EQUACIONS. 4. Problemes d equacions.

EQUACIONS 1. Conceptes bàsics. 1.1. Definició d igualtat algebraica. 1.. Propietats de les igualtats algebraiques. 1.. Definició d identitat. 1.4. Definició d equació. 1.5. Membres i termes d una equació. 1.6. Grau d una equació. 1.7. Solucions d una equació. 1.8. Equacions equivalents. 1.9. Tipus d equacions. 1.10. Classificació de les equacions segons les seves solucions.. Equacions de primer grau..1. Resolució d equacions de primer grau... Resolució d equacions de primer grau amb parèntesis... Resolució d equacions de primer grau amb denominadors..4. Resolució d equacions de primer grau amb parèntesis i denominadors.. Equacions de segon grau..1. Definició d equació de segon grau... Equacions de segon grau completes... Equacions de segon grau incompletes..4. Estudi de les solucions de les equacions de segon grau..5. Propietats de les solucions de les equacions de segon grau..6. Factorització d una equació de segon grau. 4. Problemes d equacions. 1

1.- CONCEPTES BÀSICS. 1.1.- DEFINICIÓ D IGUALTAT ALGEBRAICA. Una igualtat algebraica està formada per dues expressions algebraiques separades pel signe igual. Les lletres que apareixen en les igualtats algebraiques reben el nom de variables o incògnites. Exemples: 7x 5 = 4x + 4 6ab x y + 4z = 5a 4 b + 8 5x 1..- PROPIETATS DE LES IGUALTATS ALGEBRAIQUES. Aquestes propietats són unes regles que ens permeten operar amb les expressions algebraiques per tal d obtenir altres expressions que són equivalents, generalment més senzilles. Regla de la suma: si sumem o restem als dos membres d una expressió algebraica un mateix nombre o expressió, obtenim una nova expressió algebraica, equivalent a la primera. Exemple: 7x 5 = 4x + 4 7x 5 + 5 = 4x + 4 + 5 7x = 4x + 9 Les expressions 7x 5 = 4x + 4 i 7x = 4x + 9 són equivalents.

Regla del producte: si multipliquem o dividim els dos membres d una expressió algebraica per un mateix nombre o expressió que sigui diferent de zero, obtenim una nova expressió algebraica, equivalent a la primera. Exemple: 7x 5 = 4x + 4 (7x 5) = (4x + 4) 14x 10 = 8x + 8 Les expressions 7x 5 = 4x + 4 i 14x 10 = 8x + 8 són equivalents. Transposició de termes: consisteix a passar termes d un membre de la igualtat algebraica a l altre membre, amb l objectiu d obtenir una nova igualtat algebraica, que és equivalent a l inicial. En la transposició de termes cal tenir en compte dues coses: Un terme que està sumant passa a l altre costat del signe igual restant, i si està restant passa sumant. Exemple: 7x 5 = 4x + 4 7x 4x = 4 + 5 Les expressions 7x 5 = 4x + 4 i 7x 4x = 4 + 5 són equivalents. Un terme que està multiplicant passa a l altre costat del signe igual dividint, i si està dividint passa multiplicant. Exemple: (x ) = x + 4 x = x 4 Les expressions 7x 5 = 4x + 4 i x = x 4 són equivalents.

1..- DEFINICIÓ D IDENTITAT. Una identitat és una igualtat algebraica que és certa per a qualsevol valor de les incògnites. Exemple: (x + 5) = 15 + x Si substituïm les x per 1, per exemple, la igualtat és certa: ((1) + 5) = 15 + (1) (6) = 15 + 18 = 18 Si substituïm les x per, per exemple, la igualtat també és certa: (() + 5) = 15 + () (7) = 15 + 6 1 = 1 1.4.- DEFINICIÓ D EQUACIÓ. Una equació és una igualtat algebraica que és certa únicament per a alguns valors de les incògnites. Exemple: 7x = 5x Aquesta igualtat només es compleix quan x = 1, perquè si substituïm les x per 1 la igualtat és certa: 7 (1) = 5 (1) 7 = 5 5 = 5 Si substituïm les x per qualsevol altre valor la igualtat no es compleix. Per exemple agafem x = : 7 () = 5 () 14 = 10 7 10 4

1.5.- MEMBRES I TERMES D UNA EQUACIÓ. Els membres d una equació són les expressions algebraiques que apareixen a cada costat del signe igual. Els termes d una equació són els sumands que formen cada membre. Exemple: 1.6.- GRAU D UNA EQUACIÓ. El grau d una equació és el grau del terme de grau més gran de l equació. Exemples: x 5x = 1 + 4x grau 7x + 1 = x + 9 grau 1 5x xy = 1 + 6y grau, perquè el terme xy és de grau 5

1.7.- SOLUCIONS D UNA EQUACIÓ. Les solucions d una equació són els valors de les incògnites que fan que la igualtat sigui certa. Exemples: 7x = 5x Aquesta igualtat només es compleix quan x = 1, perquè si substituïm les x per 1 la igualtat és certa: 7 (1) = 5 (1) 7 = 5 5 = 5 x = 1 és solució d aquesta equació x 5x + 6 = 0 Aquesta igualtat només es compleix quan x = i quan x =, perquè si substituïm les x per o bé per la igualtat és certa: () 5 () + 6 = 0 4 10 + 6 = 0 0 = 0 x = és solució d aquesta equació () 5 () + 6 = 0 9 15 + 6 = 0 0 = 0 x = és solució d aquesta equació No hi ha cap més valor de x que pugui ser solució per aquesta equació. Cal dir que una equació pot tenir, com a màxim, tantes solucions com el seu grau. També cal saber que hi ha equacions que no tenen cap solució. 6

1.8.- EQUACIONS EQUIVALENTS. Les equacions equivalents són aquelles que tenen les mateixes solucions. Exemple: 7x + 1 = x + 9 solució x = x 1 = 1 solució x = Les equacions 7x + 1 = x + 9 i x 1 = 1 són equivalents perquè tenen la mateixa solució (que en aquest cas és x = ). 1.9.- TIPUS D EQUACIONS. Les equacions es divideixen en dos grans tipus: polinòmiques i no polinòmiques. EQUACIONS POLINÒMIQUES: 1. Equacions Polinòmiques Enteres. Són equacions del tipus P(x) = 0, on P(x) és un polinomi. Per saber realment el grau d aquestes equacions primerament cal operar, simplificar i transposar termes. 1.1. Equacions de primer grau o lineals: ax + b = 0, amb a 0. 1.. Equacions de segon grau o quadràtiques: ax + bx + c = 0, amb a 0. 1.. Equacions de grau més gran que dos.. Equacions Polinòmiques Racionals o Fraccionàries. Són equacions del tipus P(x) = 0, on P(x) i Q(x) són polinomis. Q(x). Equacions Polinòmiques Irracionals o Radicals. Són equacions que tenen com a mínim un polinomi dins d un radical. Existeixen diferents possibilitats: n P(x) 0, n P(x) Q(x) 0 P(x), 0, on P(x) i Q(x) són polinomis. n Q(x) 7

EQUACIONS NO POLINÒMIQUES: 1. Equacions Exponencials. Són equacions en què la incògnita apareix a l exponent. Exemples: x + 1 = 81 5 x + 5 x = 10. Equacions Logarítmiques. Són equacions en què la incògnita es veu afectada per un logaritme. Exemples: log5 (x 9) log (x + 1) + log (x + 1) = log (x + ). Equacions Trigonomètriques. Són equacions en què la incògnita es veu afectada per una funció trigonomètrica. Exemples: sin (x) = sec( x) cotan(x) A continuació, mostrem un esquema que resumeix els tipus d equacions que existeixen: 8

1.10.- CLASSIFICACIÓ DE LES EQUACIONS SEGONS LES SEVES SOLUCIONS. Les equacions es poden classificar segons el nombre de solucions que presenten: Equació Compatible Determinada: aquella que presenta un nombre concret i finit de solucions (si és una equació de primer grau només tindrà una solució; si es tracta d una equació de segon grau pot tenir fins a dues solucions; i així successivament). Equació Compatible Indeterminada: aquella que presenta un nombre infinit de solucions (tots els valors de la incògnita faran que es compleixi la igualtat, i per tant es tractarà d una identitat). Equació Incompatible: aquella que no té cap solució..- EQUACIONS DE PRIMER GRAU..1.- RESOLUCIÓ D EQUACIONS DE PRIMER GRAU. Una equació de primer grau és una igualtat en forma d expressió algebraica del tipus ax + b = cx + d és, on a, b, c, d són nombres reals. 9

Per resoldre les equacions de primer grau hi ha diversos procediments (mètode assaig-error, començar pel final, etc.) tot i que el millor mètode per resoldre equacions de primer grau del tipus ax + b = cx + d és aquell que segueix els passos següents: 1) Transposició de termes: es passen els termes amb x a un costat del signe igual i els termes independents a l altre costat, tenint en compte que si un terme canvia de costat del signe igual, canvia de signe. ) Reducció de termes semblants: s operen els termes amb x entre ells, i els termes independents també entre ells. ) Aïllar la incògnita: es deixa la x en un costat del signe igual i el seu coeficient es passa dividint al l altre costat del signe igual, sense canviar de signe. Exemple: resol l equació següent 5x + 5 = x + 1 1) 5x x = 1 5 ) x = 8 ) x = 8 x = 4 Hi ha equacions de primer grau més complexes que les del tipus ax + b = cx + d. Són equacions que contenen parèntesis o denominadors. ACTIVITATS PROPOSADES: 1.- Resol les equacions següents: a) x = 7 f) + 5x = 1 x b) 4x = 8 g) x + 7x = 0 c) 17 + x = 5 h) 6x 45 = 9 d) x 8 = 4 i) 7 1x = e) x 6 = 5 j) 4 + 4x = 4 + 5x 10

..- RESOLUCIÓ D EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB PARÈNTESIS. Abans de realitzar els tres passos cal fer un pas previ, que consisteix a eliminar els parèntesis. Exemple: resol l equació següent 5 (x + 1) = (x + ) + 7 0) 5x + 5 = x + 6 + 7 1) 5x x = 1 5 ) x = 8 ) x = 8 x = 4 ACTIVITATS PROPOSADES: 1.- Resol les equacions següents: a) 1 x = 4x + 5 (4 x) f) (x + 7) (x + 8) = 5 (x + ) b) 7 + ( + x) x = 9 + x g) 6 (x 1) = x + (x ) c) 4 (x + ) = 1 5 (x + 4) h) 4x + (x + 4) = (x + 5) + 7 d) 4x (x + 5) = 4 (x + 5) i) 1 x (x 1) = 5 (1 x) + 7 e) 11 = (x 5) + (x + ) j) (x 5) (x + 4) = 8 11

..- RESOLUCIÓ D EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DENOMINADORS. Abans de realitzar els tres passos, cal eliminar els denominadors, cosa que s aconsegueix reduint a comú denominador (fent el MCM dels denominadors). Exemple: resol l equació següent 5 x 7x 5 x 1 4 6 0) 5 x 7x 5 x 1 MCM denominadors = 1 4 6 (5x) 1x 1 (7x 5) 1 1 1 1 15x 1x + 1 = 14x 10 1) 15x 1x 14x = 10 1 ) 11x = ) x = 11 x = ACTIVITATS PROPOSADES: 1.- Resol les equacions següents: x 4 a) 1 x f) x 8 5 10 b) c) d) e) 1 x x x g) 4 6 x 9 1 x 1 5 5x h) x 1 x x 4 1 x x 1 i) 0 4 x x x x 5 j) 5 9 4 1

.4.- RESOLUCIÓ D EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB PARÈNTESIS I DENOMINADORS. En aquest cas, abans de realitzar els tres passos, cal treure els parèntesis i denominadors. És indiferent treure primer els parèntesis i després els denominadors, o bé fer-ho al revés; el que sí és important, és establir un ordre a l hora d operar. ( x) Exemple: resol l equació següent 4 x 14(x ) 1 6 Operarem traient, en primer lloc, els parèntesis i després els denominadors: 0) 4 x 14x 8 4 6x 1 6 8 x 7 4x 84 4 6x 6 6 6 6 MCM denominadors = 6 8x 7 = 4x 84 ( 4 6x) 8x 7 = 4x 84 + 4 + 6x 1) 8x 4x 6x = 7 84 + 4 ) 56x = 8 ) x = 8 56 x = 7 1 ACTIVITATS PROPOSADES: 1.- Resol les equacions següents: a) x 4 x 4 x 8 x 5 f) 5x 4 x 10 x (x 1) 6 x b) 1 9 g) x 1 x c) (x 1) h) 6 x (x 6) d) x 1 8 4 e) (x 1) 4 x 5 i) j) (x 1) (x ) x (x 7) 6 7 4 1 x 6 4 (x 6) 1 5 1x 1(x ) 1x 1 4 7x x 8 4 (4x ) 5x 5 7 5 x

.- EQUACIONS DE SEGON GRAU..1.- DEFINICIÓ D EQUACIÓ DE SEGON GRAU. Les equacions de segon grau, també anomenades quadràtiques, són equacions on trobem la incògnita elevada al quadrat, i que tenen aquesta forma: ax + bx + c = 0, amb a 0. Les equacions de segon grau tenen, com a màxim, dues solucions...- EQUACIONS DE SEGON GRAU COMPLETES. Les equacions de segon grau completes són aquelles que tenen una expressió general del tipus ax + bx + c = 0, amb a 0, b 0 i c 0. És el cas més habitual de les equacions de segon grau, i es solucionen mitjançant la fórmula següent: x = b b 4 a c a 14

Exemple: x + x 4 = 0 x = ( ) ( ) (1) 4 (1) ( 4) 9 16 5 5 x = / x = 1 = x = 8 / x = 4 Cal dir que la regla de Ruffini també és un mètode vàlid per resoldre algunes equacions de segon grau completes, però no és gaire recomanable. ACTIVITATS PROPOSADES: 1.- Resol les equacions següents: a) x + 5x + 6 = 0 f) (x + 5) = 16 b) x + 11x 6 = 0 g) (x 5) (x + 4) = 0 c) 6x 5x 1 = 6 h) x (1 5x) = 0 d) 4x + 1x 16 = 1x 7 i) ( 5x) (4x + ) = 1 e) 7x 5x + 0 = 5x 5 + x j) (x + 7) ( 5x) = x 15

..- EQUACIONS DE SEGON GRAU INCOMPLETES. Les equacions de segon grau incompletes són aquelles que tenen una expressió general del tipus ax + c = 0, amb a 0 i c 0, o bé del tipus ax + bx = 0, amb a 0 i b 0. Les equacions de segon grau incompletes es poden resoldre mitjançant la fórmula general de les equacions de segon grau completes, tot i que existeixen uns mètodes de resolució que són més ràpids: Cas ax + c = 0 : Es resol com si es tractés d una equació de primer grau, però en aquest cas quedarà aïllada la x en lloc de la x, i per tant caldrà fer una arrel quadrada per trobar les solucions de x. Exemple: 8x = x = x = 4 x = 4 x = i x = 8 Cas ax + bx = 0 : Es resol traient factor comú; aleshores, queden dos termes que es multipliquen i donen zero. Per tant, o és zero un, o és zero l altre. Exemple: x 7x = 0 x (x 7) = 0 x = 0 x 7 = 0 x = 7 / 16

La regla de Ruffini també és un mètode vàlid per resoldre algunes equacions de segon grau incompletes, però no és gaire recomanable. ACTIVITATS PROPOSADES: 1.- Resol les equacions següents: a) 6x 4 = 0 f) x x = 0 b) 7x 7 = 0 g) 6x + x = 0 c) 4x 6 = 0 h) 1x 8x = 0 d) 5x 45 = 0 i) 11x + 11= 0 e) x 147 = 0 j) 9x 16 = 0.4.- ESTUDI DE LES SOLUCIONS DE LES EQUACIONS DE SEGON GRAU. Donada la fórmula general que serveix per resoldre les equacions de segon grau, el radicand, que correspon a l expressió b 4 a c, s anomena discriminant, i es simbolitza amb la lletra grega. 17

El discriminant ens diu si l equació té solució (i en aquest cas, quantes en té) o si no en té: Si b 4ac > 0 l equació té dues solucions, que corresponen a dos nombres reals diferents. Exemple: x + x 4 = 0 x = ( ) ( ).(1) 4.(1).( 4) 9 16 5 5 x = / x = 1 = x = 8 / x = 4 Si b 4ac = 0 l equació té una única solució, que correspon a un mateix nombre real. En aquest cas direm que l equació té una solució doble. Exemple: x 8x + 16 = 0 x = ( 8) ( 8).(1) 4.(1).(16) 8 64 64 8 0 8 0 x = 8 / x = 4 = és la mateixa solució x = 8 / x = 4 En aquest cas direm que l equació x 8x + 16 = té una única solució, que és x = 4. 18

Si b 4ac < 0 l equació no té solució, ja que no hi ha cap nombre real que faci que es compleixi la igualtat. Exemple: x + x + 5 = 0 x = ( ) ( ).(1) 4.(1).(5) 4 0 16 16 no té com a solució cap nombre real. Per tant, diem que l equació x + x + 5 = 0 no té solució real. ACTIVITATS PROPOSADES: 1.- Escriu una equació de segon grau que: a) Tingui dues solucions. b) Tingui una sola solució. c) No tingui solució..- Digues quantes solucions reals tenen aquestes equacions sense resoldre-les: a) 5x x = 0 c) x 5x + 4 = 0 b) x 1x + 0 = 0 d) x + x + 5 = 0.5.- PROPIETATS DE LES SOLUCIONS DE LES EQUACIONS DE SEGON GRAU. Si sumem les solucions de les equacions de segon grau obtenim un resultat que té una relació molt directa amb els coeficients de l equació ax + bx + c = 0. Si multipliquem les solucions també existeix una relació d aquest tipus. A més, a partir de les solucions d una equació de segon grau es pot arribar a obtenir l equació inicial ax + bx + c = 0. 19

Suma de les solucions: La suma (que simbolitzem amb la lletra S) de les solucions d una equació de segon grau del tipus ax + bx + c = 0, sempre dóna b/a: Demostració: S = x 1 + x = b a S = x 1 + x = b b 4 a c a b b 4 a c a b b b a a S = b a Producte de les solucions: El producte (que simbolitzem amb la lletra P) de les solucions d una equació de segon grau del tipus ax + bx + c = 0, sempre dóna c/a: Demostració: b b 4 a c b P = x 1 x b 4 a c = P = a c a a 4ac a P = x 1 x = a c Construcció d una equació de segon grau a partir de les seves solucions: Si coneixem les solucions (x 1 i x ) d una equació de segon grau del tipus ax + bx + c = 0 podem obtenir l equació a partir de la suma (S) i del producte (P) de les seves solucions. L equació correspondrà a l expressió següent: x Sx + P = 0. 0

Exemple: Les solucions d una equació de segon grau són x 1 = 1 i x = 4. Anem a reconstruir l equació: Per tant: S = x 1 + x = x Sx + P = 0 S = 1 + ( 4) S= P = 1 ( 4) P= 4 b c i P = x 1 x = a a x Sx + P = 0 x ( )x + ( 4) = 0 x + x 4 = 0 ACTIVITATS PROPOSADES: 1.- Donats els valors següents, construeix per a cada apartat una equació de segon grau que tingui aquests valors per solucions: 1 1 a) x 1 = 1 i x = 4 b) x 1 = i x =.- Escriu equacions de segon grau amb una incògnita que tinguin com a solucions: a) i 9 b) 5 i 6 c) 1 i.6.- FACTORITZACIÓ D UNA EQUACIÓ DE SEGON GRAU. Donada una equació de segon grau del tipus ax + bx + c = 0, que té com a solucions x 1 i x, podem escriure aquesta equació factoritzada de la forma següent: a (x x 1 ) (x x ) = 0 1

Exemple: escriu l equació x + 9x 1 = 0 de forma factoritzada. x = ( 9) ( 9).() 4.().( 1) 9 81144 6 9 5 6 9 15 6 x = 6 / 6 x = 1 = x = 4 / 6 x = 4 Per tant: x + 9x 1 = 0 (x 1) (x ( 4)) = 0 (x 1) (x + 4) = 0 Les equacions de segon grau del tipus ax + bx + c = 0 són polinomis de grau dos igualats a zero. Per tant, a l hora de solucionar una equació de segon grau estem buscant quins valors de x fan que el valor numèric d aquest polinomi sigui zero; és a dir, estem buscant les arrels o solucions d aquest polinomi. Així doncs, seguint el que diu el teorema del residu (o teorema de la resta), podem factoritzar una equació de segon grau aplicant la regla de Ruffini per trobar les arrels del polinomi de grau dos, i a partir d aquestes escriure l factoritzat, i finalment, per obtenir l equació només cal igualar a zero aquest polinomi factoritzat. Cal dir, però, que aquest no és un mètode gaire recomanable per factoritzar les equacions de segon grau, i és preferible utilitzar la fórmula general: x b b 4 a c a ACTIVITATS PROPOSADES: 1.- Escriu les equacions següents en forma factoritzada: a) x x + 1 = 0 f) x x + 1 = 0 b) x 1x + 6 = 0 g) 4x 17x + 4 = 0 c) x 0x + 64 = 0 h) 4x 7x + 91 = 0 d) x 10x + 9 = 0 i) x 8x + 10 = 0

e) x 10x + 17 = x 18 j) 5x + x = 0 4.- PROBLEMES D EQUACIONS. Les equacions ens serveixen sovint com a eines per resoldre problemes matemàtics. Per aconseguir resoldre un problema a través d equacions cal seguir una sèrie de passos: 1. Llegim amb atenció l enunciat: identifiquem les dades que ens donen i esbrinem què ens demanen que trobem.. Escollim la incògnita: generalment triarem com a incògnita allò que ens demanen que calculem.. Plantegem l equació: es tracta d establir les relacions algebraiques que existeixen entre les dades del problema; és a dir, escrivim l enunciat verbal del problema en forma de llenguatge algebraic. 4. Resolem l equació: busquem el valor de x, i llavors donem la solució al problema, responent sempre el que ens demanen. 5. Comprovació: comprovem si el valor de x que hem obtingut realment compleix totes les condicions de l enunciat del problema. Exemple: determina tres nombres imparells consecutius sabent que la seva suma val 57. 1. L enunciat ens diu que hem de trobar tres nombres imparells (cal donar com a solució tres nombres), i ens dóna el resultat de la seva suma.. Al primer d aquests tres nombres l anomenarem x ( x serà la incògnita del problema), al segon x+ i al tercer x+4, ja que per passar d un nombre imparell al seu consecutiu cal sumar-li dues unitats.

. Hem de sumar els tres nombres (que hem escrit en funció de la incògnita x ) i igualar el resultat d aquesta suma a 57: (x) + (x+) + (x+4) = 57 4. Ara hem de resoldre l equació plantejada, que en aquest cas és de primer grau: x + x + + x + 4 = 57 x + x + x = 57 4 x = 51 x = 17 Per tant: primer nombre = x primer nombre = 17 segon nombre = x + segon nombre = 19 tercer nombre = x + 4 tercer nombre = 1 5. Finalment comprovem que la solució obtinguda realment compleix tot el que diu l enunciat del problema. Com a solució hem d obtenir tres nombres imparells consecutius: 17, 19 i 1 es compleix. Si sumem els tres nombres obtinguts el resultat ha de ser 57: 17 + 19 + 1 = 57 es compleix. ACTIVITATS PROPOSADES: Problemes d equacions de primer grau: 1.- Un nombre i el seu següent sumen 45. Quins són aquests dos nombres?.- Calcula tres nombres consecutius la suma dels quals sigui 51..- Si a un nombre li restes 6, es converteix en la quarta part d aquest. De quin nombre es tracta? 4

4.- Quin nombre, augmentat un 1 %, es converteix en 84? 5.- Troba dos nombres parells consecutius que sumin 66. 6.- Quina edat té la Marta si sabem que d aquí a 56 anys tindrà el quíntuple de l edat que té actualment? 7.- Les edats d en Pere, la Cristina i la Laura sumen 9 anys. La Cristina té cinc anys menys que en Pere i dos més que la Laura. Quina és l edat de cadascú? 8.- Un quilo de pomes costa el doble que un de taronges. Per tres quilos de taronges i un de pomes he pagat euros i 60 cèntims. Quant costa el quilo de taronges i el quilo de pomes? 9.- D un dipòsit d aigua que era ple, el dilluns se n van gastar /7 parts, el dimarts, 1/6 part i el dimecres 1/5 part de la seva capacitat. Sabent que encara queden 7.00 litres, quina capacitat té aquest dipòsit? 10.- En Josep té 14 monedes de 5 euros, euros i 1 euro. Quantes en té de cada tipus si sabem que n hi ha el doble de 5 euros que de euros, i el doble de euros que d 1 euro? Problemes d equacions de segon grau: 1.- Determina un nombre que sumat amb el triple del seu quadrat sigui 80..- Troba un nombre, diferent de zero, de manera que el quíntuple del seu quadrat disminuït en trenta vegades aquest nombre doni zero..- L Eva és sis anys més gran que la Clàudia. Quina edat té cadascuna si la suma dels quadrats de les seves edats és 56. 4.- La diferència entre dos nombres és 6, i la seva suma multiplicada pel nombre més petit dóna 6. Troba aquests dos nombres. 5.- Una finca rectangular té una llargada 18 metres més gran que la seva amplada, i la seva superfície és de 60 m. Determina la llargada i l amplada de la finca. 5

6.- El quadrat d un nombre disminuït en tres unitats és igual al sèxtuple d aquest nombre més quatre unitats. 7.- Un terreny edificable rectangular té una llargada 5 metres més gran que la seva amplada. Si augmentem 5 metres tant la llargada com l amplada, l àrea es duplica. Troba les mides d aquest terreny. 8.- La suma de dos nombre és 18 i la suma dels seus quadrats dóna 4. Quins són aquests dos nombres? 9.- Donats dos nombres consecutius, el quadrat del més gran és 16 unitats major que el quàdruple del menor. Troba aquests dos nombres. 10.- Troba les mesures d un triangle rectangle sabent que el seu perímetre és de 80 cm i que la suma dels catets és 46 cm. 6

COL LECCIÓ DE PROBLEMES 1.- Classifica les expressions següents en igualtat, identitat o equació: a) x + 6 = f) x 15 = (x + 5) b) x = 15 g) 6 4x = 9 + x c) 4 11 = 44 h) x x = 6x d) x = 11 i) x = 8 + x.- Explica per què les expressions següents són igualtats, identitats o equacions: x 4x x x a) c) 4 16 5 b) 5 x = x 16 d) 4x + 19 = 4 (x + 7) 9.- Escriu una equació equivalent a cadascuna de les següents: a) 7x = 4 c) 1 x = x + b) x = 1 d) 8x 5 = (x + 10) 4.- Comprova si aquests valors proposats verifiquen les igualtats següents: a) x = en x = 11 b) x = en x 10 = 5x + c) x = 14 en x 4 x 1 5 d) x = en x 1 x 7 x 6 5.- Quina de les equacions següents té per solució x =? a) x = c) x + = 0 b) x = 0 d) x + 60 = 90 6.- Classifica aquestes equacions segons el nombre de solucions que presenten: a) 0 x = 0 d) 6 5x = (x ) x b) 0 x = 7 e) 8 x = x 1 c) 4x = 15 f) 4x 9 = 4 (x + 5) 7

7.- Associa cada equació amb la seva solució: a) 5x 1 = x + 9 1) x = 0 b) 4x + = 6x 7 ) x = c) + 5 (x 1) = x + 1 + (x 1) ) x = d) (x + 5) 6 = + (x 5) 4) x = e) x 1 x 1 1 6 5) x = f) 8x 5 = 10 7x 6) x = 5 8.- Resol les equacions següents de primer grau: a) 50 = 8 x f) 8 x = x + b) 17 = x g) 7x 4 = x + 1 c) 5x + 9 = 4 h) 4x = x + 7 d) x = x + 8 i) 4x + 5 = x 8 e) x 1 = 15 x j) 5x = 1 + 8x + 1 9.- Resol les equacions següents amb parèntesis: a) x = ( 1) f) (x ) = 60 (1 x) b) (4x ) = 5 (5 x) g) 6 (x ) (x 1) = 10 c) 6 (x + 1) = 10 (x ) h) 7x + (x 6) = (x + 4) d) (x ) = (x + 9) i) 6 (5 x) + 7 (x 4) = 6x e) 6x + = 4 ( x + 5) j) 1 + 4 (6 x) (x ) = 5x 8

10.- Resol les equacions següents amb denominadors: 4x 6 x a) 0 9 6 f) x 4 5x 7x 5 5 b) x 1 1 x g) 4x x 5 c) 5x 0 h) 6 d) e) x 4 x x 1 i) 5 x x 1 7 14 4x 1 x 4 5x 4 4 x 5 x 1 5x 4 x 4 x 6 4 x 5 4 7x 6 x 5 j) 11 4x 4x 5 11x 1 6x 4 x 1 11 11.- Resol les equacions següents: x 6 (x 1) x 4 a) f) 1 5 (x 4) 1 8 4 4 (x 1) 5x 15 1 1 b) 0 g) (x 5) 4 (x 1) 5 4x c) (x 5) d) h) x 4 x 4x (5 4x) 4 1 x 5 x 5x 1 x 5 x i) 5x 7x 6 10 9 (x 1) x e) 119 j) 5 x 6 x 1 5x 7x 5 4 1 1.- Troba dos nombres imparells consecutius que sumin 6. 1.- Calcula el nombre que es triplica quan li sumem 6. 14.- Determina el nombre que sumat a l anterior i al següent dóna 114. 15.- Quin nombre, disminuït en un 15%, es converteix en el nombre 10? 16.- La tercera part d un nombre és 45 unitats més petita que el seu doble. Quin és aquest nombre? 9

17.- Entre un pare i les seves dues filles sumen 48 anys. L edat de la filla més gran és el triple que la de la petita. L edat del pare és el quíntuple de la suma de les edats de les filles. Quina és l edat de cadascú? 18.- Si a l edat d en Roger hi sumem la seva meitat, obtenim l edat de la Paula. Quants anys té en Roger, si sabem que la Paula en té 4? 19.- El meu pare té anys més que la meva mare, la qual té 6 anys més que jo. Quina edat tenim cada un si entre els tres sumem 100 anys? 0.- Fa 15 anys, la meva edat era dues terceres parts de la que tinc ara. Quants anys tinc actualment? 1.- Tres germans es reparteixen 781 euros. El major rep el doble que el mitjà i aquest el quàdruple que el petit. Quina quantitat rep cadascú?.- Ahir en Marc va comprar una camisa rebaixada un 1%. Avui, el seu germà Joan n ha anat a comprar una d igual i es sorprèn en veure que el descompte ha augmentat fins al 18%, amb la qual cosa paga 16 euros menys que en Marc. Quin era el preu de la camisa sense rebaixar?.- En un àlbum hi ha 18 fotografies més en color que en blanc i negre. Si en total n hi ha 86, quantes són en blanc i negre i quantes en color? 4.- Un dia vaig sortir de casa i vaig gastar les tres quartes parts del que tenia, després vaig perdre les dues cinquenes parts del que em va quedar. Finalment em van prendre euros, i em vaig quedar sense res. Quants diners tenia en sortir de casa? 5.- En un pàrquing hi ha 108 vehicles, entre cotxes i motos. Sabent el nombre total de rodes, esbrina quants vehicles de cada classe hi ha. 6.- Indica si aquestes igualtats són falses, identitats o equacions: a) x (x + 7) = 5 x c) (x + 1) 1 = x b) x + 9= (x ) (x + ) d) x 1 (x ) = (x + ) 7.- Classifica les equacions segons el nombre de solucions que presenten: a) x (x + 7) = 5 x c) (x + 1) 1 = x b) x + 9 = (x ) (x + ) d) x 1 (x ) = (x + ) 8.- Escriu una equació de primer grau: 0

a) Compatible determinada. b) Compatible indeterminada. c) Incompatible. 9.- Donada l equació: x + 6x + 4x = 0 a) Indica quin és el grau de l equació. b) Comprova si els valors x = i x = són solució a l equació. 0.- Digues quin és el grau de cadascuna d aquestes equacions: a) 7x = x (x + ) c) (x 1) (x + ) = 0 b) x 5 = 4x d) (x + x ) x = x 5 1.- Escriu tres equacions equivalents que tinguin per solució x = 7..- Digues si els aquests nombres són les solucions de les equacions següents: a) x + 6x 9 = 0 solució: x = b) x 6x + 9 = 0 solució: x = c) x 5x + 4 = 0 solució: x = d) x + 18x 7 = 0 solució: x = e) x + 5x 6 = 0 solució: x = f) x 10x + 8 = 0 solució: x =.- Fes les operacions que creguis convenients i digues quins són els coeficients a, b i c de les equacions següents: a) x 7x + 4 = 0 c) (x 7) (5 + x) = 0 b) x + (x + ) = 8 6x d) x 8 = (x + 4) (x ) 4.- Calcula el discriminant d aquestes equacions: a) x 5x + 1 = 0 c) 4x 16x + 16 = 0 b) x + 5x 1 = 0 d) x + x + 5= 0 5.- Digues quantes solucions tenen aquestes equacions, sense resoldre-les: a) 5x x + = 0 d) x + x + = 0 1

b) x 4x + = 0 e) x 6x + 9 = 0 c) x + x = 0 f) (x + 4) (x ) = 0 6.- Escriu una equació de segon grau que: a) Tingui dues solucions. b) Tingui una sola solució. c) No tingui solució. 7.- Donats els valors següents, construeix per a cada apartat una equació de segon grau que tingui aquests valors per solucions: a) x 1 = i x = b) x 1 = 1 i x = 1 8.- Escriu equacions de segon grau amb una incògnita que tinguin com a solucions: 5 1 a) i b) i c) i 1 4 9.- Resol les equacions de segon grau següents: a) x 1 = 0 f) x x = 0 b) x 75 = 0 g) x 7x = 0 c) x = 0 h) x + 7x = 0 d) x 18 = 0 i) x 18x = 0 e) 4x + 64 = 0 j) x + 11x = 0 40.- Resol les equacions de segon grau següents: a) x 5x + 4 = 0 b) x + 9x + 0 = 0 c) x 6x + 9 = 0 d) x + 1x + 6 = 0 e) x + x + = 0 41.- Resol les equacions de segon grau següents: a) (x + 1) 4x = x + b) x 6x + 6 = 0 c) (x ) (x + ) = 0 d) (x 1) (x ) = x 9

e) (4 + x) (x + 5) (x + 4) = x 1 + (x + 5) (1 x)

4.- Resol les equacions de segon grau següents: a) x x 1 4 5x b) 4 6 c) x 5x 1 7x x 4 6 d) 7x 5x 4 5x 6 x e) 1 11x 4 1 4.- Resol les equacions de segon grau següents: a) x (x 1) 11 x 1 b) (x ) 4 (x 1) 16 5 16 x (x 1) 1 x c) x 5 4 4 1 d) 1 (x ) x 1 x x 1 x x 1 x 1 e) 44.- Escriu les equacions següents en forma factoritzada: a) x x 6 = 0 b) x 8x = 105 c) x + x 6 = 0 d) x + 6x 45 = 0 e) 6x 18x 4 = 0 45.- Determina el valor de K perquè les dues equacions següents tinguin dues solucions iguals: x 6x + K = 0 i x Kx + = 0 4

46.- Troba el valor de K perquè l equació x Kx + 9 = 0 tingui dues solucions iguals? 47.- Troba un nombre el quadrat del qual sigui igual a tres vegades aquest nombre més 4. 48.- Quin nombre al quadrat excedeix en cinc unitats el seu quàdruple? 49.- Un rectangle té 5 m més de llargada que d amplada. Si la superfície és de 6 m, troba les seves dimensions. 50.- Si fem m majors els costats paral lels d un quadrat i els altres dos 5 m, l àrea del rectangle resultant és de 440 m. Quant feia el costat del quadrat inicial? 51.- En un triangle isòsceles la base fa 6 cm menys que cada costat igual. Si té una altura de 4 cm, quina superfície té? 5.- La diferència entre dos nombres és 15, i la seva suma multiplicada pel nombre més gran dóna 600. Troba aquests dos nombres. 5.- Troba els costats d un rectangle si la meitat del seu perímetre és 5 m, i l àrea val 150 m. 54.- L edat que tindrà la Núria d aquí a sis anys serà igual al quadrat de la que tenia fa sis anys. Quants anys té actualment? 55.- Un rectangle té la mateixa àrea que un quadrat de 96 cm de costat. Si l altura del rectangle és 6 cm, quant mesurarà la base? 56.- L àrea d una finca rectangular és de 60 m, i la llargada és dues unitats més gran que l amplada. Calcula el perímetre d aquesta finca. 57.- Troba l altura i la base d un rectangle, la diagonal del qual mesura 50 metres, i sabent que la base és 10 metres més gran que l altura. 58.- En Marc va comprar un determinat nombre d articles per 00 euros, tot i que podria haver comprat deu articles més si cadascun hagués costat 5 euros menys. Quants articles va comprar en Marc? 59.- La Teresa va tardar un cert nombre d hores a fer una caminada de 0 Km, però si hagués caminat 1 Km més per hora hauria trigat una hora menys a recórrer la mateixa distància. Quants quilòmetres va caminar la Teresa? 60.- Calcula l altura i la base d un triangle isòsceles, sabent que els costats iguals mesuren 10 cm i l altura és cm més llarga que la base. 5