CAPÍTULO 10. POLÍGONOS SEMEJANTES Introducción Tres conceptos simples pero totalmente ligados como son: razón, proporción y división de dos segmentos en segmentos proporcionales, sirven de preámbulo para fundamentar una de las aplicaciones más importantes en la esencia misma de la Geometría Euclidiana que se designan como la proporcionalidad y la semejanza. En las necesidades cuotidianas desde la génesis de la humanidad estos dos conceptos se evidencian en los problemas que la naturaleza le plantea al hombre y se hace necesaria, en consecuencia, su total manejo y comprensión. Es por ello que en buena parte de los primeros resultados que los geómetras egipcios, griegos y árabes esta temática estuviese presente. Objetivos Específicos. 1. Presentar las propiedades que, en el campo de los números reales, caracterizan a las fracciones, destacando entre ellas las que no son de uso frecuente en el álgebra pero que son determinantes en el manejo de las proporciones. Ello es necesario porque muchos problemas que pueden considerarse que su solución está en la Geometría, realmente lo está en el álgebra.. Destacar de los primeros teoremas, la equivalencia establecida entre la proporcionalidad y el paralelismo en el triángulo, aprovechando el hecho de que la proporcionalidad induce el paralelismo como un criterio importante para demostrar paralelismo en condiciones más restringidas desde luego que el Teorema de los ángulos alternos internos. 3. Mostrar el Teorema de Thales como uno de los de mayor importancia práctica y de trascendencia en este tema. 4. Plantear la relación de semejanza como una de las más importantes en las relaciones de la Geometría con sus propiedades que la caracterizan como una
relación de equivalencia y de la cual, la relación de congruencia es un caso particular. 5. Destacar los tres casos de semejanza entre triángulos y en función del caso A-A-A demostrar el Teorema que plantea las propiedades métricas del triángulo rectángulo inducidas por la proporcionalidad. 6. Plantear como el Teorema señalado en el objetivo anterior es la base para la demostración de Teoremas que plantean relaciones métricas importantes como: el Teorema de Pitágoras, las propiedades de los triángulos acutángulos y obtusángulos, la Ley del coseno, la relación de Stewar entre otros. 7. Señalar que el Teorema de Pitágoras corresponde a una equivalencia, demostrando su recíproco, información poco discutida y menos aún aplicada como un criterio más de perpendicularidad. 8. Presentar el concepto de potencia de un punto respecto a una circunferencia y mostrar algunas de sus aplicaciones. Iniciaremos el estudio de semejanza de polígonos con un breve repaso de las fracciones y sus propiedades básicas.
10.1 NOCIONES Y PROPOSICIONES FUNDAMENTALES 10.1.1 Propiedades básicas de las fracciones. Para a, b, c, d R se cumple: a c b d i) Si entonces y a b ; a, b, c, d 0. b d a c c d a c a b c d a b c d ii) Si entonces y ; para b, d 0 ; a b, c d. b d b d a b c d a1 a a3 an a1 a1 a a1 an iii) Si entonces, para b 0 ; b b b b b b b b b i 1 3 i 1n. a c a c iv) Si y, entonces f d. b d b f Definición 6. Razón. Proporción. i) Llamaremos razón al cociente de dos cantidades expresadas en la misma unidad de medida. ii) a c a c Si dos razones: y son iguales la ecuación b d b d la denominaremos una proporción y se nota: a : b c : d. Esta expresión se lee: a es a b como c es a d. Los términos a y d se denominan extremos. Los términos b y c se denominan medios. n El término d se denomina cuarta proporcional de a, b y c respectivamente. 1 Si b c ; se dice que el término medio es media proporcional de los extremos. 1 1 n
Definición 63. Segmentos proporcionales. Sean: AB, CD tales que M AB, N CD. Decimos que M y N dividen a AB y CD en segmentos proporcionales si: m AM m MB AM CN esto es:. MB ND Figura 184 En general si la razón de la medida de dos segmentos es igual a la razón de la medida de otros dos segmentos, entonces los cuatro segmentos son proporcionales. Demostración: m CN m ND TEOREMA 80 Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo y que corta los otros dos, divide a estos lados en segmentos proporcionales. Sean: l una recta paralela a BC en el ABC. l corta a AB en E. l corta a AC en F. Debemos probar que AE EB AF FC
Consideremos dos situaciones posibles: Figura 185 AE m i) Si AE y EB son conmensurables, es decir si EB n (1) para m, n Z esto significa que existe un segmento unitario AO que está contenido m veces en AE y n veces en EB. Subdividimos AE y EB en m y n segmentos congruentes y trazamos por el extremo de cada uno, una recta paralela a AC. El corolario del teorema 37 nos permite concluir que los segmentos determinados por Nota: estas rectas sobre En consecuencia: Designamos por sobre AC. AC son congruentes. AF m y FC n A'O' y () FC n AF ma'o' A'O' la medida de cada uno de los segmentos congruentes determinados AE AF Luego de (1) y () se concluye:. EB FC
AE ii) Si AE y EB no son conmensurables, esto es Q, EB Q : Conjunto de números racionales. Como consecuencia de los Axiomas de Continuidad, en particular ( Ax de Arquímedes) podemos dividir el segmento en k segmentos congruentes k Z ; esto es BE k OO' (1) OO' : segmento congruente a cada uno de los k. Tomemos sobre AE el máximo número posible de segmentos de medida igual a OO' ; en consecuencia: EA n OO' () Con WA OO' (3) Tracemos por W' una recta paralela a BC. Llamemos W el punto de corte de estas rectas. BE De (1) y (3) tenemos: WA (4) k Es claro que WA puede hacerse tan pequeño como se quiera al aumentar el valor de k. En consecuencia, si k aumenta indefinidamente WA tiende a cero y por tanto W y W' tienden a coincidir con A y se tiene de esta forma, a partir de (1) y () BE k' OO', EA n' OO' AE AF concluimos que. EB FC WA BE AE n' de donde y tomando nuevamente lo establecido en la parte i), EB k' Figura 186.
COROLARIO 1. Dos lados de un triángulo son proporcionales a los segmentos que en ellos determinan cualquier recta paralela al tercer lado. La demostración se deja como ejercicio. TEOREMA 81. TEOREMA DE THALES. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD. Los segmentos determinados en dos rectas secantes por tres o más paralelas son proporcionales. Demostración: Sean t y 1 secantes a las rectas l, l1, l, respectivamente; l l1 l. Tracemos por B; BS t (V.P.E Existencia de la paralela única) Sean B, B los interceptos de BS con 1 y l respectivamente. B BB 1 B" B B (por el Teorema 80) (1). AA1 B y A1 A B" () Teorema 37 (Segmentos de paralelas comprendidas entre paralelas). t 1 AA1 BB1 Luego: Sustituyendo () en (1). A A B B 1 l 1
Demostración: Sean: ABC, l una recta l AB E ; l AC = {H}. Figura 187 TEOREMA 8. RECÍPROCO DEL TEOREMA 80. Segundo criterio de paralelismo Si una recta divide dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales, es paralela al tercer lado. AE EB AH HC Figura 188 Razonamos por reducción al absurdo Supongamos: l BC
Por E se traza EH ' BC (V.P.E) AE AH' Luego (Teorema 80) (1) EB H ' C AB AC De la hipótesis por el Corolario 1 afirmamos () EB HC AB AC De (1), por el Corolario 1 (3) EB H ' C En consecuencia de () y (3) por la propiedad v) de las fracciones se concluye que HC H' C ; por tanto l BC, lo que contradice la hipótesis. En consecuencia Definición 64. División Armónica. l BC.Método de Reducción al absurdo. Sean: A, B puntos distintos, C Int AB, AB y D Ext AB, decimos que C y D CA DA dividen armónicamente a AB si. CB DB Figura 189 De C y D se dice que son los conjugados armónicos respecto a A y B. De A, B, C, D se dice que forman una división armónica. TEOREMA 83 D La bisectriz de un ángulo cualquiera de un triángulo, divide el lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados.
Demostración: Sean: ABC un triángulo cualquiera CM la bisectriz del triángulo asociada al ángulo C. Tracemos por A una paralela a BC (V.P.E.). Designemos por E la intersección de esta paralela con CM. AM EC En el ABE se tiene: (por el Teorema 80) (1) MB CB Además: ACM CAE MCB AEC A.I. entre paralelas. Luego CAE CEA y en consecuencia EC CA (). son correspondientes entre paralelas. Figura 190 AM CA Sustituyendo () en (1) se concluye que:. MB CB TEOREMA 84. RECÍPROCO DEL TEOREMA 4. Si una semirrecta con origen en el vértice de un triángulo corta interiormente al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados del triángulo; entonces la semirrrecta es bisectriz del ángulo interior asociado a dicho vértice. La demostración se deja como ejercicio.
TEOREMA 85. La bisectriz de un ángulo exterior de un triángulo, que no es paralela al lado opuesto, divide exteriormente el lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados. Demostración: Sean: ABC un triángulo cualquiera. ACP : ángulo exterior al ABC ' CM : bisectriz de AB CM ' Tracemos por A una paralela a CM (V.P.E.). Figura 191 Designemos por F el punto donde ésta paralela corta a BC. Designemos por M la intersección de CM ' con AB. AM" FC En el M"BC se tiene: (del teorema 80) (1) M" B CB Como ACF es isósceles (por qué?), CA CF () AM" CA Luego sustituyendo () en (1) se concluye. M" B CB Qué ocurre si CA CB? ACP '
COROLARIO. La bisectriz de un ángulo cualquiera de un triángulo y la bisectriz del ángulo externo suplementario dividen al lado opuesto armónicamente. La demostración se deja como ejercicio. TEOREMA 86. RECÍPROCO DEL TEOREMA 85. Si una semirrecta con origenen en el vértice de un triángulo, corta exteriormente al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados del triángulo, dicha semirrecta es bisectriz del ángulo exterior asociado a dicho triángulo. La demostración se deja como ejercicio.
10. SEMEJANZA ENTRE POLÍGONOS. Definición 65. Polígonos Semejantes. Dos polígonos del mismo número de lados son semejantes si: i. Se puede establecer una biyección en la cual todos los lados asociados son respectivamente proporcionales. Los lados asociados mediante esta correspondencia se denominan Homólogos, y el cociente se denomina razón de semejanza. ii. Los ángulos formados por cada par de lados adyacentes del polígono son congruentes con los correspondientes a los determinados por sus respectivos homólogos en el otro polígono. Los ángulos que se corresponden se denominan ángulos Homólogos. Ilustraciones. 1. En el ABC, sean M, N puntos medios de AC y BC respectivamente. CN 1,, CB MN 1 CM AB CA 1 CM CA i) CN CB Proporcionales. MN AB Figura 19 MCN ACB ii) CMN CAB Conclusión: CMN es semejante a CAB. CNM CBA
. Sean: ABCD: cuadrado A' D': rombo, AB A' A ' B ' Figura 193 El cuadrilátero ABCD no es semejante con el cuadrilátero A B C D (no se cumple la condición ii) de la definición). Notación. Si el polígono A A es semejante con el polígono A A' A', escribimos: Observaciones. ó Polígono A 1A An ~ Polígono A' 1 A' A' n. i. La semejanza de polígonos es una relación de equivalencia. ii. A 1A An ~ A' 1 A' A' n En el caso de triángulos, cualquiera de las dos condiciones i) ó ii) es suficiente para establecer la semejanza 1 A n ' 1 n i) ii) y ii) i) (se probará posteriormente). iii. La ilustración 1) se puede generalizar por el teorema 80 a cualquier recta que intersecte dos lados de un triángulo y sea paralela al tercer lado.
iv. Si dos polígonos son semejantes, la razón de sus perímetros es igual a la de cualquiera de sus lados homólogos. (Propiedad iv de las fracciones). Definición 66. Polígonos Congruentes. Dos polígonos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes y sus ángulos respectivamente congruentes (entendiéndose que nos referimos a los ángulos comprendidos entre lados respectivamente congruentes). TEOREMA 87. Dos polígonos semejantes son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente con su homólogo.
10.3 SEMEJANZA DE TRIANGULOS Demostración: Sean: ABC y A' tales que: A A', B. C de la hipótesis, suma de s interiores. Tomemos D CA y E CB tales que CD A', CE. Tracemos DE ; entonces: CDE A' (L-A-L). Figura 194 En consecuencia: CDE A' y por tanto CDE A ; luego DE AB. Podemos afirmar por el teorema 1 que AC BC A' TEOREMA 88. PRIMER CASO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. (1). CASO: ANGULO ÁNGULO (A-A). Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente congruentes, son semejantes. y obtenemos de esta igualdad que CA AB AC AB Tomemos DK BC (V P.E.) y pruébese que y en consecuencia. CD BK A' A' AB BC AC Conclusión: y ABC~ A'. A' A' AC BC DC EC
COROLARIO 1. Toda recta que intersecta a dos lados de un triángulo y es paralela al tercero, determina un triángulo semejante al primero. COROLARIO. Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo respectivamente congruente, son semejantes. COROLARIO 3. Las alturas correspondientes de dos triángulos semejantes, están en la misma razón que la de dos de los lados homólogos. COROLARIO 4. Todos los triángulos equiláteros son semejantes. TEOREMA 89. SEGUNDO CASO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. CASO: LADO - ÁNGULO LADO (L-A-L). Si dos triángulos tienen un ángulo congruente, comprendido entre lados respectivamente proporcionales, entonces son semejantes. Demostración: AC BC Sean: ABC y A' tales que: C,. A' Sean DCA, E CB tales que: CD A' y CE. Trazamos DE ; entonces: CDE A' (L-A-L). Consecuencias: CD A' y CE.
Figura 195 AC BC Sustituyendo en la hipótesis se tiene: y por el Teorema 8 DE AB. CD CE Ahora por el Corolario 1 (Teorema 88) CAB ~ CDE y por transitividad CAB ~ A' COROLARIO 1. Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos respectivamente proporcionales, son semejantes.. TEOREMA 90. TERCER CASO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. CASO: LADO - LADO LADO (L-L-L). Si los tres lados de un triángulo son respectivamente proporcionales a los tres lados de otro triángulo, los dos triángulos son semejantes. Demostración: AB BC AC Sean: ABC y A' tales que:. A' A' Sean DCA, E CB tales que: CD A' (1) y CE ().
AC BC Trazamos DE y se tiene: ; en consecuencia ABC ~ DEC por el teorema CD EC 89. De esta semejanza podemos afirmar que: AC A ' C ' AB DE (3). AC AB De la hipótesis se desprende que (4). A' A' Luego de (3) y (4) utilizando la propiedad v) de las fracciones se concluye que DE A'. (5) y sustituyendo de (1) se tiene: De (1), () y (5) afirmamos que DEC A' (L-L-L) y así DEC ~ A'. Finalmente por la transitividad concluimos: ABC~ A'. TEOREMA 91. Demostración: AC CD Dos triángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos o perpendiculares son semejantes. Téngase en cuenta los teoremas 36 y 90 respectivamente. AB DE
10.4 RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRÍANGULO RECTÁNGULO TEOREMA 9. Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, entonces: i) Los dos nuevos triángulos que se originan son semejantes entre sí y semejantes ii) iii) Demostración: Sean: ABC rectángulo, con ángulo recto en C, CF altura asociada a la hipotenusa i) ACF ~ ACB. Caso (A-A). (triángulos rectángulos y A común). BCF ~ ACB. Caso (A-A). (triángulos rectángulos y B común). ACF ~ BCF Transitividad. ii) De la última semejanza se desprende que: AF CF esto es: CF CF FB AF FB iii) De la primera semejanza se desprende que: AB AC AC esto es: AC AB AF. AF De la segunda semejanza se tiene: AB BC al triángulo inicial. La altura es media proporcional entre los segmentos que determina en la hipotenusa. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre esta. BC BF esto es: BC ABBF.
TEOREMA 93. TEOREMA DE PITÁGORAS. Demostración: Sean: ABC rectángulo; C : recto. CH AC CB Figura 196 El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. AC altura correspondiente a la hipotenusa. AB AH AB HB CB AB Teorema 9 Teorema 9 AH HB AB AB AB Figura 197 TEOREMA 94. RECÍPROCO TEOREMA DE PITÁGORAS. Si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otrosdos lados, entonces el triángulo es rectángulo..
Demostración: Sean: ABC, AB AC BC. Construyamos el A' así: Figura 198 A' CA ; CB, C : recto. (Axioma de construcción del segmento. Existencia de rectas perpendiculares). A' A' A' A' AC AB BC ' (Teorema de Pitágoras en el A' rectángulo) () (3) sustituyendo (1) en () de la hipótesis y (3) A' AB, en consecuencia: ABC~ A' (L-L-L) y se concluye así que C esto es: ABC es rectángulo.
10.5 RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS TEOREMA 95. En todo triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble producto de uno de estos lados por la proyección del otro sobre él. Demostración: Sean: ABC, C : obtuso. CD : proyección de AC sobre BC Figura 199 AD BC de la hipótesis, luego por el Teorema de Pitágoras: AB AC AD en el ADB rectángulo. en el ADC rectángulo. Restando miembro a miembro se tiene: AB AC DB DC (1) Como C está entre B y D a partir de la hipótesis, de lo contrario BCA sería agudo (Absurdo), en consecuencia: DB DC CB ; DB DC DC CB CB. Sustituyendo en (1) se tiene: AD DB DC AB AC CB DC CB
TEOREMA 96 En todo triángulo obtusángulo, el cuadrado de un lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble producto de uno de estos lados por la proyección del otro sobre él. Demostración: Sean: ABC, C : obtuso. CD : proyección de AC sobre BC. BD: proyección de BA sobre BC. Fundamentándonos en el Teorema 95, se tiene: AB AC CB DC CB (1) En particular B es agudo; de la hipótesis y suma de ángulos interiores del triángulo. Figura 00 Como C está entre B y D (Justificada en el Teorema 16) CD BD BC () Sustituyendo en (1) y simplificando se concluye: TEOREMA 97. TEOREMA DE STEWART. AC AB BC BC BD En el ABC, D BC. Si BD m, DC n, AD d entonces d a b m c n amn. Demostración: Aplicando los teoremas 95 y 96 a los triángulos: ADB y DAC se tiene: AB AD BD BD DA' (1)
AC AD CD CD DA' () Figura 01 Multiplicando (1) por CD y () por BD y sumando las ecuaciones resultantes se tiene: d a b m c n amn.
10.6 RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA TEOREMA 98. TEOREMA DE LA POTENCIA DE UN PUNTO. Caso 1. Si dos cuerdas de una circunferencia se intersectan, el producto de las medidas de los segmentos determinados en una de ellas, es igual al producto de las medidas de los segmentos determinados en la otra. Demostración: Sean: C( O, r) cualquiera AB, CD cuerdas, E su punto de intersección. m DAB m BCD. Ángulos inscritos en el mismo arco. CEB AED opuestos por el vértice. Luego AED~ CEB. Caso (A-A) ED AE En consecuencia: y EDCE EB AE. EB CE Figura 0 TEOREMA 99. TEOREMA DE LA POTENCIA DE UN PUNTO.Caso. Sean: ( O, r) una circunferencia, Q un punto exterior, L 1, L dos rectas secantes a la C circunferencia que pasan por Q; R, S los interceptos de L con C( O, r) ; U, T los interceptos de L con C( O, r) ; entonces QRQS QU QT. 1
Demostración: QSU ~ QTR. Caso (A-A). QU QS Consecuencia: y QU QT QS QR. QR QT Figura 03 TEOREMA 100. TEOREMA DE LA POTENCIA DE UN PUNTO. Caso 3. Si desde un punto exterior a una circunferencia, se trazan una tangente y una secante a la circunferencia, la medida del segmento tangente es media proporcional entre las medidas del segmento secante y su segmento exterior. Nota. En los tres casos señalados en los Teoremas 98,99 y 100 los productos constantes determinados a partir del punto común en la intersección de los diferentes segmentos, se designa como la potencia de dicho punto respecto a la circunferencia respectiva.
10.7 EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Indicar para cada una de las proposiciones, si son verdaderas o falsas, justificando su determinación. 1.1 Si a = c, entonces, necesariamente a = c y b = d b d 1. Siempre se cumple que a b + c d = a+c b+d 1.3 Siempre se cumple que 1 a + 1 b + 1 c = a+b+c 1.4 Siempre se cumple que a+b+c 1.5 Siempre se cumple que a 1 a.b.c a.b.c = 1 + 1 + 1 b.c a.c a.b + a + a 3 = a 1+a +a 3 b 1 b b 3 b 1 +b +b 3 1.6 Toda fracción representa una razón. 1.7 Toda razón se puede expresar como una fracción. 1.8 La media proporcional de 3 y 7 es igual a 5. 1.9 La media proporcional de 11 y 5 es igual a 7,41.. En el ABC de la figura se tiene: P 1 Q 1 P Q P 3 Q 3 AC, los numerales siguientes se refieren a la información proporcionada por esta figura. Determine su validez..1 AP 1 = AP 3 CQ 1 CQ 3. P 1P A = P 1Q 1 P P 3 P 3 Q 3.3 A P A B = CQ C D P1 Q1 Q P B P3 Q3 C
3. En el ABC de la figura se tiene: QC = AQ ; los numerales siguientes se refieren a la PC PB información suministrada por esta figura. Determine su validez. 3.1 PB = AB y QA = BA PC AC QC BC 3. QP AB 4. En la figura se tiene: M, T, K, H son colineales; HK HM = SK SM ;TS H recto. Los numerales siguientes se refieren a la información suministrada por esta figura. Determine su validez. 4.1 KT 4. MT = ST KH SH = ST MH SH 4.3 SK es bisectriz de TS H 4.4 SH es bisectriz de FS K 4.5 TK = SK TM SM 5. En el ABC, C recto, AC se divide en 10 segmentos congruentes, AP 1 P 1 P P 9 C; por cada punto P i se traza la paralela a BC; que intercecta en Q i al segmento AB. Si BC = 5 unidades, calcule: P 1 Q 1 + P Q + + P 9 Q 9
6. Indicar para cada una de las siguientes proposiciones si son verdaderas o falsas, justificando su determinación. En el ABC de la figura se tiene: P 1 P 1 P P BC ; P 1 S 1 P S AB ; P 1 S 1 P P = {K} 6.1 AP 1 P 1 ~ ABC 6. CP 1 S 1 ~ CP S g 6.3 AP 1 P 1 ~ P CS 6.4 AP 1 6.5 = P 1P 1 P 1 P P P AP 1 P 1 P 6.6 AP 1 = P 1P 1 KP P P = P 1P 1 = AP 1 KP KP 1 6.7 CS = S P = S 1 S = S 1 P 1 S S 1 S 1 P 1 BS 1 AB 6.8 KP = P 1 P = KP 1 BC AC AB 6. 9 P 1P 6.10 AP 1 = P 1 K P B P S = P K AP P P 6.11 P KS 1 B ~ KP S S 1 6.1 P 1 P KP 1 ~ KS 1 S P B P P 1 A P 1 S 1 S P C 7. Demuestre que en triángulos semejantes, las alturas, las medianas y las bisectrices asociadas a lados homólogos, conservan la misma razón de semejanza.
8. Los lados de un ABCmiden 7, 10 y 13 unidades. Si el perímetro de un A B C semejante a él mide 90 unidades, calcule: Las medidas de cada lado en el A B C Las medidas de una altura, una mediana y una bisectriz asociadas a uno cualquiera de los lados en el ABC y las medidas respectivas para cada uno de estos elementos asociados al lado homogéneo en el A B C 9. En el ABC de la figura, M 1, M,M 3 son puntos medios respectivamente. Demuestre que: AM 1 M 3 ~ BM 1 M ~ CM M 3 ~ M 1 M M 3 ~ ABC B 10. Las bases mayor y menor de un trapecio miden a y b unidades respectivamente. Por un punto de uno de los lados no paralelos se traza un segmento paralelo a las bases. Este segmento divide al lado en la razón m:n. calcule la medida del segmento. 11. Las bases de un trapecio miden 0 y 1 unidades y los lados no paralelos miden 10 y 1 unidades. Calcule: M1 A M La medida de las diagonales del trapecio. La medida de las alturas y los lados del triángulo con vértices en la intersección de los lados no paralelos del trapecio y en los extremos de la base mayor. 1. Se tiene el ABC rectángulo, con las dimensiones indicadas, AH BC.Si b c = 1 3 M3 A C, calcule HC HB B C
13. Si en un triángulo rectángulo las medidas de sus catetos son a y b unidades respectivamente y la medida de su hipotenusa es igual a c unidades, demuestre que 1 + a 1 = 1 b c 14. Propiedad métrica del ortocentro: Demuestre que en todo triángulo, el producto de las medidas de los dos segmentos en los que el ortocentro divide a cada altura, es constante para las tres alturas. 15. En la figura los triángulos: ABC y ABD son rectángulos con AC hipotenusa común y con las dimensiones señaladas. Demuestre que AD = a 3 16. Un punto P es exterior a C(O, R) y su distancia a O es de 13 cm. Una recta que pasa por P intersecta a C(O, R) en los puntos Q y R de tal forma que el segmento externo PQ mide 9 cm y QR = 7 cm. Calcule el radio de la circunferencia. 17. En el ABC rectángulo de la figura se tiene que T esta entre A y B y con las dimensiones señaladas. Pruebe que AT = x = a.c c+a
18. En la figura C(O, R) y C(O, R ) son tangentes en T, R = 3R,AB es tangente a ambas circunferencias, AB OO = {P}; TK cuerda diametral. Demuestre que: KP = R 19. Dada C(O, R), AB es una cuerda, WK mediatriz de AB, WK AB = {M}, S entre A y M; DH cuerda, DH AM = {S}. Demuestre que: DSM DHK
0. En la figura se tiene: C AD B con las dimensiones señaladas. Calcule AB 1. En el rectángulo ABCD de la figura, P Int (ABCD) con las medidas indicadas calcule PC. Sugerencia: Determine los segmentos asociados a las distancias de P a cada lado del rectángulo y analice los triángulos rectángulos que se generan.. En el ABC rectángulo, BM 1 y CM son medianas con BM 1 = 6 y CM = 4,5. Calcule BC. 3. En el ABC de la figura AT y CP son bisectrices del triángulo; a, b, c representan las medidas de los lados como se indica. Si AP PB TC = K, determine el valor de K. TB
4. En el ABC rectángulo, de la figura TPQC es un rectángulo, AC = 7, BC = 11, BT = a. Demuestre que el perímetro de PQCT es igual a 4 8a 11 5. En la C(O, R) de la figura se tiene: AT y DE cuerdas diametrales, PT tangente a C(O, R), B esta entre P y T, PT = R, PD PB, D esta entre O y P. Demuestre que: PB = PT BT 6. Calcule, para cada una de las situaciones que se presentan, el valor de la magnitud señalada como x, tenga en cuenta las hipótesis auxiliares.
7. Se tiene C(O, R) y C(O, R ) coplanarias, d(o, O ) = 37 unidades, R = 7 unidades, R = 4 unidades. Si T 1 T 1 es un segmento tangente interior a las dos circunferencias, calcule T 1 T 1. 8. Con relación a C(O, R), T 1 T es una cuerda diametral, AT 1 y BT tangentes a C(O, R); AT BT 1 = {K}. Si AT 1 = m y BT = n, demuestre que T 1 T = m. n Sugerencia: Aplique en el AT 1 T las relaciones métricas generadas por la proporcionalidad y tenga en cuenta que este triángulo es semejante al BKT. 9. En la figura se tiene ABCD es un trapecio, AB es la base menor, DC es la base mayor, AC BD = {O}, EF AB,O esta entre E y F. Demuestre: 9.1 AO = BO = AB OC OD CD
9. OE OF 30. Recta de Euler. Demuestre que en todo triángulo el baricentro, el ortocentro y el circuncentro son colineales. 31. En la figura ABCD es convexo; E punto medio de AC, F punto medio de BD; AE = EC = m; DF = FB = n, EF = h, y las demás medidas indicadas. Demuestre que a + b + c + d = (m) + (n) + (h). Sugerencia: Aplique la relación de Stewart en ABD para calcular AF Aplique la relación de Stewart en BCD para calcular CF Aplique la relación de Stewart en AFC para calcular FE 3. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de sus lados es igual a la suma delos cuadrados de sus diagonales. 33. En la figura los ABC y A B C, se tiene B y B rectos, C C. Demuestre que:ab. A B + BC. B C = AC. A C
10.8 EJERCICIOS RESUELTOS Ilustración N 1 Demuestre que si en un triángulo rectángulo X y Y son las medidas de los catetos y Z es la medida de la altura asociada a la hipotenusa, entonces, se cumple que 1 X + 1 Y = 1 Z Hipótesis i. ABC ii. iii. Tesis: 1 X + 1 Y = 1 Z Demostración BAC recto AH BC 1. X = BH. BC ; teorema relaciones métricas en el triángulo rectángulo.. Y = CH. BH; la misma razón anterior. 3. Z = BH. HC; la misma razón de 1. 4. 5. 6. 1 + 1 = 1 + 1 X Y BH.BC CH.BC 1 + 1 = 1 BH.BC CH.BC 1 BC. ( 1 ; sustitución de 1 y. BH + 1 CH ) = 1. BC (CH+BH) BH.CH = 1 BC. ( BC BH.CH ) = 1 BH.CH = 1 Z + 1 = 1 X Y Z ; transitividad de 4 y 5. Ilustración N Demuestre que si ABCD es un paralelogramo, Oε AC, OX AD, OY AB, entonces, OX = AB OY AD
Hipótesis i. ABCD paralelogramo ii. iii. iv. O AC OX AD OY AB Tesis: OX = AB OY AD Comentario Este problema no presenta una solución fácil y requiere de una construcción auxiliar con la cual se inicia su demostración. Demostración 1. Determinemos DK AC y BW AC. Teorema de la perpendicular bajada.. OAY ~ ABW. (A-A); por qué? 3. Consecuencias: OY = OA = AY BW AB AW 4. OY = OA.BW ; despejamos en 3. AB 5. OAX ~ ADK (A-A); por qué? 6. Consecuencias: OX = OA = AX DK AD AK 7. OX = OA.DK ; despejando en 6. AD 8. DAK BCW (Hipotenusa-ángulo agudo); por qué? 9. DK BW 8 ; consecuencia de 8. OA.DK OX = AD OY OA.BW = AB.OK = AB AD.BW AD AB ; por qué?
Ilustración N 3 En la figura se tiene: i. ABCD trapecio. ii. iii. iv. AB DC ST AB DC AS = BT = m SD TC n Determine m (ST ) en términos de a, b, m y n. Procedimiento. 1. Determinamos AC ; definición de segmento.. Desígnanos AC ST = {K} 3. ST = SK + KM; de propiedad de la medida de segmentos. 4. ASK~ ADC (A-A); por qué? 5. Consecuencias: AS 6. 7. AS = m AD m+n m m+n = SK a AD = SK a = AK AC ; de iv. propiedad de las fracciones. ; transitividad de 5 y 6. 8. SK = am ; despejando en 7. m+n * Siguiendo un procedimiento análogo se establece que CTK ~ CAB y de las consecuencias de esta semejanza se deduce que KT Sustituyendo SK y KT en 3; se tiene: Ilustración N 4 En la figura se tiene: i. ABC, A BC ST = = n b m+n a. m m + n + b. n a. m + b. n = m + n m + n ; luego KT = bn m+n ii. A y A rectos
iii. AB = AC = BC = K A B A C B C Demuestre que: a. a bb. c. c Demostración 1.. 3. 4. 5. 6. 7. a = b = c ; de iii. Designación de las medidas. a b c a a = c c a.a = c.c a.a c.c a.a = c.c a c b = c b c ; b.b = c.c b.b c.c b.b = c.c b c 8. a a = 9. b b = ; transitividad en 1. ; por qué? ; de 3. transitividad en 1. ; por qué? ; de 6. c.c.a c ; despejando en 4. c.c.b 10. a a + b b = Ilustración N 5 La recta de Euler c ; despejando en 7. c.c.a c.c.b + c c c c ; suma de 8 y 9. = (a + b ); factorizando. c = c c c c ; por qué? En el ABC de la figura se tiene: ii. iii. i. H ortocentro G baricentro O circuncentro = c.c propiedad cancelativa en el producto. Tesis: H, G y O son colineales.
* Para lograr la tesis es suficiente con demostrar que 1. Probemos que AHG ~ M 1 OG 1. Determinemos HG OG ; definición de segmentos.. O HAG GM1 Teorema reciproco A.I. 3. Determinemos X, Y, Z puntos medios de AH, BH y CH, respetivamente; definición puntos medios. 4. Determinamos M, 3 Y, OM 3 OM 1, YM 1 ; definición de segmentos. 5. M 3 Y AH y M 3 Y = AX = XH; paralela media en ABH. teorema 6. M 3 Y OM 1 ; transitividad en la relación de paralelismo ( AH OM 1 ). AGH M G 7. M 1 Y HC y M 1 Y = HZ = ZC; teorema de la paralela media CBH. 1 O ; por qué? 8. M 1 Y ; OM 3 transitividad en la relación de paralelismo ( CH ). OM 3 9. M 3 OM 1 Y es un paralelogramo; de 6 y 8 definición de paralelogramo. 10. OM 1 = M 3 Y; de 9 propiedad por equivalencia del paralelogramo. 11. OM 1 = 1 AH ; de 5 y 10. 1. M 1 G = 1 AG; de ii. teorema propiedad del baricentro. 13. AGH ~ M 1 GO (L-A-L) de,11 y 1. 14. Consecuencia AGH M 1 G O
15. Conclusión: H, G y O son colineales. por qué? Revisa la ilustración que presento a continuación para una mejor comprensión de la conclusión. Ilustración N 6 Demuestre el corolario siguiente, que se despende realmente del teorema de la Potencia de un punto respecto a una circunferencia. Hipótesis iv. C (O, R) π v. A, B, C, D ε C(O, R) vi. vii. Tesis: PA. PB = PD Demostración A está entre P y B PD tangente a C(O, R) 1. Determinemos AD y BD ; definición de segmentos.. m ( ABD ) 1 m N D ; teorema medida ángulo inscrito en un arco. A 3. m (PDA) 1 m N D ; por qué? 4. B D A A PDA ; de y 3 transitividad y propiedad de la medida. 5. PBD PAD (A-A); de 4 y reflexividad del P. 6. Consecuencias: PD = PB = BD AP PD AD 7. PD = PA. PB ; transitividad en 6 y propiedad de las fracciones.
Ilustración N 7 En la figura ABC está inscrito en la C(O, R), BMT T N C. Determine: 1. El valor de X.. El valor de AS. 3. El valor de ST. Procedimiento. 1. m (BAT) 1 m BMT ; por qué?. m (CAT) 1 m TNC ; por qué? 3. m (BAT) = m (CAT) ; transitividad de 1 y. 4. AT es la bisectriz del AC; de 3 definición bisectriz de un ángulo. 5. X 3.5 = 4 6 B ; de 4 teorema propiedades métricas de la bisectriz. 6. X = 3.5 4 =.04 ; despejando en 5. 6 7. BC. AS = BS 36 + 3.5 16 BC BS 3.5 ; teorema de Stewart en ABC. 8. AS =.04 36+3.5 16 5.54.04 3.5 5.54 = 89.884 = 4.07 5.54 9. BS. SC = AS. ST; teorema Potencia de un punto respecto a una circunferencia. 10. ST = BS SC AS Ilustración N 8 =.03 3.5 4.07 = 1.773 En la figura el DBC está inscrito en C (O, R) A C (O, R); AC BD ; B N C. Calcule el valor de X. AM B
Procedimiento 1. m. m (BCA) 1 m AMB; teorema medida ángulo inscrito en un arco. (BDC) 1 m BNC ; por la razón anterior. 3. BCA de la medida. BDC ; de 1 y transitividad con lo establecido en las premisas y propiedad 4. BDC ~ BPC (A-A); de 3 y reflexividad del B. 5. Consecuencias: X 6 = 10 = DC X PC 6. X = 60 X = 7.75; de 5 transitividad y propiedad de las fracciones, radicación.