccio n e objetos portaos, basaa en la forma caminar Se reporta un trabajo [10], que utiliza la persistencia homolo gica para etectar cuano una persona lleva consigo un objeto mientras camina. En este trabajo se realiza un moelao y sustraccio n e fono para obtener siluetas e una persona en movimiento. Las siluetas obtenias se utilizan posteriormente para obtener un complejo e celas, sobre el cual se aplica persistencia homolo gica para extraer rasgos e alto nivel, los cuales son utilizaos para realizar clasificacio n. Aema s e los expuestos se reportan otros trabajos en a reas como la biologı a molecular [11], la moelacio n geome trica [12], la ientificacio n e personas por su forma e caminar [13] y ana lisis e ima genes [14], los cuales hacen uso e la persistencia homolo gica para sus aportes. Finalmente se culmina la introuccio n con un repaso e las secciones por las que esta compuesto este trabajo. En la seccio n 2 se introucen aspectos ba sicos e Topologı a General, que persiguen resaltar la importancia e las invariantes topolo gicas. Luego, en la seccio n 3 se presenta una representacio n iscreta e espacios topolo gicos conocia como complejos simpliciales, sobre la que se efine la homologı a simplicial. Ma s aelante, en la seccio n 4 se introucen algunos elementos e la teorı a e grupos, que sera n e utilia para comprener la homologı a simplicial, la cual se escribe en la seccio n 5 y se examina particularmente con coeficientes en Z2. Finalmente en la seccio n 6 se introuce la persistencia homolo gica uniimensional, y en la seccio n 7 se a una introuccio n al campo emergente e la persistencia homolo gica multiimensional. 1 Heat lernel Signature (HKS) es un funcio n utilizaa en el ana lisis e objetos eformables.

Introucción a la homología simplicial y a la persistencia homológica 5 2. Topología y aspectos básicos Un concepto e vital importancia en la topología es el e espacio, concepto netamente primitivo, pues se efine como un conjunto e puntos. Pero este es un concepto muy ébil, mucho más interesante sería otar a este conjunto e puntos e una noción e conectivia, enriquecerlo con una eterminaa estructura. De esta iea surge la siguiente noción e topología: una topología en un espacio es una escripción e cuáles e sus puntos están conectaos entre sí, recuérese que esta no es la efinición formal e topología. Un espacio topológico por su parte sería el espacio junto a una escripción e la conectivia entre sus puntos. Uno e los primeros ejemplos que la imaginación nos propone, luego e esta efinición, es el e un grafo 2, en el cual el espacio sería el conjunto e sus vértices y la conectivia entre estos estaría aa por sus aristas. Otro buen ejemplo, y más cercano a la efinición formal e espacio topológico, es el e los espacios métricos 3, que con su noción e istancia permiten efinir cuáles puntos son vecinos y cuáles no, queano escrita así la conectivia en el espacio, estos espacios son muy comunes en la práctica. La formalización e esta iea nos conuce a la efinición e una topología sobre un eterminao espacio X, la cual se enuncia como sigue: Definición 2.1 [15] Una topología en un espacio X es una colección U e subconjuntos e X que cumple: 1. X U y /0 U. 2. La intersección e los elementos e cualquier subconjunto finito e U es un elemento e U. 3. La unión e los elementos e cualquier subconjunto e U es un elemento e U. Los subconjuntos e X que pertenecen a U se llaman conjuntos abiertos e la topología U sobre X, mientras que los que no pertenecen a U se llaman conjuntos cerraos e U. La seguna restricción e la efinición viene aa precisamente porque la intersección e una cantia infinita e subconjuntos e U puee no ar como resultao un conjunto abierto e U, etalles y emostración e este hecho pueen encontrarse en [15]. Tenieno efinia una topología sobre un espacio X se puee ar entonces la efinición e un espacio topológico: Definición 2.2 [15] Un espacio topológico sobre un espacio X es el par (X,U) el espacio X junto a una topología U efinia sobre X. El interés mostrao por los espacios topológicos no es en vano, primeramente estos espacios son la base sobre la cual se sustenta la topología; aemás son estos e gran interés para las ciencias, ya que surgen comúnmente en la práctica. Es por esto que tanto los científicos e la computación como los e las matemáticas han prestao interés en el esarrollo e herramientas para el cómputo e variaas características sobre tales espacios. De manera particular se ha prestao especial interés en esarrollar métoos que permitan eciir cuano os espacios son equivalentes o no topológicamente, inepenientemente e su realización geométrica. Para cumplir esto los espacios en cuestión tienen que estar primeramente conectaos e la misma forma, el siguiente ejemplo a un acercamiento al tema: Ejemplo 2.1 Suponga que se tiene una esfera y una rosca, ambas sin relleno, como se muestra en la Figura 5. Tenrán estas figuras (espacios topológicos) la misma conectivia? La respuesta es no. Para 2 Un grafo es un par G = V,E que consta e un conjunto e vértices V, y un conjunto e pares e vértices E llamaos aristas. 3 Un espacio métrico es un espacio con una función asociaa para meir istancia entre sus puntos.

6 Raúl Antonio Alonso Baryolo, Eel Bartolo García Reyes y Javier Lamar León mostrarlo basta realizar un corte circular en ambas superficies. En el caso e la esfera no es posible realizar tal corte sin iviirla en os partes, mientras que en el caso e la rosca sí existen maneras e realizar el corte sin separarla, por ejemplo el corte e la Figura 5. En este caso existe una manera e cambiar la conectivia e la rosca sin separarla en os componentes, pero no ocurre así en el caso e la esfera. Fig. 5. A la izquiera una esfera. A la erecha una rosca. Tomao e [4]. Luego e comprener este ejemplo es posible asegurar que la rosca y la esfera no son figuras equivalentes topológicamente, pues no tienen la misma conectivia. Este mecanismo constituye una herramienta informal para eciir cuáno eterminaos espacios, sencillos en realización geométrica, no son equivalentes topológicamente. Hasta ahora se ha hablao e equivalencia entre espacios topológicos como una noción intuitiva y poco clara, pero existe un concepto que formaliza esta noción y es aemás e gran importancia en la topología. Antes e pasar a formalizar este concepto vamos a introucir algunas herramientas matemáticas que será e mucha utilia a partir e este punto. Definición 2.3 [16] Una relación entre os conjuntos A y B es un subconjunto e A B. El hecho e que (a,b) se lee como a está relacionao con b, y se enota a b. En lo aelante se hará referencia a una relación entre un conjunto A y él mismo como una relación en A. Definición 2.4 [16] Una partición e un conjunto A es una colección e subconjuntos e A, tal que caa elemento e A pertenece a exactamente uno e los subconjuntos e la colección. A caa subconjunto e la colección se le llama clase. Definición 2.5 [16] Una relación en un conjunto A es una relación e equivalencia si para toos a, b, c A esta cumple que: 1. (Reflexiva) a a. 2. (Simétrica) Si a b, entonces b a. 3. (Transitiva) Si a b y b c, entonces a c. Teorema 2.1 [16] Sea A un conjunto no vacío, y sea una relación e equivalencia en A, entonces prouce una partición e A, one la clase que contiene un elemento a A es [a] = {x A x a}. Las clases proucias por se llaman clases e equivalencia y si [a] = [b] se ice que a y b son equivalentes. Aemás cualquier partición e A prouce una relación e equivalencia en A one a b si y solo si a y b pertenecen a la misma clase e la partición. El teorema 2.1 será muy importante en lo que sigue, la emostración puee encontrarse en [16] y no supone mayores complicaciones. En este punto están creaas las coniciones para formalizar la noción

Introucción a la homología simplicial y a la persistencia homológica 7 e equivalencia entre espacios topológicos. Cuano un objeto puee ser transformao e forma continua en otro objeto y viceversa, entonces son topológicamente equivalentes y a esta equivalencia se le llama homeomorfismo, y se efine formalmente como: Definición 2.6 [4] Un homeomorfismo entre os espacios topológicos X 1 y X 2 es una función biyectiva f : X 1 X 2 que cumple que f y f 1 son ambas continuas. Se ice que X 1 es homeomorfo a X 2 si existe un homeomorfismo entre ambos, y en este caso X 1 y X 2 tienen el mismo tipo topológico o son topológicamente equivalente. Analizano el homeomorfismo como una relación en un conjunto A e espacios topológicos, se puee emostrar que es reflexiva (un espacio topológico es homeomorfo a si mismo), simétrica (si un espacio topológico a es homeomorfo a otro b, entonces b es homeomorfo a a) y transitiva, e moo que es una relación e equivalencia. Por tanto, aplicano el Teorema 2.1, se puee concluir que la relación homeomorfismo sobre un conjunto e espacios topológicos prouce una partición e este, e moo que os espacios topológicos en la misma partición son homeomorfos y en particiones iferentes no lo son. La Figura 6 muestra el conjunto e espacios topológicos que constituyen las letras el alfabeto inglés particionao e acuero a la relación e homeomorfismo. Fig. 6. El alfabeto inglés particionao por el tipo topológico e caa una e sus letras. El análisis anterior conlleva a la conclusión e que la relación e homeomorfismo constituye una herramienta matemática muy importante que provee un sistema para paticionar espacios topológicos equivalentes. Una incógnita muy importante es cómo utilizar esta herramienta computacionalmente, cómo eciir si os espacios son o no son homeomorfos meiante un algoritmo. Más que una incógnita esta situación constituye una ificulta, pues el matemático ruso Anrei Markov emuestra en 1958 que este es un problema no eciible [17]. Debio a esta ificulta se piensa en nuevas variantes para resolver, al menos parcialmente, el problema e eciir si os espacios son o no equivalentes topológicamente. Es por esto que surge la efinición e invariante topológica e un espacio, que se introuce en el apartao 2.1 e la presente sección. 2.1. Invariante En este apartao se an os efiniciones e la teoría e invariantes, que servirán e base para comprener la efinición e invariante topológica, la cual será e especial importancia en lo aelante.

8 Raúl Antonio Alonso Baryolo, Eel Bartolo García Reyes y Javier Lamar León Definición 2.7 Sea A un conjunto no vacío y sea una relación e equivalencia en A. Una invariante con respecto a es una función f : A B que asigna a toos los elementos e A en una misma clase e equivalencia un único elemento e B (B es un conjunto e elementos cualesquiera). Debe notar que la efinición 2.7 permite que a elementos e A en iferentes clases e equivalencia también se le asigne el mismo elemento e B, lo cual tiene a confunir al lector. Generalmente es e mayor utilia práctica el contrarrecíproco e esta efinición. Si a os elementos e A se les asigna iferentes elementos e B entonces puee asegurarse que los elementos e A no están en la misma clase e equivalencia. De esta manera, si la invariante es suficientemente buena, es útil como mecanismo iscriminativo. Al prohibir en la efinición 2.7 que a elementos e A en iferentes clases e equivalencia se le puea asignar un mismo elemento e B, surge la importante efinición que a continuación se enuncia. Definición 2.8 Sea f : A B una invariante con respecto a una relación e equivalencia efinia sobre un conjunto A, f es una invariante completa si asigna elementos iferentes e B a elementos e A en clases e equivalencia iferentes. Definición 2.9 [4] Una invariante topológica es una función f : T B, que va e un conjunto e espacios topológicos T a un conjunto e elementos cualesquiera B, y que asigna a espacios homeomorfos e T un mismo elemento e B. Puee notarse que la efinición 2.9 es un caso particular e la efinición 2.7, puesto que en el caso e la efinición 2.9 se toma como relación e equivalencia al caso particular e la relación e homeomorfismo entre espacios topológicos. A partir e este punto el trabajo se centra en exponer toa la teoría que es necesario conocer para comprener la ya mencionaa invariante topológica llamaa homología simplicial. Esta invariante tiene la importante característica e estar efinia sobre espacios topológicos representaos e manera iscreta. Debio a esto, antes e inagar en los aspectos intrínsecos e la invariante, se ebe introucir los elementos necesarios para comprener la estructura e la representación iscreta e los espacios topológicos. Esta representación se forma básicamente con una muestra finita e puntos el espacio y conexiones entre estos puntos que forman elementos primarios e la geometría (segmentos, polígonos, polieros, etc.), obteniénose estructuras similares a la mostraa en la Figura 7. En el presente trabajo se exponrá un caso particular e estas representaciones muy utilizao en la práctica y conocio como complejos simpliciales. 3. Complejos simpliciales Una e las principales y más ifunias formas e representar superficies computacionalmente es meiante la unión e vértices, aristas, polígonos, polieros y homólogos e mayores imensiones. De esta manera se logra meiante la unión e las fronteras e figuras geométricas simples, representar objetos (espacios topológicos) e iferentes graos e complejia. Este tipo e representaciones son conocias con el nombre e complejos simpliciales cuano las figuras usaas son vértices, aristas, triángulos, tetraeros y análogos al triángulo en mayores imensiones. Los elementos geométricos que conforman a los complejos simpliciales son conocios como símplices. La Figura 7 muestra un ejemplo e complejo simplicial one los símplices que lo conforman son vértices, aristas y triángulos. A continuación se expone la formalización matemática e estas ieas. Antes e pasar a la efinición formal e complejo simplicial es necesario ar algunas efiniciones importantes que sustentan a esta.

Introucción a la homología simplicial y a la persistencia homológica 9 Fig. 7. Espacio topológico e la superficie e una res representao por un complejo simplicial. Definición 3.1 [18] Sean v 0,...,v k puntos en R n, el punto x = k i=0 λ iv i con λ i R es una combinación lineal e v 0,...,v k, si esta combinación lineal cumple que k i=0 λ i = 1, entonces toma el nombre e combinación afín, la cual si a su vez cumple que λ i 0 para 0 i k entonces es llamaa combinación convexa. Definición 3.2 [18] El conjunto e toas las combinaciones convexas e un conjunto e puntos C se llama envoltura convexa e C. Definición 3.3 [18] Un conjunto e puntos S es afín (linealmente) inepeniente si ninguno e sus puntos puee ser expresao como una combinación afín (lineal) e los emás. Definición 3.4 [18] Un k-símplices σ es la envoltura convexa e un conjunto e k + 1 puntos afín inepenientes S = {v 0,...,v k } R n. Los puntos e S son los vértices el símplice, se ice que S efine a σ. La imensión e un símplice es la cantia e vértices menos uno (im σ = S 1 = k). Fig. 8. Símplices e imensiones 0, 1, 2 y 3 e izquiera a erecha. En la Figura 8 se muestran algunos símplices e imensiones bajas. En el caso el 2-símplice o triángulo, se tiene como conjunto e vértices a S = {1,2,3}, mientras que la envoltura convexa e este conjunto es toa el área azul, too punto entro el área azul pertenece a la envoltura convexa, no sieno así para los puntos fuera e esta área. Los símplices son importantes, pues permiten representar regiones e un espacio solo con sus vértices.

10 Raúl Antonio Alonso Baryolo, Eel Bartolo García Reyes y Javier Lamar León Definición 3.5 [18] Sea σ el k-símplice efinio por el conjunto afín inepeniente S = {v 0,...,v k }. Un símplice τ efinio por T S es una cara e σ, y aemás σ es cocara e τ. Estas relaciones se enotarán por τ σ y σ τ. Puee apreciarse que se cumple que σ σ y que σ σ. En la Figura 8 se tiene que el vértice {1} es cara e la arista {1,2}, la cual es cara el triángulo {1,2,3}, que a su vez es cara el tetraero {1,2,3,4}. De manera inversa se obtiene la relación e cocara. Finalmente estamos en coniciones e ar la importante efinición e complejo simplicial, que se enuncia como sigue: Definición 3.6 [18] Un complejo simplicial es una colección finita e símplices K que cumple que: 1. Si σ K y τ σ entonces τ K. 2. Si σ 0 K y σ 1 K entonces τ = σ 0 σ 1 es vacío o τ σ 0,σ 1. La imensión e K se efine como la imensión el símplice e mayor imensión en K. Como se puee notar un complejo simplicial no es más que un conjunto e símplices junto a una escripción e como unir a estos símplices para obtener objetos e mayor complejia. Hasta el momento se puee notar que la efinición e complejo simplicial es una efinición completamente geométrica, ya que estos complejos están compuestos por símplices, que no son más que figuras geométricas simples como antes se ijo. Dao el interés por la topología e los objetos, una clara separación entre la geometría y la topología e estos es eseable, e moo que la extracción e propieaes topológicas quee completamente aislaa e la geometría e los objetos. La siguiente efinición muestra que es posible lograr esta separación: Definición 3.7 [7] Un complejo simplicial abstracto sobre un conjunto S es una colección finita K e subconjuntos e S llamaos símplices abstractos, tal que se cumple que: 1. v S se cumple que {v} K. (Los conjunto {v} son los vértices e K) 2. Si σ K y τ σ entonces τ K. (Se ice que τ es cara e σ y σ es cocara e τ) Observación 3.1 Nótese que si a caa elemento el conjunto S se le asigna una coorenaa e R n, e moo que a caa símplice abstracto en K le corresponan coorenaas afínmente inepenientes, entonces se obtiene un complejo simplicial que se conoce como realización geométrica el complejo simplicial abstracto K. De esta manera se puee tener la geometría por un lao meiante las coorenaas asociaas a los elementos e S, mientras que el complejo K e la efinición 3.7 provee la topología el espacio. Los complejos simpliciales abstractos son e especial interés en el presente trabajo, ya que constituirán la entraa e los algoritmos encargaos e esarrollar cálculos topológicos, pero para esto los símplices abstractos que lo conforman eberán cumplir con un cierto oren. 3.1. Filtraciones Definición 3.8 [4] Un subcomplejo e un complejo simplicial K es un complejo simplicial S K. Definición 3.9 [4] Una filtración e un complejo simplicial K es una secuencia aniaa e subcomplejos simpliciales e K, /0 = K 0 K 1... K m = K.

Introucción a la homología simplicial y a la persistencia homológica 11 Definición 3.10 [6] Una función filtro e un complejo simplicial K es una función F : K R que asigna a caa símplice un valor real, tal que el valor e la función en un símplice es mayor o igual que en cualquiera e sus caras. Definición 3.11 Una filtración orenaa e un complejo simplicial K es una filtración /0 = K 0 K 1... K m = K que cumple que K i K i 1 = 1 para 1 i m. De la efinición 3.11 se infiere que e la aición e un eterminao símplice a un subcomplejo se obtiene el subcomplejo siguiente en la filtración. En la figura 9 se muestra una filtración orenaa e un complejo simplicial, aemás se muestra que caa símplice σ tiene asociao un tiempo t(σ) que correspone con su ínice en la filtración (si el símplice σ es añaio a K i 1 para obtener K i entonces t(σ) = i), esta noción el tiempo e un símplice será e utilia posteriormente. Fig. 9. Filtración orenaa e un complejo simplicial formao por un triángulo y sus caras. El símplice en rojo es el añaio a caa complejo para obtener el siguiente en la filtración. De acuero a la efinición, una filtración orenaa e un complejo simplicial K se puee ver como el establecimiento e un oren total en sus símplices, K f = [σ 0,σ 1,...,σ i,σ i+1,...,σ m ], e moo que too prefijo e la orenación K i f = [σ 0,σ 1,...,σ i ] sea un subcomplejo el siguiente prefijo K i+1 f = K i f + [σ i+1]. De este moo el tiempo e un símplice no es más que su ínice en la orenación (t(σ) = inex(σ)). Debe notarse aemás que aa una función filtro, quea completamente eterminaa una filtración orenaa e un complejo simplicial, solo bastaría orenar los símplices con respecto al valor real que la función les asigna. El rectángulo vere en la figura 9 muestra un ejemplo e orenación. De esta manera se puee ir analizano un símplice a la vez y así ir pasano por toos los subcomplejos e la filtración. Los etalles expuestos hasta este momento avalan al potente mecanismo e representación iscreta e espacios topológicos que constituyen los complejos simpliciales. Seguiamente se introucen algunas nociones e teoría e grupos, ya que la homología simplicial hace uso intensivo e esta herramienta matemática. Los conoceores e esta rama el álgebra abstracta porán pasar irectamente a la sección 5. 4. Elementos e teoría e grupos Las invariantes topológicas, como se expresa en la efinición 2.9, asocian objetos a los espacios topológicos. Como puee apreciarse, esta efinición permite muchas libertaes, pues no plantea restricciones acerca e tales objetos. Una rama e la topología, conocia como topología algebraica, se ha esarrollao gracias a estas libertaes. Los objetos que la topología algebraica asocia a los espacios topológicos son estructuras el álgebra. La homología simplicial es un caso e estuio e especial interés entro e la topología algebraica, esta asocia grupos a los espacios topológicos, conocios como grupos e homología.

12 Raúl Antonio Alonso Baryolo, Eel Bartolo García Reyes y Javier Lamar León Debio al interés que representa la homología simplicial para este trabajo se ebe tener algunas nociones e la teoría e grupos. A causa e esta exigencia se exponen a continuación algunos aspectos esenciales e esta teoría. Antes e pasar la efinición e grupo se ebe conocer que una operación binaria en un conjunto G es una regla que asigna a caa par orenao e elementos e G un elemento también e G. La operación binaria en G es asociativa si para toos x,y,z G se cumple que (x y) z = x (y z), esta operación es aemás conmutativa si se cumple que x y = y x. Definición 4.1 [16] Un grupo G, es un conjunto G, junto con una operación binaria en G, tal que se satisfacen los siguientes axiomas: 1. La operación binaria es asociativa. 2. Existe un elemento e G tal que e x = x e = x para toas las x G (e se enomina elemento ientia para en G). 3. Para caa x G existe un elemento x G con la propiea e que x x = x x = e (x se llama inverso e x respecto a en G). Definición 4.2 [16] Un grupo abeliano es un grupo G, one la operación es conmutativa. Ejemplo 4.1 Ejemplos muy usuales e grupos abelianos son el grupo Z, + e los números enteros junto a la operación e suma (one el elemento ientia es 0 y el inverso e un elemento x es x) y el grupo R, e los números reales excepto el cero junto a la operación e multiplicación (one el elemento ientia es 1 y el inverso e un elemento x es x 1 ). Definición 4.3 [16] Sea G, un grupo con un número finito e elementos, se conoce como oren e G, a su cantia e elementos. Observación 4.1 El lector ebe conocer que too grupo tiene un único elemento ientia, y que en un grupo caa elemento tiene un único elemento inverso. Estas propieaes son fácilmente eucibles e la efinición e grupo, y muy importantes en lo que sigue. Definición 4.4 [16] Sea G, un grupo y S G, si se cumple que S, es un grupo, entonces a S, se le llama subgrupo e G,. Definición 4.5 Sea e el elemento ientia e un grupo G,, entonces {e}, es un subgrupo e G, y se llama subgrupo trivial e G,. Ejemplo 4.2 Un ejemplo usual e subgrupo es Z,+ como subgrupo el grupo R,+. Puee notarse que too grupo G, tiene como subgrupos a si mismo, y al subgrupo trivial. Luego e haber conocio la efinición e subgrupo se puee introucir un importante resultao que muestra la posibilia e particionar los elementos e un grupo hacieno uso e un subgrupo e este. Teorema 4.1 [4] Sea G, un grupo y S, un subgrupo e G,, entonces se efinen las relaciones L y R sobre los elementos e G como: 1. a L b si y solo si a b S, con a,b G y a inverso e a. 2. a R b si y solo si a b S, con a,b G y b inverso e b. Estas relaciones cumplen la propiea e ser relaciones e equivalencia en G.

Introucción a la homología simplicial y a la persistencia homológica 13 Demostración. La emostración e este teorema es muy sencilla aplicano la efinición e relación e equivalencia. El lector puee comprobar el resultao. Observación 4.2 Puee notarse que a L b implica que a b = s S, e one se euce que b = a s. Esta eucción nos lleva a ecir que los elementos relacionaos meiante L son los pares e la forma (a,a s) one s S. De la misma manera los elementos relacionaos meiante R son los pares e la forma (a,s a). Este análisis constituye la motivación para la siguiente efinición. Definición 4.6 [16] Sea S, un subgrupo e un grupo G,, y sea a G. La clase lateral izquiera a S se efine como a S = {a s s S}. La clase lateral erecha S a se efine como S a = {s a s S}. Observación 4.3 De acuero a la efinición 4.6 se puee notar que toas las clases laterales tienen la misma cantia e elementos, cantia que concuera con S 4. Si el grupo G, es abeliano las clases laterales izquieras y erechas coincien. Aemás los elementos en a S (S a) son toos los que se relacionan con a meiante la relación L ( R ), lo cual permite ecir que las clases laterales izquieras (erechas) no son más que los conjuntos e la partición e G proucia por L ( R ). Teorema 4.2 [16] Sea S, un subgrupo e un grupo G,, tales que sus clases laterales izquiera y erecha coincien (a S = S a a G), sean a,b G, entonces el conjunto e las clases laterales forman un grupo con la operación binaria (a S) (b S) = (a b)s. Este grupo se conoce como grupo cociente e G, móulo S, y se enota por G/S,, los elementos en una misma clase lateral se ice que son congruentes móulo S. La coinciencia exigia a las clases laterales es necesaria para asegurar que la operación (a S) (b S) = (a b)s esté bien efinia (por bien efinia se entiene que é como resultao a una única clase lateral, inepenientemente e los elementos a (a S) y b (b S) que se hayan seleccionao). Contano con que esta operación está bien efinia la emostración e este resultao no es compleja, en [16] se encuentran los etalles. Ejemplo 4.3 Tómese el grupo Z,+ e los enteros con la suma, y el subgrupo 3Z,+ e los enteros múltiplos e 3 (congruentes con 0 móulo 3). Como este subgrupo es abeliano las clases laterales coincien, y no son más que 0 + 3Z, 1 + 3Z y 2 + 3Z, las cuales representan los subconjuntos e los enteros congruentes 0 moulo 3, 1 moulo 3 y 2 moulo 3 respectivamente. Puee notarse que el conjunto e estas tres clases junto a la operación escrita en el teorema 4.2 forman el grupo cociente e Z,+ móulo 3Z,+. Definición 4.7 [4] Sea G, un grupo y S G. Se efine el menor subgrupo e G, que contiene a S como el subgrupo e G, generao por S. Si este subgrupo es too G, entonces se ice que S genera a G,. Si existe algún subconjunto finito e G que genere a G, entonces se ice que G, es finitamente generao. Observación 4.4 De la efinición puee notarse que too grupo G, con una cantia finita e elementos es finitamente generao, para ello basta tomar como conjunto generaor a too G. Que un grupo G, sea generao por S G significa que toos los elementos e G se pueen obtener meiante operaciones con los elementos e S. 4 La notación S, one S es un conjunto, se refiere a la carinalia e S.

14 Raúl Antonio Alonso Baryolo, Eel Bartolo García Reyes y Javier Lamar León Definición 4.8 [4] Sea G, un grupo y a G. El menor subgrupo e G, que contiene a a se llama subgrupo cíclico e G, generao por a. Si este subgrupo es too G, entonces se ice que a genera G, y que G, es un grupo cíclico con generaor a. Ejemplo 4.4 Existen grupos cíclicos finitos e infinitos. En el caso infinito el ejemplo clásico es el e los enteros junto a la suma ( Z,+ ), en este caso el grupo tiene como elemento generaor al número 1, y también al -1. En el caso finito los grupos cíclicos más comunes son los grupos Z n,+ n e los enteros no negativos menores que n junto a la suma móulo n, en estos casos el elemento generaor es el 1. En lo aelante nos referiremos a Z,+ como Z y a Z n,+ n como Z n siempre que esto no cree ambigüea. Teorema 4.3 [16] Sea G, un grupo cíclico con generaor a G, entonces G = {a n n Z}, one a n significa a a... a, n veces, a 0 es la ientia e G,, a 1 es el inverso e a y a n significa a 1 a 1... a 1, n veces. Teorema 4.4 [16] Too grupo cíclico es un grupo abeliano. Definición 4.9 [16] Una función φ : G G que conecta os grupos G, y G, es un homomorfismo si cumple que φ(a b) = φ(a) φ(b) para toos a,b G. La propiea exigia a la función anterior se conoce como propiea e aitivia. Daa la efinición e homomorfismo entre grupos, es menester enunciar un teorema que será e mucha utilia posteriormente. Teorema 4.5 [16] Sea φ : G G un homomorfismo entre los grupos G, y G,, entonces se cumplen las siguientes proposiciones: 1. Si e es la ientia en G, entonces e = φ(e) es la ientia en G, 2. Si a G entonces φ(a ) = φ(a), a es el inverso e a en G. 3. Si H es subgrupo e G entonces φ(h) es subgrupo e G. 4. Si K es un subgrupo e G entonces φ 1 (K ) es subgrupo e G. La emostración e este resultao no presenta mayores complicaciones, se pueen encontrar los etalles en [16]. La relación e homomorfismo permite efinir un subgrupo e su grupo ominio muy importante, el cual se conoce como kernel. Teorema 4.6 [16] Sea φ : G G un homomorfismo entre los grupos G, y G,. El conjunto e elementos e G cuya imagen bajo φ es el elemento ientia e G, es un subgrupo e G, con la operación. Este subgrupo se llama kernel e φ. Demostración. Para emostrar este teorema, basta tomar al subgrupo trivial {e }, e G, y aplicar el último punto el teorema 4.5. Definición 4.10 [16] Una función φ : G G que conecta os grupos G, y G, es un isomorfismo si cumple que φ(a b) = φ(a) φ(b) para toos a,b G, y aemás es una función biyectiva. Si existe un isomorfismo ente os grupos G, y G, se ice que estos grupos son isomorfos.

Introucción a la homología simplicial y a la persistencia homológica 15 Observación 4.5 Note que la efinición 4.10 es un caso particular e la efinición e homomorfismo 4.9, por lo que los resultaos aplicables a homomorfismos también son aplicables a isomorfismos. Es importante comprener que la efinición 4.10 busca formalizar el hecho e que os grupos son iguales excepto por el nombre e sus elementos y e sus operaciones, si os grupos G, y G, son isomorfos, entonces cambiano el nombre e caa elemento x G por el nombre φ(a) se obtiene el elemento equivalente en G,, por otro lao la conición φ(a b) = φ(a) φ(b) tiene como objetivo mantener la estructura e la operación, ya que si os elementos a,b G al operarse an un tercer elemento c G (a b = c) entonces al operarse sus cambios e nombres en G, φ(a) φ(b) aría como resultao, e acuero a la conición impuesta, el cambio e nombre e c (φ(a b) = φ(c)). Teorema 4.7 [16] Sea F un conjunto e grupos no vacío, entonces la relación e isomorfismo entre grupos es una relación e equivalencia en F. Las clases e equivalencia se llaman en este caso clases e isomorfismo el conjunto F. El resultao que plantea el teorema 4.7 se puee verificar emostrano que: (I) un grupo G es isomorfo a sí mismo, (II) que si un grupo G es isomorfo a otro G entonces G es isomorfo a G y que (III) si un grupo G es isomorfo a otro G y G es isomorfo a otro G entonces G es isomorfo a G, como se conoce, estas son las propieaes que ebe cumplir una relación para ser e equivalencia. A partir e este resultao se euce que un conjunto F e grupos puee ser particionao en clases e equivalencia (clases e isomorfismo), one grupos en una misma clase e isomorfismo son isomorfos y en clases iferentes no lo son. Teorema 4.8 [16] Cualquier grupo cíclico infinito G, es isomorfo a el grupo cíclico e los enteros bajo la suma, Z. Cualquier grupo cíclico finito con n elementos es isomorfo al grupo cíclico e los enteros no negativos menores que n con la operación e suma moulo n, Z n. Este resultao es muy importante, pues esvela que toos los grupos cíclicos infinitos son iguales excepto por el nombre e los elementos y e la operación, y que toos los grupos cíclicos finitos con un misma cantia e elementos también son iguales excepto por el nombre e los elementos y e la operación. Teorema 4.9 [16] Sean G 1, 1, G 2, 2,..., G m, m, m grupos. Para (a 1,a 2,...,a m ) y (b 1,b 2,...,b m ) elementos e G 1 G 2... G m efinase la operación (a 1,a 2,...,a m ) (b 1,b 2,...,b m ) = (a 1 1 b 1,a 2 2 b 2,...,a m m b m ). Entonces G 1 G 2... G m, es un grupo, el proucto irecto externo e los grupos G 1,G 2,...,G m. Observación 4.6 La emostración e este resultao es irecta e la efinición e grupo y puee encontrarse en [16]. Note que este teorema permite construir nuevos grupos a partir e grupos conocios. También se pueen generalizar las propieaes e los grupos que forman el proucto irecto externo. Por ejemplo, el proucto irecto externo es abeliano si toos los grupos que lo conforman también son abelianos; el proucto irecto externo es un grupo finito si toos lo grupos que lo conforman son finitos, etc. Teorema 4.10 [16] (Teorema funamental e los grupos abelianos finitamente generaos) Too grupo abeliano finitamente generao G, es isomorfo a al proucto irecto externo e grupos cíclicos e la forma: Z Z... Z Z m1 Z m2... Z mr. (1) Done m i ivie a m i+1. Este proucto irecto externo es único para caa grupo G,, esto es, el número e factores Z es único y es conocio como el número e betti e G, y se enota β(g), mientras que los coeficientes m i son también únicos y conocios como coeficientes e torsión e G,.

16 Raúl Antonio Alonso Baryolo, Eel Bartolo García Reyes y Javier Lamar León Observación 4.7 El resultao el teorema 4.10 es e suma importancia puesto que permite parametrizar las clases e isomorfismo el conjunto e los grupos abelianos finitamente generaos, esto es, como toos los grupos en una misma clase e isomorfismo son isomorfos entre si, entonces toos son isomorfos a una misma realización e la ecuación 1, y entonces la clase e isomorfismo quea completamente eterminaa con el número e betti y los coeficientes e torsión, por otro lao a clases e isomorfismo iferentes corresponen realizaciones iferentes e la ecuación 1 ebio al hecho e que grupos en clases iferentes no son isomorfos. Teorema 4.11 [16] Sea G, un grupo abeliano finitamente generao, entonces se cumple que too subgrupo H, e G, es un grupo abeliano finitamente generao. Teorema 4.12 [4] Sea G, un grupo abeliano finitamente generao, y sea H, un subgrupo abeliano finitamente generao e G,. Entonces G/H, es un grupo abeliano finitamente generao y aemás β(g/h) = β(g) β(h). Finalmente las efiniciones y teoremas introucios en esta sección, sobre las cuales se pueen inagar en [16], nos permitirán comprener el resultao que establece la homología simplicial como invariante topológica. 5. Homología simplicial La homología simplicial es una invariante topológica efinia sobre complejos simpliciales, esta invariante estuia la manera en que un símplice e imensión k está conectao a símplices e imensión k 1, y como esta conexión influye en la creación y estrucción e ciclos en las imensiones k y k 1 el complejo simplicial en cuestión. Para esto la homología simplicial asocia grupos a los complejos simpliciales e la manera que se exponrá a continuación. Definición 5.1 [19] Sea K un complejo simplicial e imensión mayor o igual a, una -caena es un subconjunto el conjunto e los -símplices en K. Se efine la operación e suma e os -caenas a y b como la iferencia simétrica e estas, a b = (a b) (a b), operación que posee la característica e ser conmutativa. La figura 10 muestra ejemplos e 1-caena y 2-caena. Fig. 10. Las aristas resaltaas en amarillo forman una 1-caena, mientras que los triángulos coloreaos en rojos forman una 2-caena. Definición 5.2 [19] Para un complejo simplicial K, el conjunto e toas las -caenas junto a la operación e suma antes escrita forman un grupo abeliano que se enota por C (K) y se conoce como el -ésimo grupo e caenas e K.