Pontificia Universidad Católica Escuela de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial y de Sistemas Clase 8 Nociones Básicas de Convexidad ICS 1102 Optimización Profesor : Claudio Seebach Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Introducción al Modelamiento 91 Función Cuasi-Convexa Definición 6 (Función cuasi-convexa) Si D es una parte convexa de R n, una función f : D R se dice cuasi-convexa sobre D si: f(z) max{f(x), f(y)} x, y D, x y, z ]x, y[. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Introducción al Modelamiento 92
Funciones Convexas Las funciones convexas presentan favorables propiedades al optimizar. Por ejemplo, un punto mínimo local es siempre mínimo global. Sin embargo no necesariamente este óptimo será único. Por ejemplo la función f(x) en la figura tiene varias soluciones óptimas. "#$% "#$%#&"'()'*"+%,-"#)*'./&-01* Así, surge la necesidad de definir las funciones estrictamente convexas. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Introducción al Modelamiento 93 Funciones Estrictamente Convexas Definición 7 (Función estrictamente convexa) Sea f(x) : D R, con D convexo. Entonces, f(x) es estrictamente convexa sobre D si: f((1 λ)x 1 + λx 2 )) < (1 λ)f(x 1 ) + λf(x 2 ) x 1, x 2 D, λ [0, 1]. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Introducción al Modelamiento 94
Casos Especiales "#$% "#$% $ $ & $ ' "# $# (a) : Toda función lineal f(x) = ax + b es cóncava y convexa a la vez, pero ni estrictamente cóncava ni estrictamente convexa. (b) : La función localmente cerca de x 1 es cóncava y localmente cerca de x 2 es convexa. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Introducción al Modelamiento 95 Criterios prácticos de convexidad de funciones Sea f(x) = f(x 1, x 2,..., x n ) continua y dos veces diferenciable. Su matriz Hessiana será: H = x 2 1 x 2 x 1 x 1 x 2... x 2 2.... x n x 1 Esta matriz es simétrica. por qué? x 1 x n x 2 n Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Introducción al Modelamiento 96
Caracterización de la matriz Hessiana Matrices menores de una matriz: Los determinantes de las matrices menores se denominan i. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Introducción al Modelamiento 97 Caracterización de la matriz Hessiana Definición 8 Caracterización de la matriz Hessiana 1. Si i > 0 i H es definida positiva. Para cualquier vector d en R n se cumple que ( d) T H d > 0. 2. Si i 0 i H es semidefinida positiva. Para cualquier vector d en R n se cumple que ( d) T H d 0. 3. Si i < 0 i impar y i > 0 i par. (i.e. 1 < 0, 2 > 0, 3 < 0,...,) H es definida negativa. Para cualquier vector d en R n se cumple que d T Hd < 0. 4. Si i 0 i impar y i 0 i par. (i.e. 1 0, 2 0, 3 0,...,) H es semidefinida negativa. Para cualquier vector d en R n se cumple que d T Hd 0. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Introducción al Modelamiento 98
Caracterización de una Función Convexa Definición 9 Sea f( x) dos veces diferenciable sobre D, con D R n y convexo. Entonces f( x) es convexa sobre D si y solo si D 2 f(x) = H es semidefinida positiva x D. Equivalentemente: d T D 2 f(x)d 0, d R n, x D. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Introducción al Modelamiento 99 Caracterización de una función convexa Ejemplo: Sea f(x 1, x 2 ) = 2x 1 3x 2 + x 4 1 + x 1 x 2 + x 2 2. Las derivadas parciales son: y las segundas derivadas serían: x 2 = 12x 2 1 1 De esta forma, la matriz Hessiana es: f x 1 = 2 + 4x 3 1 + x 2 f x 2 = 3 + x 1 + 2x 2 x 1 x 2 = 1 H = [ ] 12x 2 1 1. 1 2 x 2 x 1 = 1 x 2 = 2. 2 Los determinantes menores son 1 = 12x 2 1, no negativo para todo punto del dominio, y 2 = 24x 2 1 1. Pero, 2 0? Sólo si x 2 1 1 24, es decir, si x 1 1 24. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Introducción al Modelamiento 100
Caracterización de una función convexa " f(x) es convexa sobre todo dominio convexo construido en la región achurada: " # " # "# " f(x) no es convexa sobre toda la región achurada, ya que esta región no es convexa. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Introducción al Modelamiento 101 Caracterización de una función convexa Proposición 9 Si D es una parte convexa de R n y D 2 f(x) es definida positiva, es decir, d T D 2 f(x)d > 0, d R n, d 0, entonces f(x) es estrictamente convexa sobre D. Importante, la relación es causal: Si el Hessiano es definido positivo la función es estrictamente convexa Si la función es estrictamente convexa el Hessiano es definido positivo Ejemplo: f(x) = x 4 es estrictamente convexa, D 2 f(x) = 12x 2 no es definida positiva en x = 0. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Introducción al Modelamiento 102
Ejercicios resueltos Considere el siguiente problema de optimización: P ) min x 2 + y 2 + z 2 6000(x + y + z) s.a x + 2y + 4z 4000 x, y, z 0 Función objetivo cuadrática, estrictamente convexa. Su matriz Hessiana: 2 0 0 D 2 f(x, y, z) = 0 2 0 = H 0 0 2 H es definida positiva f(x, y, z) es estrictamente convexa. D es un dominio acotado, cerrado y no vacío P ) admite solución óptima. D es convexo y f( ) es estrictamente convexa P ) admite solución óptima única. Apuntes de Clases Optimización Claudio Seebach Introducción al Modelamiento 103