Integral de Lebesgue

Integral de Lebesgue Problemas para examen n todos los problemas se supone que (, F, µ) es un espacio de medida. Integración de funciones simples positivas. La representación canónica de una función simple positiva (repaso). Sea un conjunto y sea f : [0, + ) una función simple. Lo último significa que el conjunto de los valores de f es finito. Numeramos los valores de f en el orden estrictamente creciente: im(f) = {v,..., v n }, 0 v < v 2 <... < v n < +, y para cada j definimos el conjunto B j como la preimagen de {v j } bajo f: B j = f [{v j }]. ntonces los conjuntos B,..., B n son no vacíos y disjuntos a pares, n j= B j =, y n f = v j χ Bj. j= k= 2. La integral de una función simple dada por una representación no canónica. Sea (, F, µ) un espacio de medida, sean A,..., A m F conjuntos disjuntos tales m que = A k y sean w,..., w m [0, + ]. Algunos de los números w,..., w m pueden coincidir, y algunos de los conjuntos A,..., A m pueden ser vacíos. Consideremos la función f : [0, + ], m f := w k χ Ak. Construya la representación canónica de f y demuestre que para todo F m f dµ = w k µ(a k ). k= k= 3. La integral considerada como una función del conjunto de integración es una medida. Sea f : [0, + ) una función simple F-medible positiva. Se considera la función ϕ: F [0, + ] definida mediante la fórmula ϕ() = f dµ F. Basándose solamente en la definición de la integral para funciones simples medibles positivas demuestre que ϕ es una medida. Integral de Lebesgue, problemas para examen, página de 0

4. La integral de una función simple que toma sólo un valor en el conjunto de integración. Sea f : [0, + ) una función simple F-medible positiva y sea F un conjunto tal que f toma sólo un valor w [0, + ) en todos los puntos de : f(x) = w x. Basándose sólo en la definición de la integral para funciones simples medibles positivas demuestre que f dµ = w µ(). 5. jemplo de que la integral de una función positiva es cero aunque el conjunto de integración tiene medida no nula y la función es no nula en algunos puntos del conjunto de integración. Dé un ejemplo de un espacio de medida (, F, µ), una función medible positiva simple f SM(, F, R + ) y un conjunto medible F tales que f dµ = 0, µ() > 0, y f(x) > 0 para algunos puntos x. Integración de funciones medibles positivas 6. scriba la definición de la integral de Lebesgue de una función medible positiva. 7. nuncie y demuestre propiedades elementales de funciones medibles positivas. 8. Sean f M(, F, R + ), Y F tales que f dµ < +. Y µ ({x Y : f(x) = + }) = 0. 9. Cuándo la integral de una función positiva es nula? Sea f M(, µ, R + ) una función tal que f dµ = 0. f µ-c.t.p. ==== 0. Integral de Lebesgue, problemas para examen, página 2 de 0

0. Criterio de que la integral de una función positiva es igual a cero. Sea f M(, F, R + ) y sea F. ncuentre una condición necesaria y suficiente para que f dµ = 0.. Desigualdad de Chebyshov (un caso particular). Sean f M(, F, R + ), Y F, v > 0. µ ({x : f(x) v}) f dµ. v 2. Desigualdad de Chebyshov (una forma más general). Sean f M(, F, R + ), Y F. Sea g : R + R + una función creciente y v 0. µ ({x : f(x) v}) g f dµ. g(v) Convergencia de integrales de funciones medibles positivas 3. jemplo cuando no tiene caso la convergencia de las integrales. Dé un ejemplo de un espacio de medida finita (, F, µ) y una sucesión de funciones F-medibles f n : [0, + ) tales que f n converge puntualmente a una función g : [0, + ) pero f n dµ g dµ. 4. Una parte de la demostración del teorema de la convergencia monótona. Sea (f n ) n N una sucesión creciente de funciones F-medibles, f n : [0, + ) y sea s: [0, + ) una función simple F-medible positiva tal que x lim f n (x) s(x). para todo c (0, ) lim f n dµ c s dµ. 5. Teorema de la convergencia monótona (creciente). nuncie el teorema y escriba y complete su demostración basándose en el resultado del problema anterior. Integral de Lebesgue, problemas para examen, página 3 de 0

6. Teorema de la convergencia decreciente. nuncie y demuestre el teorema de la convergencia decreciente. 7. Demuestre con un ejemplo que en el teorema de la convergencia decreciente la condición f L (µ) no se puede omitir. n otras palabras, construya una sucesión de funciones (f n ) n N que decrece en cada punto y lim f n dµ lim f n dµ. 8. Propiedad aditiva de la integral en el caso de funciones positivas. Sean f, g : [0, + ] funciones F-medibles positivas. (f + g) dµ = f dµ + g dµ. 9. Propiedad σ-aditiva de la integral en el caso de funciones positivas. Sean f n : [0, + ] funciones F-medibles positivas. Denotemos por g la suma de la serie n= f n: g(x) = f n (x) x. n= g dµ = n= f n dµ. 20. Serie numérica como una integral de Lebesgue. Sea (a n ) n N una sucesión en [0, + ], es decir, a: N [0, + ]. Consideremos N como un espacio de medida: (N, F, µ), donde F = 2 N y µ es la medida de conteo: { A, si A es finito; µ(a) := +, si A es infinito. Recordamos que la suma de la serie se define como el límite de las sumas parciales: a n := lim a n. n N a n = n N k N n N n k a dµ. 2. Intercambio de sumas de números positivos. Sean a j,k [0, + ] para todos j, k N. a j,k. j N k N a j.k = k N j N Integral de Lebesgue, problemas para examen, página 4 de 0

Medida generada por una función medible positiva 22. Medida generada por una función medible positiva. Sea (, F, µ) un espacio de medida y sea f M(, F, R + ). la función ϕ: F R + definida mediante la siguiente fórmula es una medida: F, ϕ() := f dµ. 23. Sean, F, µ, f, ϕ los mismos que en el ejercicio anterior. para toda g M(, F, R + ), g dϕ = fg dµ. 24. Sea (, F, µ) un espacio de medida y sea f M(, F, R + ) una función cuyo conjunto de valores es numerable: R(f) = {v k } k N. Para todo k N denotemos por A k a la preimagen del conjunto {v k } bajo la función f: A k := f [{v k }]. 25. 0 f dµ = k N v k µ(a k ). + x dx = x n= n 2. Integral de Lebesgue, problemas para examen, página 5 de 0

Integral de Lebesgue de funciones reales y complejas 26. Integral de la suma de funciones reales. Sean f, g L (µ) funciones integrables con valores reales. (f + g) dµ = f dµ + g dµ. Puede usar propiedades de la integral de Lebesgue de funciones positivas. 27. Integral del producto de un número negativo por una función real. Sea f L (µ) una función integrable con valores reales y sea α < 0. (αf) dµ = α f dµ. Puede usar propiedades de la integral de Lebesgue de funciones positivas. 28. Integral del producto de un número complejo por una función compleja. Sea f L (, µ, C) y sea α C. (αf) dµ = α f dµ. 29. Transformación de un número complejo en un número positivo por medio de una rotación. ste ejercicio sirve como un lema para el siguiente teorema. Sea z C. Construya un número α C tal que α = y αz 0. 30. Teorema: Integral y valor absoluto. Sea f L (, µ, C). f dµ f dµ. Integral de Lebesgue, problemas para examen, página 6 de 0

Teorema de convergencia dominada 3. Teorema de convergencia dominada. nuncie y demuestre el teorema de la convergencia dominada (de Lebesgue). 32. Teorema de convergencia uniforme. Sea (, F, µ) un espacio de medida finita (µ() < + ) y sea (f n ) n N una sucesión de funciones tales que: i) f n L (µ) para todo n N; ii) f n = g; iii) g L (µ). lim f n dµ = g dµ. 33. n el conjunto R con la medida de Lebesgue se considera la sucesión de funciones f n : R [0, + ) definida mediante la regla f n = χ [n,n+), esto es, {, n x < n + ; f n (x) = 0, x < n x n +. f n converge a la función g = 0 pero f n dµ =. lim xplique por qué no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la función h(x) = sup f n (x). n N 34. n el intervalo (0, ] con la medida de Lebesgue se considera la sucesión de funciones f n : (0, ] [0, + ) definida mediante la regla f n = nχ (0,/n], esto es, { n, 0 < x n f n (x) = ; 0, < x. n f n converge a la función g = 0 pero f n dµ =. lim xplique por qué no se puede aplicar el teorema de convergencia dominada. Para ello, calcule la función h(x) = sup f n (x). n N Integral de Lebesgue, problemas para examen, página 7 de 0

35. Criterio de la convergencia en medida (en el caso de medida finita). Sean (, F, µ) un espacio de medida finita, (f n ) n N una sucesión en M(, F, C) y g M(, F, C). las siguientes condiciones son equivalentes: µ (a) f n g; f n g (b) lim dµ = 0. f n g + 36. Sea (, F, µ) un espacio de medida infinita. Definimos las funciones f n, g M(, F, C) de la siguiente manera: f n = n, g = 0. µ f n g en este ejemplo f n g, pero dµ 0. f n g + Continuidad de la integral con respecto al conjunto de integración 37. Lema. Sea (, F, µ) un espacio de medida y sea f L (, µ, R + ). Definamos los conjuntos U n (n {0,, 2,...}): U n := { x : f(x) n }. lim µ(u n) = 0. 38. Teorema. Sea (, F, µ) un espacio de medida y sea f L (, µ, R + ). Demuestre que para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si F y µ() < δ, entonces f dµ < ε. Integral de Lebesgue, problemas para examen, página 8 de 0

Integrales impropias 39. Sea µ la medida de Lebesgue en R, sea a R y sea f L ([a, + ), µ, C). Demuestre que para toda sucesión (b n ) n N R que tiende a +, lim f dµ = f dµ. [a,b n] [a,+ ) 40. Sea µ la medida de Lebesgue en R, sea a R y sea f L ([a, + ), µ, C). Demuestre que lim f dµ = f dµ. b + [a,b] [a,+ ) Sugerencia: utilice el resultado del problema anterior y el criterio del límite en términos de sucesiones (criterio de Heine). 4. Consideremos la función f : [, + ) R definida mediante la siguiente fórmula: pero existe y es finito el límite + f(x) = sen(x). x f(x) dx = +, b lim f(x) dx. b + Integral de Lebesgue, problemas para examen, página 9 de 0

Integración y conjuntos de medida cero n los siguientes problemas se supone que (, F, µ) es un conjunto de medida. La medida puede ser finita o infinita. 42. Igualdad casi en todas partes es una relación de equivalencia. Consideremos el conjunto de funciones complejas F-medibles con la relación binaria µ definida mediante la siguiente regla: f µ g µ ({ x : f(x) g(x) }) = 0. 43. Sucesión de conjuntos cuyas medidas forman una serie convergente. Sea ( n ) n N una sucesión de conjuntos F-medibles tal que y sea µ(a) = 0. µ( n ) < +, n= A = { x : {n N: x n } es infinito }. Integral de Lebesgue, problemas para examen, página 0 de 0