Programación lineal: maximización Enunciado del problema. «La empresa Snowskate fabrica y distribuye numerosos artículos deportivos. Ella ha lanzado recientemente la fabricación de dos productos nuevos: dos modelos de tablas de surf especialmente concebidas para deslizar sobre las superficies sintéticas. Los empresarios de Snowskate han constatado que los centros turísticos y parques de atracción son cada vez más numerosos y están dotados de pistas sintéticas y desean posicionarse sobre ese sector de punta. Los dos modelos llamados «speeder» y «quickly» pasan sucesivamente por tres talleres situados en línea: Taller 1: Fabricación de un soporte a partir de materiales sintéticos. Taller 2: Baño en fibra de vidrio. Taller 3: Pintura, terminación y acondicionamiento. La fabricación del modelo speeder necesita 2 horas de trabajo en el taller 1, 3 horas en el 2 y 2 horas en el 3. Una unidad del modelo quickly necesita 2 horas en el taller 1, 2 horas en el 2 y 4 horas en el 3. Las capacidades de cada taller están limitadas a 70 horas de trabajo por semana, el resto de la capacidad de producción estando consagrado a otros productos. El margen sobre el costo variable unitario realizado sobre la venta de cada modelo es respectivamente de 30 US$ y de 40 US$. 1) Determinar las cantidades óptimas de cada modelo a producir para maximizar el margen sobre el costo variable total. 2) Los empresarios pueden aumentar la capacidad de producción de un sólo taller de 10 horas por semana. Qué taller deben elegir para maximizar el margen sobre el costo variable?» Traducción de la situación x 0 natural y 0 natural Restricciones: 2x + 2y 70 3x + 2y 70 2x + 4y 70 Cantidad a maximizar: 30x + 40y Resolución con la ayuda de EXCEL Primera solución: Estudio de las líneas de nivel de 30x + 40y donde se toman en cuenta las restricciones con la función: «SI ENTONCES. SI NO» de EXCEL. La fórmula utilizada en la celda B2 y copiada hacia abajo y luego la derecha es: SI(((2*B$1+2*$A2)<=70)*Y((3*B$1+2*$A2)<=70)*Y((2*B$1+4*$A2)<=70);30*B$1+40*$A2;" ") Ella permite: Si (2x + 2y 70 2x + 2y 70 2x + 2y 70) es verdadera registrar el valor 30x + 40y y un espacio en blanco en el caso contrario. Es suficiente entonces observar que (17; 9) es el par de números que maximizan 30x + 40y. Actividades Programación Lineal. Grupo Mosaicos. 1
2) El uso de la planilla permite considerar los diferentes escenarios: Aumento de la capacidad del primer taller Solamente la primera expresión de la restricción está modificada y se obtiene: (2*B1+2*A2)<=80) Actividades Programación Lineal. Grupo Mosaicos. 2
Aumento de la capacidad del segundo taller Solamente la segunda restricción está modificada y se obtiene: (3*B1+2*A2)<=80) Aumento de la capacidad del tercer taller Solamente la tercera expresión de la restricción está modificada y se obtiene: (2*B1+4*A2)<=80) El margen sobre el costo variable será máximo aumentando la producción del tercer taller. El será entonces de 940 US$ para una producción de 14 tablas del modelo speeder y de 13 del modelo quickly. Actividades Programación Lineal. Grupo Mosaicos. 3
Segunda solución: Utilización de la función SOLVER de EXCEL. La función SOLVER de EXCEL permite determinar las cantidades óptimas de cada modelo a producir por semana para maximizar el margen sobre el costo variable total. Primera etapa: construcción de la hoja de cálculo (duración en horas). Segunda etapa: test de validez de la hoja de cálculo tomando valores naturales en su lugar y colocando cantidades óptimas de los modelos speeder y quickly; verificación del valor del margen y de las capacidades utilizadas en los talleres 1, 2 y 3. Ejemplo en el caso de las cantidades respectivas 10 y 11. Tercera etapa: los resultados obtenidos en la etapa precedente no corresponden a la solución óptima; la utilización de la función solver (menú «herramientas», luego menú «solver») permite maximizar el margen sobre el costo variable total. Entrar los parámetros de solver: Actividades Programación Lineal. Grupo Mosaicos. 4
Cliquear sobre el botón «opciones» y verificar que la casilla «adoptar modelo lineal» está tildada. Es entonces posible resolver la pregunta 2 modificando las capacidades máximas de los talleres. Ejercicio 1 Maximiza la función f(x; y) = 3x + 2y sujeta a las restricciones del recinto determinado por el sistema siguiente: x + y 60 2x + y 100 x + 3y 120 x 0 y 0 Respuesta: f(40; 20) = 160 Ejercicio 2 Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transportes tiene 8 buses de 40 asientos disponibles y 10 buses de 50 asientos disponibles, pero solo dispone de nueve conductores. El alquiler de un bus grande cuesta US$ 80 y el de uno pequeño, US$ 60. Calcula cuantos buses de cada tipo hay que alquilar para que los gastos sean mínimos para la escuela. Respuesta: 4 grandes y 5 pequeños. Ejercicio 3 Una fábrica de muebles fabrica dos tipos de sillones, S 1 y S 2. La fábrica cuenta con dos secciones; carpintería y tapicería. Hacer un sillón de tipo S 1 requiere 1 hora de carpintería y 2 de tapicería, mientras que uno de tipo S 2 requiere 3 horas de carpintería y 1 de tapicería. El personal de tapicería trabaja un total de 80 horas, y el de carpintería 90. Las ganancias por las ventas de S 1 y S 1 (unidad) son, respectivamente 60 y 30 dólares. Calcula la máxima ganancia. Respuesta: 2400. Actividades Programación Lineal. Grupo Mosaicos. 5