SEÑALES Y SISTEMAS. PROBLEMAS RESUELTOS.CAPITULO IV PROBLEMA 1: Se tienen 3 señales cuyas representaciones en serie de Fourier son las siguientes: Determine si cada una de ellas es real y par. Si el coeficiente C(k)=C*(-k) entonces la exponencial negativa y la positiva se sumarán para producir una componente real. Por lo tanto x 2 (t) y x 3 (t) son reales mientras que x 1 (t) no lo es. Por otra parte para que la señal sea real solo deben sobrevivir los cosenos (parte real de las exponenciales) por lo tanto C(k)=C(-k) y esto solo se cumple para x 2 (t) PROBLEMA 2: Si x(t)=cos4πt z(t)=sen4πt y(t)=x(t)z(t), determine la serie y transformada de cada una de las señales. Para x(t) solo existe una componente ubicada en f=2hz y su conjugada C1=0.5=C-1 ubicada en f=-2hz ; la transformada de Fourier de x(t) se llama X(f)=0.5δ(f-2)+ 0.5δ(f+2). Para z(t) solo existe una componente ubicada en f=2hz y su conjugada C1=-0.5j y C- 1=0.5j ubicada en f=-2hz; la transformada de Fourier de z(t) se llama Z(f)=-0.5jδ(f- 2)+ 0.5jδ(f+2). Para obtener la transformada del producto y(t) se puede hacer convolucionando X(f)*Z(f). Esto se convierte en la convolución de deltas de Dirac aparecen: una delta en 4 Hz, una en -4Hz y en el origen aparecen dos que se cancelan finalmente Y(f)= )=-0.25jδ(f-4)+ 0.25jδ(f+4). Esto corresponde, por cierto a la transformada de y(t)=0.5 Sen8πt de manera que todo coincide. PROBLEMA 3: La representación en serie de Fourier de una señal dada f(t) en un intervalo (0,T) es a.- Determine el valor de T.: De la expresión se ve que T=0.5 seg. b.- Encuentre el promedio de f(t) en el intervalo dado.: El promedio de f(t) viene dado por C 0 = 0.79 c.- Dibuje el correspondiente espectro de fase para C n.: El espectro de fase viene dado por:
Fase de C n = -arctg(4πn). PROBLEMA 4: Se hace pasar la siguiente señal x(t) por un sistema cuya función transferencia viene dada por H(jω)=-j si 0.5 Hz<f<1 Hz, H(jω)=j si -1 Hz<f<-0.5 Hz y H(jω)=0 en el resto. Determine la expresión de la señal de salida y(t). Se observa que el período de esta señal es de 4 segundos, o lo que es lo mismo la frecuencia fundamental es de 0.25 Hz. Por lo tanto el filtro solo deja pasar las componentes correspondientes a n=2,3,4. Para calcular los coeficientes Cn es preferible derivar la señal Así:
La salida del filtro será: PROBLEMA 5: La señal x(t) mostrada en la figura se pasa por un sistema cuya función de transferencia H(jω) es 1 para f < fc y 0 para el resto. Al variar fc entre 0 y 2.5 Hz la potencia promedio normalizada a la salida del sistema (P) tiene el siguiente comportamiento: Determine τ y α. En primer lugar, el valor 9/16 debe corresponder a la potencia DC la cual es el nivel DC al cuadrado. De la señal se ve que el nivel DC es τ + 0.5= 3/4. Esto indica que τ = 1/4 Por otra parte, el filtro al ir aumentandole el valor de fc, deja pasar la primera armónica por lo tanto
α = Potencia DC + Potencia de primera armónica = (Co 2 ) + 2 C1 2. Por lo tanto basta calcular C1. Es más fácil calcular el coeficiente de la primera derivada de x(t), y luego dividirlo entre jnω 0 para obtener C1. PROBLEMA 6: La respuesta impulsiva de un sistema LIT está definida de la siguiente forma: h(t)=- Sen2πt para infinito<t<=1 y h(t)= Sen2πt para t>1. Determine la respuesta de este sistema a la señal x(t)=10 Sen6πt Se debe determinar H(ω). La salida será y(t)= 10 H ( 6π) Sen ( 6 π t + arg (H(6 π)) Observe que h(t)= sgn(t-1)sen2 π t Por lo tanto H(ω) será la transformada de sgn(t) multiplicada por e -jω, desplazada hacia ω= 2π y dividida entre 2j, menos la transformada de sgn(t) multiplicada por e -jω, desplazada hacia ω= -2 π y dividida entre 2j. F(sgn(t)) = (2/jω) Al evaluar la función transferencia en ω= 6π, se tiene H(6 π) = -1/8 π. Por lo tanto la salida será: PROBLEMA 7: Si w(t)=δ(t)+ δ (t)+w(t)*g(t), determine w(t) si se sabe que g(t)=e -t u(t) En frecuencia se tendría que la ecuación es: W(f)= 1 + jω+ W(f).G(f) O lo que es lo mismo:
PROBLEMA 8: Se tiene la siguiente señal periódica: a) Diseñe un sistema que teniendo a su entrada la señal mostrada, produzca a su salida y(t)= 4Sen8πt b) Diseñe un sistema que teniendo a su entrada la señal mostrada, produzca a su salida y(t)= 4Sen3πt La señal periódica mostrada tiene T=1 segundo, por lo tanto para producir a la salida un tono de 4Hz, bastaría pasar la señal por un filtro pasabanda que solo dejara pasar la armónica correspondiente a n=4. Sin embargo, caculemos C4 para ver el resultado. Para calcular los coeficientes de la serie de la señal mostrada, específicamente C4, es más fácl derivar la función, encontrar C4, y luego se obtendría el original dividiéndolo entre jω. Así:
Como se observa, el coeficiente C4 resultó nulo. Hay que buscar otra solución como por ejemplo buscar la tercera armónica ( n=3) mezclarla con la primera armónica (n=1) y el resultado pasarlo por un filtro pasabanda. PROBLEMA 9: En el sistema mostrado, la señal x(t) es periódica con período To. Determine la frecuencia fundamental de la señal y(t), si se desea que su segunda armónica tenga la mitad de la potencia de la segunda armónica de x(t). La respuesta en frecuencia de este sistema puede determinarse de la siguiente forma Pero ωkt o =2π, por lo tanto
Se sabe que H(2ω o ) = 0.707 (0.707) 2 =4ω o 2 / (36+4 ω o2 ) De aquí se obtiene que ωo = 3 rad/seg. PROBLEMA 10: La magnitud de la función transferencia de un filtro pasabajo es la mostrada. Si la respuesta en fase del filtro es argh(f)= -jω, determine la respuesta impulsiva de este filtro. La respuesta en frecuencia H(f) puede expresarse como (0.25Cos(2πf/20) Π (f/80)+ Π (f/80)) e -jω a) Se calcula la antitransformada de (0.25Cos(2πf/20) Π (f/80)+ Π (f/80)) y el resultado se retarda en 1 segundo ( debido al factor e -jω ) b) La antitransformada de(1/2w) Π (f/2w)=sinc2wt En este caso la antitransformada de Π (f/80)= 80 Sinc80t c) La antitransformada de 0.25Cos(2πf/20) es 0.125δ(t-1/20) + 0.125 δ (t+1/20) d) Ahora la antitransformada de 0.25Cos(2πf/20) Π (f/80) es la transformada del pulso trasladada hacia 1/20 y hacia -1/20 y multiplicada por 0.125
10Sinc80(t- 1/20) + 10Sinc80(t+1/20) e) Se le suma la antitransformada de Π (f/80)= 80 Sinc80t 10Sinc80(t- 1/20) + 10Sinc80(t+1/20) + 80 Sinc80t f) se retarda 1 segundo Resultado: 5Sinc80(t- 1/20-1) + 5Sinc80(t+1/20-1) + 80 Sinc80(t-1) PROBLEMA 11: Dado el siguiente sistema, obtenga la salida x1(t) cuando x(t) =Cos6t Se busca la función transferencia de x1(t). Llamémosla H x1 (f)
Al evaluar en ω=6 queda La salida queda Si se quisiera la respuesta al impulso, bastaría antitransformar H x1 (f) h x1 (t)= 0.75sgn(t)-1.5e -6t u(t).