= =

FACTORIZACIÓN 31 Factorización La factorización corresponde al proceso lógico mediante el cual se expresa un objeto o número a como el producto de otros objetos o números más simples llamados factores). Aplicada ésta noción a los números, nos permite entender que la factorización es la parte esencial del teorema fundamental de la aritmética; el cual nos garantiza que todo número entero positivo n Z se puede representar de forma única como el producto de sus factores primos, salvo por el orden de los mismos. Ejemplo 4. 1. 108 = 2 2 3 3 648 = 2 3 3 4 1125 = 3 2 5 3 4. 16875 = 3 3 5 4 yaquí, cada número base, en el miembro derecho de cada igualdad, es un factor múltiples veces. Veamos algunos casos de factorización, con ejemplos ilustrativos de los mismos. 4. Casos de Factorización En una expresión algebraica de tipo binomio, trinomio y/o polinomio, podemos identificar y extraer un elemento, llamado el factor común ; por ser el múltiplo con el menor exponente y el divisor común de los coeficientes de la expresión. 4.1. Factor común en los términos de un polinomio Factor común monomio Si en una expresión algebraica encontramos un factor común, y éste está constituido por un término, entonces decimos que en la expresión hay un factor común que es monomio. Ejemplo 5. 1. 2a 3 3a = a 2a 2 3)

32 CAPÍTULO FACTORIZACIÓN 3a 2 6a =3a a 2) 2a 4ab +6abc =2a 1 2b +3bc) Éste es el caso del factor de cada paréntesis. Ejercicio 6. 1. am + fm 2x +3x 2 2a 2 b 2 +3a 3 b 3 c 4. a 2 +2ax 3 5. 5m 2 +10m 6. xy 2 2x 2 y 7. 3x 2 y 3 6y 2 z 6 8. ax bx 2 + cx 3 dx 4 9. 3a 2 b +6ab 2 5a 3 b +8a 2 bx 10. 25x 3 10x 5 +15x 7 Factor común polinomio Sí en una expresión algebraica encontramos como factor común, una suma de elementos; entonces decimos que en la expresión hay un factor común que es polinomio. 1. 2 a +3)x 3 3b a +3)=a +3)2 3b) 3x a 2 2) 5b a 2 1) = a 2 1) 3x 5b) 2a 1 x + y) 3b 1 x + y)+5xc 1 x + y) =1 x + y)2a 3b +5xc) Ejercicio 7. En las siguientes expresiones, identífique cuales de ellas tienen como factor común un polinomio y luego factorize. 1. an a b)+fma b) 2x a + b + c)+3x 2 a + b + c) 2a 2 x + y + z)+3a 3 b 3 x + y + z) 4. a 2 a + b)+2ax 3 1) a + b) 5. 5m 2 a + bx + cy)+a + bx + cy)10m + n)

4. CASOS DE FACTORIZACIÓN 33 6. xy 2 a + b) x 2 y a + b) 7. 3x 2 y 3 ax + bz) 6y 2 z 6 ax + bz) 8. ax a + b) bx 2 a + b)+cx 3 a + b) dx 4 a + b) 9. 3a 2 b a + b c)+6ab 2 a + b c) 5a 3 b a + b c)+8a 2 bx a + b c) 10. 25 x 1) 10x 5 x 1) + 15x 7 x 1) 4. Factor común por agrupación de términos Para factorizar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos o más características las que se repiten. para ello, se identifica el número de términos comunes, y para resolverlo, se agrupa cada una de las características. Ejemplo 6. 1. ab + ac + bd + dc = ab + ac)+bd + dc) ab + c)+db + c) = a + d)b + c) 2a 2 3ab 4a +6b = 2a 2 3ab ) 4a 6b) a 2a 3b) 22a 3b) = 2a 3b)a 2) 3ax 3x +4y 4ay + ax 2 x 2 = 3ax 3x)+4y 4ay)+ ax 2 x 2) 3x a 1) + 4y 1 a)+x 2 a 1) = 3x + x 2) a 1) 4y a 1) = a 1) x 2 +3x 4y ) Ejercicio 8. En las siguientes expresiones, identifique términos comunes yluegoagrupe.

34 CAPÍTULO FACTORIZACIÓN 1. 2x 2 + xy + ax + ay a 2 x 2 + a x 2 a 4a 3 1 a 2 +4a 4. am bm 2 + an bmn 5. 1 + a +3ab +3b 6. 6ax +3a +1+2x 7. 3abx 2 2y 2 2x 2 +3aby 2 8. 3x 3 9ax 2 x +3a 9. 2a 2 x 5a 2 y +15by 6bx 10. 6m 9n +21nx 14mx 4. Trinomio cuadrado perfecto Sabemos que cuando una cantidad es el producto de dos factores iguales, entonces la misma es un cuadrado perfecto. Ahora bien, cuando el producto es de dos binomios iguales, entonces se obtiene un trinomio que se caracteriza como trinomio cuadrado perfecto. x + y)x + y) =x 2 +2xy + y 2 1) Cuando vemos un trinomio, podemos analizarlo para certificar si es o no cuadrado perfecto. Basta con verificar que dos términos sean cuadrados perfectos y el tercero es el doble producto de las raices cuadradas de dichos términos. Ejemplo 7. 1. 4x 2 +12xy +9y 2 =2x +3y)2x +3y) 9a 2 6ab + b 2 =3a b)3a b) Ejercicio 9. Verifique cuales de las siguientes expresiones, tienen la forma de trinomios cuadrados perfectos. 1. a 2 +2ab + b 2 a 2 +2a +1 4 + 4b + b 2 4. x 2 +6x +9 2 5. 36x 2 12xy + y 2 6. 9a 2 +18ab +9b 2 7. 1 2y 3 + y 6 a 8. 2 + 2 ab + b2 9 3 9. 225a 4 +30a 2 b + b 2 10. a + b) 2 2a + b)x a) + x a) 2

4. CASOS DE FACTORIZACIÓN 35 4.4. Diferencia de cuadrados Como su nombre lo expresa, se trata de la diferencia o resta de dos elementos; cada uno de los cuales está elevado al cuadrado. x 2 y 2 2) En el método de resolución o expansión de está diferencia factorización); nos apoyamos en el uso de dos binomios: uno conjugado aritmético del otro. ellos están conformados por las raíces de los elementos cuadrados, y se multiplican entre si. Dicha operación, queda de la forma: Ejemplo 8. x 2 y 2 =x y)x + y) 3) 1. 1 a 2 = 1 a 2 ) ) 1 + a 2 = 1 a)1+a) a 2 x 2 = a 2 ) x 2 a 2 + ) x 2 = a x)a + x) 9x 2 16y 2 = 9x 2 ) 16y 2 9x 2 + ) 16y 2 = 3x 4y)3x +4y) x 2m y 2n = x 2m ) y 2n x 2m + ) y 2n = x m y n )x m + y n ) Ejercicio 10. Factorizar las siguientes expresiones:

36 CAPÍTULO FACTORIZACIÓN 1. a 2 b 2 4x 2 9y 2 25a 2 36b 2 4. a 2m b 2n,sim =2 n =4 5. 25a 2m 36b 2n 6. ) 1 2 1 2 a b) = 7. 4 a 2 9 b 2 = 8. 1 1 = x 2 y 2 9. 25a 2 b 4 c 6 x 2 = 10. x + y) 2 a 2 11. 9y 2n 1 b 2 4.5. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción Ya hemos visto como se factoriza un trinomio cuadrado perfecto, cuando eéte está completo. Sin embargo en un caso general podemos tenerlo incompleto; en cuyo caso bastará con revisarlo y completarlo para luego organizarlo y factorizarlo, veamos: Ejemplo 9. 1. x 4 x 2 +1,comoestá incompleto, es necesario revisar que hace falta para tener un trinomio cuadrado perfecto, y luego proceder a la complementación de lo que se tiene. hace falta un factor dos 2 en el segundo sumando, para tener el doble producto de las raíces de los otros dos términos. En éste caso basta agregar un sumando x 2 yluegorestarlo; x 4 x 2 +1 ) + x 2 x 2 = x 4 2x 2 +1 ) + x 2 4) Así tendremos como resultado final, un trinomio cuadrado perfecto, más un témino adicional: x 4 2a 2 +1 ) + x 2 = x 2 1 ) 2 + x 2 5) 4x 4 +8x 2 y 2 +9y 4 = 4x 4 +8x 2 y 2 +9y 4) +4x 2 y 2 4x 2 y 2 4x 4 +12x 2 y 2 +9y 4) 6x 2 y 2 = 2x 2 +3y 2)2 4x 2 y 2 [2x +3y) 2xy][2x +3y)+2xy] = 2x 2xy +3y)2x +2xy +3y)

4. CASOS DE FACTORIZACIÓN 37 m 4 + m 2 n 2 + n 4 = m 4 + m 2 n 2 + n 4) + m 2 n 2 m 2 n 2 m 4 +2m 2 n 2 + n 4) m 2 n 2 = m 2 + n 2) 2 m 2 n 2 [ m 2 + n 2) mn ][ m 2 + n 2) + mn ] = m 2 mn + n 2) m 2 + mn + n 2) m 4 + m 2 n 2 + n 4 = m 4 + m 2 n 2 + n 4) + m 2 n 2 m 2 n 2 m 4 +2m 2 n 2 + n 4) m 2 n 2 = m 2 + n 2)2 m 2 n 2 [ m 2 + n 2) mn ][ m 2 + n 2) + mn ] = m 2 mn + n 2) m 2 + mn + n 2) Ejercicio 11. Verifique las expresiones siguientes y donde sea necesario complete el trinomio cuadrado y luego factorice. 1. x 4 +2x 2 +9 4a 4 3a 2 b 2 +9b 4 a 8 4a 4 b 4 +16b 8 4. 16m 4 25m 2 n 2 +9n 4 5. 36a 4 109a 2 b 2 +49b 4 6. c 4 45c 2 + 100 7. 49 + 76b 2 +64b 4 8. 4 108x 2 + 121x 4 9. a 8 +16 9c 4 10. 4a 4 y 4 +43a 2 y 2 + 121 4.6. Trinomio de la forma x 2 bx + c Para factorizar un trinomio de dicha forma; procedemos de la siguiente manera: a) Se descompone el mismo en el producto de dos binomios; en cada uno de los cuales el primer término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio arriba descrito, x. b) En el primer factor binomio, el signo del segundo término a definir, es el mismo signo del segundo término del trinomio. En el segundo factor binomio, el signo del segundo término a definir, corresponde al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio.

38 CAPÍTULO FACTORIZACIÓN c) Segundos términos de los dos binomios. Sí son iguales los signos de los segundos términos de los dos binomios, se buscan dos números cuya suma sea igual al valor absoluto del segundo término del trinomio, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del tercer término del trinomio. d) Para el caso anterior, si los signos son opuestos; la diferencia de los dos números buscados deberá dar el valor absoluto del segundo término del trinomio y su producto será el valor absoluto del tercer témino. En tal caso, el número mayor será el segundo término del primer binomio factor. Ejemplo 10. 1. x 2 3x 10 = x...)x +...) x 2 3x 10 = x 5) x +2) x 2 7x +12 = x...)x...) = x 4) x 3) x 2 13x +40 = x...)x...) x 2 13x +40 = x 8) x 5) Ejercicio 1 Factorice las siguientes expresiones 1. a 2 3a +2 x 2 7x +6 x 2 +7x +6 4. x 2 4x +3 5. a 2 8a +12 6. x 2 6x 16 7. y 2 y +30 8. x 2 +28 11x 9. x 2 13x 30 10. m 2 20m + 300

4. CASOS DE FACTORIZACIÓN 39 4.7. Trinomio de la forma ax 2 + bx + c Para factorizar un trinomio de dicha forma; procedemos de la siguiente manera: a) Se multiplican los tres términos del trinomio por el coeficiente de su primer término, quedando así un nuevo trinomio diferente al primero; Al final habrá que rectificar ésto). a 2 x 2 + abx + ac 6) b) Se descompone el nuevo trinomio en el producto de dos binomios; en cada uno de los cuales el primer término es la raíz cuadrada del primer término de éste trinomio, ax. y se procede como se hizo en el caso anterior. ax +...)ax +...) 7) c) Al final y para recuperar el trinomio original, se debe dividir el resultado por el coeficiente del primer término del trinomio inicial. Ejemplo 11. 1. 4x 2 3x 10 = 4 2 x 2 34x) 410) = 4x 8) 4x +5) 16x 2 12x 40 = 4x 8) 4x +5) 16x 2 12x 40 4x 8) 4x +5) = 4 4 4x 2 3x 10 = x 2) 4x +5) 6a 4 +5a 2 6 = 6a 2 )2 +5 6a 2) 36 = 6a 2 +9 ) 6a 2 4 ) 6a) 2 +56a 2 )+36 = 6a2 +9)6a 2 4) 6 2 3 6a 4 +5a 2 6 = 2a 2 +3 ) 3a 2 2 )

40 CAPÍTULO FACTORIZACIÓN 9x 2 3x 20 = x...)x +...) 9x) 2 39x) 180 = 9x 15) 9x + 12) 9x) 2 39x) 180 9x 15) 9x + 12) = 9 3 3 9x 2 3x 20 = 3x 5) 3x +4) Ejercicio 1 1. 18x 2 13x 5 6a 2 7a 3 6a 4 +5a 2 6 4. 15x 2 ax +2a 2 5. 14a 2 45a 14 6. 7x 6 33x 3 10 7. 6x 2 y 2 +5xy 21 8. 10a 2 +7a 12 9. 5 + 7x 4 6x 8 10. 6m 2 13mx 15x 2 4.8. Diferencia de cubos Como su nombre lo expresa, se trata de la diferencia o resta de dos términos; cada uno de los cuales está elevado al cubo; es decir, un binomio con dos cubos perfectos. x 3 y 3 8) En el método de resolución o expansión de está diferencia; factorización), procedemos de la siguiente manera: generamos dos grandes factores, así: a) Un binomio como primer factor; compuesto por la diferencia de las raíces cúbicas del binomio inicial. b) Un trinomio que contiene el cuadrado de la primera raíz sumado al cuadrado de la segunda raíz y al producto de las dos raíces. x 3 y 3 =x y) x 2 + xy + y 2) 9)

4. CASOS DE FACTORIZACIÓN 41 1. a 3 x 3 = a x) a 2 + ax + x 2) 8x 3 27y 3 = 2x 3y) 4x 2 +6xy +9y 2) 3 x 3m y 3n = x 3m 3 ) x y 3n 2m + x m y n + y 2n) = x m y n ) x 2m + x m y n + y 2n) Ejercicio 14. Factorizar las siguientes expresiones: 4. a 3 b 3 5. 27x 3 8y 3 6. 64a 3 125b 3 7. a 3n b 3n 8. 10a 3m 20b 3n 9. ) 1 3 ) 1 3 a b 8 10. 64 a 3 b 3 11. 1 x 3 1 y 3 4.9. Suma de cubos Como su nombre lo expresa, se trata de la suma o adición de dos términos; cada uno de los cuales está elevado al cubo; es decir, un binomio con dos cubos perfectos. x 3 + y 3 10) En el método de resolución o factorización de está diferencia; procedemos de la siguiente manera: generamos dos grandes factores, así: a) Un binomio como primer factor; compuesto por la suma de las raices cúbicas del binomio inicial. b) Un trinomio que contiene el cuadrado de la primera raíz sumándole el cuadrado de la segunda raíz y restando el producto de las dos raices del binomio inicial:

42 CAPÍTULO FACTORIZACIÓN x 3 + y 3 = x 2 + y 2) x xy + y) 11) Ejemplo 1 1. a 3 + x 3 = a + x) a 2 ax + x 2) 8x 3 +27y 3 = 2x +3y) 4x 2 6xy +9y 2) 3 x 3m + y 3n = x 3m + 3 ) x y 3n 2m x m y n + y 2n) = x m + y n ) x 2m x m y n + y 2n) Ejercicio 15. Factorizar las siguientes expresiones: 4. a 3 + b 3 5. 27x 3 +8y 3 6. 64a 3 + 125b 3 7. a 3n + b 3n 8. 10a 3m +20b 3n 9. 1 3 a) + 1 3 b) = 10. 8 + 64 = a 3 b 3 11. 1 + 1 = x 3 y 3