Lógicas Modales Computacionales Clase # 5: Usos de Bisimulaciones

Lógicas Modales Computacionales Clase # 5: Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera 2do Cuatrimestre 2006, Buenos Aires, Argentina

Temario Propiedad de tree model. n-bisimulación. Propiedad de modelo finito vía selección. Caracterización de van Benthem : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 2

Bibliografía Capítulo 2 y apéndice A del Modal Logic Book (Blackburn, Venema & de Rijke) : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 3

Tree model property Vamos a ver una aplicación de las operaciones entre modelos que preservan satisfacibilidad. Usando la operación de submodelos generados, es posible demostrar que cualquier fórmula satisfacible es satisfecha en un modelo con forma de árbol. Esta propiedad se conoce como la tree model property. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 4

Tree model property Recordemos primero algunas definiciones: Dados dos modelos M y M, y f : M M un morfismo acotado, para toda fórmula ϕ y para todo w M se cumple que M, w = ϕ sii M, f (w) = ϕ. Si hay un morfismo acotado suryectivo entre ambos modelos, se nota M M. Un modelo rooted o point generated es un modelo generado por un conjunto singleton {w} (a w se lo llama la raíz del modelo). Más formalmente entonces: Tree model property: Para cualquier modelo M existe un modelo M con forma de árbol tal que M M. Por lo tanto, cualquier fórmula satisfacible es satisfecha en un modelo con forma de árbol. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 5

Tree model property Veamos primero unos ejemplos de cómo se puede transformar un modelo en otro con forma de árbol, que preserve satisfacibilidad: : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 6

Tree model property : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 7

Tree model property La idea intuitiva entonces es construir un modelo en donde: Los elementos del modelo sean secuencias finitas de sucesores desde la raiz. Las secuencias van a estar relacionadas teniendo en cuenta la relación de accesibilidad original. La valuación va a depender del último elemento de la secuencia. Intentemos definir formalmente esto... : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 8

Tree model property Dado un modelo M con raíz w, vamos a construir M = (W, R, V ). Los elementos de W son todas las secuencias finitas (w Ra 1 u 1 Ran u n ) tal que para alguna modalidad a 1,..., a n hay un path wr a1 u 1 R a2 u 2... R an u n en M. R a 1 (w Ra 1 u 1 Ran u n )R a(w v1 Ra m v m ) sii m = n + 1, v i = u i, a i = a i para todo 1 i n, R a = R m a y u n R a v m vale en M. V está definida como (w Ra 1 u 1 Ran u n ) V (p) sii u n V(P). Claramente M tiene forma de árbol. Tenemos que demostrar que el mapeo f : (w Ra 1 u 1 Ran u n ) u n define un morfismo acotado suryectivo. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 9

Tree model property Recordemos lo que era un morfismo acotado: Sean M y M modelos. Un mapeo f : M = (W, R, V) M = (W, R, V ) es un morfismo acotado si: I. w y f (w) satisfacen las mismas variables proposicionales. II. Si wrv entonces f (w)r f (v). III. Si f (w)r v, entonces existe un v tal que wrv y f (v) = v. A partir de la manera en la que construimos M no es difícil ver que f : (w Ra 1 u 1 Ran u n ) u n define un morfismo acotado suryectivo. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 10

Tree model property Entonces, resumiendo lo que hicimos, supongamos que ϕ es satisfecha en un modelo M, en un punto w: 1. Construimos M, el submodelo generado a partir de w. Como los submodelos generados preservan satisfacibilidad, sabemos que M, w = ϕ. 2. Como M es un modelo con raíz en w, podemos generar un modelo M con forma de árbol (siguiendo el procedimiento que acabamos de ver), en donde además M, w = ϕ. Entonces, cualquier fórmula satisfacible puede ser satisfecha en un modelo con forma de árbol. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 11

Propiedad de modelo finito Los resultados de invariancia pueden verse en forma negativa o positiva: (-): Nos hablan de los límites de la expresividad de los lenguajes modales. (+): Son una herramienta para transformar modelos en otros, modificando propiedades estructurales sin afectar la satisfacibilidad. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 12

Propiedad de modelo finito Vamos a probar que el lenguaje modal básico tiene la propiedad de modelo finito: Si una fórmula es satisfecha en un modelo arbitrario, entonces es satisfacible en un modelo finito. Propiedad de modelo finito. Sea C una clase de modelos. Decimos que un lenguaje tiene la propiedad de modelo finito con respecto a C si vale lo siguiente: Si ϕ es una fórmula del lenguaje que es satisfacible en un modelo de C, entonces ϕ es satisfecha en un modelo finito de C. Por ahora nos vamos a preocupar sólo por el caso en el que C es la clase de todos los modelos de la lógica modal básica. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 13

Propiedad de modelo finito De nuevo podemos ver este resultado desde dos perspectivas: (-): Los lenguajes modales carecen del poder expresivo suficiente para forzar la existencia de modelos infinitos. (+): No tenemos que preocuparnos por modelos infinitos arbitrarios, porque siempre vamos a poder encontrar uno finito equivalente. Más adelante, esto nos va a permitir probar resultados de decidibilidad. En particular, vamos a probar esta propiedad a través de un procedimiento llamado de selección. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 14

Propiedad de modelo finito Podemos empezar con la siguiente pregunta: Cuánto del modelo ve una fórmula modal desde el estado actual? Intuitivamente, depende de cuál es el anidamiento de modalidades que la fórmula contiene. El grado de una fórmula está definido de la siguiente manera: deg(p) = 0 deg( ϕ) = deg(ϕ) deg(ϕ ψ) = max{deg(ϕ), deg(ψ)} deg( ϕ) = 1 + deg(ϕ) : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 15

Propiedad de modelo finito Veamos primero la siguiente propiedad. Prop 1: Sea un lenguaje con una signatura finita (esto es, finitos símbolos proposicionales y modalidades). I. Para todo n, sólo hay un conjunto finito de fórmulas de grado a lo sumo n que no son lógicamente equivalentes. II. Para todo n, modelo M y estado w de M, el conjunto de todas las fórmulas de grado a lo sumo n que son satisfechas en w es equivalente a una sola fórmula. Demostración: i) Por inducción en n. ii) Es inmediato de i). : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 16

Propiedad de modelo finito Veamos también que hay una manera de aproximarnos en forma finita a la noción de bisimulación. Esto nos va a servir más adelante para buscar un modelo finito. n-bisimulación: Sean dos modelos M y M, y w y w dos mundos de M y M respectivamente. Decimos que w y w son n-bisimilares (notación w n w ) si existe una secuencia de relaciones binarias Z n Z 0 con las siguientes propiedades (con i + 1 n): I. wz n w II. Si vz 0 v entonces v y v acuerdan en todas las proposiciones. III. Si vz i+1 v y Rvu, entonces existe u con R v u y uz i u IV. Si vz i+1 v y R v u, entonces existe u con Rvu y uz i u : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 17

Propiedad de modelo finito La intuición nos dice que: Si w n w entonces w y w son bisimilares hasta el nivel n. Si w w entonces w n w para todo n. Pero la vuelta no vale (ejercicio: Pensar un contraejemplo). : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 18

Propiedad de modelo finito Vamos a ver ahora que que con lenguajes de signatura finita, hay una coincidencia exacta entre equivalencia modal y n-bisimilaridad para todo n. Prop 2: Sea un lenguaje con una signatura finita, y dos modelos M y M de este lenguaje. Entonces, para todo w de M y w de M los siguientes puntos son equivalentes: I. w n w II. w y w acuerdan en todas las fórmulas modales de grado a lo sumo n. De esto se sigue que la noción de n-bisimilaridad para todo n y equivalencia modal coinciden. Demostración: i) ii) por inducción en n. La conversa se puede usar un argumento similar al de la prueba de Henessy-Milner. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 19

Propiedad de modelo finito Vamos a definir la altura de un modelo rooted de la siguiente manera: Sea M un modelo con raíz w. El único elemento con altura 0 es w. Los estados con altura n + 1 son los inmediatos sucesores de los estados con altura n que todavía no fueron asignados con una altura menor a n + 1. La altura de un modelo M es el máximo n tal que existe un estado en M con altura n, si es que tal máximo existe. Si no existe, la altura de M es infinita. La altura de w la notamos height(w). Para un natural k, la restricción de M a k (notación: M k) está definida como: (M k) = (W k, {R ik }, V k ) donde W k = {v height(v) k}, R ik = R i (W k W k ), y para cada p, V k (p) = V(p) W k. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 20

Propiedad de modelo finito Ahora podemos decir más formalmente cuánto de un modelo ve una fórmula en relación a su profundidad modal. Prop 3: Sea M un modelo rooted, y sea k un número natural. Entonces, por cada estado w de (M k) vale que (M k), w l M, w, donde l = k height(w). Demostración: Tomar la relación de identidad sobre (M k). Poniendo juntas las proposiciones 2 y 3, podemos concluir que cualquier fórmula satisfacible puede ser satisfecha en un modelo de altura finita. Esto nos acerca a lo que buscamos, pero el modelo resultante todavía puede tener branching infinito. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 21

Propiedad de modelo finito Vamos a obtener un modelo finito seleccionando puntos y descartando ramas no deseadas. Teorema: Modelo Finito - vía selección. Sea ϕ una fórmula de la lógica modal básica. Si ϕ es satisfacible, entonces es satisfacible en un modelo finito. Demostración: Sea ϕ una fórmula con deg(ϕ) = k. Vamos a restringir la signatura a los operadores modales y proposiciones que aparezcan en ϕ. Sea M 1, w 1 tal que M 1, w 1 = ϕ. 1. Por la tree model property, existe M 2 con forma de árbol y raíz w 2 tal que M 2, w 2 = ϕ. 2. Sea M 3 = (M 2 k). Por la Prop 3, vale M 2, w 2 k M 3, w 2, y por la Prop 2, tenemos que M 3, w 2 = ϕ. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 22

Propiedad de modelo finito 3. Por inducción en i k vamos a definir los conjuntos S 0,..., S k y modelo final M 4 con dominio S 0 S k. Los puntos en cada S i van a tener altura i. 4. Definimos S 0 = {w 2 } y supongamos que S 0,..., S i ya fueron definidos. Fijemos un elemento v de S i. Por la Prop 1 hay sólo finitas fórmulas no equivalentes con grado a lo sumo k. Llamémoslas ψ 1,..., ψ m. Para cada una de esas fórmulas de la forma a ρ que vale en M 3 en el punto v, seleccionemos un estado u de M 3 tal que R a vu y M 3, u = ρ. Agreguemos todos los puntos us a S i+1 y repitamos este proceso de selección para cada punto de S i. 5. Definimos a S i+1 como el conjunto de todos los puntos seleccionados de esta manera. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 23

Propiedad de modelo finito 6. Finalmente, definimos M 4 como: I. Su dominio es S 0 S k. Como cada S i es finito, M 4 es finito. II. Sus relaciones y valuaciones se obtienen restringiendo las relaciones y valuaciones de M 3 al dominio de M 4. 7. No es difícil probar que M 4, w 2 k M 3, w 2, y por lo tanto M 4, w 2 = ϕ. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 24

Propiedad de modelo finito El método que acabamos de ver tiene sus ventajas y desventajas: (+): En muchos casos el método se adapta bien a distintas lógicas. Son los casos en los que las nociones de árbol, n-bisimulación y el procedimiento de selección en sí se adaptan bien. (-): El modelo de entrada puede satisfacer relaciones estructurales importantes para nosotros, pero el resultado es siempre un árbol finito, y esas propiedades usualmente se pierden. Eso hace que si queremos probar la propiedad de modelo finito para alguna clase de modelos en especial, probablemente tengamos que hacer más trabajo adicional. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 25

Caracterización de van Benthem Hasta ahora teníamos una pregunta pendiente con respecto a expresividad modal: Cuál es exactamente el fragmento modal de la lógica de primer orden? Esto es, Qué fórmulas de primer orden son equivalentes a la traducción estándar de fórmulas modales? Qué propiedades de lo modelos son definibles a través de fórmulas modales? Vamos a intentar contestarlas en esta sección, con un resultado que se conoce como el teorema de caracterización de van Benthem. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 26

Caracterización de van Benthem Definamos primero algunas cosas: f : A B es un embedding elemental de A en B (notación f : A B) cuando A es un submodelo de B y para toda fórmula de primer orden α(x 1,..., x n ) y todas n-upla a 1,..., a n de A vale A = α[a 1,... a n ] sii B = α[f (a 1 ),..., f (a n )] Cuando existe un embedding de este tipo entre dos modelos, sabemos que en los elementos que el embedding relaciona se satisfacen las mismas fórmulas de primer orden. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 27

Caracterización de van Benthem Ya vimos que existía un operador llamado ultrapotencia, que dado un modelo M, nos devolvía otro M en donde las nociones de equivalencia modal y bisimulación coincidían. Detour Lemma: Sean M y N dos modelos, y w y v dos estados de M y N respectivamente. Entonces, las siguientes propiedades son equivalentes: I. Para toda fórmula modal ϕ: M, w = ϕ sii N, v = ϕ II. Existen modelos M, w y N, v y embeddings elementales f : M M y g : N N tales que: (a) f (w) = w y g(v) = v (b) M, w N, v La demostración apela a cuestiones de teoría clásica de primer orden. De la misma forma que cuando presentamos las ultrapotencias, vamos a dejar la demostración para otro momento... : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 28

Caracterización de van Benthem Con el resultado del lema de Detour, estamos en condiciones de probar el teorema de caracterización de van Benthem. Intuitivamente, este teorema nos dice que la noción de bisimulación es la noción correcta y nos dice cuál es la relación entre lógica de primer orden, lógica modal y bisimulaciones. Tenemos que definir primero un concepto que usamos informalmente en otras ocasiones: Una fórmula de primer orden α(x), en el lenguaje de correspondencia de la traducción estándar L, es invariante bajo bisimulaciones cuando para cualquier par de modelos M y N, cualquier estado w M y v N y cualquier bisimulación Z tal que wzv, tenemos que M, g x w = α(x) sii N, g x v = α(x). : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 29

Caracterización de van Benthem Ahora podemos enunciar y demostrar la caracterización: Teorema de caracterización de van Benthem: Sea α(x) una fórmula de primer orden en el lenguaje de correspondencia de la traducción estándar L. Entonces α(x) es invariante bajo bisimulaciones sii es equivalente a la traducción estándar de una fórmula modal. Este resultado nos dice cuál es precisamente el fragmento de primer orden que se corresponde con la lógica modal. La caracterización está dada en términos de bisimulaciones, es decir, a partir de propiedades estructurales de los modelos que ciertas fórmulas de primer orden distinguen. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 30

Caracterización de van Benthem Demostración: La dirección ) ya la probamos, cuando vimos que bisimilaridad implicaba equivalencia modal. Veamos la dirección ). Vamos a dar la demostración en 2 pasos: 1. Consideremos el conjunto de consecuencias modales de α(x) CM(α) = {ST x (ϕ) ϕ es una fórmula modal, y α(x) = ST x (ϕ)} Afirmamos que si CM(α) = α(x), entonces α(x) es equivalente a la traducción de una fórmula modal. Asumamos entonces CM(α) = α(x). Por compacidad, existe un subconjunto finito X CM(α) tal que X = α(x). Por lo tanto, = X α(x). Por otro lado, es trivial que = α(x) X, por lo que = X α(x). Como cada β X es la traducción de una fórmula modal, X también lo es. : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 31

Caracterización de van Benthem 2. Por lo tanto, sólo nos queda mostrar que CM(α) = α(x). Asumamos M, g x w = CM(α) e intentemos mostrar M, g x w = α(x). Sea T(x) = {STx (ϕ) M, g x w = ST x (ϕ)} Afirmamos que T(x) {α(x)} es consistente. Esto no es difícil de ver, razonando por el absurdo y usando compacidad para ver que si la inconsistencia es una consecuencia de α(x), entonces no puede valer la hipótesis de que M, g x w = T(x). Como T(x) {α(x)} es consistente, entonces tiene un modelo que lo satisface. Sea N, v tal que N, g x v = T(x) {α(x)} : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 32

Caracterización de van Benthem Notemos que M, w y N, v son modalmente equivalentes: M, w = ϕ implica que ST x (ϕ) T(x). Esto significa que N, v = ϕ M, w = ϕ es lo mismo que decir M, w = ϕ. Esto implica que ST x ( ϕ) T(x) y que N, v = ϕ Si modalmente equivalente implicara bisimilar ya tendríamos lo que buscamos, porque si N, g x v = α(x) y M, w N, v, como α(x) es invariante bajo bisimulaciones, M, g x w = α(x). : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 33

Caracterización de van Benthem Pero podemos aplicar el lema de Detour, y conseguir dos modelos bisimilares M, w y N, v que son extensiones elementales de los modelos originales. Por lo tanto, N, g x v = α(x) implica N, g x v = α(x). Como M, w N, v y α(x) es invariante bajo bisimulaciones, M, g x w = α(x). Y por lo tanto M, g x w = α(x). : Usos de Bisimulaciones Carlos Areces / Daniel Gorín / Sergio Mera. N 34