MOVIMIENTO EN LÍNEA RECTA

2 MVIMIENT EN LÍNEA RECTA METAS DE APRENDIZAJE Al esudiar ese capíulo, used aprenderá: Cómo describir el moimieno en línea reca en érminos de elocidad media, elocidad insanánea, aceleración media y aceleración insanánea. Cómo inerprear gráficas de posición conra iempo, elocidad conra iempo y aceleración conra iempo para el moimieno en línea reca. Cómo resoler problemas que impliquen moimieno en línea reca con aceleración consane, incluyendo problemas de caída libre. Cómo analizar el moimieno en línea reca cuando la aceleración no es consane.? Un elocisa común acelera durane el primer ercio de la carrera y desacelera gradualmene en el reso de la compeencia. Es correco decir que un corredor esá acelerando conforme desacelera durane los dos ercios finales de la carrera? disancia debe recorrer un aión comercial anes de alcanzar la rapidez de despeje? Cuando lanzamos una peloa de béisbol ericalmene, Qué qué ano sube? Cuando se nos resbala un aso de la mano, cuáno iempo enemos para araparlo anes de que choque conra el piso? Ése es el ipo de pregunas que used aprenderá a conesar en ese capíulo. Iniciamos nuesro esudio de física con la mecánica, que es el esudio de las relaciones enre fuerza, maeria y moimieno. En ese capíulo y el siguiene esudiaremos la cinemáica, es decir, la pare de la mecánica que describe el moimieno. Después eremos la dinámica: la relación enre el moimieno y sus causas. En ese capíulo nos concenramos en el ipo de moimieno más simple: un cuerpo que iaja en línea reca. Para describir ese moimieno, inroducimos las canidades físicas elocidad y aceleración, las cuales en física ienen definiciones sencillas; aunque son más precisas y algo disinas de las empleadas en el lenguaje coidiano. Un aspeco imporane de las definiciones de elocidad y aceleración en física es que ales canidades son ecores. Como imos en el capíulo 1, eso significa que ienen ano magniud como dirección. Aquí nos ineresa sólo el moimieno recilíneo, por lo que no necesiaremos aún oda el álgebra ecorial; no obsane, el uso de ecores será esencial en el capíulo 3, al considerar el moimieno en dos o res dimensiones. Desarrollaremos ecuaciones sencillas para describir el moimieno recilíneo en el imporane caso en que la aceleración es consane. Un ejemplo es el moimieno de un objeo en caída libre. También consideraremos siuaciones en las que la aceleración aría durane el moimieno. En esos casos habrá que inegrar para describir el moimieno. (Si no ha esudiado inegración aún, la sección 2.6 es opcional.) 36

2.1 Desplazamieno, iempo y elocidad media 37 2.1 Desplazamieno, iempo y elocidad media Suponga que una piloo de auos de arrancones conduce su ehículo por una pisa reca (figura 2.1). Para esudiar su moimieno, necesiamos un sisema de coordenadas. Elegimos que el eje aya a lo largo de la rayecoria reca del auo, con el origen en la línea de salida. También elegimos un puno en el auo, digamos su eremo delanero, y represenamos odo el ehículo con ese puno y lo raamos como una parícula. Una forma úil de describir el moimieno de la parícula es decir, el puno que represena el auomóil es en érminos del cambio en su coordenada durane un ineralo de iempo. Suponga que 1. s después del arranque el frene del ehículo esá en el puno P 1, a 19 m del origen, y que 4. s después del arranque esá en el puno P 2, a 277 m del origen. El desplazamieno de la parícula es un ecor que apuna de P l a P 2 (éase la sección 1.7). La figura 2.1 muesra que ese ecor apuna a lo largo del eje. La componene del desplazamieno es simplemene el cambio en el alor de, (277 m 2 19 m) 5 258 m, que hubo en un lapso de (4. s 2 1. s) 5 3. s. Definimos la elocidad media del auo durane ese ineralo de iempo como una canidad ecorial, cuya componene es el cambio en diidido enre el ineralo de iempo: (258 m)>(3. s) 5 86 m>s. En general, la elocidad media depende del ineralo de iempo elegido. Durane un lapso de 3. s anes del arranque, la elocidad media fue cero, porque el auo esaba en reposo en la línea de salida y uo un desplazamieno cero. Generalicemos el concepo de elocidad media. En el iempo 1 el auo esá en el puno P l, con la coordenada 1, y en el iempo 2 esá en el puno P 2 con la coordenada 2. El desplazamieno del auo en el ineralo de 1 a 2 es el ecor de P l a P 2. La componene del desplazamieno, denoada con D, es el cambio en la coordenada : D 5 2 2 1 (2.1) El auo de arrancones se muee sólo a lo largo del eje, de manera que las componenes y y z del desplazamieno son iguales a cero. CIUDAD El significado de D Noe que D noes el produco de D y ; es sólo un símbolo que significa el cambio en la canidad. Siempre usaremos la lera griega mayúscula D (dela) para represenar un cambio en ciera canidad, calculada resando el alor inicial del alor final, y nunca a la inersa. Asimismo, el ineralo de iempo de 1 a 2 es D, el cambio en la canidad : D 5 2 2 1 (iempo final menos iempo inicial). La componene de la elocidad promedio, o elocidad media, es la componene del desplazamieno, D, diidida enre el ineralo de iempo D en el que ocurre el desplazamieno. Usamos el símbolo med- para represenar elocidad media (el 2.1 Posiciones de un auo de arrancones en dos insanes durane su recorrido.

38 CAPÍTUL 2 Moimieno en línea reca subíndice med indica que se raa de un alor promedio y el subíndice indica que ésa es la componene ): med- 5 2 2 1 5 D 2 2 1 D (elocidad media, moimieno recilíneo) (2.2) En el ejemplo del auo de arrancones eníamos 1 5 19 m, 2 5 277 m, 1 5 1. s y 2 5 4. s, así que la ecuación (2.2) da med- 5 277 m 2 19 m 4. s 2 1. s 5 258 m 3. s 5 86 m /s La elocidad media del auo es posiia. Eso significa que, durane el ineralo, la coordenada aumenó y el auo se moió en la dirección 1 (a la derecha en la figura 2.1). Si una parícula se muee en la dirección negaia durane un ineralo de iempo, su elocidad media en ese lapso es negaia. Por ejemplo, suponga que la camionea de un juez se muee hacia la izquierda sobre la pisa (figura 2.2). La camionea esá en 1 5 277 m en 1 5 16. s, y en 2 5 19 m en 2 5 25. s. Enonces, D 5 (19 m 2 277 m) 5 2258 m y D 5 (25. s 2 16. s) 5 9. s. La componene de la elocidad media es med- 5D>D 5 (2258 m)>(9. s) 5229 m>s. Hay algunas reglas sencillas para la elocidad media. Siempre que sea posiia y aumene o sea negaia y se uela menos negaia, la parícula se muee en la dirección 1 y med- es posiia (figura 2.1). Siempre que sea posiia y disminuya, o sea negaia y se uela más negaia, la parícula se muee en la dirección 2 y med- es negaia (figura 2.2). CUIDAD Elección de la dirección posiia No sucumba a la enación de pensar que una elocidad media posiia implica necesariamene moimieno a la derecha, como en la figura 2.1, y una elocidad media negaia implica moimieno a la izquierda, como en la figura 2.2. Tales conclusiones son correcas sólo si la dirección 1 es hacia la derecha, como elegimos en las figuras 2.1 y 2.2. Igualmene podríamos haber decidido que la dirección 1 fuera hacia la izquierda, con el origen en la llegada. Enonces, el auo habría enido elocidad media negaia; y la camionea del juez, posiia. En casi odos los problemas, podremos elegir la dirección del eje de coordenadas. Una ez omada la decisión, deberá omarse en cuena al inerprear los signos de med- y oras canidades que describen el moimieno! En el moimieno recilíneo por lo general llamaremos a D el desplazamieno y a med- la elocidad media. Sin embargo, no olide que ésas son realmene las componenes de canidades ecoriales que, en ese caso especial, sólo ienen componenes. En el capíulo 3, los ecores de desplazamieno, elocidad y aceleración endrán dos o res componenes disinas de cero. La figura 2.3 es una gráfica de la posición del auo de arrancones en función del iempo, es decir, una gráfica -. La cura de la figura no represena la rayecoria del auo; ésa es una línea reca, como se obsera en la figura 2.1. Más bien, la gráfica es una forma de represenar isualmene cómo cambia la posición del auo con el 2.2 Posiciones de la camionea de un juez en dos insanes durane su moimieno. Los punos P 1 y P 2 ahora se refieren a las posiciones de la camionea, por lo que son diferenes de las de la figura 2.1. Posición en 2 5 25. s Posición en 1 5 16. s SALIDA LLEGADA P 2 P 1 2 5 19 m Esa posición es ahora 2. D 5 1 2 2 1 2 5 2258 m D D Desplazamieno de 1 a 2 Cuando la camionea se muee en la dirección 2, D es negaio y, por ende, su elocidad media: 2258 m med- 5 5 5 229 m/s 9. s 1 5 277 m Esa posición es ahora 1.

2.2 Velocidad insanánea 39 Pisa de arrancones (no esá a escala) 4 (m) Para un desplazamieno a lo largo del eje, la elocidad media de un objeo med- es igual a la pendiene de una línea que coneca los punos correspondienes en una gráfica de posición () conra iempo (). 3 P 2 2 p 2 2 1 p 1 P 1 1 Pendiene 5 elocidad D 5 2 2 1 1 2 3 1 D 5 2 2 1 inclinación D Pendiene 5 de la reca 5 D 4 5 2 (s) 2.3 La posición de un auo de arrancones en función del iempo. iempo. Los punos p l y p 2 en la gráfica corresponden a los punos P 1 y P 2 de la rayecoria del auo. La línea p 1 p 2 es la hipoenusa de un riángulo recángulo con caeo erical D 5 2 2 1 y caeo horizonal D 5 2 2 1. Así, la elocidad media del auo med- 5D>D es igual a la pendiene de la línea p 1 p 2, es decir, el cociene del caeo erical D y el caeo horizonal D. La elocidad media depende sólo del desplazamieno oal D 5 2 2 1 que se da durane el ineralo D 5 2 2 1, no en los pormenores de lo que sucede denro de ese ineralo. En el iempo 1 una moociclea podría haber rebasado al auo de arrancones en el puno P l de la figura 2.1, para después reenar el moor y bajar la elocidad, pasando por P 2 en el mismo insane 2 que el auo. Ambos ehículos ienen el mismo desplazamieno en el mismo lapso, así que ienen la misma elocidad media. Si epresamos la disancia en meros y el iempo en segundos, la elocidad media se mide en meros por segundo (m>s). ras unidades de elocidad comunes son kilómeros por hora (km>h), pies por segundo (f>s), millas por hora (mi>h) y nudos (1 nudo 5 1 milla náuica>h 5 68 f>h). La abla 2.1 muesra algunas magniudes ípicas de elocidad. Ealúe su comprensión de la sección 2.1 Cada uno de los siguienes iajes en auomóil dura una hora. La dirección posiia es hacia el ese. i) El auomóil A iaja 5 km al ese. ii) El auomóil B iaja 5 km al oese. iii) El auomóil C iaja 6 km al ese, luego da uela y iaja 1 km al oese. i) El auomóil D iaja 7 km al ese. ) El auomóil E iaja 2 km al oese, luego da uela y iaja 2 km al ese. a) Clasifique los cinco iajes en orden de elocidad media de más posiio a más negaio. b) Cuáles iajes, si hay, ienen la misma elocidad media? c) Para cuál iaje, si hay, la elocidad media es igual a cero? 2.2 Velocidad insanánea Hay ocasiones en que la elocidad media es lo único que necesiamos saber acerca del moimieno de una parícula. Por ejemplo, una carrera en pisa reca es en realidad una compeencia para deerminar quién uo la mayor elocidad media, med-. Se enrega el premio al compeidor que haya recorrido el desplazamieno D de la línea de salida a la de mea en el ineralo de iempo más coro, D (figura 2.4). Sin embargo, la elocidad media de una parícula durane un ineralo de iempo no nos indica con qué rapidez, o en qué dirección, la parícula se esaba moiendo en un insane dado del ineralo. Para describir el moimieno con mayor dealle, necesiamos definir la elocidad en cualquier insane específico o puno específico del camino. Ésa es la elocidad insanánea, y debe definirse con cuidado. Tabla 2.1 Magniudes ípicas de elocidad Repar de caracol 1 23 m/s Andar rápido 2 m / s Hombre más rápido 11 m / s Guepardo en carrera 35 m/s Auomóil más rápido 341 m/s Moimieno aleaorio de moléculas de aire 5 m / s Aión más rápido 1 m/s Saélie de comunicación en órbia 3 m/s Elecrón en un áomo de hidrógeno 2 3 1 6 m/s Luz que iaja en el acío 3 3 1 8 m/s 2.4 El ganador de una carrera de naación de 5 m es el nadador cuya elocidad media enga la mayor magniud, es decir, quien cubra el desplazamieno D de 5 m en el iempo ranscurrido D más coro. CUIDAD Cuáno iempo dura un insane? Noe que la palabra insane iene un significado un poco disino en física que en el lenguaje coidiano. Podemos uilizar la frase duró sólo un insane para referirnos a algo que duró un ineralo de iempo muy coro. Sin embargo, en física un insane no iene duración; es un solo alor de iempo.

4 CAPÍTUL 2 Moimieno en línea reca 2.5 Incluso al aanzar, la elocidad insanánea de ese ciclisa puede ser negaia: si esá iajando en la dirección negaia. En cualquier problema, nosoros decidimos cuál dirección es posiia y cuál es negaia. Para obener la elocidad insanánea del auo de la figura 2.1 en el puno P 1, moemos el segundo puno P 2 cada ez más cerca del primer puno P 1 y calculamos la elocidad media med- 5D>D para esos desplazamienos y lapsos cada ez más coros. Tano D y D se hacen muy pequeños; pero su cociene no necesariamene lo hace. En el lenguaje del cálculo, el límie de D>D cuando D se acerca a cero es la deriada de con respeco a y se escribe d>d. La elocidad insanánea es el límie de la elocidad media conforme el ineralo de iempo se acerca a cero; es igual a la asa insanánea de cambio de posición con el iempo. Usamos el símbolo, sin med en el subíndice, para la elocidad insanánea en el eje : D 5 lím DS D 5 d d (elocidad insanánea, moimieno recilíneo) (2.3) Siempre suponemos que D es posiio, así que iene el mismo signo algebraico que D. Un alor posiio de indica que aumena y el moimieno es en la dirección posiia; un alor negaio de indica que disminuye y el moimieno es en la dirección negaia. Un cuerpo puede ener posiio y negaia, o al reés; nos dice dónde esá el cuerpo, en ano que nos indica cómo se muee (figura 2.5). La elocidad insanánea, igual que la elocidad media, es una canidad ecorial. La ecuación (2.3) define su componene. En el moimieno recilíneo, las demás componenes de la elocidad insanánea son cero y, en ese caso, llamaremos a simplemene elocidad insanánea. (En el capíulo 3 eremos el caso general en el que la elocidad insanánea puede ener componenes, y y z disinas de cero.) Al usar el érmino elocidad, siempre nos referiremos a la elocidad insanánea, no a la media. Los érminos elocidad y rapidez se usan indisinamene en el lenguaje coidiano; no obsane, en física ienen diferene significado. Rapidez denoa disancia recorrida diidida enre iempo, con un régimen medio o insanáneo. Usaremos el símbolo (sin subíndice) para denoar la rapidez insanánea, que mide qué an rápido se muee una parícula; la elocidad insanánea mide con qué rapidez y en qué dirección se muee. Por ejemplo, una parícula con elocidad insanánea 5 25 m>s y ora con 5225 m>s se mueen en direcciones opuesas con la misma rapidez insanánea de 25 m>s. La rapidez insanánea es la magniud de la elocidad insanánea, así que no puede ser negaia. CUIDAD Rapidez media y elocidad media La rapidez media, sin embargo, no es la magniud de la elocidad media. Cuando Aleander Popo esableció un récord mundial en 1994 nadando 1. m en 46.74 s, su rapidez media fue de (1. m)>(46.74 s) 5 2.139 m>s. No obsane, como nadó dos eces la longiud de una alberca de 5 m, erminó en el puno de donde parió, con un desplazamieno oal de cero y una elocidad media de cero! Tano la rapidez media como la rapidez insanánea son escalares, no ecores, porque no conienen información de dirección. Ejemplo 2.1 Velocidades media e insanánea Un guepardo acecha 2 m al ese del escondie de un obserador (figura 2.6a). En el iempo 5, el guepardo aaca a un anílope y empieza a correr en línea reca. Durane los primeros 2. s del aaque, la coordenada del guepardo aría con el iempo según la ecuación 5 2 m 1 (5. m>s 2 ) 2. a) benga el desplazamieno del guepardo enre 1 5 1. s y 2 5 2. s. b) Calcule la elocidad media en dicho ineralo. c) Calcule la elocidad insanánea en 1 5 1. s omando D 5.1 s, luego D 5.1 s, luego D 5.1 s. d) Deduzca una epresión general para la elocidad insanánea en función del iempo, y con ella calcule en 5 1. s y 5 2. s.

2.2 Velocidad insanánea 41 SLUCIÓN IDENTIFICAR: Ese problema requiere usar las definiciones de desplazamieno, elocidad media y elocidad insanánea. El uso de las dos primeras implica álgebra; la úlima requiere cálculo para deriar. PLANTEAR: La figura 2.6b muesra el moimieno del guepardo. Para analizar ese problema, usamos la ecuación (2.1) del desplazamieno, la ecuación (2.2) de la elocidad media y la ecuación (2.3) de la elocidad insanánea. EJECUTAR: a) En l 5 1. s, la posición l del guepardo es 1 5 2 m 1 1 5. m/s 2 211. s 2 2 5 25 m En 2 5 2. s, su posición 2 es 2 5 2 m 1 1 5. m / s 2 212. s 2 2 5 4 m El desplazamieno en ese ineralo es D 5 2 2 1 5 4 m 2 25 m 5 15 m b) La elocidad media durane ese ineralo es med- 5 2 2 1 4 m 2 25 m 5 2 2 1 2. s 2 1. s 5 15 m 1. s 5 15 m /s La elocidad media durane esos ineralos es med- 5 26.5 m 2 25 m 5 1.5 m/s 1.1 s 2 1. s Siga ese méodo para calcular las elocidades medias de los ineralos de.1 s y.1 s. Los resulados son 1.5 m>s y 1.5 m>s. Al disminuir D, la elocidad media se acerca a 1. m>s, por lo que concluimos que la elocidad insanánea en 5 1. s es de 1. m>s. d) Al calcular la elocidad insanánea en función del iempo, derie la epresión de con respeco a. La deriada de una consane es cero, y para cualquier n la deriada de n es n n21, así que la deriada de 2 es 2. Por lo ano, 5 d d 5 1 5. m /s 2 212 2 5 1 1 m/s 2 2 En 5 1. s, 5 1 m>s, como imos en el inciso c). En 5 2. s, 5 2 m>s. EVALUAR: Nuesros resulados muesran que el guepardo aumenó su rapidez de 5 (cuando esaba en reposo) a 5 1. s ( 5 1 m>s) a 5 2. s ( 5 2 m>s), lo cual es razonable: el guepardo recorrió sólo 5 m durane el ineralo 5 a 5 1. s; sin embargo, recorrió 15 m en el ineralo 5 1. s a 5 2. s. c) Con D 5.1 s, el ineralo es de 1 5 1. s a 2 5 1.1 s. En 2, la posición es 2 5 2 m 1 1 5. m/s 2 211.1 s 2 2 5 26.5 m 2.6 Un guepardo agazapado en un arbuso aaca a un anílope. Los animales no esán a la misma escala que el eje.

42 CAPÍTUL 2 Moimieno en línea reca NLINE 1.1 Análisis del moimieno usando diagramas bención de la elocidad en una gráfica - La elocidad de una parícula ambién puede obenerse de la gráfica de la posición de la parícula en función del iempo. Suponga que queremos conocer la elocidad del auo de la figura 2.1 en P l. En la figura 2.1, conforme P 2 se acerca a P 1, el puno p 2 en la gráfica - de las figuras 2.7a y 2.7b se acerca al puno p 1 y la elocidad media se calcula en ineralos D cada ez más coros. En el límie D S, ilusrado en la figura 2.7c, la pendiene de la línea p 1 p 2 es igual a la pendiene de la línea angene a la cura en el puno p 1. Así, en una gráfica de posición en función del iempo para moimieno recilíneo, la elocidad insanánea en cualquier puno es igual a la pendiene de la angene a la cura en ese puno. Si la angene a la cura - sube hacia la derecha, como en la figura 2.7c, enonces su pendiene es posiia, la elocidad es posiia y el moimieno es en la dirección 1. Si la angene baja hacia la derecha, la pendiene de la gráfica - y la elocidad son negaias, y el moimieno es en la dirección 2. Cuando la angene es horizonal, la pendiene y la elocidad son cero. La figura 2.8 ilusra las res posibilidades. La figura 2.8 muesra el moimieno de una parícula en dos formas: como a) una gráfica - y como b) un diagrama de moimieno que muesra la posición de la parícula en diersos insanes, como cuadros de un filme o ideo del moimieno de la 2.7 Uso de una gráfica - al ir de a), b) elocidad media a c) elocidad insanánea. En c) obenemos la pendiene de la angene a la cura - diidiendo cualquier ineralo erical (con unidades de disancia) a lo largo de la angene enre el ineralo horizonal correspondiene (con unidades de iempo). a) b) c) (m) 4 3 2 1 D 5 2. s D 5 15 m med- 5 75 m/s p 2 p 1 D D 1 2 3 4 5 (s) Cuando la elocidad media med- es calculada en ineralos cada ez más coros... (m) 4 3 2 1 D 5 1. s D 5 55 m med- 5 55 m/s p 1 p 2 D D 1 2 3 4 5... su alor med- 5 D/D se acerca a la elocidad insanánea. (s) (m) 4 3 2 1 5 16 m 4. s 5 4 m/s Pendiene de la angene 5 elocidad insanánea p 1 4. s 16 m 1 2 3 4 5 (s) La elocidad insanánea en un iempo dado es igual a la pendiene de la angene a la cura - en ese iempo. 2.8 a) Gráfica - del moimieno de una parícula dada. La pendiene de la angene en cualquier puno es igual a la elocidad en ese puno. b) Diagrama de moimieno que muesra la posición y elocidad de la parícula en los cinco insanes roulados en el diagrama -. a) Gráfica - b) Moimieno de parículas A Pendiene cero: 5 C B D Pendiene posiia:. Pendiene negaia:, E A 5 B C D E 5 La parícula esá en, y se muee en la dirección 1. De A a B acelera,...... y de B a C frena, y se deiene momenáneamene en C. De C a D acelera en la dirección 2,...... y de D a E frena en la dirección 2. Cuano más empinada esá la pendiene (posiia o negaia) de la gráfica - de un objeo, mayor será la rapidez del objeo en la dirección posiia o negaia.

2.3 Aceleración media e insanánea 43 parícula, juno con flechas que represenan la elocidad de la parícula en cada insane. En ese capíulo, usaremos ano las gráficas - como los diagramas de moimieno para ayudarle a enender el moimieno. Le recomendamos dibujar una gráfica - y un diagrama de moimieno como pare de la resolución de cualquier problema que implique moimieno. Ealúe su comprensión de la sección 2.2 La figura 2.9 es una gráfica - del moimieno de una parícula. a) rdene los alores de la elocidad de la parícula en los punos P, Q, R y S del más posiio al más negaio. b) En qué punos es posiia? c) En cuáles punos es negaia? d) En cuáles es cero? e) rdene los alores de la rapidez de la parícula en los punos P, Q, R y S del más rápido al más leno. 2.9 Una gráfica - para una parícula. Q P R 2.3 Aceleración media e insanánea S Así como la elocidad describe la asa de cambio de posición con el iempo, la aceleración describe la asa de cambio de elocidad con el iempo. Al igual que la elocidad, la aceleración es una canidad ecorial. En el moimieno recilíneo, su única componene disina de cero esá sobre el eje en que ocurre el moimieno. Como eremos, en el moimieno recilíneo la aceleración puede referirse ano a aumenar la rapidez como a disminuirla. Aceleración media Consideremos ora ez el moimieno de una parícula en el eje. Suponga que, en el iempo l, la parícula esá en el puno P l y iene una componene de elocidad (insanánea) 1, y en un insane poserior 2 esá en P 2 y iene una componene de elocidad 2. Así, la componene de la elocidad cambia en D 5 2 2 1 en el ineralo D 5 2 2 1. Definimos la aceleración media de la parícula al moerse de P l a P 2 como una canidad ecorial cuya componene es a med- igual a D, el cambio en la componene de la elocidad, diidido enre el ineralo de iempo D: a med- 5 2 2 1 2 2 1 5 D D (aceleración media, moimieno recilíneo) (2.4) En el moimieno recilíneo a lo largo del eje, por lo general llamaremos med- a la aceleración media. (Veremos oras componenes del ecor de aceleración media en el capíulo 3.) Si epresamos la elocidad en meros por segundo y el iempo en segundos, la aceleración media esá en meros por segundo por segundo, o bien (m>s)>s. Eso suele escribirse como m>s 2 y se lee meros por segundo al cuadrado. CUIDAD Aceleración conra elocidad No confunda aceleración con elocidad! La elocidad describe el cambio de la posición de un objeo con el iempo; nos indica con qué rapidez y en qué dirección se muee el objeo. La aceleración describe cómo cambia la elocidad con el iempo; es decir, nos dice cómo cambian la rapidez y la dirección del moimieno. Podría ser úil recordar la frase aceleración es a elocidad lo que elocidad es a posición. También ayudaría imaginarse a used mismo yendo en un auomóil con el cuerpo en moimieno. Si el auo acelera hacia delane y aumena su rapidez, used se seniría empujado hacia arás hacia su asieno; si acelera hacia arás y disminuye su rapidez, se seniría empujado hacia delane. Si la elocidad es consane y no hay aceleración, no seniría sensación alguna. (Analizaremos la causa de esas sensaciones en el capíulo 4.)

44 CAPÍTUL 2 Moimieno en línea reca Ejemplo 2.2 Aceleración media Una asronaua sale de una nae espacial en órbia para probar una unidad personal de maniobras. Mienras se muee en línea reca, su compañera a bordo mide su elocidad cada 2. s a parir del insane 5 1. s: 1. s 3. s 5. s 7. s Calcule la aceleración media y diga si la rapidez de la asronaua aumena o disminuye para cada uno de esos ineralos: a) 1 5 1. s a 2 5 3. s; b) 1 5 5. s a 2 5 7. s; c) 1 5 9. s a 2 5 ll. s; d) 1 5 13. s a 2 5 15. s. SLUCIÓN.8 m/s 1.2 m/s 1.6 m/s 1.2 m/s IDENTIFICAR: Necesiaremos la definición de aceleración media a med-. Para calcular los cambios en la rapidez, usaremos la idea de que la rapidez es la magniud de la elocidad insanánea. PLANTEAR: La figura 2.1 muesra nuesras gráficas. Usamos la ecuación (2.4) para deerminar el alor de a med- a parir del cambio de elocidad en cada ineralo de iempo. EJECUTAR: En la pare superior de la figura 2.1, graficamos la elocidad en función del iempo. En esa gráfica -, la pendiene de la línea que coneca los punos inicial y final de cada ineralo es la aceleración media a med- 5D >D para ese ineralo. En la pare inferior de la figura 2.1, graficamos los alores de a med-. benemos: a) a med- 5 1 1.2 m/s 2.8 m/s 2 / 1 3. s 2 1. s 2 5.2 m/s 2. La rapidez (magniud de la elocidad insanánea) aumena de.8 m>s a 1.2 m>s. b) a med- 5 1 1.2 m/s 2 1.6 m/s 2 / 1 7. s 2 5. s 2 5 2.2 m/s 2. La rapidez disminuye de 1.6 m>s a 1.2 m>s. c) a med- 5 321. m/s 2 1 2.4 m/s 24/ 1 11. s 2 9. s 2 5 9. s 11. s 13. s 15. s 2.4 m/s 21. m / s 21.6 m/s 2.8 m/s 2.1 Nuesra gráfica de elocidad conra iempo (arriba) y aceleración media conra iempo (abajo) para la asronaua. La pendiene de la línea que coneca cada par de punos en la gráfica -...... es igual a la aceleración media enre esos punos. 2.3 m/s 2. La rapidez aumena de.4 m>s a 1. m>s. d) a med- 5 32.8 m/s 2 1 21.6 m/s 24/ 1 15. s 2 13. s 2 5.4 m/s 2. La rapidez disminuye de 1.6 m>s a.8 m>s. EVALUAR: Nuesro resulado indica que cuando la aceleración iene la misma dirección (el mismo signo algebraico) que la elocidad inicial, como en los ineralos a) y c), la asronaua se muee más rápidamene; cuando iene la dirección opuesa (el signo opueso) como en los ineralos b) y d), se frena. De manera que la aceleración posiia significa ir más rápido si la elocidad es posiia [ineralo a)], pero frenar si la elocidad es negaia [ineralo d)]. Asimismo, aceleración negaia implica ir más rápido si la elocidad es negaia [ineralo c)], pero frenar si la elocidad es posiia [ineralo b)]. Aceleración insanánea Ya podemos definir la aceleración insanánea con el mismo procedimieno que seguimos para la elocidad insanánea. Como ejemplo, suponga que un piloo de carreras acaba de enrar en una reca como se muesra en la figura 2.11. Para definir la aceleración insanánea en P 1, omamos el segundo puno P 2 en la figura 2.11 cada ez más cerca de P 1, de modo que la aceleración media se calcule en ineralos cada ez más coros. La aceleración insanánea es el límie de la aceleración media conforme el ineralo de iempo se acerca a cero. En el lenguaje del cálculo, la aceleración insanánea es la asa insanánea de cambio de la elocidad con el iempo. Así, D a 5 lím 5 d DS D d (aceleración insanánea, moimieno recilíneo) (2.5) 2.11 Vehículo de Grand Pri en dos punos de la reca. P 1 Rapidez 1 elocidad 1 P 2 Rapidez 2 elocidad 2

2.3 Aceleración media e insanánea 45 bsere que la ecuación (2.5) es realmene la definición de la componene del ecor de aceleración o la aceleración insanánea; en el moimieno recilíneo, las demás componenes de ese ecor son cero. A parir de aquí, al hablar de aceleración nos referiremos siempre a la aceleración insanánea, no a la aceleración media. Ejemplo 2.3 Aceleraciones media e insanánea Suponga que la elocidad del auo en la figura 2.11 en el iempo esá dada por a) Calcule el cambio de elocidad del auo en el ineralo enre 1 5 1. s y 2 5 3. s. b) Calcule la aceleración media en ese ineralo. c) benga la aceleración insanánea en 1 5 1. s omando D primero como.1 s, después como.1 s y luego como.1 s. d) Deduzca una epresión para la aceleración insanánea en cualquier insane y úsela para obener la aceleración en 5 1. s y 5 3. s. SLUCIÓN IDENTIFICAR: Ese ejemplo es similar al ejemplo 2.1 de la sección 2.2. (Recomendamos repasar ahora ese ejemplo.) Ahí, calculamos la elocidad media en ineralos cada ez más coros considerando el cambio en el desplazamieno, y obuimos la elocidad insanánea diferenciando la posición en función del iempo. En ese ejemplo, deerminaremos la aceleración media considerando cambios de elocidad en un ineralo de iempo. Asimismo, obendremos la aceleración insanánea diferenciando la elocidad en función del iempo. PLANTEAR: Usaremos la ecuación (2.4) de la aceleración media y la ecuación (2.5) de la aceleración insanánea. EJECUTAR: a) Primero obenemos la elocidad en cada insane susiuyendo cada alor de en la ecuación. En el insane 1 5 1. s, 1 5 6 m/s 1 1.5 m/s 3 211. s 2 2 5 6.5 m/s En el insane 2 5 3. s, 2 5 6 m/s 1 1.5 m/s 3 213. s 2 2 5 64.5 m/s El cambio en la elocidad D es 5 6 m/s 1 1.5 m/s 3 2 2 D 5 2 2 1 5 64.5 m/s 2 6.5 m/s 5 4. m/s El ineralo de iempo es D 5 3. s 2 1. s 5 2. s. b) La aceleración media durane ese ineralo es Durane el ineralo de 1 5 1. s a 2 5 3. s, la elocidad y la aceleración media ienen el mismo signo (posiio en ese caso) y el auo acelera. c) Cuando D 5.1 s, 2 5 1.1 s y obenemos a med- 5 D D Repia ese modelo con D 5.1 s y D 5.1 s; los resulados son a med- 5 1.5 m>s 2 y a med- 5 1.5 m>s 2, respeciamene. Al reducirse D, la aceleración media se acerca a 1. m>s 2, por lo que concluimos que la aceleración insanánea en 5 1. s es 1. m>s 2. d) La aceleración insanánea es a 5 d >d. La deriada de una consane es cero y la deriada de 2 es 2. Con eso, obenemos Cuando 5 1. s, Cuando 5 3. s, a med- 5 2 2 1 5 4. m /s 5 2. m/s 2 2 2 1 2. s 2 5 6 m/s 1 1.5 m/s 3 211.1 s 2 2 5 6.65 m/s D 5.15 m/s a 5 d d 5.15 m /s.1 s 5 1.5 m/s 2 5 d d 36 m /s 1 1.5 m/s 3 2 2 4 5 1.5 m/s 3 212 2 5 1 1. m/s 3 2 a 5 1 1. m/s 3 211. s 2 5 1. m/s 2 a 5 1 1. m/s 3 213. s 2 5 3. m/s 2 EVALUAR: bsere que ninguno de los alores que obuimos en el inciso d) es igual a la aceleración media obenida en b). La aceleración insanánea del auo aría con el iempo. La asa de cambio de la aceleración con el iempo se suele denominar el irón. bención de la aceleración en una gráfica - o una gráfica - En la sección 2.2 inerpreamos las elocidades media e insanánea en érminos de la pendiene de una gráfica de posición conra iempo. Igualmene, podemos enender mejor las aceleraciones media e insanánea graficando la elocidad insanánea en el eje erical y el iempo en el eje horizonal, es decir, usando una gráfica - (figura 2.12). Los punos roulados p 1 y p 2 corresponden a los punos P l y P 2 de la figura 2.11. La aceleración media a med- 5D >D durane ese ineralo es la pendiene de la línea p 1 p 2. Al acercarse P 2 a P 1 en la figura 2.11, p 2 se acerca a p 1 en la gráfica - de la figura 2.12, y la pendiene de la línea p 1 p 2 se acerca a la pendiene de la angene a la cura en el puno p 1. Así, en una gráfica de elocidad en función del iempo, la aceleración insanánea en cualquier puno es igual a la pendiene de la angene de la cura en ese puno. En la figura 2.12, las angenes razadas en

46 CAPÍTUL 2 Moimieno en línea reca 2.12 Gráfica - del moimieno de la figura 2.11. Para un desplazamieno a lo largo del eje, la aceleración media de un objeo es igual a la pendiene de una línea que coneca los punos correspondienes en una gráfica de elocidad ( ) conra iempo (). 2 1 p 1 1 Pendiene 5 aceleración media D 5 2 2 1 p 2 2 D 5 2 2 1 Pendiene de la angene a la cura - en un puno dado 5 aceleración insanánea en ese puno. diferenes punos en la cura ienen pendienes diferenes, de manera que la aceleración insanánea aría con el iempo. CUIDAD Los signos de aceleración y elocidad En sí mismo, el signo algebraico de la aceleración no nos indica si el cuerpo esá acelerando o frenando; hay que comparar los signos de la elocidad y la aceleración. Si y a ienen el mismo signo, el cuerpo esá acelerando; si ambas son posiias, el cuerpo se muee en la dirección posiia con rapidez creciene. Si ambas son negaias, el cuerpo se muee en la dirección negaia con elocidad cada ez más negaia, y la rapidez aumena nueamene. Si y a ienen signos opuesos, el cuerpo esá frenando. Si es posiia y a negaia, el cuerpo se muee en dirección posiia con rapidez decreciene; si es negaia y a posiia, el cuerpo se muee en dirección negaia con una elocidad cada ez menos negaia, y nueamene esá frenando. La figura 2.13 ilusra algunas de ales posibilidades. Frecuenemene llamamos desaceleración a una reducción de rapidez. Dado que eso puede implicar a posiia o negaia, dependiendo del signo de, eiaremos ese érmino. También podemos conocer la aceleración de un cuerpo a parir de una gráfica de su posición conra iempo. Dado que a 5 d >d y 5 d>d, escribimos? a 5 d d 5 d d 1 d d 2 5 d2 d 2 (2.6) 2.13 a) Gráfica - del moimieno de una parícula diferene de la que se muesra en la figura 2.8. La pendiene de la angene en cualquier puno es igual a la aceleración en ese puno. b) Diagrama de moimieno que indica la posición, elocidad y aceleración de la parícula en los insanes roulados en la gráfica -. Las posiciones son congruenes con la gráfica -; por ejemplo, de A a B la elocidad es negaia, así que en B la parícula esá en un alor más negaio de que en A. a) La gráfica - para un objeo que se muee en el eje b) Posición, elocidad y aceleración del objeo en el eje A B Pendiene cero: a 5 C Pendiene posiia: a. E Pendiene negaia: a, Cuano más empinada esé la pendiene (posiia o negaia) de la gráfica - de un objeo, mayor será la aceleración del objeo en la dirección posiia o negaia. D A 5 B C D E a 5 a a 5 a a 5 El objeo esá en, y se muee en la dirección 2 (, ), frenando ( y a ienen signos opuesos). El objeo esá en,, insanáneamene en reposo ( 5 ), y a puno de moerse en la dirección 1 (a. ). El objeo esá en. y se muee en la dirección 1 (. ); su rapidez no cambia insanáneamene (a 5 ). El objeo esá en., insanáneamene en reposo ( 5 ), y a puno de moerse en la dirección 2 (a, ). El objeo esá en. y se muee en la dirección 2 (, ), acelerando ( y a ienen el mismo signo).

2.4 Moimieno con aceleración consane 47 2.14 a) La misma gráfica - de la figura 2.8a. La elocidad es igual a la pendiene de la gráfica, y la aceleración esá dada por su concaidad o curaura. b) Diagrama de moimieno que muesra la posición, elocidad y aceleración de la parícula en cada uno de los insanes roulados en la gráfica -. a) Gráfica - b) Moimieno del objeo A Pendiene cero: 5 Curaura hacia abajo: a, B C D Pendiene negaia:, Curaura cero: a 5 Pendiene posiia:. Curaura cero: a 5 Pendiene posiia:. Curaura hacia arriba: a. Pendiene negaia:, Curaura hacia arriba: a. E A 5 Cuano mayor sea la curaura (hacia arriba o hacia abajo) de la gráfica - de un objeo, mayor será la aceleración del objeo en la dirección posiia o negaia. B C D E a a 5 a 5 a 5 a El objeo esá en,, se muee en la dirección 1 (. ) y acelera ( y a ienen el mismo signo). El objeo esá en 5, se muee en la dirección 1 (. ); la rapidez no cambia insanáneamene (a 5 ). El objeo esá en., insanáneamene en reposo ( 5 ) y a puno de moerse en la dirección 2 (a, ). El objeo esá en., se muee en la dirección 2 (, ); la rapidez no cambia insanáneamene (a 5 ). El objeo esá en., se muee en la dirección 2 (, ) y frena ( y a ienen signos opuesos). Es decir, a es la segunda deriada de con respeco a. La segunda deriada de cualquier función se relaciona direcamene con la concaidad o curaura de la gráfica de la función. En un puno donde la cura - sea cóncaa hacia arriba (curada hacia arriba), la aceleración es posiia y aumena; donde la cura - sea cóncaa hacia abajo, la aceleración es negaia y disminuye. Donde la gráfica - no enga curaura, como en un puno de infleión, la aceleración es cero y la elocidad es consane. Esas res posibilidades se ilusran en la figura 2.14. Eaminar la curaura de una gráfica - es una manera sencilla de decidir qué signo iene la aceleración. Esa écnica es menos úil para deerminar alores numéricos de la aceleración, ya que es difícil medir con eaciud la curaura de una gráfica. Ealúe su comprensión de la sección 2.3 bsere ora ez la gráfica - de la figura 2.9 al final de la sección 2.2. a) En cuál de los punos P, Q, R y S la aceleración a es posiia? b) En cuáles es negaia? c) En cuáles parece ser cero? d) En cada puno decida si la rapidez aumena, disminuye o se maniene consane. 2.4 Moimieno con aceleración consane El moimieno acelerado más sencillo es el recilíneo con aceleración consane. En ese caso, la elocidad cambia al mismo rimo odo el iempo. Se raa de una siuación muy especial, aun cuando ocurre a menudo en la nauraleza; un cuerpo que cae iene aceleración consane si los efecos del aire no son imporanes. Lo mismo sucede con un cuerpo que se desliza por una pendiene o sobre una superficie horizonal áspera. El moimieno recilíneo con aceleración casi consane se da ambién en la ecnología, como cuando un je de combae es lanzado con caapula desde la cubiera de un poraiones. La figura 2.15 es un diagrama de moimieno que muesra la posición, elocidad y aceleración de una parícula que se muee con aceleración consane. Las figuras 2.16 y 2.17 represenan ese moimieno con gráficas. Pueso que la aceleración a es consane, la gráfica a - (aceleración conra iempo) de la figura 2.16 es una línea horizonal. La gráfica de elocidad conra iempo, -, iene pendiene consane porque la aceleración es consane; por lo ano, es una línea reca (figura 2.17). 2.15 Diagrama de moimieno para una parícula que se muee en línea reca en la dirección 1 con aceleración posiia consane a. Se muesran la posición, elocidad y aceleración en cinco insanes equiespaciados. D 2D 3D 4D a a Si una parícula se muee en línea reca con aceleración consane a...... la elocidad cambia canidades iguales en ineralos iguales. a Sin embargo, la posición cambia canidades diferenes en ineralos iguales porque la elocidad cambia. a a

48 CAPÍTUL 2 Moimieno en línea reca 2.16 Gráfica aceleración-iempo (a -) para moimieno recilíneo con aceleración posiia consane a. a a Aceleración consane: la gráfica a - es una línea horizonal (pendiene 5 ). Cuando la aceleración a es consane, la aceleración media a med- para cualquier ineralo es a. Eso uele sencillo deriar las ecuaciones para la posición y la elocidad como funciones del iempo. Para enconrar una epresión para primero susiuimos a med- por a en la ecuación (2.4): a 5 2 2 1 2 2 1 Sean ahora l 5 y 2 cualquier insane poserior. Simbolizamos con la componene de la elocidad en el insane inicial 5 ; la componene de la elocidad en el insane poserior es. Enonces, la ecuación (2.7) se coniere en (2.7) El área bajo la gráfica a - es 2 5 cambio de elocidad del iempo al iempo. a 5 2 2 o 5 1 a (sólo con aceleración consane) (2.8) 2.17 Gráfica elocidad-iempo ( -) para moimieno recilíneo con aceleración posiia consane a. La elocidad inicial ambién es posiia en ese caso. Aceleración consane: la gráfica - es una reca. Pendiene 5 aceleración Durane el ineralo, la elocidad cambia como 2 5 a. El área oal bajo la gráfica - es 2 5 cambio en la coordenada del iempo al iempo. a Podemos inerprear la ecuación como sigue. La aceleración a es la asa consane de cambio de elocidad, es decir, el cambio en la elocidad por unidad de iempo. El érmino a es el produco del cambio en la elocidad por unidad de iempo, a, y el ineralo de iempo ; por lo ano, es el cambio oal de la elocidad desde el insane inicial 5 hasa un insane poserior. La elocidad en cualquier insane es enonces la elocidad inicial (en 5 ) más el cambio en la elocidad a (éase la figura 2.17). ra inerpreación de la ecuación (2.8) es que el cambio de elocidad 2 de la parícula enre 5 y un iempo poserior es igual al área bajo la gráfica a - enre esos dos insanes. En la figura 2.16, el área bajo la gráfica a - es el recángulo erde con lado erical a y lado horizonal. El área del recángulo es a, que por la ecuación (2.8) es igual al cambio en elocidad 2. En la sección 2.6 eremos que aun cuando la aceleración no sea consane, el cambio de elocidad durane un ineralo es igual al área bajo la cura a -, aunque en al caso la ecuación (2.8) no es álida. Ahora deduciremos una ecuación para la posición en función del iempo cuando la aceleración es consane. Para ello, usamos dos epresiones disinas para la elocidad media a med- en el ineralo de 5 a cualquier poserior. La primera proiene de la definición de med-, ecuación (2.2), que se cumple sea consane o no la aceleración. La posición inicial es la posición en 5, denoada con. La posición en el poserior es simplemene. Así, para el ineralo D 5 2 y el desplazamieno D 5 2, la ecuación (2.2) da med- 5 2 (2.9) NLINE 1.1 Análisis del moimieno con diagramas 1.2 Análisis del moimieno con gráficas 1.3 Predicción de un moimieno con base en gráficas 1.4 Predicción de un moimieno con base en ecuaciones 1.5 Esraegias para resoler problemas de cinemáica 1.6 Esquiador en compeencia de descenso También podemos obener ora epresión para med- que sea álida sólo si la aceleración es consane, de modo que la gráfica - sea una línea reca (como en la figura 2.17) y la elocidad cambie a rimo consane. En ese caso, la elocidad media en cualquier ineralo es sólo el promedio de las elocidades al principio y al final del ineralo. Para el ineralo de a, med- 5 1 (sólo con aceleración consane) (2.1) 2 (Eso no se cumple si la aceleración aría y la gráfica - es una cura, como en la figura 2.13.) También sabemos que, con aceleración consane, la elocidad en un insane esá dada por la ecuación (2.8). Susiuyendo esa epresión por en la ecuación (2.1), med- 5 1 2 1 1 1 a 2 5 1 1 2 a (sólo con aceleración consane) (2.11)

2.4 Moimieno con aceleración consane 49 Por úlimo, igualamos las ecuaciones (2.9) y (2.11) y simplificamos el resulado: 1 1 2 a 5 2 o 5 1 1 1 2 a 2 (sólo con aceleración consane) (2.12) Esa ecuación (2.12) indica que si, en el insane 5, una parícula esá en y iene elocidad, su nuea posición en un poserior es la suma de res érminos: su posición inicial, más la disancia que recorrería si su elocidad fuera consane, y una disancia adicional a 2 2 causada por el cambio de elocidad. 1 Una gráfica de la ecuación (2.12), es decir, una gráfica - para moimieno con aceleración consane (figura 2.18a), siempre es una parábola. La figura 2.18b muesra al gráfica. La cura inerseca el eje erical () en, la posición en 5. La pendiene de la angene en 5 es, la elocidad inicial, y la pendiene de la angene en cualquier es la elocidad en ese insane. La pendiene y la elocidad aumenan coninuamene, así que la aceleración a es posiia. Used puede ambién er eso porque la gráfica de la figura 2.18b es cóncaa hacia arriba (se cura hacia arriba). Si a es negaia, la gráfica - es una parábola cóncaa hacia abajo (iene curaura hacia abajo). Si hay aceleración cero, la gráfica - es una reca; si hay una aceleración consane, el érmino adicional a 2 2 en la ecuación (2.12) para en función de cura la 1 gráfica en una parábola (figura 2.19a). Podemos analizar la gráfica - de la misma forma. Si hay aceleración cero, esa gráfica es una línea horizonal (la elocidad es consane); sumar una aceleración consane da una pendiene para la gráfica - (figura 2.19b). NLINE 1.8 Los cinurones de seguridad salan idas 1.9 Frenado con derrape 1.1 Auo arranca y luego se deiene 1.11 Resolución de problemas con dos ehículos 1.12 Auo alcanza a camión 1.13 Cómo eiar un choque por arás a) Un auo de carreras se muee en la dirección con aceleración consane 5 1 a Durane el ineralo, la elocidad cambia como 2 5 a. b) La gráfica - Pendiene 5 Aceleración consane: la gráfica - es una parábola. 2.18 a) Moimieno recilíneo con aceleración consane. b) Una gráfica de posición conra iempo (-) para ese moimieno (el mismo moimieno que se muesra en las figuras 2.15, 2.16 y 2.17). En ese caso, la posición inicial, la elocidad inicial y la aceleración a son odas posiias. Pendiene 5 2.19 a) Cómo una aceleración consane influye en a) la gráfica - y b) la gráfica - de un cuerpo.

5 CAPÍTUL 2 Moimieno en línea reca Así como el cambio de elocidad de la parícula es igual al área bajo la gráfica a -, el desplazamieno (es decir, el cambio de posición) es igual al área bajo la gráfica -. Específicamene, el desplazamieno 2 de la parícula enre 5 y cualquier insane poserior es igual al área bajo la cura - enre esos dos insanes. En la figura 2.17 el área bajo la gráfica se diidió en un recángulo oscuro con lado erical, lado horizonal y un riángulo recángulo claro con lado erical a y 1 lado horizonal. El área del recángulo es, y la del riángulo, 1 a 2 2 a 212 5 1 2, así que el área oal bajo la cura - es 2 a 2 5 1 1 2 lo que concuerda con la ecuación (2.12). El desplazamieno durane un ineralo siempre puede obenerse del área bajo la cura -, incluso si la aceleración no es consane, aunque en al caso la ecuación (2.12) no sería álida. (Demosraremos eso en la sección 2.6.) Podemos comprobar si las ecuaciones (2.8) y (2.12) son congruenes con el supueso de aceleración consane deriando la ecuación (2.12). benemos 5 d d 5 1 a que es la ecuación (2.8). Diferenciando ora ez, enemos simplemene d d 5 a que concuerda con la definición de aceleración insanánea. Con frecuencia es úil ener una relación enre posición, elocidad y aceleración (consane) que no incluya el iempo. Para obenerla, despejamos en la ecuación (2.8), susiuimos la epresión resulane en la ecuación (2.12) y simplificamos: 5 2 a 5 1 1 2 a 2 1 1 2 a 1 2 a 2 2 Transferimos el érmino al miembro izquierdo y muliplicamos la ecuación por 2a : 2a 1 2 2 5 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 Por úlimo, al simplificar obenemos 2 5 2 1 2a 1 2 2 (sólo con aceleración consane) (2.13) Podemos obener una relación más úil igualando dos epresiones para med-, ecuaciones (2.9) y (2.1), y muliplicando por. Al hacerlo, obenemos 2 5 1 1 2 2 (sólo aceleración consane) (2.14) bsere que la ecuación (2.14) no coniene la aceleración a. Esa ecuación es úil cuando a es consane pero se desconoce su alor.

2.4 Moimieno con aceleración consane 51 Las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14) son las ecuaciones del moimieno con aceleración consane. Con ellas, podemos resoler cualquier problema que implique moimieno recilíneo de una parícula con aceleración consane. En el caso específico de moimieno con aceleración consane ilusrado en la figura 2.15 y graficado en las figuras 2.16, 2.17 y 2.18, los alores de, y a son posiios. Vuela a dibujar las figuras para los casos en que una, dos o las res canidades sean negaias. Un caso especial de moimieno con aceleración consane se da cuando la aceleración es cero. La elocidad es enonces consane, y las ecuaciones del moimieno se conieren sencillamene en 5 5 consane 5 1 Esraegia para resoler problemas 2.1 Moimieno con aceleración consane IDENTIFICAR los concepos perinenes: En casi odos los problemas de moimieno recilíneo, used podrá usar las ecuaciones de aceleración consane, aunque a eces se opará con siuaciones en que la aceleración no es consane. En ales casos, necesiará ora esraegia (éase la sección 2.6). PLANTEAR el problema siguiendo esos pasos: 1. Primero decida dónde esá el origen de las coordenadas y cuál dirección es posiia. A menudo lo más sencillo es colocar la parícula en el origen en 5 ; así, 5. Siempre es úil un diagrama de moimieno que muesre las coordenadas y algunas posiciones poseriores de la parícula. 2. Recuerde que elegir la dirección posiia del eje deermina auomáicamene las direcciones posiias de la elocidad y la aceleración. Si es posiia a la derecha del origen, y a ambién serán posiias hacia la derecha. 3. Replanee el problema con palabras y luego raduzca su descripción a símbolos y ecuaciones. Cuándo llega la parícula a ciero puno (es decir, cuáno ale )? Dónde esá la parícula cuando iene ciera elocidad (eso es, cuáno ale cuando iene ese alor)? El ejemplo 2.4 preguna Dónde esá el moociclisa cuando su elocidad es de 25 m>s? En símbolos, eso indica Cuáno ale cuando 5 25 m>s? 4. Haga una lisa de las canidades como,,,, a y. En general, algunas serán conocidas y oras no. Escriba los alores de las conocidas y decida cuáles de las ariables son las incógnias. No pase por alo información implícia. Por ejemplo, un auomóil esá parado ane un semáforo implica 5. EJECUTAR la solución: Elija una de las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14) que conenga sólo una de las incógnias. Despeje la incógnia usando sólo símbolos, susiuya los alores conocidos y calcule el alor de la incógnia. A eces endrá que resoler dos ecuaciones simuláneas con dos incógnias. EVALUAR la respuesa: Eamine sus resulados para er si son lógicos. Esán denro del ineralo general de alores esperado? Ejemplo 2.4 Cálculos de aceleración consane Un moociclisa que iaja al ese cruza una pequeña ciudad de Iowa y acelera apenas pasa el lerero que marca el límie de la ciudad (figura 2.2). Su aceleración consane es de 4. m>s 2. En 5, esá a 5. m al ese del lerero, moiéndose al ese a 15 m>s. a) Calcule su posición y elocidad en 5 2. s. b) Dónde esá el moociclisa cuando su elocidad es de 25 m>s? 2.2 Un moociclisa que iaja con aceleración consane. SAGE 19651 AW 5 5. m 5 5 15 m/s a 5 4. m/s 2 19651 AW 5? 5 2. s 5? (ese) SLUCIÓN IDENTIFICAR: El enunciado del problema nos dice que la aceleración es consane, así que podemos usar las ecuaciones para aceleración consane. PLANTEAR: Tomamos el lerero como origen de coordenadas ( 5 ) y decidimos que el eje 1 apuna al ese (figura 2.2, que ambién es un diagrama de moimieno). En 5, la posición inicial es 5 5. m y la elocidad inicial es 5 15 m>s. La aceleración consane es a 5 4. m>s 2. Las ariables desconocidas en el inciso a) son los alores de la posición y la elocidad en el insane poserior 5 2. s; la incógnia en el inciso b) es el alor de cuando 5 25 m>s. coninúa

PLICE 52 CAPÍTUL 2 Moimieno en línea reca EJECUTAR: a) Podemos hallar la posición en 5 2. s usando la ecuación (2.12) que da la posición en función del iempo : 5 1 1 1 2 a 2 5 5. m 1 1 15 m/s 212. s 2 1 1 2 1 4. m /s 2 212. s 2 2 5 43 m Podemos hallar la elocidad en ese insane con la ecuación (2.8), que da la elocidad en función del iempo : 5 1 a 5 15 m / s 1 1 4. m / s 2 212. s 2 5 23 m / s b) Queremos enconrar el alor de cuando 5 25 m>s, pero no sabemos el momeno en que el moociclisa llea al elocidad. Por lo ano, uilizamos la ecuación (2.13), que incluye, y a pero no incluye : Despejando y susiuyendo los alores conocidos, obenemos 5 1 2 2 2 2a 5 5. m 1 1 25 m /s 2 2 2 1 15 m/s 2 2 5 55 m 2 5 2 1 2a 1 2 2 2 1 4. m/s 2 2 Un méodo alerno aunque más largo para la mima respuesa sería usar la ecuación (2.8) para aeriguar primero en qué insane 5 25 m>s: Dado el iempo, podemos calcular usando la ecuación (2.12): 5 1 1 1 2 a 2 5 5. m 1 1 15 m / s 212.5 s 2 1 1 2 1 4. m /s 2 212.5 s 2 2 5 55 m 5 2 a 5 1 a así que 5 25 m /s 2 15 m/s 4. m/s 2 5 2.5 s EVALUAR: Son lógicos los resulados? Según lo que calculamos en el inciso a), el moociclisa acelera de 15 m>s (unas 34 mi>h o 54 km>h) a 23 m>s (unas 51 mi>h o 83 km>h) en 2. s, mienras recorre una disancia de 38 m (unos 125 f). Ésa es una aceleración considerable, pero una moociclea de alo rendimieno bien puede alcanzarla. Al comparar nuesros resulados del inciso b) con los del inciso a), noamos que el moociclisa alcanza una elocidad 5 25 m>s en un insane poserior y después de recorrer una disancia mayor, que cuando el moociclisa enía 5 23 m>s. Eso suena lógico porque el moociclisa iene una aceleración posiia y, por ende, se incremena su elocidad. Ejemplo 2.5 Dos cuerpos con diferene aceleración Un conducor que iaja a rapidez consane de 15 m>s (unas 34 mi>h) pasa por un cruce escolar, cuyo límie de elocidad es de 1 m>s (unas 22 mi>h). En ese preciso momeno, un oficial de policía en su moociclea, que esá parado en el cruce, arranca para perseguir al infracor, con aceleración consane de 3. m>s 2 (figura 2.21a). a) Cuáno iempo pasa anes de que el oficial de policía alcance al infracor? b) A qué rapidez a el policía en ese insane? c) Qué disancia oal habrá recorrido cada ehículo hasa ahí? SLUCIÓN IDENTIFICAR: El oficial de policía y el conducor se mueen con aceleración consane (cero en el caso del conducor), así que podemos usar las fórmulas que ya dedujimos. PLANTEAR: Tomamos como origen el cruce, así que 5 para ambos, y omamos como dirección posiia a la derecha. Sea P la posición del policía y M la del conducor en cualquier insane. Las elocidades iniciales son P 5 para el policía y M 5 15 m>s para el conducor; las respecias aceleraciones consanes son a P 5 3. m>s 2 y a M 5. Nuesra incógnia en el inciso a) es el iempo ras el cual el policía alcanza al conducor, es decir, cuando los dos ehículos esán en la misma posición. En el inciso b) nos ineresa la rapidez del policía (la magniud de su elocidad) en el iempo obenido en el inciso a). En el inciso c) nos ineresa la posición de cualesquiera de los ehículos en ese iempo. Por lo ano, usaremos la ecuación (2.12) (que relaciona posición y iempo) en los 2.21 a) Moimieno con aceleración consane que alcanza a moimieno con elocidad consane. b) Gráfica de conra para cada ehículo. a) CRUCE ESCLAR ficial de policía: inicialmene en reposo, aceleración consane. P a P 5 3. m/s 2 Conducor: elocidad consane. M M 5 15 m/s b) El policía y el conducor se encuenran en el insane donde se cruzan sus gráficas -. (m) 16 12 Conducor 8 4 Policía (s) 2 4 6 8 1 12

2.5 Cuerpos en caída libre 53 incisos a) y c), y la ecuación (2.8) (que relaciona elocidad y iempo) en el inciso b). EJECUTAR: a) Buscamos el alor del iempo cuando el conducor y el policía esán en la misma posición. Aplicando la ecuación (2.12), 5 a 2 1 1 1 2, a cada ehículo, enemos: M 5 1 M 1 1 2 1 2 2 5 M P 5 1 1 2 1 1 2 a P 2 5 1 2 a P 2 Pueso que M 5 P en el iempo, igualamos las dos epresiones y despejamos : 5 o M 5 1 2 a P 2 5 2 M a P 5 2 1 15 m /s 2 3. m/s 2 5 1 s Hay dos insanes en que los ehículos ienen la misma coordenada. El primero, 5, es cuando el conducor pasa por el cruce donde esá esacionada la moociclea. El segundo, 5 1 s, es cuando el policía alcanza al conducor. b) Queremos la magniud de la elocidad del policía P en el insane obenido en a). Su elocidad en cualquier momeno esá dada por la ecuación (2.8): P 5 P 1 a P 5 1 1 3. m / s 2 2 Usando 5 1 s, hallamos P 5 3 m>s. Cuando el policía alcanza al conducor, a al doble de su rapidez. c) En 1 s, la disancia recorrida por el conducor es M 5 M 5 1 15 m/s 211 s 2 5 15 m y la disancia que el policía recorre es P 5 1 2 a P 2 5 1 2 1 3. m /s 2 211 s 2 2 5 15 m Eso comprueba que cuando el policía alcanza al conducor, ambos han recorrido la misma disancia. EVALUAR: La figura 2.21b muesra las gráficas de conra para ambos ehículos. Aquí emos ambién que hay dos insanes en que la posición es la misma (donde se cruzan las gráficas). En ninguno de ellos los dos ehículos ienen la misma elocidad (es decir, las gráficas se cruzan con disina pendiene). En 5, el policía esá en reposo; en 5 1 s, la rapidez del policía es del doble que la del conducor. Ealúe su comprensión de la sección 2.4 Se muesran cuaro posibles gráficas - para los dos ehículos del ejemplo 2.5. Cuál es la gráfica correca? a) b) c) d) Conducor Policía (s) 1 Conducor Policía (s) 1 Conducor Policía (s) 1 Conducor Policía (s) 1 2.5 Cuerpos en caída libre El ejemplo más conocido de moimieno con aceleración (casi) consane es la caída de un cuerpo bajo la influencia de la aracción graiacional de la Tierra. Dicho moimieno ha ineresado a filósofos y cieníficos desde la Anigüedad. En el siglo IV a.c., Arisóeles pensaba (erróneamene) que los objeos pesados caían con mayor rapidez que los ligeros, en proporción a su peso. Diecinuee siglos después, Galileo (éase la sección 1.1) afirmó que los cuerpos caían con una aceleración consane e independiene de su peso. Los eperimenos muesran que si puede omiirse el efeco del aire, Galileo esá en lo ciero: odos los cuerpos en un lugar específico caen con la misma aceleración hacia abajo, sea cual fuere su amaño o peso. Si además la disancia de caída es pequeña en comparación con el radio erresre, y si ignoramos los pequeños efecos debidos a la roación de la Tierra, la aceleración es consane. El modelo idealizado que surge de ales supuesos se denomina caída libre, aunque ambién incluye el moimieno ascendene. (En el capíulo 3 eenderemos el esudio de la caída libre para incluir el moimieno de proyeciles, que se mueen ano horizonal como ericalmene.) La figura 2.22 es una foografía de una peloa que cae omada con una lámpara esroboscópica que produce una serie de desellos inensos a ineralos iguales. En cada desello, la película regisra la posición de la peloa. Como los ineralos enre 2.22 Foografía con múliples desellos de una peloa en caída libre.

54 CAPÍTUL 2 Moimieno en línea reca NLINE 1.7 Se deja caer limonada desde un globo aerosáico 1.1 Caída de un salador con garrocha desellos son iguales, la elocidad media de la peloa enre dos desellos es proporcional a la disancia enre las imágenes correspondienes en la foografía. El aumeno en las disancias muesra que la elocidad cambia coninuamene: la peloa acelera hacia abajo. Al medir cuidadosamene consaamos que el cambio de elocidad es el mismo en cada ineralo, así que la aceleración de la peloa en caída libre es consane. La aceleración consane de un cuerpo en caída libre se llama aceleración debida a la graedad, y denoamos su magniud con la lera g. Por lo regular, usaremos el alor aproimado de g cerca de la superficie erresre: g 5 9.8 m/s 2 5 98 cm/s 2 5 32 f/s 2 (alor aproimado cerca de la superficie erresre) El alor eaco aría según el lugar, así que normalmene sólo lo daremos con dos cifras significaias. Dado que g es la magniud de una canidad ecorial, siempre es posiia. En la superficie de la Luna, la aceleración debida a la graedad se debe a la fuerza de aracción de la Luna, no de la Tierra, y g 5 1.6 m>s 2. Cerca de la superficie del Sol, g 5 27 m>s 2. En los ejemplos que siguen usamos las ecuaciones para aceleración consane que dedujimos en la sección 2.4. Sugerimos al lecor que repase las esraegias de resolución de problemas de esa sección anes de esudiar esos ejemplos. Ejemplo 2.6 Moneda en caída libre Se deja caer una moneda de un euro desde la Torre Inclinada de Pisa; pare del reposo y cae libremene. Calcule su posición y su elocidad después de 1., 2. y 3. s. SLUCIÓN IDENTIFICAR: Cae libremene significa iene una aceleración consane debida a la graedad, así que podemos usar las ecuaciones para aceleración consane en la deerminación de nuesras incógnias. 2.23 Una moneda en caída libre desde reposo. PLANTEAR: El lado derecho de la figura 2.23 muesra nuesro diagrama de moimieno para la moneda. El moimieno es erical, de manera que usamos un eje de coordenadas erical y llamaremos a la coordenada y en ez de. Susiuiremos odas las de las ecuaciones para aceleración consane por y. Tomaremos el origen como el puno de parida y la dirección hacia arriba como posiia. La coordenada inicial y y la elocidad inicial y son ambas cero. La aceleración es hacia abajo, en la dirección y negaia, así que ay 52g 5 29.8 m>s 2. (Recuerde que por definición g siempre es posiia.) Por lo ano, nuesras incógnias son los alores de y y y en los res insanes especificados. Para obenerlos usamos las ecuaciones (2.12) y (2.8), susiuyendo por y. La Torre Inclinada Nuesra gráfica del problema EJECUTAR: En un insane después de que se suela la moneda, su posición y su elocidad son y 5 y 1 y 1 1 2 a y 2 5 1 1 1 2 1 2g 2 2 5 1 24.9 m/s 2 2 2 y 5 y 1 a y 5 1 1 2g 2 5 1 29.8 m/s 2 2 Cuando 5 1. s, y 5 (24.9 m>s 2 ) (1. s) 2 524.9 m y y 5 (29.8 m>s 2 ) (1. s) 529.8 m>s; después de 1 s, la moneda esá 4.9 m debajo del origen (y es negaia) y iene una elocidad hacia abajo ( y es negaia) con magniud de 9.8 m>s. La posición y la elocidad a los 2. s y 3. s se obienen de la misma forma. Puede used demosrar que y 5219.6 m y y 5 219.6 m>s en 5 2. s, y que y 5244.1 m y y 5229.4 m>s en 5 3. s? EVALUAR: Todos los alores que obuimos para y son negaios porque decidimos que el eje 1y apunaría hacia arriba; pero bien podríamos haber decidido que apunara hacia abajo. En al caso, la aceleración habría sido a y 51g y habríamos obenido alores posiios para y. No impora qué eje elija; sólo asegúrese de decirlo claramene en su solución y confirme que la aceleración enga el signo correco.

2.5 Cuerpos en caída libre 55 Ejemplo 2.7 Moimieno ascendene y descendene en caída libre Imagine que used lanza una peloa ericalmene hacia arriba desde la azoea de un edificio. La peloa sale de la mano, en un puno a la alura del barandal de la azoea, con rapidez ascendene de 15. m>s, quedando luego en caída libre. Al bajar, la peloa libra apenas el barandal. En ese lugar, g 5 9.8 m>s 2. benga a) la posición y elocidad de la peloa 1. s y 4. s después de solarla; b) la elocidad cuando la peloa esá 5. m sobre el barandal; c) la alura máima alcanzada y el insane en que se alcanza; y d) la aceleración de la peloa en su alura máima. Cuando 5 1. s, esas ecuaciones dan y 511.1 m y 515.2 m/s La peloa esá 1.1 m sobre el origen (y es posiia) y se muee hacia arriba ( y es posiia) con rapidez de 5.2 m>s, menor que la rapidez inicial porque la peloa frena mienras asciende. Cuando 5 4. s, las ecuaciones para y y y en función del iempo dan SLUCIÓN y 5218.4 m y 5224.2 m/s IDENTIFICAR: Las palabras caída libre en el enunciado del problema implican que la aceleración es consane y debida a la graedad. Las incógnias son la posición [en los incisos a) y c)], la elocidad [en los incisos a) y b)] y la aceleración [en el inciso d)]. PLANTEAR: En la figura 2.24 (que ambién es un diagrama de moimieno para la peloa), la rayecoria descendene se muesra desplazada un poco a la derecha de su posición real por claridad. Sea el origen el barandal, donde la peloa sale de la mano, y sea la dirección posiia hacia arriba. La posición inicial y es cero, la elocidad inicial y es 115. m>s y la aceleración es a Y 52g 529.8 m>s 2. Usaremos ora ez las ecuaciones (2.12) y (2.8) para calcular la posición y la elocidad, respeciamene, en función del iempo. En el inciso b), nos piden hallar la elocidad en ciera posición, no en ciero iempo, así que nos conendrá usar la ecuación (2.13) en esa pare. EJECUTAR: a) La posición y y la elocidad y, en cualquier insane una ez que se suela la peloa esán dadas por las ecuaciones (2.12) y (2.8), cambiando las por y: y 5 y 5 y 1 1 2 a y 2 5 y 1 y 1 1 1 2g 2 2 2 5 1 2 1 1 15. m/s 2 1 1 2 1 29.8 m /s 2 2 2 y 5 y 1 a y 5 y 1 1 2g 2 5 15. m/s 1 1 29.8 m/s 2 2 2.24 Posición y elocidad de una peloa que se lanza ericalmene hacia arriba. La peloa realmene se muee hacia arriba y después hacia abajo; por claridad, y 5 presenamos una rayecoria con 5? forma de U. 5 1. s, y 5? y y 5? y 5? La peloa pasó su puno más alo y esá 18.4 m debajo del origen (y es negaia); iene elocidad hacia abajo ( y es negaia) de magniud 24.2 m>s. Conforme sube, la peloa pierde rapidez, luego la gana al descender; se muee a la rapidez inicial de 15. m>s cuando pasa hacia abajo por su puno de lanzamieno (el origen) y coninúa ganando rapidez conforme desciende por debajo de ese puno. b) La elocidad y en cualquier posición y esá dada por la ecuación (2.13) cambiando las por y: y 2 5 y 2 1 2a y 1 y 2 y 2 5 y 2 1 2 1 2g 21y 2 2 5 1 15. m / s 2 2 1 2 1 29.8 m / s 2 2 y Con la peloa a 5. m sobre el origen, y 515. m, así que 2 y 5 1 15. m/s 2 2 1 2 1 29.8 m/s 2 215. m 2 5 127 m 2 /s 2 y 5611.3 m/s benemos dos alores de y, pues la peloa pasa dos eces por el puno y 515. m (éase la figura 2.24), una subiendo con y posiia y ora bajando con y negaia. c) En el insane en que la peloa llega al puno más alo, esá momenáneamene en reposo y y 5. La alura máima y 1 puede obenerse de dos formas. La primera es usar la ecuación (2.13) y susiuir y 5, y 5 y a y 52g: 5 y 2 1 2 1 2g 21y 1 2 2 y 1 5 2 y 2g 5 1 15. m /s 2 2 2 1 9.8 m/s 2 2 5111.5 m La segunda consise en calcular el insane en que y 5 usando la ecuación (2.8), y 5 y 1 a y, y susiuir ese alor de en la ecuación (2.12), para obener la posición en ese insane. Por la ecuación (2.8), el insane l en que la peloa llega al puno más alo es 5?, y 5? 5, y 5 15. m/s 5? y 5? y 5 5. m y 5 y 5 5 y 1 1 2g 2 1 1 5 y g 5 15. m /s 9.8 m/s 2 5 1.53 s Susiuyendo ese alor de en la ecuación (2.12) obenemos a y 5 2g 5 29.8 m/s 2 y 5 y 1 y 1 1 2 a y 2 5 1 2 1 1 15 m/s 211.53 s 2 1 1 2 1 29.8 m /s 2 211.53 s 2 2 5111.5 m 5 4. s y 5? y 5? bsere que la primera forma de hallar la alura máima es más sencilla, ya que no es necesario calcular primero el iempo. coninúa

56 CAPÍTUL 2 Moimieno en línea reca d) CUIDAD Un error acerca de la caída libre Es un error común pensar que en el puno más alo del moimieno en caída libre la elocidad es cero y la aceleración es cero. Si fuera así, la peloa quedaría suspendida en el puno más alo en el aire para siempre! Recuerde que la aceleración es la asa de cambio de la elocidad. Si la aceleración fuera cero en el puno más alo, la elocidad de la peloa ya no cambiaría y, al esar insanáneamene en reposo, permanecería en reposo eernamene. De hecho, en el puno más alo la aceleración sigue siendo a y 52g5 29.8 m>s 2, la misma que cuando esá subiendo y cuando esá bajando. Por ello, la elocidad de la peloa esá cambiando coninuamene, de alores posiios a alores negaios, pasando por cero. EVALUAR: Una forma úil de erificar cualquier problema de moimieno consise en dibujar las gráficas de posición y de elocidad en función del iempo. La figura 2.25 muesra esas gráficas para ese problema. Como la aceleración es consane y negaia, la gráfica y- es una parábola con curaura hacia abajo, y la gráfica y - es una reca con pendiene negaia. 2.25 a) Posición y b) elocidad en función del iempo para una peloa lanzada hacia arriba con una rapidez inicial de 15 m>s. a) Gráfica y- (la curaura es hacia abajo porque a y 5 2g es negaia) y (m) Anes de 5 1.53 s la peloa y (m/s) 15 1 se muee hacia arriba. Después de 5 1.53 s la 15 1 peloa se muee 5 5 hacia abajo. (s) 1 1 2 3 4 25 25 21 21 215 215 22 b) Gráfica y - (reca con pendiene negaia porque a y 5 2g es consane y negaia) 22 225 Anes de 5 1.53 s la elocidad es posiia. 2 (s) 3 4 Después de 5 1.53 s la elocidad es negaia. Ejemplo 2.8 Dos soluciones o una? Deermine el insane en que la peloa del ejemplo 2.7 esá 5. m por debajo del barandal. SLUCIÓN IDENTIFICAR: Se raa de nueo de un problema de aceleración consane. La incógnia es el iempo en que la peloa esá en ciera posición. PLANTEAR: ra ez elegimos el eje y como en la figura 2.24, así que y, y y a y 52g ienen los mismos alores que en el ejemplo 2.7. De nueo, la posición y en función del iempo esá dada por la ecuación (2.12): y 5 y 1 y 1 1 2 a y 2 5 y 1 y 1 1 1 2g 2 2 2 Queremos despejar con y 525. m. Pueso que la ecuación incluye 2, es una ecuación cuadráica en. EJECUTAR: Primero replaneamos la ecuación en la forma cuadráica esándar para una desconocida, A 2 1 B 1 C 5 : 1 1 2 g 2 2 1 1 2 y 2 1 1 y 2 y 2 5 A 2 1 B 1 C 5 enonces, A 5 g>2, B 52 y y C 5 y 2 y. Usando la fórmula cuadráica (éase el Apéndice B), emos que esa ecuación iene dos soluciones: 5 2B6"B2 2 4AC 2A 2 1 2 y 2 6 " 1 2 y 2 2 2 4 1 g/2 21y 2 y 2 5 2 1 g/2 2 y 6 " 2 y 2 2g 1 y 2 y 2 5 g Susiuyendo los alores y 5, y 5115. m>s, g 5 9.8 m>s 2 y y 525. m, obenemos 5 1 15. m /s 2 6" 1 15. m/s 2 2 2 2 1 9.8 m/s 2 2125. m 2 2 9.8 m/s 2 513.36 s o 52.3 s Para decidir cuál de ésas es la respuesa correca, la preguna clae es: son lógicas esas respuesas? La segunda, 52.3 s, simplemene es absurda; se refiere a un insane.3 s anes de solar la peloa! Lo correco es 513.36 s. La peloa esá 5. m debajo del barandal 3.36 s después de que sale de la mano. EVALUAR: De dónde salió la solución errónea 52.3 s? Recuerde que la ecuación y 5 y 1 y 1 1 1 2 2g 2 2 se basa en el supueso de que la aceleración es consane para odos los alores de, posiios, negaios o cero. Tal cual, esa ecuación nos diría que la peloa se ha esado moiendo hacia arriba en caída libre desde los albores del iempo, y pasó por la mano en y 5 en el insane especial que decidimos llamar 5, y después coninuó su caída libre. Sin embargo, odo lo que esa ecuación describa como sucedido anes de 5 es ficción pura, ya que la peloa enró en caída libre sólo después de salir de la mano en 5 ; la solución 52.3 s es pare de al ficción. Repia esos cálculos para deerminar cuándo la peloa esá 5. m sobre el origen (y 515. m). Las dos respuesas son 51.38 s y 512.68 s; ambos son alores posiios de y se refieren al moimieno real de la peloa una ez solada. El primer insane es cuando la peloa pasa por y 515. m de subida, y el segundo, cuando pasa por ahí de bajada. (Compare eso con el inciso b) del ejemplo 2.7.) Deermine ambién los insanes en que y 5115. m. En ese caso, ambas soluciones requieren obener la raíz cuadrada de un número negaio, así que no hay soluciones reales. Eso es lógico; en el inciso c) del ejemplo 2.7 imos que la alura máima de la peloa es y 5111.5 m, así que nunca llega a y 5115. m. Aunque una ecuación cuadráica como la (2.12) siempre iene dos soluciones, a eces una o ambas soluciones no ienen senido físico.

2.6 *Velocidad y posición por inegración 57 Ealúe su comprensión de la sección 2.5 Si used lanza una peloa hacia arriba con ciera rapidez inicial, ésa cae libremene y alcanza una alura máima h un insane después de que sale de su mano. a) Si used arroja la peloa hacia arriba con el doble de la rapidez inicial, qué nuea alura máima alcanzará la peloa? h "2; b) Si used lanza la peloa hacia arriba con el doble de la rapidez inicial, cuáno iempo le omará alcanzar su nuea alura máima? i) /2; ii) /"2 ; iii) ; i) "2; ) 2. 2.6 *Velocidad y posición por inegración Esa sección opcional es para esudianes que ya aprendieron algo de cálculo inegral. En la sección 2.4 analizamos el caso especial de moimieno recilíneo con aceleración consane. Si a no es consane, como es común, no podremos aplicar las ecuaciones que deducimos en esa sección (figura 2.26). Pero aun si a aría con el iempo, podemos usar la relación 5 d>d para obener la elocidad en función del iempo si la posición es una función conocida de, y podemos usar a 5 d >d para obener la aceleración a en función del iempo si es una función conocida de. En muchas siuaciones, sin embargo, no se conocen la posición ni la elocidad en función del iempo, pero sí la aceleración. Cómo obenemos la posición y la elocidad a parir de la función de aceleración a ()? Ese problema surge al olar un aión de Noreamérica a Europa (figura 2.27). La ripulación del aión debe conocer su posición precisa en odo momeno. Sin embargo, un aión sobre el océano suele esar fuera del alcance de los radiofaros erresres y del radar de los conroladores de ráfico aéreo. Para deerminar su posición, los aiones cuenan con un sisema de naegación inercial (INS) que mide la aceleración del aión. Eso se hace de forma análoga a como senimos cambios en la elocidad de un auomóil en el que iajamos, aun con los ojos cerrados. (En el capíulo 4 eremos cómo el cuerpo deeca la aceleración.) Dada esa información y la posición inicial del aión (digamos, ciero embarcadero en el Aeropuero Inernacional de Miami) y su elocidad inicial (cero cuando esá esacionado en ese embarcadero), el INS calcula y muesra la elocidad y posición acuales del aión en odo momeno durane el uelo. (Los aiones ambién uilizan el sisema de posición global, o GPS, para la naegación; no obsane, ese sisema complemena el INS, en ez de remplazarlo.) Nuesro objeio en el reso de esa sección es mosrar cómo se efecúan esos cálculos en el caso más sencillo de moimieno recilíneo, con aceleración ariable en el iempo. Primero consideraremos un enfoque gráfico. La figura 2.28 es una gráfica de aceleración conra iempo para un cuerpo cuya aceleración no es consane. Podemos diidir el ineralo enre los iempos l y 2 en muchos ineralos más pequeños, llamando D a uno represenaio. Sea a med- la aceleración media durane D. Por la ecuación (2.4), el cambio de elocidad D durane D es D 5 a med- D Gráficamene, D es igual al área de la ira sombreada con alura a med- y anchura D, es decir, el área bajo la cura enre los lados derecho e izquierdo de D. El cambio oal de elocidad en cualquier ineralo (digamos, 1 a 2 ) es la suma de los cambios D en los subineralos pequeños. De esa manera el cambio de elocidad oal se represena gráficamene con el área oal bajo la cura a - enre las líneas ericales 1 y 2. (En la sección 2.4 demosramos que eso se cumplía para el caso especial en que la aceleración es consane.) En el límie donde los D se hacen muy pequeños y muy numerosos, el alor de a med- para el ineralo de cualquier a 1D se acerca a la aceleración insanánea a en el insane. En ese límie, el área bajo la cura a - es la inegral de a (que en general es una función de ) de 1 a 2. Si 1 es la elocidad del cuerpo en 1 y 2 es la elocidad en 2, enonces, 2.26 Cuando pisamos el pedal del acelerador de un auomóil, la aceleración resulane no es consane: cuano mayor sea la rapidez del auo, más lenamene adquirirá rapidez adicional. Un auo ordinario arda el doble en acelerar de 5 km>h a 1 km>h que en acelerar de a 5 km>h. 2.27 La posición y la elocidad de un aión que cruza el Alánico se encuenran inegrando su aceleración con respeco al iempo. Aceleración: conocida Velocidad: por deerminar Posición: por deerminar De Miami A Londres 2.28 Una gráfica a - para un cuerpo cuya aceleración no es consane. N S E 2 2 1 5 3 2 d 5 3 a d 1 1 El cambio en es la inegral de la aceleración a con respeco al iempo. 2 (2.15)

58 CAPÍTUL 2 Moimieno en línea reca Podemos seguir eacamene el mismo procedimieno con la cura de elocidad conra iempo. Si 1 es la posición de un cuerpo en 1 y 2 es su posición en 2, por la ecuación (2.2) el desplazamieno D en un ineralo D pequeño es med- D, donde med- es la elocidad media durane D. El desplazamieno oal 2 2 1 durane 2 2 1 esá dado por 2 2 1 5 3 2 (2.16) El cambio en la posición (es decir, el desplazamieno) es la inegral en el iempo de la elocidad. Gráficamene, el desplazamieno enre 1 y 2 es el área bajo la cura - enre esos dos insanes. [Ése es el resulado que obuimos en la sección 2.4 para el caso especial en que esá dada por la ecuación (2.8).] Si l 5 y 2 es cualquier insane poserior, y si y son la posición y la elocidad en 5, respeciamene, enonces rescribimos las ecuaciones (2.15) y (2.16) como: 2 d 5 3 d 1 1 5 1 3 a d (2.17) 5 1 3 d (2.18) Aquí, y son la posición y la elocidad en el insane. Si conocemos la aceleración a en función del iempo y la elocidad inicial, podremos usar la ecuación (2.17) para obener la elocidad en cualquier insane; es decir, podemos obener en función del iempo. Una ez conocida esa función, y dada la posición inicial, podemos usar la ecuación (2.18) para calcular la posición en cualquier insane. Ejemplo 2.9 Moimieno con aceleración cambiane Sally conduce su Musang 1965 por una auopisa reca. En el insane 5, cuando Sara aanza a 1 m>s en la dirección 1, pasa un lerero que esá en 5 5 m. Su aceleración es una función del iempo: a) Deduzca epresiones para su elocidad y posición en función del iempo. b) En qué momeno es máima su elocidad? c) Cuál es esa elocidad máima? d) Dónde esá el auomóil cuando alcanza la elocidad máima? SLUCIÓN IDENTIFICAR: La aceleración es función del iempo, así que no podemos usar las fórmulas para aceleración consane de la sección 2.4. PLANTEAR: Uilizamos las ecuaciones (2.17) y (2.18) para obener la elocidad y la posición en función del iempo. Una ez que engamos esas funciones, podremos conesar diersas pregunas acerca del moimieno. EJECUTAR: a) En 5, la posición de Sally es 5 5 m y su elocidad es 5 1 m>s. Pueso que se nos da la aceleración a en función del iempo, primero usamos la ecuación (2.17) para obener la elocidad en función del iempo. La inegral de n es con n 21, así que 5 1 m / s 1 3 a 5 2. m/s 2 2 1.1 m/s 3 2 32. m / s 2 2 1.1 m / s 3 2 4 d n d 5 1 n 1 1 n11 Luego usamos la ecuación (2.18) para obener en función de : 5 5 m 1 3 S1 m/s 1 1 2. m/s 2 2 2 1 2 1.1 m /s 3 2 2 T d 5 5 m 1 1 1 m/s 2 1 1 2 1 2. m /s 2 2 2 2 1 6 1.1 m /s 3 2 3 La figura 2.29 muesra las gráficas de a, y en función del iempo. bsere que, para cualquier, la pendiene de la gráfica - es igual al alor de a y la pendiene de la gráfica - es igual al alor de. b) El alor máimo de se da cuando deja de aumenar y comienza a disminuir. En ese insane, d >d 5 a 5. Igualando a cero la epresión de la aceleración, c) benemos la elocidad máima susiuyendo 5 2 s (cuando es máima) en la ecuación para del inciso a): má- 5 1 m/s 1 1 2. m/s 2 212 s 2 2 1 2 1.1 m /s 3 212 s 2 2 5 3 m/s 5 2. m/s 2 2 1.1 m/s 3 2 5 2. m /s 2.1 m/s 3 5 2 s 5 1 m/s 1 1 2. m/s 2 2 2 1 2 1.1 m /s 3 2 2

2.6 *Velocidad y posición por inegración 59 2.29 Posición, elocidad y aceleración del auomóil del ejemplo 2.9 como funciones del iempo. Puede used demosrar que si coninúa ese moimieno, el auo parará en 5 44.5 s? a (m/s 2 ) 2. 1. 1. (m/s) 3 2 1 La aceleración es posiia anes de 5 2 s. 5 1 15 2 25 3 La aceleración es negaia después de 5 2 s. La elocidad aumena anes de 5 2 s. La elocidad disminuye después de 5 2 s. (s) 5 1 15 2 25 3 (s) d) El alor máimo de se da en 5 2 s. Para obener la posición del auo en ese insane, susiuimos 5 2 s en la epresión para del inciso a): 5 5 m 1 1 1 m/s 212 s 2 1 1 2 1 2. m /s 2 212 s 2 2 2 1 6 1.1 m /s 3 212 s 2 3 5 517 m EVALUAR: La figura 2.29 nos ayuda a inerprear los resulados. La gráfica superior de esa figura muesra que a es posiia enre 5 y 5 2 s, y negaia después. Es cero en 5 2 s, cuando es máima (puno alo en la cura de en medio). El auo acelera hasa 5 2 s (porque y a ienen el mismo signo) y frena después de 5 2 s (porque y a ienen signos opuesos). Como es máima en 5 2 s, la gráfica - (la de arriba en la figura 2.29) iene su pendiene posiia máima en ese insane. bsere que la cura - es cóncaa hacia arriba enre 5 y 5 2 s, cuando a es posiia, y es cóncaa hacia abajo después de 5 2 s, cuando a es negaia. (m) 8 6 4 2 La gráfica - se cura hacia arriba anes de 5 2 s. La gráfica - se cura hacia abajo después de 5 2 s. 5 1 15 2 25 3 (s) Ejemplo 2.1 Fórmulas de aceleración consane por inegración Use las ecuaciones (2.17) y (2.18) para obener y en función del iempo para el caso de aceleración consane. SLUCIÓN IDENTIFICAR: Esos ejemplos serirán para erificar las ecuaciones que dedujimos en esa sección. Si esán correcas, deberíamos erminar con las mismas ecuaciones de aceleración consane que dedujimos en la sección 2.4 sin usar la inegración. PLANTEAR: Seguimos los mismos pasos que en el ejemplo 2.9. La única diferencia es que a es una consane. EJECUTAR: Por la ecuación (2.17), la elocidad esá dada por 5 1 3 a d 5 1 a 3 d 5 1 a Pudimos obener a de la inegral porque es consane. Si susiuimos esa epresión para en la ecuación (2.18), obendremos 5 1 3 d 5 1 3 1 1 a 2 d Pueso que y a son consanes, podemos sacarlas de la inegral: 5 1 3 d 1 a 3 d 5 1 1 1 2 a 2 EVALUAR: Esos resulados son iguales a las ecuaciones (2.8) y (2.12) para la sección 2.4, como debería ser! No obsane, nuesras epresiones para las ecuaciones (2.17) y (2.18), en los casos en que la aceleración depende del iempo, ambién pueden serirnos cuando la aceleración sea consane. Ealúe su comprensión de la sección 2.6 Si la aceleración a se incremena con el iempo, la gráfica - será i) una línea reca, ii) una cura cóncaa hacia arriba (con curaura hacia arriba) o iii) una cura cóncaa hacia abajo (con curaura hacia abajo)?

CAPÍTUL 2 RESUMEN Moimieno recilíneo, elocidad media e insanánea: Cuando una parícula se muee en línea reca, describimos su posición con respeco al origen mediane una coordenada como. La elocidad media de la parícula, med-, durane un ineralo D 5 2 2 l es igual a su desplazamieno D 5 2 2 1 diidido enre D. La elocidad insanánea en cualquier insane es igual a la elocidad media en el ineralo de iempo de a 1D en el límie cuando D iende a cero. De forma equialene, es la deriada de la función de posición con respeco al iempo. (Véase el ejemplo 2.1.) med- 5 2 2 1 5 D 2 2 1 D D 5 lím DS D 5 d d (2.2) (2.3) 2 1 p 1 Pendiene 5 med- p 2 Pendiene 5 5 2 2 1 1 2 5 2 2 1 Aceleración media e insanánea: La aceleración media a med- durane un ineralo D es igual al cambio de elocidad D 5 2 2 l durane ese lapso diidido enre D. La aceleración insanánea a es el límie de a med- cuando D iende a cero, o la deriada de con respeco a. (Véanse los ejemplos 2.2 y 2.3.) a med- 5 2 2 1 5 D 2 2 1 D D a 5 lím 5 d DS D d (2.4) (2.5) 2 1 p 1 Pendiene 5 a med- p 2 Pendiene 5 a D 5 2 2 1 1 2 D 5 2 2 1 Moimieno recilíneo con aceleración consane: Cuando la aceleración es consane, cuaro ecuaciones relacionan la posición y la elocidad en cualquier insane con la posición inicial, la elocidad inicial (ambas medidas en 5 ) y la aceleración a. (Véanse los ejemplos 2.4 y 2.5.) Sólo aceleración consane: 5 1 a 5 1 1 1 2 a 2 2 5 2 1 2a 1 2 2 2 5 1 1 2 2 (2.8) (2.12) (2.13) (2.14) a 5 a 5 D 5 2D 5 3D 5 4D a a a Cuerpos en caída libre: La caída libre es un caso del moimieno con aceleración consane. La magniud de la aceleración debida a la graedad es una canidad posiia g. La aceleración de un cuerpo en caída libre siempre es hacia abajo. (Véanse los ejemplos 2.6 a 2.8.) a y 5 2g 5 29.8 m/s 2 Moimieno recilíneo con aceleración ariable: Cuando la aceleración no es consane, sino una función conocida del iempo, podemos obener la elocidad y la posición en función del iempo inegrando la función de la aceleración. (Véanse los ejemplos 2.9 y 2.1.) 5 1 3 a d 5 1 3 d (2.17) (2.18) a a med- 1 2 D 6

Pregunas para análisis 61 Términos clae parícula, 37 elocidad media, 37 gráfica -, 38 elocidad insanánea, 39 deriada, 4 rapidez, 4 diagrama de moimieno, 42 aceleración media, 43 aceleración insanánea, 44 gráfica -, 45 gráfica a -, 47 caída libre, 53 aceleración debida a la graedad, 54 Respuesa a la preguna de inicio de capíulo? Sí. Aceleración se refiere a cualquier cambio de elocidad, ya sea que aumene o disminuya. Respuesas a las pregunas de Ealúe su comprensión 2.1 Respuesas a a): i), i) y iii) (empaados), ), ii); respuesa a b): i) y iii); respuesa a c): ) En a), la elocidad media es med- 5D>D. Para los cinco iajes, D 5 1 h. Para los iajes indiiduales, enemos i) D 515 km, med- 515 km/h; ii) D 525 km, med- 525 km/h; iii) D 5 6 km 2 1 km 515 km, med- 5 15 km/h; i) D 517 km, med- 517 km/h; ) D 5 D 522 km 1 2 km 5, med- 5. En b) ambos ienen med- 5 15 km>h. 2.2 Respuesas: a) P, Q y S (empaados), R La elocidad es b) posiia cuando la pendiene de la gráfica - es posiia (puno P), c) negaia cuando la pendiene es negaia (puno R) y d) cero cuando la pendiene es cero (punos Q y S). e) R, P, Q y S (empaados) La rapidez es máima cuando la pendiene de la gráfica - es más empinada (ya sea posiia o negaia), y cero cuando la pendiene es cero. 2.3 Respuesas: a) S, donde la gráfica - se cura (es cóncaa) hacia arriba. b) Q, donde la gráfica - se cura (es cóncaa) hacia abajo. c) P y R, donde la gráfica - es una línea reca. d) En P, > y a 5 (la rapidez no cambia); en Q, > y a < (la rapidez disminuye); en R, < y a 5 (la rapidez no cambia); y en S, < y a > (la rapidez disminuye). 2.4 Respuesa: b) La aceleración del policía es consane, de manera que su gráfica - es una reca y su moociclea se muee más rápido que el auomóil del conducor, cuando ambos ehículos se encuenran en 5 1 s. 2.5 Respuesas: a) iii) Use la ecuación (2.13) susiuyendo por y y a y 5 g; 2 y 5 2y 2 2g (y 2 y ). La alura inicial es y 5 y la elocidad a la alura máima y 5 h es y 5, así que 5 2y 2 2gh y h 5 2y>2g. Si la elocidad inicial aumena en un facor de 2, la alura máima aumenará en un facor de 2 2 5 4 y la peloa alcanzará la alura 4h. b) ) Uilice la ecuación (2.8) remplazando por y y a y 5 g; y 5 y 2 g. La elocidad en la alura máima es y 5, así que 5 y 2 g y 5 y >g. Si la elocidad inicial se incremena en un facor de 2, el iempo para llegar a la alura máima se incremena en un facor de 2 y se uele 2. 2.6 Respuesas: ii) La aceleración a es igual a la pendiene de la gráfica -. Si a aumena, la pendiene de la gráfica - ambién se incremena y la cura es cóncaa hacia arriba. PRBLEMAS Para la area asignada por el profesor, isie www.maseringphysics.com Pregunas para análisis P2.1. El elocímero de un auomóil mide rapidez o elocidad? Eplique su respuesa. P2.2. La figura 2.3 muesra una serie de foografías de ala rapidez de un inseco que uela en línea reca de izquierda a derecha (en la dirección 1). Cuál de las gráficas de la figura 2.31 es más probable que describa el moimieno del inseco? Figura 2.3 Preguna P2.2. Figura 2.31 Preguna P2.2. a) b) a c) d) e) P2.3. Un objeo con aceleración consane puede inerir la dirección en la que se muee? Puede inerirla dos eces? En cada caso, eplique su razonamieno. P2.4. En qué condiciones la elocidad media es igual a la elocidad insanánea? P2.5. Para un objeo es posible a) frenar mienras su aceleración incremena en magniud; b) aumenar su rapidez mienras disminuye su aceleración? En cada caso, eplique su razonamieno. P2.6. En qué condiciones la magniud de la elocidad media es igual a la rapidez media? P2.7. Cuando un Dodge Viper esá en el negocio Laamóil, un BMW Z3 esá en las calles lmo y Cenral. Luego, cuando el Dodge llega a lmo y Cenral, el BMW llega a Laamóil. Qué relación hay enre las elocidades medias de los auomóiles enre esos insanes? P2.8. En el esado de Massachuses un conducor fue ciado en el ribunal por eceso de rapidez. La prueba conra el conducor era que una mujer policía obseró al auomóil del conducor juno a un segundo auo, en un momeno en que la mujer policía ya había deerminado que el segundo auo ecedía el límie de rapidez. El conducor alegó que: el oro auo me esaba rebasando, y yo no iba a eceso de rapidez. El juez dicaminó conra él porque, según dijo, si los auos esaban junos, ambos iban a eceso de rapidez. Si used fuera el abogado del conducor, cómo defendería su caso?

62 CAPÍTUL 2 Moimieno en línea reca P2.9. Puede used ener desplazamieno y elocidad media disina de? Y elocidad disina de? Ilusre sus respuesas en una gráfica -. P2.1. Puede used ener aceleración y elocidad disina de? Eplique, usando una gráfica -. P2.11. Puede used ener elocidad cero y aceleración media disina de cero? Y elocidad cero y aceleración disina de cero? Eplique, usando una gráfica - y dé un ejemplo de dicho moimieno. P2.12. Un auomóil iaja al oese. Puede ener una elocidad hacia el oese y simuláneamene una aceleración hacia el ese? En qué circunsancias? P2.13. La camionea del juez en la figura 2.2 esá en l 5 277 m en 1 5 16. s, y en 2 5 19 m en 2 5 25. s. a) Dibuje dos posibles gráficas - disinas para el moimieno de la camionea. b) La elocidad media med- en el ineralo de l a 2 iene el mismo alor en ambas gráficas? Por qué? P2.14. Con aceleración consane, la elocidad media de una parícula es la miad de la suma de sus elocidades inicial y final. Se cumple eso si la aceleración no es consane? Eplique su respuesa. P2.15. Used lanza una peloa ericalmene hasa una alura máima mucho mayor que su propia esaura. La magniud de la aceleración es mayor mienras se lanza o después de que se suela? Eplique su respuesa. P2.16. Demuesre lo que sigue. a) En ano puedan despreciarse los efecos del aire, si se lanza algo ericalmene hacia arriba endrá la misma rapidez cuando regrese al puno de lanzamieno que cuando se soló. b) El iempo de uelo será el doble del iempo de subida. P2.17. Un grifo de agua que goea deja caer consanemene goas cada 1. s. Conforme dichas goas caen, la disancia enre ellas aumena, disminuye o permanece igual? Demuesre su respuesa. P2.18. Si se conocen la posición y elocidad iniciales de un ehículo y se regisra la aceleración en cada insane, puede calcularse su posición después de ciero iempo con esos daos? Si se puede, eplique cómo. P2.19. Desde la azoea de un rascacielos, used lanza una peloa ericalmene hacia arriba con rapidez y una peloa direcamene hacia abajo con rapidez. a) Qué peloa iene mayor rapidez cuando llega al suelo? b) Cuál llega al suelo primero? c) Cuál iene un mayor desplazamieno cuando llega al suelo? d) Cuál recorre la mayor disancia cuando llega al suelo? P2.2. Se deja caer una peloa desde el reposo en la azoea de un edificio de alura h. En el mismo insane, una segunda peloa se proyeca ericalmene hacia arriba desde el niel del suelo, de modo que enga rapidez cero cuando llegue al niel de la azoea. Cuando las dos peloas se cruzan, cuál iene mayor rapidez (o ambas ienen la misma rapidez)? Eplique su respuesa. Dónde esarán las dos peloas cuando se crucen: a una alura h>2 sobre el suelo, más abajo de esa alura o arriba de esa alura? Eplique su respuesa. Ejercicios Sección 2.1 Desplazamieno, iempo y elocidad media 2.1. Un cohee que llea un saélie acelera ericalmene alejándose de la superficie erresre. 1.15 s después del despegue, el cohee libra el ope de su plaaforma de lanzamieno, a 63 m sobre el suelo; y después de oros 4.75 s, esá a 1. km sobre el suelo. Calcule la magniud de la elocidad media del cohee en a) la pare de 4.75 s de su uelo; b) los primeros 5.9 s de su uelo. 2.2. En un eperimeno, se sacó a una pardela (una ae marina) de su nido, se le lleó a 515 km de disancia y luego fue liberada. El ae regresó a su nido 13.5 días después de haberse solado. Si el origen es el nido y eendemos el eje 1 al puno de liberación, cuál fue la elocidad media del ae en m>s a) en el uelo de regreso? b) Y desde que se sacó del nido hasa que regresó? 2.3. Viaje a casa. Suponga que used normalmene conduce por la auopisa que a de San Diego y Los Ángeles con una rapidez media de 15 km>h (65 m>h) y el iaje le oma 2 h y 2 min. Sin embargo, un iernes por la arde el ráfico le obliga a conducir la misma disancia con una rapidez media de sólo 7 km>h (43 mi>h). Cuáno iempo más ardará el iaje? 2.4. De pilar a pose. Pariendo de un pilar, used corre 2 m al ese (la dirección 1) con rapidez media de 5. m>s, luego 28 m al oese con rapidez media de 4. m>s hasa un pose. Calcule a) su rapidez media del pilar al pose y b) su elocidad media del pilar al pose. 2.5. Dos corredores paren simuláneamene del mismo puno de una pisa circular de 2 m y corren en direcciones opuesas. Uno corre con una rapidez consane de 6.2 m>s, y el oro, con rapidez consane de 5.5 m>s. Cuándo se encuenren primero? a) cuáno iempo habrán esado corriendo?, y b) qué disancia desde el puno de salida habrá cubiero cada uno? 2.6. Suponga que los dos corredores del ejercicio 2.5 salen al mismo iempo del mismo lugar, pero ahora corren en la misma dirección. a) Cuándo el más rápido alcanzará primero al más leno y qué disancia desde el puno de parida habrá cubiero cada uno? b) Cuándo el más rápido alcanzará al más leno por segunda ez, y qué disancia habrán cubiero en ese insane desde el puno de salida? 2.7. Esudio de los erremoos. Los erremoos producen arios ipos de ondas de choque. Las más conocidas son las ondas P (P por primaria o presión) y las ondas S (S por secundaria o esfuerzo corane). En la coreza erresre, las ondas P iajan a aproimadamene 6.5 km>s, en ano que las ondas S se desplazan a aproimadamene 3.5 km>s. Las rapideces reales arían según el ipo de maerial por el que iajen. El iempo de propagación, enre la llegada de esas dos clases de onda a una esación de monioreo sísmico, le indica a los geólogos a qué disancia ocurrió el erremoo. Si el iempo de propagación es de 33 s, a qué disancia de la esación sísmica sucedió el erremoo? 2.8. Un Honda Ciic iaja en línea reca en carreera. Su disancia de un lerero de alo esá dada en función del iempo por la ecuación () 5 a 2 2b 3, donde a 51.5 m>s 2 y b 5.5 m>s 3. Calcule la elocidad media del auo para los ineralos a) 5 a 5 2. s; b) 5 a 5 4. s; c) 5 2. s a 5 4. s. Sección 2.2 Velocidad insanánea 2.9. Un auomóil esá parado ane un semáforo. Después iaja en línea reca y su disancia con respeco al semáforo esá dada por () 5 b 2 2 c 3, donde b 5 2.4 m>s 2 y c 5.12 m>s 3. a) Calcule la elocidad media del auo enre el ineralo 5 a 5 1. s. b) Calcule la elocidad insanánea del auo en 5 ; 5 5. s; 5 1. s. c) Cuáno iempo después de arrancar el auo uele a esar parado? 2.1. Una profesora de física sale de su casa y camina por la acera hacia el campus. A los 5 min, comienza a lloer y ella regresa a casa. Su disancia con respeco a su casa en función del iempo se muesra en la figura 2.32. En cuál puno roulado su elocidad es a) cero, b) consane y posiia, c) consane y negaia, d) de magniud creciene y e) de magniud decreciene?

Ejercicios 63 Figura 2.32 Ejercicio 2.1. (m) IV 4 III 3 2 V II 1 I 1 2 3 4 5 6 7 8 (min) su gráfica? (Anes de decidirse a comprar ese ehículo, le sería úil saber que sólo se fabricarán 3, que a su máima rapidez se le acaba la gasolina en 12 minuos y que cuesa 1,25, dólares!) 2.14. La figura 2.34 muesra la elocidad de un auomóil solar en función del iempo. El conducor acelera desde un lerero de alo, iaja 2 s con rapidez consane de 6 km>h y frena para deenerse 4 s después de parir del lerero. a) Calcule la aceleración media para esos ineralos: i) 5 a 5 1 s; ii) 5 3 s a 5 4 s; iii) 5 1 s a 5 3 s; i) 5 a 5 4 s. b) Cuál es la aceleración insanánea en 5 2 s y en 5 35 s? 2.11. Una peloa se muee en línea reca (el eje ). En la figura 2.33 la gráfica muesra la elocidad de esa peloa en función del iempo. a) Cuáles son la rapidez media y la elocidad media de la peloa durane los primeros 3. s? b) Suponga que la peloa se muee de al manera que el segmeno de la gráfica después de 2. s era 23. m>s en ez de 13. m>s. En ese caso, calcule la rapidez media y la elocidad media de la peloa. Figura 2.33 Ejercicio 2.11. (m/s) 3. 2. Figura 2.34 Ejercicio 2.14. (km/h) 6 5 4 3 2 1 5 1 15 2 25 3 35 4 (s) 1. 1. 2. 3. (s) Sección 2.3 Aceleración media e insanánea 2.12. Un piloo de pruebas de Auomoores Galaia, S.A., esá probando un nueo modelo de auomóil con un elocímero calibrado para indicar m>s en lugar de mi>h. Se obuo la siguiene serie de lecuras durane una prueba efecuada en una carreera reca y larga: Tiempo (s) 2 4 6 8 1 12 14 16 Rapidez (m>s) 2 6 1 16 19 22 22 a) Calcule la aceleración media en cada ineralo de 2 s. La aceleración es consane? Es consane durane alguna pare de la prueba? b) Elabore una gráfica - con los daos, usando escalas de 1 cm 5 1 s horizonalmene, y 1 cm 5 2 m>s ericalmene. Dibuje una cura suae que pase por los punos graficados. Mida la pendiene de la cura para obener la aceleración insanánea en: 5 9 s, 13 s y 15 s. 2.13. El auomóil más rápido (y más caro)! La siguiene abla presena los daos de prueba del Bugai Veyron, el auo más rápido fabricado. El ehículo se muee en línea reca (el eje ). Tiempo (s) 2.1 2. 53 Rapidez (mi>h) 6 2 253 a) Elabore una gráfica - de la elocidad de ese auo (en mi>h) en función del iempo. Su aceleración es consane? b) Calcule la aceleración media del auo (en m>s 2 ) enre i) y 2.1 s; ii) 2.1 s y 2. s; iii) 2. s y 53 s. Esos resulados son congruenes con el inciso a) de 2.15. Una oruga camina en línea reca sobre lo que llamaremos eje con la dirección posiia hacia la derecha. La ecuación de la posición de la oruga en función del iempo es () 5 5. cm 1 (2. cm>s) 2 (.625 cm>s 2 ) 2. a) Deermine la elocidad inicial, posición inicial y aceleración inicial de la oruga. b) En qué insane la oruga iene elocidad cero? c) Cuáno iempo después de ponerse en marcha regresa la oruga al puno de parida? d) En qué insanes la oruga esá a una disancia de 1. cm de su puno de parida? Qué elocidad (magniud y dirección) iene la oruga en cada uno de esos insanes? e) Dibuje las gráficas: -, - y a - para el ineralo de 5 a 5 4. s. 2.16. Una asronaua salió de la Esación Espacial Inernacional para probar un nueo ehículo espacial. Su compañero mide los siguienes cambios de elocidad, cada uno en un ineralo de 1 s. Indique la magniud, el signo y la dirección de la aceleración media en cada ineralo. Suponga que la dirección posiia es a la derecha. a) Al principio del ineralo, la asronaua se muee a la derecha sobre el eje a 15. m>s, y al final del ineralo se muee a la derecha a 5. m>s. b) Al principio se muee a la izquierda a 5. m>s y al final lo hace a la izquierda a 15. m>s. c) Al principio se muee a la derecha a 15. m>s y al final lo hace a la izquierda a 15. m>s. 2.17. Aceleración de un auomóil. Con base en su eperiencia al iajar en auomóil, esime la magniud de la aceleración media de un auo, cuando a) acelera en una auopisa desde el reposo hasa 65 mi>h, y b) frena desde una rapidez de auopisa hasa un alo oal. c) Eplique por qué en cada caso la aceleración media podría considerarse ya sea posiia o negaia. 2.18. La elocidad de un auomóil en función del iempo esá dada por () 5a1b 2, donde a53. m>s y b5.1 m>s 3. a) Calcule

64 CAPÍTUL 2 Moimieno en línea reca la aceleración media enre 5 y 5 5. s. b) Calcule la aceleración insanánea en 5 y en 5 5. s. c) Dibuje las gráficas - y a - eacas para el moimieno del auo enre 5 y 5 5. s. 2.19. La figura 2.35 es una gráfica de la coordenada de una araña que camina sobre el eje. a) Grafique su elocidad y aceleración en función del iempo. b) En un diagrama de moimieno (como el de las figuras 2.13b y 2.14b), muesre la posición, elocidad y aceleración de la araña en los cinco iempos: 5 2.5 s, 5 1 s, 5 2 s, 5 3 s y 5 37.5 s. Figura 2.35 Ejercicio 2.19. (m) 1..5 Parábola Línea reca Parábola Línea reca 5 1 15 2 25 3 35 4 Parábola (s) 2.2. La posición del frene de un auomóil de pruebas conrolado por microprocesador esá dada por () 5 2.17 m 1 (4.8 m>s 2 ) 2 2 (.1 m>s 6 ) 6. a) benga su posición y aceleración en los insanes en que iene elocidad cero. b) Dibuje las gráficas -, - y a - para el moimieno del frene del auo enre 5 y 5 2. s. Sección 2.4 Moimieno con aceleración consane 2.21. Un anílope con aceleración consane cubre la disancia de 7. m enre dos punos en 7. s. Su rapidez al pasar por el segundo puno es 15. m>s. a) Qué rapidez enía en el primero? b) Qué aceleración iene? 2.22. La caapula del poraaiones USS Abraham Lincoln acelera un je de combae F>A-18 Horne, desde el reposo hasa una rapidez de despegue de 173 mi>h en una disancia de 37 f. Suponga aceleración consane. a) Calcule la aceleración del aión en m>s 2. b) Calcule el iempo necesario para acelerar el aión hasa la rapidez de despegue. 2.23. Un lanzamieno rápido. El lanzamieno más rápido medido de una peloa de béisbol sale de la mano del picher a una rapidez de 45. m>s. Si el picher esuo en conaco con la peloa una disancia de 1.5 m y produjo aceleración consane, a) qué aceleración le dio a la peloa, y b) cuáno iempo le omó lanzarla? 2.24. Sericio de enis. En el sericio de enis más rápido medido, la peloa sale de la raquea a 73.14 m>s. En el sericio una peloa de enis normalmene esá 3. ms en conaco con la raquea y pare del reposo. Suponga aceleración consane. a) Cuál era la aceleración de la peloa durane ese sericio? b) Qué disancia recorrió la peloa durane el sericio? 2.25. Bolsas de aire del auomóil. El cuerpo humano puede sobreiir a un incidene de rauma por aceleración negaia (parada repenina), si la magniud de la aceleración es menor que 25 m>s 2. Si used sufre un accidene auomoilísico con rapidez inicial de 15 km>h (65 mi>h) y es deenido por una bolsa de aire que se infla desde el ablero, en qué disancia debe ser deenido por la bolsa de aire para sobreiir al percance? 2.26. Ingreso a la auopisa. Un auomóil esá parado en una rampa de acceso a una auopisa esperando un hueco en el ráfico. El conducor acelera por la rampa con aceleración consane para enrar en la auopisa. El auo pare del reposo, se muee en línea reca y iene una rapidez de 2 m>s (45 mi>h) al llegar al final de la rampa de 12 m de largo. a) Qué aceleración iene el auo? b) Cuáno arda el auo en salir de la rampa? c) El ráfico de la auopisa se muee con rapidez consane de 2 m>s. Qué disancia recorre el ráfico mienras el auo se muee por la rampa? 2.27. Lanzamieno del ransbordador espacial. En el lanzamieno el ransbordador espacial pesa 4.5 millones de libras. Al lanzarse desde el reposo, arda 8. s en alcanzar los 161 km>h y al final del primer minuo, su rapidez es de 161 km>h. a) Cuál es la aceleración media (en m>s 2 ) del ransbordador i) durane los primeros 8. s, y ii) enre 8 s y el final del primer minuo? b) Suponiendo que la aceleración es consane durane cada ineralo (aunque no necesariamene la misma en ambos ineralos), qué disancia recorre el ransbordador i) durane los primeros 8.s, y ii) durane el ineralo de 8. s a 1. min? 2.28. Según daos de pruebas efecuadas recienemene, un auomóil recorre.25 millas en 19.9 s, pariendo del reposo. El mismo auo, iajando a 6. mph y frenando en paimeno seco, se deiene en 146 f. Suponga una aceleración consane en cada pare del moimieno, pero no necesariamene la misma aceleración al arrancar que al frenar. a) Calcule la aceleración del auo al arrancar y al frenar. b) Si su aceleración es consane, con qué rapidez (en mi>h) debería esar iajando el auo después de acelerar durane.25 mi? La rapidez real medida es de 7. m>h; qué le dice eso acerca del moimieno? c) Cuáno arda ese auo en deenerse cuando iaja a 6. mi>h? 2.29. Un gao camina en línea reca en lo que llamaremos eje con la dirección posiia a la derecha. Used, que es un físico obserador, efecúa mediciones del moimieno del gao y elabora una gráfica de la elocidad del felino en función del iempo (figura 2.36). a) Deermine la elocidad del gao en 5 4. s y en 5 7. s. b) Qué aceleración iene el gao en 5 3. s? En 5 6. s? En 5 7. s? c) Qué disancia cubre el gao durane los primeros 4.5 s? Enre 5 y 5 7.5 s? d) Dibuje gráficas claras de la aceleración del gao y su posición en función del iempo, suponiendo que el gao parió del origen. Figura 2.36 Ejercicio 2.29. (cm/s) 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 (s) 2.3. En 5, un auomóil esá deenido ane un semáforo. Al encenderse la luz erde, el auo acelera a razón consane hasa alcanzar una rapidez de 2 m>s 8 s después de arrancar. El auo coninúa con rapidez consane durane 6 m. Luego, el conducor e un semáforo con luz roja en el siguiene cruce y frena a razón consane. El auo se deiene ane el semáforo, a 18 m de donde esaba en 5. a) Dibuje las gráficas -, - y a - eacas para el moimieno del auo. b) En un diagrama de moimieno (como los de las figuras 2.13b y 2.14b), muesre la posición, elocidad y aceleración del auo 4 s después de que se enciende la luz erde, mienras iaja a rapidez consane y cuando frena.

Ejercicios 65 2.31. La gráfica de la figura 2.37 muesra la elocidad de un policía en moociclea en función del iempo. a) Calcule la aceleración insanánea en 5 3 s, en 5 7 s y en 5 11 s. b) Qué disancia cubre el policía en los primeros 5 s? En los primeros 9 s? Y en los primeros 13 s? Figura 2.37 Ejercicio 2.31. (m/s) 5 45 4 35 3 25 2 15 1 5 (s) 2 4 6 8 1 12 14 2.36. En el insane en que un semáforo se pone en luz erde, un auomóil que esperaba en el cruce arranca con aceleración consane de 3.2 m>s 2. En el mismo insane, un camión que iaja con rapidez consane de 2. m>s alcanza y pasa al auo. a) A qué disancia de su puno de parida el auo alcanza al camión? b) Qué rapidez iene el auo en ese momeno? c) Dibuje una gráfica - del moimieno de los dos ehículos, omando 5 en el cruce. d) Dibuje una gráfica - del moimieno de los dos ehículos. 2.37. Llegada a Mare. En enero de 24, la NASA puso un ehículo de eploración en la superficie marciana. Pare del descenso consisió en las siguienes eapas: Eapa A: la fricción con la amósfera redujo la rapidez de 19,3 km>h a 16 km>h en 4. min. Eapa B: un paracaídas se abrió para frenarlo a 321 km>h en 94 s. Eapa C: se encienden los rerocohees para reducir su rapidez a cero en una disancia de 75 m. Suponga que cada eapa sigue inmediaamene después de la que le precede, y que la aceleración durane cada una era consane. a) Encuenre la aceleración del cohee (en m>s 2 ) durane cada eapa. b) Qué disancia oal (en km) iajó el cohee en las eapas A, B y C? 2.32. La figura 2.38 es una gráfica de la aceleración de una locomoora de juguee que se muee en el eje. Dibuje las gráficas de su elocidad y coordenada en función del iempo, si 5 y 5 cuando 5. Figura 2.38 Ejercicio 2.32. a (m/s 2 ) 2 2 5 1 15 2 25 3 35 4 (s) 2.33. Una nae espacial que llea rabajadores a la Base Lunar I iaja en línea reca de la Tierra a la Luna, una disancia de 384, km. Suponga que pare del reposo y acelera a 2. m>s 2 los primeros 15. min, iaja con rapidez consane hasa los úlimos 15. min, cuando acelera a 22. m>s 2, parando juso al llegar a la Luna. a) Qué rapidez máima se alcanzó? b) Qué fracción de la disancia oal se cubrió con rapidez consane? c) Cuáno ardó el iaje? 2.34. Un ren suberráneo en reposo pare de una esación y acelera a una asa de 1.6 m>s 2 durane 14. s, iaja con rapidez consane 7. s y frena a 3.5 m>s 2 hasa parar en la siguiene esación. Calcule la disancia oal cubiera. 2.35. Dos auomóiles, A y B, se Figura 2.39 Ejercicio 2.35. mueen por el eje. La figura 2.39 (m) grafica las posiciones de A y B 25 conra el iempo. a) En diagramas A de moimieno (como las figuras 2 2.13b y 2.14b), muesre la posición, elocidad y aceleración de 1 15 B cada auo en 5, 5 l s y 5 3 s. 5 b) En qué insane(s), si acaso, A y B ienen la misma posición? c) Trace una gráfica de elocidad conra (s) 1 2 3 4 iempo para A y para B. d) En qué insane(s), si acaso, A y B ienen la misma elocidad? e) En qué insane(s), si acaso, el auo A rebasa al auo B? f) En qué insane(s), si acaso, el auo B pasa al A? Sección 2.5 Cuerpos en caída libre 2.38. Goas de lluia. Si pueden desconarse los efecos del aire sobre las goas de lluia, podemos raarlas como objeos en caída libre. a) Las nubes de lluia suelen esar a unos cuanos cienos de meros sobre el suelo. Esime la rapidez (en m>s, km>h y mi>h) con que las goas llegarían el suelo si fueran objeos en caída libre. b) Esime (con base en sus obseraciones personales) la elocidad real con que las goas de lluia chocan conra el suelo. c) Con base en sus respuesas a los incisos a) y b), es jusificable ignorar los efecos del aire sobre las goas de lluia? Eplique su respuesa. 2.39. a) Si una pulga puede salar.44 m hacia arriba, qué rapidez inicial iene al separarse del suelo? Cuáno iempo esá en el aire? 2.4. Alunizaje. Un alunizador esá descendiendo hacia la Base Lunar I (figura 2.4) frenado lenamene por el rero-empuje del moor de descenso. El moor se apaga cuando el alunizador esá a 5. m sobre Figura 2.4 Ejercicio 2.4. la superficie y iene una elocidad hacia abajo de.8 m>s. Con el moor apagado, el ehículo esá en caída libre. Qué rapidez iene juso anes de ocar la superficie? La aceleración debida a la graedad lunar es de 1.6 m>s 2. 2.41. Una prueba sencilla de iempo de reacción. Se sosiene un mero ericalmene, de manera 5. m que su eremo inferior esé enre el pulgar y el índice de la mano del sujeo de la prueba. Al er que suelan el mero, el sujeo lo deiene junando esos dos dedos. Se puede calcular el iempo de reacción con base en la disancia que el mero cayó anes de que se le deuiera, leyendo la escala en el puno donde el sujeo lo omó. a) Deduzca una relación para el iempo de reacción en érminos de esa disancia d medida. b) Si la disancia medida es 17.6 cm, cuál será el iempo de reacción? 2.42. Se deja caer un ladrillo (rapidez inicial cero) desde la azoea de un edificio. El abique choca conra el suelo en 2.5 s. Se puede despreciar la resisencia del aire, así que el ladrillo esá en caída libre.

66 CAPÍTUL 2 Moimieno en línea reca a) Qué alura (en m) iene el edificio? b) Qué magniud iene la elocidad del ladrillo juso anes de llegar al suelo? c) Dibuje las gráficas: a y -, Y - y y- para el moimieno del ladrillo. 2.43. Falla en el lanzamieno. Un cohee de 75 kg despega ericalmene desde la plaaforma de lanzamieno con una aceleración consane hacia arriba de 2.25 m>s 2 y no sufre resisencia del aire considerable. Cuando alcanza una alura de 525 m, sus moores fallan repeninamene y ahora la única fuerza que acúa sobre él es la graedad. a) Cuál es la alura máima que alcanzará ese cohee desde la plaaforma de lanzamieno? b) Después de que el moor falla, cuáno iempo pasará anes de que se esrelle conra la plaaforma de lanzamieno, y qué rapidez endrá juso anes del impaco? c) Dibuje las gráficas a y -, y - y y- del moimieno del cohee desde el insane en que despega hasa el insane juso anes de chocar conra la plaaforma de lanzamieno. 2.44. El ripulane de un globo aerosáico, que sube ericalmene con e- Figura 2.41 Ejercicio 2.44. locidad consane de magniud 5. 5 5. m/s m>s, suela un saco de arena cuando el globo esá a 4. m sobre el suelo (figura 2.41). Después de que se suela, el saco esá en caída libre. a) Calcule la posición y elocidad del saco a.25 s y 1. s después de solarse. b) Cuános segundos ardará el saco en chocar con el suelo después de solarse? c) Con qué rapidez chocará? d) Qué alura máima alcanza el saco sobre el suelo? e) Dibuje las gráficas a y -, y - y y- para el moimieno. 2.45. Un esudiane lanza un globo lleno con agua, ericalmene hacia abajo desde la azoea de un edificio. 4. m al suelo El globo sale de su mano con una rapidez de 6. m>s. Puede despreciarse la resisencia del aire, así que el globo esá en caída libre una ez solado. a) Qué rapidez iene después de caer durane 2. s? b) Qué disancia cae en ese lapso? c) Qué magniud iene su elocidad después de caer 1. m? d) Dibuje las gráficas: a y -, y - y y- para el moimieno. 2.46. Se lanza un hueo casi ericalmene hacia arriba desde un puno cerca de la cornisa de un edificio alo; al bajar, apenas libra la cornisa y pasa por un puno 5. m bajo su puno de parida 5. s después de salir de la mano que lo lanzó. Puede despreciarse la resisencia del aire. a) Qué rapidez inicial iene el hueo? b) Qué alura alcanza sobre el puno de lanzamieno? c) Qué magniud iene su elocidad en el puno más alo? d) Qué magniud y dirección iene su aceleración en el puno más alo? e) Dibuje las gráficas a y -, y - y y- para el moimieno del hueo. 2.47. El rineo impulsado por cohee Sonic Wind Núm. 2, uilizado para inesigar los efecos fisiológicos de las alas aceleraciones, corre sobre una ía reca horizonal de 17 m (35 f). Desde el reposo, puede alcanzar una rapidez de 224 m>s (5 mi>h) en.9 s. a) Calcule la aceleración en m>s 2, suponiendo que es consane. b) Cuál es la relación de esa aceleración con la de un cuerpo en caída libre (g)? c) Qué disancia se cubre en.9 s? d) En una reisa se aseguró que, al final de ciera prueba, la rapidez del rineo descendió de 283 m>s (632 mi>h) a cero en 1.4 s, y que en ese iempo la magniud de la aceleración fue mayor que 4g. Son congruenes ales cifras? 2.48. Un peñasco es epulsado ericalmene hacia arriba por un olcán, con una rapidez inicial de 4. m>s. Puede despreciarse la resisencia del aire. a) En qué insane después de ser epulsado el peñasco sube a 2. m>s? b) En qué insane baja a 2. m>s? c) Cuándo es cero el desplazamieno con respeco a su posición inicial? d) Cuándo es cero la elocidad del peñasco? e) Qué magniud y dirección iene la aceleración cuando el peñasco esá i) subiendo? ii) bajando? iii) en el puno más alo? f) Dibuje las gráficas a y -, y - y y- para el moimieno. 2.49. Una roca de 15 kg se suela desde el reposo en la Tierra y llega al suelo 1.75 s después. Cuando se suela desde la misma alura en Encélado, una luna de Saurno, llega al suelo en 18.6. Cuál es la aceleración debida a la graedad en Encélado? *Sección 2.6 Velocidad y posición por inegración *2.5. La aceleración de un auobús esá dada por a () 5 a, donde a51.2 m>s 3. a) Si la elocidad del auobús en el iempo 5 1. s es 5. m>s, cuál será en 5 2. s? b) Si la posición del auobús en 5 1. s es 6. m, cuál será en 5 2. s? c) Dibuje las gráficas: a -, - y - para el moimieno. *2.51. La aceleración de una moociclea esá dada por a () 5 A 2 B 2, con A 5 1.5 m>s 3 y B 5.12 m>s 4. La moociclea esá en reposo en el origen en 5. a) benga su posición y elocidad en función de. b) Calcule la elocidad máima que alcanza. *2.52. Salo olador de la pulga. Una película omada a ala elocidad (35 cuadros por segundo) de una pulga salarina de 21 mg produjo los daos que se usaron para elaborar la gráfica de la figura 2.42. (Véase The Flying Leap of he Flea, por M. Rohschild, Y. Schlein, K. Parker, C. Neille y S. Sernberg en el Scienific American de noiembre de 1973.) La pulga enía una longiud aproimada de 2 mm y saló con un ángulo de despegue casi erical. Use la gráfica para conesar esas pregunas. a) La aceleración de la pulga es cero en algún momeno? Si lo es, cuándo? Jusifique su respuesa. b) Calcule la alura máima que la pulga alcanzó en los primeros 2.5 ms. c) Deermine la aceleración de la pulga a los.5 ms, 1. ms y 1.5 ms. d) Calcule la alura de la pulga a los.5 ms, 1. ms y 1.5 ms. Figura 2.42 Ejercicio 2.52. Rapidez (en cm/s) a (cm/s 2 ) 8 7 6 5 4 3 2 1 15 1 5 Figura 2.43 Ejercicio 2.53..5 1. 1.5 2. 2.5 Tiempo (en milisegundos) *2.53. En la figura 2.43 la gráfica describe la aceleración en función del iempo para una piedra que rueda hacia abajo pariendo del reposo. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (s)

Problemas 67 a) Calcule el cambio en la elocidad de la piedra enre 5 2.5 s y 5 7.5 s. b) Elabore una gráfica de la elocidad de la piedra en función del iempo. Problemas 2.54. En un paseo de 2 millas en biciclea, used recorre las primeras 1 millas con rapidez media de 8 mi>h. Qué rapidez media en las oras 1 mi requerirá para que la rapidez media oal en las 2 millas sea: a) 4 mi>h? b) 12 mi>h? c) Dada la rapidez media indicada para las primeras 1 millas, le sería posible alcanzar una rapidez media de 16 mi>h para odo el paseo de 2 millas? Eplique su respuesa. 2.55. La posición de una parícula enre 5 y 5 2. s esá dada por () 5 (3. m>s 3 ) 3 2 (1. m>s 2 ) 2 1 (9. m>s). a) Dibuje las gráficas -, - y a - para la parícula. b) En qué insane(s) enre 5 y 5 2. s esá insanáneamene en reposo la parícula? Coincide el resulado numérico con la gráfica - del inciso a)? c) En cada insane calculado en el inciso b), la aceleración de la parícula es posiia o negaia? Demuesre que en cada caso la misma respuesa se deduce de a () y de la gráfica -. d) En qué insane(s) enre 5 y 5 2. s no esá cambiando la elocidad insanánea de la parícula? Ubique ese puno en las gráficas - y a - del inciso a). e) Cuál es la disancia máima de la parícula con respeco al origen ( 5 ) enre 5 y 5 2. s? f ) En qué insane(s) enre 5 y 5 2. s la parícula esá aumenando de rapidez a mayor rimo? En qué insane(s) enre 5 y 5 2. s la parícula se esá frenando a mayor rimo? Ubique esos punos en las gráficas - y a - del inciso a). 2.56. Carrera de releos. En una carrera de releos, cada compeidora corre 25. m con un hueo sosenido en una cuchara, se da uela y regresa al puno de parida. Edih corre los primeros 25. m en 2. s. Al regresar se siene más confiada y arda sólo 15. s. Qué magniud iene su elocidad media en a) los primeros 25. m? b) Y en el regreso? c) Cuál es su elocidad media para el iaje redondo? d) Y su rapidez media para el iaje redondo? 2.57. Dan enra en la carreera ineresaal I-8 en Seward, Nebraska, y iaja al oese en línea reca con elocidad media de 88 km>h. Después de 76 km, llega a la salida de Aurora (figura 2.44). Al darse cuena de que llegó demasiado lejos, se da uela, y conduce 34 km al ese hasa la salida de York con rapidez media de 72 km>h. Para el iaje oal de Seward a la salida de York, deermine a) su rapidez media y b) la magniud de su elocidad media. (6 mi>h). Si hay más ehículos, el flujo ehicular se hace urbuleno (inermiene). a) Si un ehículo iene longiud media de 4.6 m (15 f), qué espacio medio hay enre ehículos con la densidad de ráfico mencionada? b) Los sisemas de conrol auomaizados para eiar los choques, que operan reboando ondas de radar o sonar en los ehículos circundanes, acelerando o frenando el ehículo según sea necesario, podrían reducir mucho el espacio enre ehículos. Si el espacio medio es de 9.2 m (el largo de dos auos), cuános ehículos por hora podrían circular a 96 km>h en un carril? 2.59. Un elocisa de alo rendimieno acelera a su rapidez máima en 4. s y maniene esa rapidez durane el reso de la carrera de 1 m, llegando a la mea con un iempo oal de 9.1 s. a) Qué aceleración media iene durane los primeros 4. s? b) Qué aceleración media iene durane los úlimos 5.1 s? c) Qué aceleración media iene durane oda la carrera? d) Eplique por qué su respuesa al inciso c) no es el promedio de las respuesas a los incisos a) y b). 2.6. Un rineo pare del reposo en la cima de una colina y baja con aceleración consane. En un insane poserior, el rineo esá a 14.4 m de la cima; 2. s después esá a 25.6 m de la cima, 2. s después esá a 4. m de la cima, y 2. s después esá a 57.6 m de la cima. a) Qué magniud iene la elocidad media del rineo en cada ineralo de 2. s después de pasar los 14.4 m? b) Qué aceleración iene el rineo? c) Qué rapidez iene el rineo al pasar los 14.4 m? d) Cuáno iempo omó al rineo llegar de la cima a los 14.4 m? e) Qué disancia cubrió el rineo durane el primer segundo después de pasar los 14.4 m? 2.61. Una gacela corre en línea reca (el eje ). En la figura 2.45, la gráfica muesra la elocidad de ese animal en función del iempo. Durane los primeros 12. s, obenga a) la disancia oal recorrida y b) el desplazamieno de la gacela. c) Dibuje una gráfica a - que muesre la aceleración de esa gacela en función del iempo durane los primeros 12. s. Figura 2.45 Problema 2.61. (m/s) 12. 8. 4. Figura 2.44 Problema 2.57. 2. 4. 6. 8. 1. 12. (s) N E B R A S K A Aurora York Seward 76 km 34 km 2.58. Tráfico en la auopisa. Según un arículo de Scienific American (mayo de 199), las auopisas acuales pueden conrolar cerca de 24 ehículos por carril por hora en flujo ehicular uniforme a 96 km>h 2.62. En el aire o en el acío, la luz iaja con rapidez consane de 3. 3 1 8 m>s. Para conesar algunas de las pregunas podría ser necesario consular los daos asronómicos del Apéndice F. a) Un año luz se define como la disancia que la luz recorre en 1 año. Uilice esa información para deerminar cuános meros hay en 1 año luz. b) Cuános meros recorre la luz en un nanosegundo? c) Cuando hay una erupción solar, cuáno iempo pasa anes de que pueda erse en la Tierra? d) Reboando rayos láser en un reflecor colocado en la Luna por los asronauas del Apolo, los asrónomos pueden efecuar mediciones muy eacas de la disancia Tierra-Luna. Cuáno iempo después de emiido arda el rayo láser (que es un haz de luz) en regresar a la Tierra? e) La sonda Voyager, que pasó por Nepuno en agoso de 1989, esaba a cerca de 3 millones de millas de la Tierra en ese momeno, y enió a la Tierra foografías y ora información mediane ondas de radio, que iajan con la rapidez de la luz. Cuáno ardaron esas ondas en llegar del Voyager a la Tierra?

68 CAPÍTUL 2 Moimieno en línea reca 2.63. Uilice la información del Apéndice F para conesar esas pregunas. a) Qué rapidez ienen las Islas Galápagos, siuadas en el ecuador, debido a la roación de la Tierra sobre su eje? b) Qué rapidez iene la Tierra debido a su raslación en orno al Sol? c) Si la luz siguiera la curaura de la Tierra (lo cual no sucede), cuánas eces daría la uela al ecuador un rayo de luz en un segundo? 2.64. Una peloa rígida que iaja en línea reca (el eje ) choca conra una pared sólida y reboa repeninamene durane un bree insane. En la figura 2.46, la gráfica - muesra la elocidad de esa peloa en función del iempo. Durane los primeros 2. s de su moimieno, obenga a) la disancia oal que se muee la peloa, y b) su desplazamieno. c) Dibuje una gráfica a - del moimieno de esa peloa. d) En los 5. s la gráfica que se muesra es realmene erical? Eplique su respuesa. Figura 2.46 Problema 2.64. (m/s) 3. 2. 1. 21. 22. (s) 5. 1. 15. 2. 2.65. Una peloa pare del reposo y baja rodando una colina con aceleración uniforme, recorriendo 15 m durane los segundos 5. s de su moimieno. Qué disancia cubrió durane los primeros 5. s? 2.66. Choque. El maquinisa de un ren de pasajeros que iaja a 25. m>s aisa un ren de carga cuyo cabuz esá 2 m más adelane en la misma ía (figura 2.47). El ren de carga iaja en la misma dirección a 15. m>s. El maquinisa del ren de pasajeros aplica de inmediao los frenos, causando una aceleración consane de 2.1 m>s 2, mienras el ren de carga sigue con rapidez consane. Sea 5 el puno donde esá el frene del ren de pasajeros cuando el maquinisa aplica los frenos. a) Aesiguarán las acas una colisión? b) Si es así, dónde ocurrirá? c) Dibuje en una sola gráfica las posiciones del frene del ren de pasajeros y del cabuz del ren de carga. Figura 2.47 Problema 2.66. PT 5 25. m/s a 5 2.1 m/s 2 2 m FT 5 15. m/s 2.67. Las cucarachas grandes pueden correr a 1.5 m>s en ramos coros. Suponga que esá de paseo, enciende la luz en un hoel y e una cucaracha alejándose en línea reca a 1.5 m>s. Si inicialmene used esaba.9 m derás del inseco y se acerca hacia ése con una rapidez inicial de.8 m>s, qué aceleración consane mínima necesiará para alcanzarlo cuando ése haya recorrido 1.2 m, juso anes de escapar bajo un mueble? 2.68. Dos auomóiles esán separados 2 m y aanzan fronalmene uno hacia el oro con una rapidez consane de 1 m>s. En el frene de uno de ellos, un salamones lleno de energía sala de arás hacia delane enre los auos ( sí que iene paas fueres!) con una elocidad horizonal consane de 15 m>s en relación con el suelo. El inseco sala en el insane en que cae, de manera que no pierde iempo descansando en uno u oro auos. Qué disancia oal recorre el salamones anes de que los auomóiles colisionen? 2.69. Un auomóil y un camión paren del reposo en el mismo insane, con el auo ciera disancia derás del camión. El camión iene aceleración consane de 2.1 m>s 2 ; y el auo, 3.4 m>s 2. El auo alcanza al camión cuando ése ha recorrido 4. m. a) Cuáno iempo arda el auo en alcanzar al camión? b) Qué an arás del camión esaba inicialmene el auo? c) Qué rapidez ienen los ehículos cuando aanzan junos? d) Dibuje en una sola gráfica la posición de cada ehículo en función del iempo. Sea 5 la posición inicial del camión. 2.7. Dos piloos de ehibición conducen fronalmene uno hacia el oro. En 5 la disancia enre los auomóiles es D, el auo 1 esá parado y el 2 se muee a la izquierda con rapidez. El auo 1 comienza a moerse en 5 con aceleración consane a. El auo 2 sigue a elocidad consane. a) En qué insane chocarán los auos? b) Calcule la rapidez del auo 1 juso anes de chocar conra el auo 2. c) Dibuje las gráficas - y - para los 2 auos, y race las curas usando los mismos ejes. 2.71. Se suela una canica desde el borde de un azón semiesférico cuyo diámero es de 5. cm y rueda de abajo hacia arriba al borde opueso en 1. s. benga a) la rapidez media y la elocidad media de la canica. 2.72. Mienras conduce, quizás used haya noado que la elocidad Figura 2.48 Problema 2.72. de su auomóil no coninúa incremenándose aun cuando manenga su pie presionando el pedal del acelerador. Ese comporamieno se debe a la resisencia del aire y a la fricción enre las pares móiles del ehículo. La figura 2.48 muesra una gráfica - cualiaia para un auo ordinario, cuando ése pare del reposo en el origen y iaja en línea reca (el eje ). Dibuje las gráficas a - y - cualiaias para ese auomóil. 2.73. Rebasado. El conducor de un auomóil desea rebasar un camión que iaja a una rapidez consane de 2. m>s (aproimadamene 45 mi>h). Inicialmene, el auo ambién iaja a 2. m>s y su parachoques delanero esá 24. m arás del parachoques rasero del camión. El auo adquiere una aceleración consane de.6 m>s 2 y regresa al carril del camión cuando su parachoques rasero esá 26. m adelane del frene del camión. El auo iene una longiud de 4.5 m, y el camión iene una longiud de 21. m. a) Cuáno iempo necesia el auo para rebasar al camión? b) Qué disancia recorre el auo en ese iempo? c) Qué rapidez final iene el auo? *2.74. La elocidad medida de un objeo es () 5a2b 2, donde a54. m>s y b52. m>s 3. En 5, el objeo esá en 5. a) Calcule la posición y aceleración del objeo en función de.

Problemas 69 b) Qué desplazamieno posiio máimo iene el objeo con respeco al origen? *2.75. La aceleración de una parícula esá dada por a () 522. m>s 2 1 (3. m>s 3 ). a) Encuenre la elocidad inicial al que la parícula enga la misma coordenada en 5 4. s que en Figura 2.49 Problema 2.76. 5. b) Cuál será la elocidad en 5 4. s? 2.76. Caída de hueo. Imagine que esá en la azoea del edificio de física, a 46. m del suelo (figura 2.49). Su profesor, que iene una esaura de 1.8 m, camina 46. m juno al edificio a una rapidez consane de 1.2 m>s. Si used quiere dejar caer un hueo sobre 5 1.2 m/s la cabeza de su profesor, dónde deberá esar ése cuando used 1.8 m suele el hueo? Suponga que el hueo esá en caída libre. 2.77. En la Tierra un olcán puede epulsar rocas ericalmene hasa una alura máima H. a) A qué alura (en érminos de H) llegarían esas rocas si un olcán en Mare las epulsara con la misma elocidad inicial? La aceleración debida a la graedad en Mare es de 3.71 m>s 2, y se puede despreciar la resisencia del aire en ambos planeas. b) Si en la Tierra las rocas esán en el aire un iempo T, por cuáno iempo (en érminos de T) esarán en el aire en Mare? 2.78. Una arisa hace malabarismos con peloas mienras realiza oras aciidades. En un aco, arroja una peloa ericalmene hacia arriba y, mienras la peloa esá en el aire, corre de ida y uela hacia una mesa que esá a 5.5 m de disancia a una rapidez consane de 2.5 m>s, regresando juso a iempo para arapar la peloa que cae. a) Con qué rapidez inicial mínima debe ella lanzar la peloa hacia arriba para realizar dicha hazaña? b) A qué alura de su posición inicial esá la peloa juso cuando ella llega a la mesa? 2.79. Los isianes a un parque de diersiones obseran a claadisas lanzarse de una plaaforma de 21.3 m (7 f) de alura sobre una alberca. Según el presenador, los claadisas enran al agua con una rapidez de 56 mi>h (25 m>s). Puede ignorarse la resisencia del aire. a) Es correca la aseeración del presenador? b) Para un claadisa es posible salar direcamene hacia arriba de la plaaforma de manera que, librando la plaaforma al caer hacia la alberca, él enre al agua a 25. m>s? Si acaso, qué rapidez inicial requiere? Se necesia una rapidez inicial físicamene alcanzable? 2.8. Una macea con flores cae del borde de una enana y pasa frene a la enana de abajo. Se puede despreciar la resisencia del aire. La macea arda.42 s en pasar por esa enana, cuya alura es de 1.9 m. A qué disancia debajo del puno desde el cual cayó la macea esá el borde superior de la enana de abajo? 2.81. Algunos rifles pueden disparar una bala con una rapidez de 965 m>s juso cuando salen de la boca del cañón (esa rapidez se llama elocidad inicial). Si el cañón iene 7. cm de largo y si la bala acelera uniformemene desde el reposo denro del cañón, a) cuál es la aceleración (en alores de g) de la bala denro del cañón?, y b) por cuáno iempo (en ms) esá denro del cañón? c) Si, cuando el rifle se dispara ericalmene, la bala alcanza una alura máima H, cuál debería ser la alura máima (en érminos de H) para un rifle nueo que produzca la miad de la elocidad inicial de aquél? 2.82. Un cohee de arias eapas. En la primera eapa de un cohee de dos eapas, ése se dispara desde la plaaforma de lanzamieno pariendo del reposo, pero con una aceleración consane de 3.5 m>s 2 hacia arriba. A los 25. s después del lanzamieno, el cohee inicia la segunda eapa, la cual repeninamene aumena su rapidez a 132.5 m>s hacia arriba. Sin embargo, ese impulso consume odo el combusible, de manera que la única fuerza que acúa sobre el cohee es la graedad. Se desprecia la resisencia del aire. a) benga la alura máima que alcanza el cohee de dos eapas sobre la plaaforma de lanzamieno. b) Después de que se inicia la segunda eapa, cuáno iempo pasará anes de que el cohee caiga a la plaaforma de lanzamieno? c) Qué an rápido se moerá el cohee de dos eapas juso cuando llega a la plaaforma? 2.83. Cuidado abajo. Sam aiena una bala de 16 lb direcamene hacia arriba, imprimiéndole una aceleración consane de 45. m>s 2 a lo largo de 64. cm, y solándola a 2.2 m sobre el suelo. Puede despreciarse la resisencia del aire. a) Qué rapidez iene la bala cuando Sam la suela? b) Qué alura alcanza sobre el suelo? c) Cuáno iempo iene Sam para quiarse de abajo anes de que la bala regrese a la alura de su cabeza, a 1.83 m sobre el suelo? 2.84. Una profesora de física que esá efecuando una demosración al aire libre, de repene cae desde el reposo en lo alo de un acanilado y simuláneamene gria Auilio! Después de caer 3. s, escucha el eco de su grio proeniene del suelo del alle. La rapidez del sonido es de 34 m>s. a) Qué alura iene el acanilado? b) Si se desprecia la resisencia del aire, con qué rapidez se esará moiendo la profesora juso anes de chocar conra el suelo? (Su rapidez real será menor que eso, debido a la resisencia del aire.) 2.85. Malabarismo. Un malabarisa acúa en un recino cuyo echo esá 3. m arriba del niel de sus manos. Lanza una peloa hacia arriba de modo que apenas llega al echo. a) Qué elocidad inicial iene la peloa? b) Cuáno iempo arda la peloa en llegar al echo? En el insane en que la primera peloa esá en el echo, el malabarisa lanza una segunda peloa hacia arriba con dos erceras pares de la elocidad inicial de la primera. c) Cuáno iempo después de lanzada la segunda peloa se cruzan ambas peloas en el aire? d) A qué alura sobre la mano del malabarisa se cruzan las dos peloas? 2.86. Un helicópero que llea al docor Malado despega con aceleración consane hacia arriba de 5. m>s 2. El agene secreo Ausin Powers se repa de un salo al helicópero juso cuando ése despega. Los dos hombres forcejean durane 1. s, después de lo cual Powers apaga el moor y se lanza desde el helicópero. Suponga que el helicópero esá en caída libre después de que se apaga el moor y que la resisencia del aire es insignificane. a) Qué alura máima sobre el suelo alcanza el helicópero? b) 7. s después de salar del helicópero, Powers enciende un cohee que rae sujeo a la espalda, el cual le imprime una aceleración consane hacia abajo con magniud de 2. m>s 2. A qué disancia sobre el suelo esá Powers cuando el helicópero se esrella conra el piso? 2.87. Alura de edificio. El Hombre Araña da un paso al acío desde la azoea de un edificio y cae libremene desde el reposo una disancia h hasa la acera. En el úlimo 1. s de su caída, cubre una disancia de h>4. Calcule la alura h del edificio. 2.88. Alura de acanilado. Imagine que esá escalando una monaña y que repeninamene se encuenra en el borde de un acanilado, enuelo en niebla. Para deerminar la alura del acanilado, deja caer un guijarro y 1. s después escucha el sonido que hace al golpear el suelo al pie del acanilado. a) Sin omar en cuena la resisencia del aire, qué alura iene el acanilado si la rapidez del sonido es de 33 m>s? b) Suponga que se desprecia el iempo que el sonido arda en llegar a sus oídos. En ese caso, habría sobresimado o subesimado la alura del acanilado? Eplique su razonamieno. 2.89. Laa que cae. Un pinor esá parado en un andamio que sube con rapidez consane. Por descuido, empuja una laa de pinura, la cual cae del andamio cuando esá a 15. m sobre el suelo. Un obserador usa su cronómero para deerminar que la laa arda 3.25 s en llegar al suelo. No ome en cuena la resisencia del aire. a) Qué rapidez iene la laa juso anes de llegar al suelo? b) ro pinor esá parado en una cornisa, una laa esá a 4. m arriba de él cuando ésa se cae. Tiene reflejos felinos, y si la laa pasa frene a él, podrá araparla. Tiene oporunidad de hacerlo?

7 CAPÍTUL 2 Moimieno en línea reca 2.9. Decidido a probar la ley de la graedad por sí mismo, un esudiane se deja caer desde un rascacielos de 18 m de alura, cronómero en mano, e inicia una caída libre (elocidad inicial cero). Cinco segundos después, llega Superman y se lanza de la azoea para salarlo, con una rapidez inicial que imprimió a su cuerpo, empujándose hacia abajo desde el borde de la azoea con sus piernas de acero. Después, cae con la misma aceleración que cualquier cuerpo en caída libre. a) Qué alor deberá ener para que Superman arape al esudiane juso anes de llegar al suelo? b) Dibuje en una sola gráfica las posiciones de Superman y del esudiane en función del iempo. La rapidez inicial de Superman iene el alor calculado en el inciso a). c) Si la alura del rascacielos es menor que ciero alor mínimo, ni Superman podría salar al esudiane anes de que llegue al suelo. Cuál es esa alura mínima? 2.91. Durane el lanzamieno, a menudo los cohees desechan pares innecesarias. Ciero cohee pare del reposo en una plaaforma de lanzamieno y acelera hacia arriba a 3.3 m>s 2 consanes. Cuando esá a 235 m por arriba de la plaaforma de lanzamieno, desecha un boe de combusible acío simplemene desconecándolo. Una ez desconecado, la única fuerza que acúa sobre el boe es la graedad (se puede ignorar la resisencia del aire). a) Qué an alo esá el cohee cuando el boe llega a la plaaforma, suponiendo no cambia la aceleración del cohee? b) Cuál es la disancia oal que recorre el boe enre que se suela y choca conra la plaaforma de lanzamieno? 2.92. Se lanza una peloa ericalmene hacia arriba desde el suelo con rapidez. En el mismo insane, una segunda peloa (en reposo) se deja caer de una alura H direcamene encima del puno de lanzamieno de la primera. No hay resisencia del aire. a) Cuándo chocarán las peloas? b) benga el alor de H en érminos de y g, de modo que, cuando choquen las peloas, la primera esé en su puno más alo. 2.93. Dos auomóiles, A y B, iajan en línea reca. La disancia de A con respeco al puno de parida esá dada, en función del iempo, por A () 5a 1b 2, con a52.6 m>s y b51.2 m>s 2. La disancia enre B y el puno de parida es B () 5g 2 2d 3, con g52.8 m>s 2 y d5.2 m>s 2. a) Cuál auo se adelana juso después de salir del puno de parida? b) En qué insane(s) los dos auos esán en el mismo puno? c) En qué insane(s) la disancia enre A y B no esá aumenando ni disminuyendo? d) En qué insane(s) A y B ienen la misma aceleración? 2.94. Una manzana cae libremene de un árbol, esando originalmene en reposo a una alura H sobre un césped crecido cuyas hojas miden h. Cuando la manzana llega al césped, se frena con razón consane de modo que su rapidez es al llegar al suelo. a) benga la rapidez de la manzana juso anes de ocar el césped. b) benga la aceleración de la manzana ya denro del césped. c) Dibuje las gráficas: y-, y - y a y - para el moimieno de la manzana. Problemas de desafío 2.95. Tomar el auobús. Una esudiane corre a más no poder para alcanzar su auobús, que esá deenido en la parada, con una rapidez de 5. m>s. Cuando ella esá aún a 4. m del auobús, ése se pone en marcha con aceleración consane de.17 m>s 2. a) Durane qué iempo y qué disancia debe correr la esudiane a 5. m>s para alcanzar al auobús? b) Cuando lo hace, qué rapidez iene el auobús? c) Dibuje una gráfica - para la esudiane y para el auobús, donde 5 sea la posición inicial de la esudiane. d) Las ecuaciones que usó en el inciso a) para calcular ienen una segunda solución, que corresponde a un insane poserior en que la esudiane y el auobús esán ora ez en el mismo lugar si coninúan sus respecios moimienos. Eplique el significado de esa ora solución. Qué rapidez iene el auobús en ese puno? e) Si la rapidez de la esudiane fuera de 3.5 m>s, alcanzaría al auobús? f ) Qué rapidez mínima requiere la esudiane para apenas alcanzar al auobús? Durane qué iempo y qué disancia deberá ella correr en al caso? 2.96. En el salo erical, un alea se agazapa y sala hacia arriba raando de alcanzar la mayor alura posible. Ni siquiera los campeones mundiales pasan mucho más de 1. s en el aire ( iempo en suspensión ). Trae al alea como parícula y sea y má su alura máima sobre el suelo. Para eplicar por qué parece esar suspendido en el aire, calcule la razón del iempo que esá sobre y má >2 al iempo que arda en llegar del suelo a esa alura. Desprecie la resisencia del aire. 2.97. Se lanza una peloa hacia arriba desde el borde de una azoea. Una segunda peloa se deja caer desde la azoea 1. s después. Desprecie la resisencia del aire. a) Si la alura del edificio es de 2. m, qué rapidez inicial necesiará la primera peloa para que las dos lleguen al suelo al mismo iempo? En una sola gráfica dibuje la posición de cada peloa en función del iempo, a parir del insane en que se lanzó la primera. Considere la misma siuación, pero ahora sea la rapidez inicial de la primera peloa un dao, y la alura h del edificio la incógnia. b) Qué alura deberá ener el edificio para que las dos peloas lleguen al suelo al mismo iempo si es i) de 6. m>s y ii) de 9.5 m>s? c) Si es mayor que ciero alor má, no eise una h al que ambas peloas lleguen al piso simuláneamene. benga má cuyo alor iene una inerpreación física sencilla. Cuál es? d) Si es menor que ciero alor mín, no eise una h al que ambas peloas lleguen al piso al mismo iempo. benga mín cuyo alor ambién iene una inerpreación física sencilla. Cuál es? 2.98. Un ecursionisa despiero e un peñasco que cae desde un risco lejano y obsera que arda 1.3 s en caer el úlimo ercio de la disancia. Puede despreciarse la resisencia del aire. a) Qué alura iene el risco en meros? b) Si en el inciso a) used obiene dos soluciones de una ecuación cuadráica y usa una para su respuesa, qué represena la ora solución?