Métodos Numéricos: Ejercicios resueltos

Métodos Numéricos: Ejercicios resueltos Tema 6: Resolución aproximada de sistemas de ecuaciones lineales Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Abril 008 versión Ejercicio Consideramos el sistema ½ x 5x 0x x 8 Formula el método de iterativo correspondiente a la matriz µ 0 5 N 0 0 Estudia la convergencia Calcula las 4 primeras iteraciones a partir del vector inicial µ x (0) 0 0 y determina una cota superior de error 4 Calcula la solución exacta y verifica los resultados () Método à µ 5 A 0 µ N 0 0 0 0 µ 0 0 M 0 4 0 x (j) x (j)! µ 0 0 0 4 0 µ b 8 µ 0 P 0 c à x (j) x (j) () kmk 04 < el método es convergente () µ x () 0 8 4 µ µ µ x () 0 0 0 8 0 8 0 4 0 4 4 µ 0 8 4! µ 0 8 4 µ 04 08

Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales µ µ x () 0 0 04 0 4 0 08 µ µ x (4) 0 0 008 0 4 0 984 µ 0 8 4 µ 0 8 4 µ 008 984 µ 0 9984 9968 Cota superior de error Si usamos la cota en j pasos no podemos asegurar ningún decimal exacto e (4) (04)4 4 0 04 06 Si usamos la cota en un paso e (4) kmk ē (4) kmk resulta e (4) (04) 008 0008 5 06 en este caso podemos asegurar un decimal exacto (4) Solución exacta µ α error e (4) µ µ 09984 9968 000 Ejercicio Consideramos el sistema ½ 0x x 4 x 0x FormulaelmétododeJacobi Estudia la convergencia Calcula las 4 primeras iteraciones a partir del vector inicial µ x (0) 0 0 ydeterminaunacotasuperiordeerror 4 Calcula la solución exacta y verifica los resultados () Matriz del método N A µ 0 0 µ 0 0 0 0 µ 4 b µ 0 P 0

Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales Método à x (j) x (j) M! µ 0 0 0 0 µ 0 0 0 0 µ 07 c à x (j) x (j) () kmk 0 el método es convergente () µ x () 07 x () x () µ µ 0 0 07 0 0 µ µ 0 07 007! µ µ 0 0 0 0 0 0 µ µ 0 0 07 0 0 x (4) µ 09999 9997 µ 07 µ 07 µ 0 0 µ 07 µ 00 999 Cota superior de error Si usamos la cota en j pasos e (4) (0)4 09 0444 0 podemos asegurar decimales exactos (4) Solución exacta µ α Error µ e (4) 09999 µ 0000 9997 Ejercicio Consideramos el sistema ½ 0x x 4 x 0x FormulaelmétododeGauss-Seidel Estudia la convergencia Calcula las 4 primeras iteraciones a partir del vector inicial µ x (0) 0 0 y determina una cota superior de error

Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales 4 4 Calcula la solución exacta y verifica los resultados () Matriz del método Método à x (j) x (j) M! µ 0 0 N 0 c µ 0 0 0 00 µ 0 0 0 00 à x (j) x (j) µ 07! µ 07 0 () kmk 0 el método es convergente () µ x () 07 0 µ µ µ µ x () 0 0 07 07 00 0 00 0 0 9997 µ µ µ µ x () 0 0 00 07 0 99997 0 00 9997 0 00000 Vector de error estimado x (4) ē (4) µ 00000 0 0 µ 00000 0 000000 Cota superior de error si usamos la cota en j pasos e (4) (0)4 0 067 0 09 obtenemos prácticamente el mismo resultado que en le método de Jacobi; podemos asegurar decimales exactos Si usamos la cota en un paso e (4) 0 ē (4) 067 0 5 09 podemos asegurar 5 decimales exactos (4) Solución exacta error e (4) α µ µ µ 00000 0 0 µ 000000 0 0 0 6

Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales 5 Ejercicio 4 Consideramos el sistema 8 0 5 0 x x 0 4 x FormulaelmétododeJacobi Estudia la convergencia 4 Calcula el número de iteraciones necesarias para resolver el sistema con decimales exactos a partir del vector inicial x (0) ~0 4 Calculalasprimerasiteracionesydeterminaunacotadeerror 5 Calcula la solución exacta y verifica los resultados () Matriz del método N 8 0 0 0 5 0 0 0 4 M 0 05 0 04 0 0 c 05 06 05 0 0 075 Método x (j) x (j) x (j) 04 0 0 0 05 0 05 0 0 () kmk 04 < el método es convergente () A partir de la cota en j pasos tenemos x (j) x (j) x (j) 05 06 075 e (j) (kmk )j ē () (04)j kmk 06 075 05 0 ln j Necesitaríamos 9 iteraciones (4) x () 04 0 0 0 05 0 05 0 0 µ (05 0 )(06) 075 ln (04) x () 05 06 075 05 06 075 8 54 05 06 075 0 45 0 4 0 65

Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales 6 x () 0 05 0 04 0 0 45 4 05 06 05 0 0 65 075 ē () 005 00 ē () 00 00 875 Cota superior de error si usamos la cota en j pasos e () (04) 075 008 06 0 45 0 4 0 6475 No podemos asegurar ningún decimal exacto Si usamos la cota en un paso e () 04 ē () 00 06 mejoramos algo la cota y podemos asegurar decimal exacto (4) Resolvemos usando la regla de Cramer 8 0 5 0 0 4 8 4 0 0 4 5 64 4 0 5 0 0 4 8 4 5 0 68 97 x 7 8 x 8 9 x 97 5 Solución exacta con 8 decimales 0 4476 84 α 0 405 6 0 685 789 error e () 0 4476 84 0 405 6 0 685 789 00 65 8 00 8947 7 00 559 Ejercicio 5 Consideramos el sistema 8 0 5 0 x x 0 4 x Calcula la solución exacta con Maple 0 45 0 4 0 6475 000 8947 7 4 Escribe un programa Maple que permita aplicar el método de Jacobi

Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales 7 Determina el número de iteraciones necesarias para aproximar la solución con 8 decimales exactos a partir del vector inicial x (0) ~0 4 Calcula la solución aproximada y verifica los resultados () y () ver resolución con Maple () En el ejercicio anterior hemos obtenido kmk 04 ē () 075 A partir de la cota en j pasos resulta e (j) (kmk )j ē () (04)j kmk 06 075 05 0 8 ln j µ (05 0 8 )(06) 075 ln (04) 05 Necesitamos iteraciones Para el resto del ejercicio ver Soluciones con Maple Ejercicio 6 Consideramos el sistema 8 0 5 0 x x 0 4 x FormulaelmétododeGauss-Seidel Estudia la convergencia 4 Calcula el número de iteraciones necesarias para resolver el sistema con decimales exactos a partir del vector inicial x (0) ~0 4 Calcula las primeras iteraciones y calcula un cota superior de error 5 Calcula la solución exacta y verifica los resultados () Matriz del método N 8 0 0 5 0 P 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 N 0 5 0 0 005 0 0 00 5 0 0 5

Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales 8 Método x (j) x (j) x (j) M 0 05 0 0 005 0 c 05 04 0 005 0 065 0 05 0 0 005 0 0 005 0 x (j) x (j) x (j) () kmk 0 5 < el método es convergente () A partir de la cota en j pasos tenemos 05 04 065 e (j) (kmk )j ē () (05)j kmk 0875 065 05 0 ln j µ (05 0 )(0875) 065 ln (05) 49 necesitaríamos 4 iteraciones (4) x () 05 04 065 x () 0 05 0 0 005 0 05 04 05 04 0 005 0 065 065 x () 0 05 0 0 45 0 005 0 0 4 05 04 0 005 0 0 675 065 000 5 ē () 000 ē () 000 0000 65 0 45 0 4 0 675 0 4475 0 4 0 68 5 Cota superior de error Si usamos la cota de j pasos e () (05) 0875 065 0 96 0 podemos asegurar dos decimales exactos Si usamos la cota de un paso e () 05 ē () 049 0 0875 vemos que podemos asegurar decimales exactos (4) Solución exacta con 8 decimales α 0 4476 84 0 405 6 0 685 789

Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales 9 error e () 0 4476 84 0 405 6 0 685 789 58 0 4 5 6 0 5 89 0 5 0 4475 0 4 0 68 5 058 0 Ejercicio 7 Consideramos el sistema 8 0 5 0 x x 0 4 x Calcula la solución exacta con Maple 4 Escribe un programa Maple que permita aplicar el método de Gauss-Seidel Determina el número de iteraciones necesarias par aproximar la solución con 8 decimales exactos a partir del vector inicial x (0) ~0 4 Calcula la solución aproximada y verifica los resultados () A partir de la cota en j pasos tenemos e (j) (kmk )j ē () (05)j kmk 0875 065 05 0 8 ln j µ (05 0 8 )(0875) 065 ln (05) 9 0999 9 necesitamos 0 iteraciones Para el resto del ejercicio ver Soluciones con Maple Ejercicio 8 Considera el siguiente sistema con un parámetro 4 a 4 x x 4 x Determina los valores de a para los que el método de Jacobi es convergente Determina los valores de a para los que el método de Gauss-Seidel es convergente Sea a resuelve el sistema por cada uno de los métodos con decimales exactos

Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales 0 (a) Método de Jacobi N 4 0 0 0 4 0 P 0 0 4 N /4 0 0 0 /4 0 0 0 /4 M N P /4 0 0 0 /4 0 0 0 /4 0 4 4 a 4 0 4 4 4 0 0 a 0 0 kmk max{/4/4 a / /} Para que el método sea convergente exigimos que nos lleva a la condición kmk < /4/4 a < a < 0 a 0 0 es decir a ( ) (a) Método de Gauss-Seidel N 4 0 0 0 a 4 0 P 0 0 4 0 0 0 N 4 0 0 6 4 0 64 6 4 M N 4 0 0 0 a P 6 4 0 0 0 64 0 0 0 6 4 0 4 4 a 0 6 6 a 4 0 64 64 a 6 ½ kmk max /4/4 a 6 6 a 4 64 64 a ¾ 6 Para que el método sea convergente exigimos kmk <

Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales en este caso obtenemos /4/4 a < 6 6 a 4 < 64 64 a 6 < Ya hemos resuelto la primera inecuación resultando a ( ) Para la segunda obtenemos 6 6 a 4 < 6 a 4 < 5 6 5 6 6 < 6 a 4 < 5 6 < 6 a < 9 6 < a < 9 Para la tercera obtenemos 64 64 a 6 < 64 a 6 < 6 64 6 64 65 64 65 < 64 a 6 < 6 64 < 57 a< 64 64 < a < 9 Por lo tanto si a ( ) podemos asegurar que el método de Gauss-Seidel es convergente (c) Para a resulta el sistema 4 4 4 x x x (c) Resolución por el método de Jacobi N 4 0 0 0 4 0 P 0 0 0 0 4 0 N /4 0 0 0 /4 0 0 0 /4 0 0 5 0 5 0 5 M N P 0 5 0 0 5 c 0 5 0 5 0 5 0 0 75

Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales kmk 05 Para decimales exactos exigimos e (j) (kmk )j ē () (05)j kmk 05 075 05 0 ln j µ (05 0 )(05) 075 ln (05) 55074 7 En principio con iteraciones podemos asegurar los decimales exactos En este caso la cota en un paso es e (j) 05 05 ē (j) ē (j) y por lo tanto el error estimado nos permite acotar directamente el error 0 5 x () 0 5 0 75 x () 0 0 5 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 565 0 5 0 5 0 75 0 5 0 5 0 75 ē () 0 5 0 5 0 565 0 65 5 875 0 5 0 5 0 75 0 5 x () ē () 0 0 5 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 5 0 0 8 5 0 85 0 6097 5 0 8 5 0 85 0 6097 5 0 5 0 5 0 565 0 5 0 5 0 565 0 565 0 5 0 46875 0 5 0 5 0 75 0 46875

Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales x (4) 0 0 5 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 5 0 0 0 5 0 656 5 0 59765 65 0 8 5 0 85 0 6097 5 0 5 0 5 0 75 ē (4) 0 0 5 0 656 5 0 59765 65 00 906 5 0 565 0 78 75 0 8 5 0 85 0 6097 5 0 565 La precisión buscada se alcanza en 7 pasos (ver Resolución con Maple) (c) Resolución por el método de Gauss-Seidel N 4 0 0 4 0 P 0 0 0 4 0 0 0 N 4 0 0 6 4 0 64 6 4 0 0 5 0 5 0 5 M N P 0 00 65 0 5 c 0 475 0 00 46875 00 565 0 578 5 kmk 05 Para decimales exactos exigimos e (j) (kmk )j ē () (05)j kmk 05 0 578 5 05 0 ln j µ (05 0 )(05) 0 578 5 ln (05) 75 8 En principio con iteraciones podemos asegurar los decimales exactos También en este caso la cota en un paso es e (j) 05 05 ē (j) ē (j) y por lo tanto el error estimado nos permite acotar directamente el error 0 5 x () 0 475 0 578 5

Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales 4 x () 0 0 5 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 5 0 0 855 65 0 046 875 0 4065 0 5 0 475 0 578 5 0 5 0 475 0 578 5 ē () 0 855 65 0 046 875 0 4065 00 556 5 0 070 5 0 787 5 0 5 0 475 0 578 5 0 070 x () ē () 0 0 5 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 5 0 0 994 5 0 6464 844 0 449 875 0 994 5 0 6464 844 0 449 875 0 855 65 0 046 875 0 4065 0 855 65 0 046 875 0 4065 0 5 0 475 0 578 5 004968 75 x (4) 0 0 5 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 5 0 0 964 58 0 570 899 0 4847 656 0 994 5 0 6464 844 0 449 875 ē (4) 00 99 45 0 5 0 475 0 578 5 La precisión buscada se alcanza en 5 pasos (ver Resolución con Maple) Ejercicio 9 Sea A µ a a Queremos resolver el sistema Ax b iterativamente mediante la fórmula µ µ 0 x (n) 0 a x a 0 0 (n) b para qué valores de a podemos asegurar que el método converge?

Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales 5 Se trata del método de Gauss-Seidel La matriz que define el método es µ 0 N a M µ 0 a Si exigimos kmk < resulta y obtenemos a < µ N 0 a µ µ 0 a 0 a 0 0 0 a kmk max ½ a < a < ³ a a Ejercicio 0 Dados los vectores α x 098 97 e α x 4 405 calcula: kαk kαk kαk kek kek kek () kαk 7 kαk kαk 4 () e 098 97 4 405 00 00 005 kek 0 kek 00 6644 4 kek 005 Ejercicio Demuestra que kxk es una norma es decir que para todo x y R n y λ ~ R se cumple kxk 0 kxk 0si y solo si x ~0 kλ xk λ kxk 4 kx yk kxk kyk

Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales 6 Sea x x x x n y () kxk max{ x x x n } 0 () kxk 0si y solo si x j 0para toda j por lo tanto x 0 ()kλ xk max{ λx λx λx n } λ max{ x x x n } λ kxk (4) y y y n kx yk max{ x y x y x n y n } max{ x y x y x n y n } max{ x x x n } max{ y y y n } Ejercicio Dada la matriz y el vector 0 0 0 M 0 0 0 e (0) 0 0 0 Verifica que se cumple kmk < Suponiendo que se cumple e (j) Me (j) calcula una cota superior para e (5) ; verifica el resultado () kmk 0 5 () Tendremos e (5) (kmk ) 5 e (0) (0 5) 5 0065 Si calculamos e (5) resulta 0000 45 e (5) 0000 67 e (5) 000067 0000 64 Ejercicio Una matriz a a a n a a a n a n a n a nn es dominante diagonal estricta si para cada fila el valor absoluto del elemento de la diagonal es mayor que la suma de valores absolutos de los restantes elementos de la fila esto es a ii > a i ai(i ) ai(i) ain Sean A y B matrices de orden n con dominancia diagonal estricta

Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales 7 Es ( A) dominante diagonal estricta? Es A T dominante diagonal estricta? Es A B dominante diagonal estricta? () Sí en la definición de dominancia diagonal estricta se toma el valor absoluto de los elementos de la matriz por lo tanto el cambio de signo no afecta () No necesariamente tomemos como ejemplo la matriz A 5 6 4 4 8 Esta matriz es dominante diagonal estricta pues 5 > 6 > 8 > 44 Sin embargo para A T 5 4 6 4 8 tenemos 5 < 4 () No necesariamente al sumar pueden producirse cancelaciones en la diagonal Tomemos por ejemplo µ µ 5 5 A B 5 5 ambas matrices tienen dominancia diagonal estricta sin embargo µ 0 A B 0 no es dominante diagonal estricta Ejercicio 4 Consideramos el sistema lineal Ax b donde A es matriz cuadrada de orden n Demuestra que si A es de dominante diagonal estricta entonces el método de Jacobi es convergente (Por simplicidad resuelve el caso n )

Francisco Palacios Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales 8 Tomamos la matriz de coeficientes del sistema A a a a a a a a a a La matriz que define el método de Jacobi es N a 0 0 0 a 0 0 0 a Si la matriz A es dominante diagonal estricta los elementos a ii son no nulos y por lo tanto N es invertible N a 0 0 0 a 0 0 0 a P N A 0 a a a 0 a a a 0 M N a 0 0 P 0 a 0 0 a a a 0 a 0 0 a a a 0 0 a a a a a a 0 a a a a a a 0 µ a a kmk max a a a a a a a Si la matriz A es dominante diagonal estricta obtenemos kmk < y el método iterativo es convergente