Matemáticas Discretas

Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE Matemáticas Discretas Cursos Propedéuticos 2011 Ciencias Computacionales INAOE Dr. Enrique Muñoz de Cote jemc@inaoep.mx http://ccc.inaoep.mx/~jemc Oficina 8210 Diapositivas basadas en previas iteraciones de: Dr. Enrique Sucar Dr. Luis Villaseñor

4. Relaciones y funciones Relaciones Propiedades de relaciones Clases de equivalencia Conjuntos parciales y totalmente ordenados Funciones

Producto cartesiano Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano A B se define por: A B = { (x, y) x A, y B} Ejemplo: {a,b} {1,2,3} = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} Note que los elementos (x, y) son pares ordenados: hay una diferencia entre (a, 2) y (2, a) En general: A B B A

Relaciones Dados dos conjuntos A y B, una relación binaria R de A a B es determinada por un subconjunto R A B Se dice que arb si y solo si (a, b) R Si A=B, se dice que R es una relación en A

Ejemplo Sea U={1, 2, 3,,7}, A={2, 3, 4} y B={4, 5}, las siguientes son ejemplos de relaciones de A a B: Ø {(2, 4), (2, 5)} {(2, 4), (3, 4), (4, 5)} {(2, 4), (3, 4), (4, 4)}

Ejemplo La relación de menor que < en el conjunto de números naturales N se describe por el conjunto: {(0,1),(0,2),(1,2),(0,3), } N N La relación de igualdad = en R se define por el conjunto: {(x, x) x R} R R

Propiedades de las relaciones Una relación R en A es reflexiva si: Si (a, a) R para toda a A Una relación R en A es antireflexiva si: Si (a, a) R para toda a A

Ejemplo Se A={1, 2, 3, 4}, considere las siguientes relaciones R sobre A y determine si son reflexivas: R={(1, 1), (2, 2), (3, 3)} No es reflexiva R={(x, y) x, y A, x y} Es reflexiva

Propiedades de las relaciones Una relación R en A es simétrica si: Si (a,b) R entonces (b,a) R para todo a,b A Una relación R en A es antisimétrica si: Si (a,b) R y (b,a) R entonces a=b Una relación R en A es transitiva si: Si (a,b) R y (b,c) R entonces (a,c) R para todo a,b A

0 Ejemplo Sea A={1, 2, 3} y R una relación en A R={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} Simétrica y no reflexiva R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)} Reflexiva y no simétrica R={(1,1),(2,3),(3,3)} No Simétrica y no reflexiva

1 Ejemplo Sea A={1, 2, 3, 4} R={(1,1),(2,3),(3,4),(2,4)} Es una relación transitiva en A R={(1,3),(3,2)} No es transitiva

2 Ejemplo Sea A={1, 2, 3} R={(1,2),(2,1),(2,3)} No simétrica y no antisimetrica R={(1,1),(2,2)} Simétrica y antisimetrica

3 Ordenamientos Relaciones comunes tales como definen ordenamientos Una relación R en A es un ordenamiento parcial si y sólo si es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva (A, R) es un conjunto ordenado parcialmente o poset si R es un ordenamiento parcial en A

4 Ordenamientos Si a b ó b a, entonces los elementos a y b son comparables Si todos los pares a y b posibles son comparables, es un ordenamiento total o cadena

5 Ejemplo Sea A={1, 2, 3, 4, 6, 12} y sea R la relación en A dada por (x, y) R si x divide exactamente a y R es reflexiva R es transitiva R es antisimétrica Por lo tanto R define un ordenamiento parcial en A

6 Particiones Una partición de un conjunto A es un conjunto de subconjuntos {Aj} tal que: Ai Aj = para todo i j A = j Aj

7 Ejemplo Sea A={1, 2, 3,,10}, las siguientes son ejemplos de particiones de A: A1={1, 2, 3, 4, 5}, A2={6, 7, 8, 9, 10} A1={1, 3, 5, 7, 9}, A2={2, 4, 6, 8, 10} A1={1, 2, 3}, A2={4, 6, 7, 9}, A3={5, 8, 10} Ai={i, i+5}, 1 i 5

8 Composiciones La composición T = R1 R2 A C de dos relaciones R1 A B y R2 B C es una relacion de A en C T = { (x,z) tal que existe x A, z C, y B tal que (x,y) R1 y (y,z) R2 }

9 Ejemplo Sea A={1, 2, 3, 4}, B={w, x, y, z} y C={5, 6, 7}, R1 A B={(1,x),(2,x),(3,y),(3,z)} y R2 B C={(w,5),(x,6)} R1 R2={(1,6), (2,6)} es una relacion de A en C Si R3 B C={(w,5),(w,6)} entonces R1 R3=

0 Composiciones La composición de relaciones es asociativa Para relaciones R en A se pueden definir potencias: R1 = R y Rn+1 = R Rn para todo entero n

1 Matrices y relaciones Una relación R de A = {a1,,am} a B = {b1,,bn} puede representarse por una matriz M(R) de dimensión m n de (0,1) : Si airbj R entonces el elemento (i, j) en M(R) es 1, Si airbj R entonces el elemento (i, j) en M(R) es 0.

2 Matrices y relaciones Si se utiliza la adición booleana 1+1=1, entonces la composición de dos relaciones se puede calcular mediante la matriz producto: M(R S) = M(R) M(S)

3 Un repaso de lo visto hasta ahora

4 Producto Cartesiano EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3,..., 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. Entonces, a) A B = {(2, 4), (2, 5), (3, 4),(3, 5),(4, 4), (4, 5)}. b) B A = {(4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}. c) B2=B B = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)} ( ) d) B3=B B B = a, b, c a, b, c B ; (4, 5, 5) B3. { }

5 Producto Cartesiano EJEMPLO Si U =R, R R = se conoce como el plano real de la geometría coordenada y del cálculo bidimensional. El subconjunto R+ R+ es el interior del primer cuadrante de este plano. Así mismo, R3 representa el espacio euclidiano tridimensional donde las superficies tridimensionales, como esferas y planos, son subconjuntos importantes.

6 Producto Cartesiano EJEMPLO Un experimento E se desarrolla de la siguiente forma: se lanza un sólo dado y se anota el resultado; a continuación, se lanza una moneda al aire y se anota el resultado. Determínese un espacio muestral M para E. Denótese por E1 la primera parte del experimento E y sea M1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} un espacio muestral para E1. Así mismo sea M2={CA,CZ} un espacio muestral para E2, la segunda parte del experimento. Entonces, M = M1 M2 es un espacio muestral para E.

7 Producto Cartesiano Este espacio muestral se puede representar gráficamente con un diagrama de árbol.

8 Producto Cartesiano EJEMPLO En el torneo de tenis de Wimbledon, las mujeres juegan a lo sumo 3 sets en un partido. Triunfa quien gane primero 2 sets. Si N y E representan a las 2 jugadoras, el diagrama de árbol refleja las 6 maneras en que puede ganarse el encuentro.

9 Relaciones EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3,..., 7}, A = {2, 3, 4}, B = {4, 5}. Las siguientes son relaciones de A a B. a) b) {(2,4)} c) {(2, 4), (2, 5)} d) {(2, 4), (3, 4), (4, 4)} e) {(2, 4), (3, 4), (4, 5)} f) A B. cuántas relaciones de A a B existen?

0 Relaciones Como A B = 6, por la definición se deduce que hay 26 relaciones posibles de A a B. En general, para conjuntos finitos A, B donde A = m y B = n, hay 2mn relaciones de A a B, incluyendo la relación vacía y la propia relación A B.

1 Relaciones EJEMPLO Sea B = {1, 2} N, U = P(B) y A = U ={, {1}, {2}, {1, 2}}. El siguiente es un ejemplo de relación binaria en A: R = {(, ), (, {1}), (, {2}), (, {1, 2}), ({1}, {1}), ({1},{1,2}), ({2}, {2}), ({2}, {1,2}), ({1,2}, {1,2})}.

2 Relaciones EJEMPLO Si A = U =Z+, se define una relación binaria R en el conjunto A como {( x,y) x y}. Se trata de la conocida relación es menor o igual que para el conjunto de los enteros positivos, Se observa que (7,7),(7,11) R, y (8,2) R, (7,11) R también se puede denotar como 7R 11; (8,2) R se transforma en 8R 2 son ejemplos de notación infija en una relación.

3 Relaciones Para cualquier conjunto A U, A =. Así mismo A =.

4 Relaciones Para cualquier conjunto A U, A =. Así mismo A =. Si A, sea (a, b) A. Entonces, a A y b, lo cual es imposible.

5 Relaciones El producto cartesiano y las operaciones binarias de unión e intersección están interrelacionados con el siguiente teorema. Teorema Para conjuntos arbitrarios A, B, C U. a) b) c) d) ( B C ) = ( A B) ( A C ) A ( B C ) = ( A B) ( A C ) A ( A B) C = ( A C ) ( B C ) ( A B) C = ( A C ) ( B C )

6 Relaciones EJEMPLO Dado un conjunto finito A con A =n, resulta que A A = n2, de modo que hay 2 n 2 relaciones en A. Cuántas son reflexivas?

7 Relaciones Si A ={a1, a2,...,an}, una relación R en A es reflexiva si. { ( a i,a i ) 1 i n} R. Al considerar los otros n2 n pares ordenados de A A (los de la forma ( a i,a j ), 1 i, j n, i j) conforme se construye una relación reflexiva R en A, se incluye o excluye cada uno de estos pares ordenados, hay ( n n 2 2 ) relaciones reflexivas en A.

8 Relaciones Recordando una relación R en un conjunto A se llama simétrica si (x, y) R (y, x) R para x, y A. Cuántas son simétricas?

9 Para contar las relaciones simétricas en A={a1,a2,...,an}, se escribe A A como A1 A2, donde { ( aa1= ) } i, ai 1 i n {( y aa2= ) } i, a j 1 i, j n, i j de modo que cada par en A A está exactamente en uno de los conjuntos A1, A2. Para A2, A2 = A A A1 = n2 n = n(n 1), un entero par. El conjunto A2 contiene (1/2)(n2 n) subconjuntos de la forma {(ai,aj),(aj,ai)},1 i<j n. Al establecer una relación simétrica R en A, para cada par ordenado de A1, se dispone de la selección usual de exclusión o inclusión. Para los (1/2)( n2 n) subconjuntos de pares ordenados 2 en A2, se dispone de las mismas n ( 1/ 2 ) opciones. ( n n ) ( 1/ 2 ) 2 2 ( Por n +n 2 2 ) tanto, por la regla del producto, hay = relaciones simétricas en A.

0 Relaciones Cuántas son reflexivas y simétricas?

1 Relaciones Cuántas son reflexivas y simétricas? Se tiene sólo una opción para cada par ordenado en A1. De modo que hay ( 1/ 2 ) ( n n 2 2 ) relaciones en A que son reflexivas y simétricas.

2 Relaciones de Orden Recordando una relación R en A es un ordenamiento parcial si y sólo si es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva Sea A un conjunto y R una relación en A. El par (A, R) se llama conjunto parcialmente ordenado si la relación R en A es un orden parcial, o una relación de ordenamiento parcial. Si a A se le denomina conjunto parcialmente ordenado, se sobre entiende que hay un orden parcial R en A que convierte a A en este conjunto parcialmente ordenado.

3 Relaciones de Orden EJEMPLO Sea A el conjunto de cursos ofrecidos en una universidad. Defínase la relación R en A mediante x R y si x e y son el mismo curso o si x es un requisito previo para y. Entonces, R transforma a A en un conjunto parcialmente ordenado. EJEMPLO Defínase R en A = {1, 2, 3, 4} por x R y, si, es decir, x divide a y. Entonces, R ={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial y (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado.

4 Relaciones de Orden EJEMPLO En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, la relación R en A, definida por x R y si x y, es un orden parcial, que transforma a A en un conjunto parcialmente ordenado que se puede denotar por (A, ). Si B = {1, 2, 4} A, el conjunto ={(1, 1), (2, 2), (4, 4), (1, 2), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial en B.

5 Relaciones de Orden En general si R es un orden parcial en A, entonces para cualquier subconjunto B de A, ( B B) R convierte a B en un conjunto parcialmente ordenado, donde el orden parcial de B se induce de R.

6 Relaciones de Orden Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, un elemento max A se llama maximal de A si para toda a A, max R a Un elemento min A se denomina minimal de A si para toda b A, b R min

7 Relaciones de Orden EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3} y A = P(U). Sea R la relación de subconjunto en A. Entonces U es maximal, mientras que es minimal para este conjunto parcialmente ordenado. Para B, la colección de subconjuntos propios de {1, 2, 3}, sea R la relación de subconjunto en B. En el conjunto parcialmente ordenado (B, ), {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} son elementos maximales, mientras que es el único elemento minimal.

8 Relaciones de Orden Teorema Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado y A finito, entonces A tiene elementos maximal y minimal. Demostración Sea a1 A. Si no hay elemento a A, a a1 con a1 R a, entonces a1 es maximal. De no ser así, hay un elemento a2 A, a2 a1, con a1 R a2.

9 Relaciones de Orden Si ningún elemento a A, a a2, cumple a2 R a, entonces a2 es maximal. De lo contrario se puede encontrar a3 A, a3 a2, a3 a1 ( por qué?) con a1 R a2 y a2 R a3. Siguiendo así, como A es finito, se alcanza un elemento an A con an R a para cualquier a an A, de modo que an es maximal.

0 Relaciones de Orden Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado, un elemento x A se denomina elemento mínimo si x R a, para todo a A. El elemento y A se denomina máximo si a R y para toda a A.

1 Relaciones de Orden EJEMPLO Sean U = {1, 2, 3} y R la relación de subconjunto. a) Con A = P(U), (A, ) tiene a como elemento mínimo y a U como máximo. b) Para B = la colección de subconjuntos no vacíos de U, (B, ) tiene a U como elemento máximo. No existe elemento mínimo, pero si tres elementos minimales.

2 Relaciones de Orden Para un conjunto parcialmente ordenado (A, R), es posible tener varios elementos maximales y minimales. Qué sucede con los elementos mínimo y máximo?

3 Relaciones de Orden Teorema Si el conjunto parcialmente ordenado (A, R) tiene algún elemento máximo (mínimo), ese elemento es único. Demostración Supóngase que x, y A y que ambos son elementos máximos. Como x es un elemento máximo, yr x. Así mismo, x R y, pues y es un elemento máximo. Como R es antisimétrico, x = y.

4 Relaciones de equivalencia Recordemos que R en un conjunto A es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. EJEMPLO Sea n Z+. Para x, y Z, se define la relación R de módulo n por medio de x R y si y sólo si, x y es un múltiplo de n. Con n = 7, se halla que 9 R 2, -3 R 11, (14,0) R pero 3 R 7.

5 Relaciones de equivalencia Para cualquier conjunto A, A A es una relación de equivalencia en A, y si A = {a1, a2,..., an}, la relación de equivalencia más pequeña en A es R {( = a a ) i n} i, i 1. Si R es una relación en A, R será una relación de equivalencia y un orden parcial en A si y sólo si es la relación de igualdad en A.

6 Relaciones de equivalencia EJEMPLO Sea A=R y para cada i Z, sea Ai=[i, i+1). Entonces constituye una partición de R. Definición Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A. Para cualquier x A, la clase de equivalencia de x, denotada por [x], se define mediante [ x] = { y A yrx}

7 Relaciones de equivalencia EJEMPLO Defínase la relación R en Z, por xry, si 4 divide a (x y). Para esta relación se encuentra que [0] = {..., -8, -4, 0, 4, 8, 12,...} = {4k k Z} [1] = {..., -7, -3, 1, 5, 9, 13,...} = {4k + 1 k Z } [2] = {..., -6, -2, 2, 6, 10, 14,...} = {4k + 2 k Z } [3] = {..., -5, -1, 3, 7, 11, 15,...} = {4k + 3 k Z } {[0], [1], [2], [3]} proporciona una partición de Z.

8 Teorema Si R es una relación de equivalencia en un conjunto A y x, y A, entonces: a) x [x]; b) x R y si y sólo si [x] = [y] y c) [x] = [y] o [x] [y] =. Demostración a) Este resultado se obtiene de la propiedad reflexiva de R b) Si x R y, sea w [x]. Entonces, w R x; además como R es transitiva, w R y. Por tanto, w [y] y [x] [y]. Con R simétrica, x R y y R x. De este modo, si t [y], entonces t R y y por la propiedad transitiva, t R x. De ahí que t [x] e [y] [x]. Por tanto [x] = [y]. A la inversa sea [x] = [y]. Como por el apartado a) x [x], entonces x [y] o x R y. c) Esta propiedad plantea que las clases de equivalencia sólo se pueden relacionar de dos maneras: son idénticas o disjuntas

9 Relaciones de equivalencia c) Continuación... partimos de que [x] [y] y [x] [y]. Si [x] [y], entonces sea v A con v [x] y v [y]. Por tanto, v R x, v R y x R y. Además por el apartado b), x R y [x] = [y]. Esto contradice la hipótesis de que [x] [y], por tanto se rechaza la hipótesis de que [x] [y], y de ahí se obtiene el resultado.

0 Relaciones de equivalencia Obsérvese que si R es una relación de equivalencia en A, entonces, de acuerdo con a) y c) del teorema anterior, las distintas clases de equivalencia determinadas por R constituyen una partición de A. EJEMPLO Si A ={1, 2, 3, 4, 5} y R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}, entonces R es una relación de equivalencia en A, [1] = {1}, [2] = {2,3}=[3], [4]={4,5}=[5] y A = [1] [2] [4].

1 Funciones Una función f:a B del conjunto A a B es la relación f A B tal que cada a A está relacionada con un único b tal que (a,b) f Notación f(a)=b, o f:a b A es el dominio de f y B es el codominio El valor f(a)=b es la imagen de a A bajo f El conjunto { f(a) a A } es el rango de f

2 Ejemplo Sea A={1, 2, 3} y B={w, x, y, z}: Es f={(1, w), (2, x)} una función de A a B? No Es f={(1, w), (2, w), (2, x), (3, z)} una función de A a B? No Es f={(1, w), (2, x), (3, x)} una función de A a B? Si

3 Ejemplo Cuál es el dominio (dominio máximo ) de la función h dada por? -2 < w < 3 h(w) = 1 w w 2 + 6

4 Composición de funciones Sean f: A B y g: B C dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función: (g o f): A C tal que Para todo a A, (g o f)= g(f(a))

5 Tipos de funciones Una función es inyectiva o uno a uno si para cada x A tiene una única imagen f(a): Si f(x)=f(y) entonces x=y. Elementos distintos de A tienen siempre imágenes distintas Sea f: R R donde f(x)= 3x + 7 para toda x Es una función uno a uno

6 Ejemplo Sea A={1, 2, 3} y B={1, 2, 3, 4, 5}. Es g={(1, 1),(2, 3),(3, 3)} una función uno a uno de A a B? No

7 Tipos de funciones Una función es sobre o suprayectiva si para cada y B existe una x A tal que f(x)=y: Si y B entonces existe una x A tal que f(x)=y Sea f: R R donde f(x)= x3 para toda x Es una función sobre o suprayectiva? Si

8 Tipos de funciones Una función es una biyección entre A y B si es una función uno a uno y suprayectica Sea A={1, 2, 3, 4} y B={w, x, y, z}. Es f={(1, w), (2, x), (3, y), (4, z)} de A a B una biyección? Si

9 Ejemplos La función lineal f:z Z, definida por f(x)=x+2 Es inyectiva Es suprayectiva Es biyectiva La identidad I:A A es siempre una biyección