Modelado en optimización lineal entera mixta

Modelado en optimización lineal entera mita Andrés Ramos Universidad Pontificia Comillas http://www.iit.upcomillas.es/aramos/ Andres.Ramos@upcomillas.es

CONTENIDO CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS ALGUNOS PROBLEMAS CARACTERÍSTICOS PIECEWISE LINEAR (master) PROBLEMA DE COSTE FIJO CONVEX AND NONCONVEXS REGION (master) PROPOSICIONES LÓGICAS SPECIAL ORDERED SETS (master) REFORMULATION (master) Modelado en optimización lineal entera mita -

Clasificación de problemas IP Problemas lineales donde algunas o todas las variables son enteras. Un caso particular de variables enteras son las variables binarias (0/).. PIP (pure integer programming) todas enteras 2. BIP (binary integer programming) todas binarias 3. MIP (mied integer programming) algunas enteras o binarias Modelado en optimización lineal entera mita - 2

Justificación de problemas de optimización con variable enteras Las inversiones son variables discretas (planificación de la epansión de la generación o de la red, adquisición de equipos singulares, contratación de personas) Las decisiones son variables binarias (localización de plantas o almacenes) Modelado en optimización lineal entera mita - 3

Representación binaria de variables enteras variable entera y i variable binaria (0/) N i =2 y 0 u i= 0 i N 2 u 2 N + Modelado en optimización lineal entera mita - 4

CONTENIDO CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS ALGUNOS PROBLEMAS CARACTERÍSTICOS PIECEWISE LINEAR (master) PROBLEMA DE COSTE FIJO CONVEX AND NONCONVEXS REGION (master) PROPOSICIONES LÓGICAS SPECIAL ORDERED SETS (master) REFORMULATION (master) Modelado en optimización lineal entera mita - 5

Algunos problemas característicos de LP y BIP Se han estudiado ehaustivamente. Su importancia práctica es limitada, pero pueden formar parte de otros problemas. Programación lineal LP Transporte Transbordo Asignación Programación binaria pura BIP Mochila Recubrimiento Empaquetado Partición Viaante Modelado en optimización lineal entera mita - 6

Problema de transporte Minimizar el coste total de transporte de un cierto producto desde los orígenes a los destinos, satisfaciendo la demanda de cada destino sin superar la oferta disponible en cada origen. oferta de producto en el origen i m orígenes b demanda de producto en el destino n destinos a i c i coste unitario de transporte desde i a a b a 2 2 2 b 2 a m m n b n Modelado en optimización lineal entera mita - 7

Formulación problema de transporte Oferta disponible en cada origen i Demanda de cada destino min i= = i i 0 m n c i i unidades de producto transportadas desde i hasta Se supone que la oferta es igual a la demanda del producto m n m n a = b i i= = Si ai > b se añade un sumidero universal con coste nulo i= = m n a < b Si i se añade una fuente universal con coste muy i= = elevado m i= n = = a i =,, m i = b =,, n i i i, Modelado en optimización lineal entera mita - 8

Estructura problema de transporte 2 n 2 22 m restricciones de oferta 2n m m2 mn n restricciones de demanda Si a y b son enteros i i son enteros por ser la matriz totalmente unimodular (i.e., toda submatriz cuadrada tiene determinante 0, ó ) Modelado en optimización lineal entera mita - 9

Problema de trasbordo Determinar en una red con n nodos las rutas más baratas para llevar unidades de un producto desde sus orígenes a sus destinos pasando por puntos de trasbordo intermedios. Cada origen genera b i > 0 unidades. Cada destino consume b i < 0 unidades. Cada trasbordo ni genera ni consume unidades b i = 0. c i coste unitario de transporte desde i hasta en dicho sentido. Modelado en optimización lineal entera mita - 0

Formulación problema de trasbordo Balance o conservación del fluo en cada nudo i min n i= = i n n n c i ki i = k = i i = b i =,, n i 0 unidades de producto transportadas desde i a i, Se supone que la oferta es igual a la demanda del producto n i= b i = 0 Modelado en optimización lineal entera mita -

Problema de asignación de tareas n n tareas personas (máquinas, etc.) para realizarlas Es un caso particular del problema de transporte. Minimizar el coste total de realizar las tareas sabiendo que cada persona realiza tarea y cada tarea es realizada por persona. c i coste de realizar la tarea i por la persona si la tarea i es realizada por la persona i 0 en cualquier otro caso Aunque no es necesario declararlas como binarias. Modelado en optimización lineal entera mita - 2

Formulación problema de asignación de tareas min i= = i n n c i i Cada tarea i es hecha por una persona n = = i =,, n i Cada persona realiza una tarea n i= = =,, n i i 0 i, Modelado en optimización lineal entera mita - 3

Secuenciación de trabaos en una máquina Dados unos trabaos que realizar, una duración de éstos y una fecha de entrega prevista, plantear un problema de programación lineal entera para encontrar la secuencia que minimiza el retraso o demora media con que los trabaos son entregados, con los siguientes datos: Tarea Tiempo de proceso Fecha de entrega A 9 5 B 2 9 C 7 23 D 4 3 Modelado en optimización lineal entera mita - 4

Denominamos d al tiempo de proceso del trabao y r a la fecha de entrega del trabao. Definimos las variables del problema como i si el trabao se hace en la posición i = 0 otro caso La función obetivo será la minimización de la demora media min 4 p i i sueto a estas restricciones: cada trabao se hace una vez en cada posición sólo un trabao i i i = = i Modelado en optimización lineal entera mita - 5

Para cada posición i se acaba un trabao en ella y su fecha de entrega es i r Por otra parte, el trabao que acaba en esa posición acaba en el instante d. Las variables ni y p k i k i, cuentan si acaba antes de tiempo (adelantado) o después (retrasado), por eso p i, que es la demora, es la que aparece en la función obetivo d + n p = r i k i i i k i { } n, p 0 0, i i i Modelado en optimización lineal entera mita - 6

Problema de la mochila (knapsack) n proyectos Maimizar el valor total de la elección de un conunto de proyectos sin sobrepasar el presupuesto disponible. c v b coste de cada proyecto valor de cada proyecto presupuesto disponible si se realiza el proyecto 0 en cualquier otro caso Modelado en optimización lineal entera mita - 7

Formulación problema de la mochila ma n = v Limitación del presupuesto disponible n = c b { 0,} Modelado en optimización lineal entera mita - 8

Problema de recubrimiento (set covering) m características (vuelos) n combinación de características (secuencia de vuelos). La elección de una combinación implica realizar todas las características de la misma. Minimizar el coste total de las combinaciones elegidas de manera que se cubra (posea) cada característica al menos una vez. c coste de elegir la combinación matriz de pertenencia si la característica i pertenece a la combinación a i 0 si no pertenece si se elige la combinación 0 en cualquier otro caso Modelado en optimización lineal entera mita - 9

Formulación problema de recubrimiento min n = c Cada característica i del conunto de todas las combinaciones que la poseen debe ser escogida al menos una vez. n = a i =,, m i { } 0, =,, n Modelado en optimización lineal entera mita - 20

Eemplo de recubrimiento: asignación de tripulaciones Una compañía aérea necesita asignar sus tripulaciones para cubrir todos sus vuelos. En particular, quiere resolver el problema de asignar TRES tripulaciones con base en San Francisco a los vuelos listados en la primera columna de la tabla. Las otras columnas muestran las 2 SECUENCIAS FACTIBLES de vuelos para una tripulación cualesquiera. Los números de cada columna indican el orden de los vuelos. Se necesita elegir tres secuencias (una por tripulación) de manera que se cubran todos los vuelos. Se permite tener más de una tripulación en un vuelo, donde la/s tripulación/es etra viaan como pasaeros, pero por convenio laboral la tripulación etra cobra como si estuviera trabaando. El coste de asignación de una tripulación a cada secuencia de vuelos se da en millones de euros en la última fila. El obetivo es minimizar el coste total de asignación de las tres tripulaciones para cubrir todos los vuelos. Resolver el mismo problema para el caso en que no se permite el vuelo de una tripulación fuera de servicio en un vuelo. Modelado en optimización lineal entera mita - 2

Secuencias factibles de vuelo 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 SF - LA SF - Denver SF - Seattle LA - Chicago 2 2 3 2 3 LA - SF 2 3 5 5 Chicago - Denver 3 3 4 Chicago - Seattle 3 3 3 3 4 Denver - SF 2 4 4 5 Denver - Chicago 2 2 2 Seattle - SF 2 4 4 5 Seattle - LA 2 2 4 4 2 Coste (M ) 2 3 4 6 7 5 7 8 9 9 8 9 Modelado en optimización lineal entera mita - 22

min 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 5 + 7 + 8 + 9 + 9 + 8 + 9 Cobertura de cada vuelo Asignación de las tres tripulaciones Solución 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 + + + 4 7 0 + + + 2 5 8 + + + 2 = 3 6 9 2 = 3 { } 0, =, 2 si se elige la secuencia para una tripulación = 0 en cualquier otro caso 3 = 4 = = = 0 3, 4, coste = 8 M = 5 = 2 = = 0, 5, 2 coste = 8 M Modelado en optimización lineal entera mita - 23

Problema de empaquetado (set packing) m proyectos n paquetes (conuntos) de proyectos. La elección de un paquete (conunto) implica realizar todos los proyectos del mismo. Maimizar el beneficio total de manera que ningún proyecto se realice más de una vez. c beneficio de elegir el paquete si el proyecto i está en el paquete a i 0 si no lo está si se elige el paquete 0 en cualquier otro caso Modelado en optimización lineal entera mita - 24

Formulación problema de empaquetado ma n = c Cada proyecto i del conunto de todos los paquetes que lo incluyen no puede ser elegido más de una vez n = a i =,, m i { } 0, =,, n Modelado en optimización lineal entera mita - 25

Problema de partición (set partitioning) EXACTAMENTE una característica (proyecto) del conunto de combinaciones (paquetes) que la contienen debe ser elegida n = a = i =,, m i Modelado en optimización lineal entera mita - 26

Problemas de recubrimiento, partición y empaquetado RECUBRIMIENTO PARTICIÓN EMPAQUETADO Modelado en optimización lineal entera mita - 27

Problema del viaante (traveling salesman problem TSP) Consiste en hacer un recorrido que pase por ciudades sin repetir ninguna y volviendo a la ciudad de partida de manera que la distancia total sea mínima. Formulación : i si se va de la ciudad i a la ciudad = 0 en otro caso min i i i U i i i i i = = i card( U ) U 2 card( U ) n 2 i c { 0,} i Modelado en optimización lineal entera mita - 28

Problema del viaante (TSP) Formulación 2: ik min ik, k i, k si se va de la ciudad i a la ciudad en el tramo k de recorrido = 0 en otro caso i,, k ik ik i = i = = k =, k { 0,} ik ik i, ik i r ik c rk+ Modelado en optimización lineal entera mita - 29

Modelado de poligonales La poligonal se define como un conunto de segmentos s Debemos estar sobre la poligonal g( ) (restricción de igualdad) Se supone que la abscisa del primer segmento es el origen b 0 =0 g( ) f s c s b s- b s Modelado en optimización lineal entera mita - 3

Tres posibles modelados Modelados. Incremental 2. De selección múltiple 3. De combinación convea Las relaaciones LP de las tres formulaciones son equivalentes Cualquier solución factible de una relaación corresponde a una solución factible de las otras con el mismo coste Modelado en optimización lineal entera mita - 32

Modelado incremental s Se define z como la carga o uso de cada segmento La carga o valor total será El segmento s+ tiene carga 0 a menos que el anterior esté s lleno. z + s s s > 0 si y sólo si z = b b Se introducen variables binarias Formulación del problema como siendo y s s si z > 0 = 0 en otro caso la diferencia en coste en el punto de intersección de segmentos s- y s = ( ) ( ) ˆ s s s s s s s f = f + c b f + c b s z s s s ( ˆ s s ) g( ) = c z + f y = s s s + ( ) ( ) y s z b b y z b b y s s s s s s s { } S+ 0,, 0 y = Modelado en optimización lineal entera mita - 33

Modelado de selección múltiple s Se define z como la carga total si La carga o valor total será está en dicho segmento Si la carga total cae en un segmento, para dicho segmento y para el resto s z = Se introducen variables binarias y s Formulación del problema como 0 = s si z > 0 = 0 en otro caso g( ) = s s s s ( c z + f y ) s z s s s s s s s s s s s s z b y z b y y = y { 0,} s z Modelado en optimización lineal entera mita - 34 =

Modelado de combinación convea Cualquier punto de segmento es combinación lineal convea s s de sus etremos con pesos µ, λ Formulación del problema s s s s ( µ λ ) ( ) ( ) g( ) = µ c b + f + λ c b + f s s s = b + b µ + λ = s s s y s y { } s s s µ, λ 0, y 0, s s s s s s s s Modelado en optimización lineal entera mita - 35

Problema de coste fio Se tiene la función obetivo Definimos una variable binaria que modela la decisión binaria sobre la realización de la actividad y > 0 = 0 = 0 La formulación resultante es n { } n ( ) min f ( ) = k y + c = = 0 =,..., n y 0, =,..., n My f 0 = 0 ( ) = k + c > 0 k f c Modelado en optimización lineal entera mita - 37

Asignación de grupos térmicos Qué grupos térmicos de generación eléctrica hay que acoplar en cada hora del día (o semana) de manera que: Se minimicen los costes variables de generación (incluyendo costes de combustible y costes de arranque y parada) Se suministre la demanda en cada hora Se mantenga un cierto nivel de reserva rodante Se respeten los parámetros de funcionamiento de los grupos térmicos (mínimos técnicos, rampas de subida y baada) Modelado en optimización lineal entera mita - 38

Asignación de grupos térmicos. Datos y variables DATOS D h R a t b t ca t cp t P t P t rs t rb t demanda térmica en la hora h [MW] coeficiente de reserva rodante con respecto a la demanda [p.u.] término lineal del coste de combustible del grupo térmico t [ /MWh] término fio del coste de combustible del grupo térmico t [ /h] coste de arranque del grupo térmico t [ ] coste de parada del grupo térmico t [ ] potencia máima del grupo térmico t [MW] potencia mínima del grupo térmico t [MW] rampa de subida del grupo térmico t [MW/h] rampa de baada del grupo térmico t [MW/h] VARIABLES P ht A ht AR ht PR ht potencia producida por el grupo térmico t en la hora h [MW] acoplamiento del grupo térmico t en la hora h {0,} arranque del grupo térmico t en la hora h {0,} parada del grupo térmico t en la hora h {0,} Modelado en optimización lineal entera mita - 39

Asignación de grupos térmicos. Formulación min H T h= t= ( a P + b A + ca AR + cp PR ) t ht t ht t ht t ht T t= P ht = D h H T t= ( P A P ) = RD t ht ht h P A P P A t ht ht t ht A A = AR PR ht h t ht ht P P rs ht h t t P P rb h t ht t Pht 0 A, AR, PR { 0,} ht ht ht H 2HT ( H ) T ( H ) T ( H ) T Modelado en optimización lineal entera mita - 40

Maimización de una función obetivo. Región cóncava Sea el problema de optimización con región factible cóncava z * z z b2 + a2 z b + a z b3 + a3 Formulación LP ma z z b + a z b + a 2 2 z b + a 3 3, z 0 * Modelado en optimización lineal entera mita - 42

Maimización de una función obetivo. Región no cóncava (i) Sea el problema de optimización con región factible no cóncava z * z z b2 + a2 z b3 + a3 z b4 + a4 z b + a * Modelado en optimización lineal entera mita - 43

Maimización de una función obetivo. Región no cóncava (ii) Formulación LP ma z z b + a z b + a 2 2 z b + a 3 3 z b + a, z 0 4 4 z z b2 + a2 z b3 + a3 z b + a * 4 4 z z b + a * Modelado en optimización lineal entera mita - 44

Maimización de una función obetivo. Región no cóncava (iii) Se divide la región factible no cóncava en regiones factibles cóncavas y se utiliza una variable binaria (de selección múltiple) para elegir la región factible y s si estamos en la región s = 0 en otro caso z z b2 + a2 z b3 + a3 z b + a z b4 + a4 s s + s b s s b b + y s = y s+ = Modelado en optimización lineal entera mita - 45

Maimización de una función obetivo. Región no cóncava (iv) ma z Si estamos en s ma z Si estamos en s+ y y + z b y + a + b y + a s s s+ s+ 3 3 z b y + a + b y + a = s s s+ s+ 2 2 4 4 s s s s s s s b y b y s s y s { } s s, z, 0, y 0, s s =, = 0 + z b a z b + a = s+ 2 2 s = 0 b b s s s s, z, 0 s s Región s s s y = 0, y + = Región s+ Para toda región ma z z b + a 3 3 z b + a = 4 4 Modelado en optimización lineal entera mita - 46 s = 0 s+ b b s+ s+ s s+ s+ z s+,, 0

Modelado de implicaciones Queremos modelar la condición de que si se produce el producto A también se debe producir el producto B. La condición de producción de un producto la representamos por la restricción. Luego esta implicación es A B Esta condición no se puede introducir directamente en un problema lineal porque hace que la estructura del problema (el que se considere o no una restricción más B ) depende de que se cumpla otra ( A ) y esto sólo se conoce una vez que se ha determinado la solución óptima. Un problema de optimización no se puede redefinir endógenamente, es decir, en función de los propios valores que toman las variables del problema. Modelado en optimización lineal entera mita - 48

Restricciones disyuntivas (i) Parea de restricciones donde sólo una (cualquiera de las dos) debe satisfacerse, mientras que la otra no es necesario que se cumpla. Debe cumplirse una pero no necesariamente las dos. f ( ) 0 ó g( ) 0 Modelado en optimización lineal entera mita - 49

Restricciones disyuntivas (ii) Queremos cumplir una de estas dos restricciones 3 + 2 8 ó + 4 6 2 2 Añadir M (constante de valor elevado) equivale a relaar la restricción (para variables positivas con coeficientes positivos) Relao la restricción y satisfago la 2 3 + 2 8 + M 2 + 4 6 2 Relao la restricción 2 y satisfago la 3 + 2 8 2 + 4 6 + M 2 Mediante variable binaria auiliar elio cuál de las dos relao 3 + 2 8 + Mδ 2 + 4 6 + M ( δ ) 2 se relaa la ecuación δ = 0 se relaa la ecuación 2 Modelado en optimización lineal entera mita - 50

Cumplir al menos k de N ecuaciones Se tienen que cumplir al menos k de N (k < N) ecuaciones f (,, ) d n f (,, ) d 2 n 2 f (,, ) d N n N k = y N = 2 es el caso anterior Formulación f (,, ) d + Mδ n f (,, ) d + Mδ 2 n 2 2 f (,, ) d + Mδ N n N N N i= i { } δ 0, i =,..., N i δ = N k Modelado en optimización lineal entera mita - 5

Seleccionar uno entre N valores La ecuación se debe cumplir para eactamente uno de los valores f (,, ) Formulación i= { } n = d d 2 d f (,, ) = d δ N δ = i N n i i i= δ 0, i =,..., N i N Modelado en optimización lineal entera mita - 52

Implicaciones sencillas Retomemos el eemplo de la restricción que aparecía en el problema de coste fio Mδ siendo M una cota superior positiva de y δ la variable binaria. Si δ = la restricción no obliga a nada ya que M se cumple por definición. Si δ = 0 entonces 0. Luego esta restricción permite modelar la implicación Por otra parte, si > 0 entonces δ =. Si 0 la restricción no obliga a nada. > 0 δ = Ambas son implicaciones equivalentes puesto que P Q es equivalente a No Q No P δ = 0 0 Mδ > 0 δ = δ = 0 0 Modelado en optimización lineal entera mita - 53

Implicaciones sencillas (ii) De forma análoga veamos la restricción siendo m una cota inferior negativa de y δ la variable binaria. Si δ = la restricción no obliga a nada ya que m se cumple por definición. Si δ = 0 entonces 0. Luego esta restricción permite modelar la implicación δ = 0 0 Por otra parte, si < 0 entonces δ =. Si 0 la restricción no obliga a nada. < 0 δ = Nuevamente ambas son implicaciones equivalentes puesto que es equivalente a P Q No Q No P mδ δ = 0 0 < 0 δ = mδ Modelado en optimización lineal entera mita - 54

Implicación de restricción (i) La implicación a δ = b se modela como a b + M ( δ ) siendo M una cota superior de la restricción para cualquier valor de cualquier a b M Efectivamente de manera directa se deduce que si δ = se impone la restricción original y si δ = 0 no implica nada (se relaa la restricción original). Análogamente al caso anterior esta restricción también representa la implicación a > b δ = 0 Modelado en optimización lineal entera mita - 55

Implicaciones de una restricción (ii) La implicación a b δ = se puede transformar en o bien en que es equivalente a 0 δ = a > b siendo m una cota inferior de la restricción para cualquier valor de cualquier a b m δ = 0 a b + ε a b + ε + ( m ε ) δ Modelado en optimización lineal entera mita - 56

Implicaciones de una restricción (i) De manera simétrica se pueden representar las implicaciones con restricciones de tipo mayor o igual. La implicación es equivalente a δ = b a a b + m( δ ) siendo m una cota inferior de la restricción para cualquier valor de cualquier,. a b m Efectivamente de manera directa se deduce que si δ = se impone la restricción original y si δ = 0 no implica nada (se relaa la restricción original). Análogamente al caso anterior esta restricción también representa la implicación a < b δ = 0 Modelado en optimización lineal entera mita - 57

Implicaciones de una restricción (ii) La implicación a b δ = se puede transformar en o bien en que es equivalente a 0 δ = a < b siendo M una cota superior de la restricción para cualquier valor de cualquier, a b M δ = 0 a b ε a b ε + ( M + ε ) δ Modelado en optimización lineal entera mita - 58

Implicaciones de una restricción = (i) Para deducir las implicaciones de restricciones igualdad se transforman en ecuaciones de tipo mayor o igual y menor o igual simultáneamente. La implicación es equivalente a δ = = b a Luego se representa por las ecuaciones δ = a b δ = a b Efectivamente para δ = se cumplen ambas restricciones y para δ = 0 ambas restricciones se relaan. a b + M ( δ ) a b + m( δ ) Modelado en optimización lineal entera mita - 59

Implicaciones de una restricción = (ii) La implicación a = b δ = es una combinación de los casos anteriores simultáneamente y además a a b δ = b δ = δ = y δ = δ = que se modela con las restricciones a b + ε + ( m ε ) δ a b ε + ( M + ε ) δ y otra restricción adicional que indique el cumplimiento de ambas. δ + δ δ Modelado en optimización lineal entera mita - 60

Implicaciones dobles Para formular implicaciones dobles éstas se desdoblan en las implicaciones unidireccionales correspondientes. δ = b a es equivalente a δ = a b a b δ = y lo mismo para los otros tipos de restricciones. Modelado en optimización lineal entera mita - 6

δ = b a b + M ( δ ) a a b δ = a b + ε + ( m ε ) δ δ = b a b + m( δ ) a a b δ = a b ε + ( M + ε ) δ δ = = b a b + M ( δ ) a a b + m( δ ) a = b δ = a b + ε + ( m ε ) δ a b ε + ( M + ε ) δ δ + δ δ δ = b a b + M ( δ ) a a a b + ε + ( m ε ) δ δ = b a b + m( δ ) a a b ε + ( M + ε ) δ δ = = b a b + M ( δ ) a b + m( δ ) a b + ε + ( m ε ) δ a b ε + ( M + ε ) δ δ + δ δ Modelado en optimización lineal entera mita - 62

Equivalencias entre proposiciones condicionales y/o compuestas Pueden utilizarse para transformar las implicaciones antes de convertirlas en restricciones lineales P Q P (Q y R) P (Q o R) (P y Q) R (P o Q) R no (P o Q) no (P y Q) No P o Q (P Q) y (P R) (P Q) o (P R) (P R) o (Q R) (P R) y (Q R) no P y no Q no P o no Q Modelado en optimización lineal entera mita - 63

Implicaciones Una implicación se puede epresar mediante restricciones disyuntivas Es equivalente a f ( ) 0 ó g( ) 0 f() <= 0 g() <=0 F V V F F F V V V V F V f ( ) > 0 g( ) 0 f() > 0 g() <=0 V V V V F F F V V F F V Modelado en optimización lineal entera mita - 64

Proposiciones condicionales y/o compuestas sencillas X i restricción i, δ i variable binaria que indica la satisfacción de la restricción i La primera fila dice que se debe cumplir la restricción ó la 2 (o ambas), luego efectivamente al menos una de las dos variables δ y δ 2 debe tomar valor y la forma de epresarlo con una ecuación lineal es δ + δ2 Además tiene que haber una restricción que diga que si se satisface la restricción i entonces δ i = Esa condición ha surgido ya para el problema de coste fio y su modelado como restricción lineal era δ = i i > 0 δ = i X o X 2 δ + δ 2 X y X 2 δ =, δ 2 = no X δ = 0 X X 2 δ - δ 2 0 X X 2 δ - δ 2 = 0 Modelado en optimización lineal entera mita - 65

Proposiciones condicionales y/o compuestas compleas Las proposiciones condicionales y/o compuestas más compleas se separan en una doble implicación para poder obtener las restricciones lineales de manera automática. Por eemplo, se modela como se transforma en la doble implicación que es equivalente a ( X o X ) ( X o X o X ) A B C D E δ + δ δ + δ + δ A B C D E δ + δ δ = δ + δ + δ A B C D E δ + δ δ = A Veamos cómo se modela cada una de estas implicaciones B δ = δ + δ + δ C D E Modelado en optimización lineal entera mita - 66

Eemplo Si se fabrica el producto A o B (o ambos) entonces debe fabricarse también al menos uno de los productos C, D o E. X i restricción de fabricación del producto i δ i = variable binaria asociada a satisfacer la restricción i ( X o X ) ( X o X o X ) A B C D E δ + δ δ = A Formulación B δ = δ + δ + δ C D E δ + δ 2δ 0 A B δ δ δ + δ 0 C D E δ + δ 2δ 0 A B δ δ δ + δ 0 C D E Modelado en optimización lineal entera mita - 67

Formulación alternativa ( X o X ) ( X o X o X ) A B C D E equivale a δ δ + δ + δ A Formulación: [ X ( X o X o X )] y [ X ( X o X o X )] C D E δ δ + δ + δ B C D E δ δ = δ + δ + δ A A C D E B C D E C D E δ δ = δ + δ + δ B X i B i δ δ δ + δ 0 i Mδ δ A δ 0 δ δ 0 δ C D E { 0, }, δ { 0,} C D E Modelado en optimización lineal entera mita - 68

Selección del equipo de baloncesto Un entrenador de baloncesto tiene 9 ugadores, a los que ha evaluado de a 3 de acuerdo con su maneo de pelota, tiro, rebote y defensa, según se indica en la tabla adunta. Jugador Posiciones Maneo de pelota Tiro Rebote Defensa Pivot 2 3 3 2 Base 3 3 2 3 Pivot, Alero 2 3 2 2 4 Alero, Base 3 3 5 Pivot, Alero 3 2 6 Alero, Base 3 2 3 7 Pivot, Alero 3 2 2 8 Pivot 2 3 2 9 Alero 3 3 3 Modelado en optimización lineal entera mita - 69

El equipo titular de 5 ugadores debe tener la máima capacidad defensiva y satisfacer las siguientes condiciones:. Por los menos dos ugadores deben estar en disposición de actuar de pivot, al menos dos de alero y por lo menos uno de base. 2. Su nivel medio, tanto en el maneo de pelota como de tiro y rebote, debe ser no inferior a 2. 3. Si uega el ugador 3, entonces el ugador 6 no puede estar en pista. 4. Si el ugador está en el equipo titular, también deberá estar el 4 ó el 5, pero en este caso no los dos a la vez. Si el ugador no está en el equipo titular, 4 y 5 pueden hacerlo, si interesa. 5. El ugador 8 ó el 9, pero no los dos a la vez, deben formar parte del equipo. Formular un programa lineal que facilite la selección del equipo titular. Modelado en optimización lineal entera mita - 70

ma 3 + 2 + 2 + + 2 + 3 + + 2 + 3 2 3 4 5 6 7 8 9 + + + + + + + + = 5 2 3 4 5 6 7 8 9 + + + + 2 3 p 5 p 7 p 8 + + + + + 2 3a 4a 5a 6a 7a 9 + + 2 4b 6b 2 + 3 + 2 + + + 3 + 3 + 2 + 3 0 2 3 4 5 6 7 8 9 + 3 + 3 + 3 + 3 + + 2 + + 3 0 2 3 4 5 6 7 8 9 3 + 2 + 23 + 34 + 5 + 26 + 27 + 38 + 9 0 = = 0 equivale a 0 ó 0 3 6 3 6 3 6 3 6 4 5 4 5 4 5 2 4 5 2 4 5 2 8 9 3 p y y o bien + + = equivalente a 0 ó ( + y + ) y + ( y ) o bien + ( y ) + = + = 0 3a 3 + = 0 4a 4b 4 + = 0 5 p 5a 5 + = 0 6a 6b 6 + = 0 ESCUELA 7 p 7TÉCNICA a 7 SUPERIOR DE INGENIERÍA { } i, yi 0, + 2 4 5 + 4 5 La solución resulta ser = 2 = 3 = 5 = 8 = y el resto 0 Modelado en optimización lineal entera mita - 7

Productos con variables binarias δ δ 2 = 0 δ 0, i δ δ 2 δ i δ δ { } { 0,} 0 { 0,} δ = 0 o δ 2 = 0 Reemplazar δ δ 2 por δ 3 δ 3 = δ = y δ 2 = Reemplazar δ por y δ = 0 y = 0 δ = y = δ + δ 2 δ + δ = δ + δ = 2 2 { } δ, δ 0, i i δ δ 3 δ δ 3 2 δ + δ + δ 2 3 δi y 0 { 0,} y Mδ + y 0 y + Mδ M M Modelado en optimización lineal entera mita - 72

SOS y SOS2 SOS: conunto de variables en el que una única variable debe ser diferente de 0 SOS2: conunto de variables en el que como mucho dos variables deben ser diferentes de 0 y deben ser consecutivas Caso eemplo: gestión del mantenimiento programado de grupos de generación Modelado en optimización lineal entera mita - 74

Gestión del mantenimiento programado Hipótesis: Se supone que el mantenimiento de cada grupo dura un número entero de periodos. p p p + p + 2 La gestión del mantenimiento programado involucra variables y restricciones interperiodo: Las decisiones tomadas para un cierto periodo p afectan a los periodos adyacentes. Modelado en optimización lineal entera mita - 75

Gestión del mantenimiento programado Información n relevante de cara a decidir el mantenimiento programado: Duración del mantenimiento de cada grupo t: M t (epresado en número de periodos). Deben ser consecutivos Modelado en optimización lineal entera mita - 76

Gestión del mantenimiento programado Variables de decisión n interperiodo: Grupo indisponible por mantenimiento: i pt : grupo t indisponible por mantenimiento en = 0:en otro caso Puesta en marcha y parada del mantenimiento: : el mantenimiento del grupo t comienza en a pt = 0: en otro caso : el mantenimiento del grupo t termina en p p pt = 0: en otro caso p p Modelado en optimización lineal entera mita - 77

Gestión del mantenimiento programado Contigüidad idad de los periodos de mantenimiento: Formulación : iqt M ta pt p, t p q< p+ Mt ip t ipt + a pt 0 p, t a pt t p Eemplo: se empieza el mantenimiento en p = 3 y debe durar M t = 4 periodos: 3 q 6 a 3t = i = i + i + i + i 4 i = i = i = i = qt 3t 4t 5t 6t 3t 4t 5t 6t i a + i =0+0=0 i = 0 2t 2t t 2t i a + i =+0= i 3t 3t 2t 3t Modelado en optimización lineal entera mita - 78

Gestión del mantenimiento programado Contigüidad idad de los periodos de mantenimiento: Formulación 2: a pt = p p+ M, tt p t ip t ipt + a pt p pt = 0 p, t ( a ) pt + p pt 2 t p Eemplo: se empieza el mantenimiento en p = 3 y debe durar M t = 4 periodos a p = 0 p = 0 p = 3t 7t 7t 7t i i2t i3t + a 3t p 3t = 0 i2t i3t + 0 = 0 i 2t 3t = 0 = Modelado en optimización lineal entera mita - 79

Reformulación La mayoría de problemas MIP se pueden formular de diferentes maneras En problemas MIP, una buena formulación es crucial para resolver el modelo Medida de la bondad de la formulación: intervalo de integralidad (integrality gap) diferencia entre f.o. de problema MIP y el relaado (LP) Dadas dos formulaciones equivalentes de un problema MIP, se dice que una es más fuerte (meor) que la otra, si la región factible de su relaación lineal está estrictamente contenida en la región factible de la otra. El intervalo de integralidad es menor. Modelado en optimización lineal entera mita - 8

Problema de localización de una instalación (sin límites) (i) Elegir dónde poner instalaciones entre un conunto de localizaciones y asignar los clientes a dichas instalaciones minimizando el coste total. Sin límites significa que no hay límite en el número de clientes asignados a una instalación. Datos emplazamientos, i clientes c coste de localizar en, h coste de satisfacer la demanda del cliente i desde Variables Formulación I i i i la instalación se coloca en = 0 cualquier otro caso yi fracción de demanda de cliente i satisfecha desde instalación en minc + h y y i i i = i y i { 0, }, y [ 0,] i Número de restricciones: I+IJ Modelado en optimización lineal entera mita - 82

Problema de localización de una instalación (sin límites) (ii) Formulación II minc + h y i y i i i i i = i y M { 0, }, y [ 0,] i Número de restricciones: I+J Ambas formulaciones son MIP equivalentes. Sin embargo, la formulación I es mucho más fuerte Intuitivamente cuantas más restricciones peor. Esto es verdad en LP. Sin embargo, en muchos problemas MIP cuantas más restricciones meor. Modelado en optimización lineal entera mita - 83

Problema de producción con coste fio e inventario (i) Datos t periodo de tiempo c coste fio de producción, p coste variable de producción, h coste de inventario d t t t t demanda Variables y s t t t se decide producir = 0 no se produce cantidad producida inventario al final del periodo Formulación I min ( c + p y + h s ) t t t t t 0 t = s = 0 T t t t t t t t s + y = d + s t y M t s { } y, s 0, 0, t t t Número de restricciones: 2T Número de variables: 3T Modelado en optimización lineal entera mita - 84

Problema de producción con coste fio e inventario (ii) Variables se decide producir t = 0 no se produce q cantidad producida en periodo i para satisfacer la demanda en periodo t i it Formulación II min t i= T t T ( ) i i i+ t it t t t = i= t = it it t i it q = d t q d it q { } 0, 0, t t p + h + h + + h q + c Número de restricciones: T+IT Número de variables: T+T 2 /2 La formulación II es meor. Sin embargo, tiene un mayor número de restricciones y variables. Modelado en optimización lineal entera mita - 85

Criterios para reformulación Puede ser interesante aumentar el número de variables si se puede hacer uso de ellas en la estrategia de ramificación del B&B. Por eemplo, división artificial de una zona en regiones N, S, E y O para ramificar primero en estas variables zonales. Modelado en optimización lineal entera mita - 86