MOVIMIENTO RECTILÍNEO

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1 MVIMIENT RECTILÍNE 2 BJETIVS DE APRENDIZAJE Al esudiar ese capíulo, used aprenderá: Cómo describir el moimieno recilíneo en érminos de elocidad media, elocidad insanánea, aceleración media y aceleración insanánea.? Un salador de bungee acelera durane la primera pare de su caída, luego se deiene lenamene conforme la cuerda del bungee se esira y se pone ensa. Es correco decir que el salador esá acelerando conforme reduce su elocidad durane la pare final de su caída? disancia debe recorrer un aión comercial en la pisa anes de alcanzar la rapidez de despegue? Cuando lanzamos una peloa de béis- Qué bol ericalmene, qué ano sube? Cuando se nos resbala un aso de la mano, cuáno iempo enemos para araparlo anes de que choque conra el piso? Ese es el ipo de pregunas que used aprenderá a conesar en ese capíulo. Iniciaremos nuesro esudio de la física con la mecánica, que es el esudio de las relaciones enre fuerza, maeria y moimieno. En ese capíulo y el siguiene esudiaremos la cinemáica, es decir, la pare de la mecánica que describe el moimieno. Después esudiaremos la dinámica: la relación enre el moimieno y sus causas. En ese capíulo nos concenramos en el ipo de moimieno más sencillo: un cuerpo que iaja en línea reca. Para describir ese moimieno, inroducimos las canidades físicas elocidad y aceleración, las cuales en física ienen definiciones más precisas y algo disinas en comparación con las empleadas en el lenguaje coidiano. Tano la elocidad como la aceleración son ecores: como imos en el capíulo 1, eso significa que ienen magniud y dirección. En ese capíulo nos ineresa solo el moimieno recilíneo, por lo que no necesiaremos aplicar oda el álgebra ecorial; no obsane, el uso de ecores será esencial en el capíulo 3, cuando consideremos el moimieno en dos o res dimensiones. Desarrollaremos ecuaciones sencillas para describir el moimieno recilíneo en el caso especial en que la aceleración es consane. Un ejemplo es el moimieno de un objeo en caída libre. También consideraremos siuaciones en las que la aceleración aría durane el moimieno; en esos casos es necesario uilizar inegrales para describir el moimieno. (Si aún no ha esudiado inegrales, la sección 2.6 es opcional). Cómo inerprear gráficas de posición conra iempo, elocidad conra iempo y aceleración conra iempo para el moimieno recilíneo. Cómo resoler problemas que impliquen moimieno recilíneo con aceleración consane, incluyendo problemas de caída libre. Cómo analizar el moimieno recilíneo cuando la aceleración no es consane. 35

2 36 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo 2.1 Desplazamieno, iempo y elocidad media Suponga que un piloo de auos de arrancones conduce su ehículo por una pisa reca (figura 2.1). Para esudiar su moimieno, necesiamos un sisema de coordenadas. Deerminamos que el eje a a lo largo de la rayecoria reca del auo, con el origen en la línea de salida. También elegimos un puno en el auo, digamos su eremo delanero, y represenamos odo el ehículo con ese puno y lo raamos como una parícula. Una forma úil de describir el moimieno de la parícula que represena el ehículo es en érminos del cambio en su coordenada durane un ineralo de iempo. Suponga que 1. s después del arranque, el frene del ehículo esá en el puno P 1,a 19 m del origen, y que 4. s después del arranque esá en el puno P 2, a 277 m del origen. El desplazamieno de la parícula es un ecor que apuna de P l a P 2 (éase la sección 1.7). La figura 2.1 muesra que ese ecor apuna a lo largo del eje. La componene del desplazamieno es el cambio en el alor de, (277 m - 19 m) = 258 m, que uo lugar en un lapso de (4. s - 1. s) = 3. s. La elocidad media del auomóil durane ese ineralo de iempo se define como una canidad ecorial, cuya componene es el cambio en diidido enre el ineralo de iempo: (258 m) (3. s) = 86 m s. En general, la elocidad media depende del ineralo de iempo elegido. Durane un lapso de 3. s anes del arranque, la elocidad media sería cero, porque el auomóil esaba en reposo en la línea de salida y uo un desplazamieno cero. Generalicemos el concepo de elocidad media. En el iempo 1 el auomóil esá en el puno P 1, con la coordenada 1, y en el iempo 2 esá en el puno P 2 con la coordenada 2. El desplazamieno del auomóil en el ineralo de 1 a 2 es el ecor de P 1 a P 2. La componene del desplazamieno, denoada con, es el cambio en la coordenada : = 2-1 (2.1) El auomóil de arrancones se desplaza solamene a lo largo del eje, de manera que las componenes y y z del desplazamieno son iguales a cero. CUIDAD Significado de Noe que noes el produco de y ; es solo un símbolo que significa el cambio en la canidad. Siempre usaremos la lera griega mayúscula (dela) para represenar un cambio en una canidad que se calcula resando el alor inicial del alor final, y nunca a la inersa. Asimismo, el ineralo de iempo de 1 a 2 es, el cambio en la canidad : = 2-1 (iempo final menos iempo inicial). La componene de la elocidad promedio, o elocidad media, es la componene del desplazamieno,, diidida enre el ineralo de iempo durane el 2.1 Posiciones de un auomóil de arrancones en dos insanes durane su recorrido. Posición en s Posición en s SALIDA LLEGADA P 1 P m Coordenada de un auomóil de arrancones en 1. s es posiia a la derecha del origen (), y negaia a la izquierda de ese. Eje D m Desplazamieno de 1 a m Coordenada de un auomóil de arrancones en 4. s Cuando el auomóil se muee en la dirección +, el desplazamieno es posiio, al igual que su elocidad media: med- 5 D D m 3. s 5 86 m /s

3 2.1 Desplazamieno, iempo y elocidad media 37 SALIDA Posición en s m Esa posición ahora es 2. D m Desplazamieno de 1 a 2 Posición en s P 2 P 1 Cuando la camionea se muee en la dirección -, es negaia, al igual que la elocidad media: 2258 m med m/s 9. s D D m LLEGADA Esa posición ahora es Posiciones de la camionea de un oficial en dos insanes de su moimieno. Los punos P 1 y P 2 ahora se refieren a las posiciones de la camionea; emos que se raa del inerso de la figura 2.1. que ocurre el desplazamieno. Usamos el símbolo med- para represenar la elocidad media (el subíndice med indica que se raa de un alor promedio, y el subíndice indica que es la componene ): med- = = (elocidad media, moimieno recilíneo) (2.2) En el ejemplo del auomóil de arrancones eníamos 1 = 19 m, 2 = 277 m, 1 = 1. s y 2 = 4. s, así que la ecuación (2.2) da med- = 277 m - 19 m 4. s - 1. s = 258 m 3. s = 86 m>s La elocidad media del auomóil es posiia. Eso significa que, durane el ineralo, la coordenada aumenó y el auo se moió en la dirección + (a la derecha en la figura 2.1). Si una parícula se muee en la dirección negaia durane un ineralo de iempo, su elocidad media para ese lapso es negaia. Por ejemplo, suponga que la camionea de un oficial se desplaza hacia la izquierda sobre la pisa (figura 2.2). La camionea esá en 1 = 277 m en 1 = 16. s, y en 2 = 19 m en 2 = 25. s. Enonces, = (19 m m) = -258 m y = (25. s s) = 9. s. La componene de la elocidad media es med- = = (-258 m) (9. s) = -29 m s. La abla 2.1 muesra algunas reglas sencillas para idenificar si la elocidad es posiia o negaia. CUIDAD Elección de la dirección posiia No caiga en la enación de pensar que una elocidad media posiia implica necesariamene moimieno a la derecha, como en la figura 2.1, y una elocidad media negaia implica forzosamene moimieno a la izquierda, como en la figura 2.2. Tales conclusiones son correcas solo si la dirección + es hacia la derecha, como elegimos en las figuras 2.1 y 2.2. Igualmene podríamos haber decidido que la dirección + fuera hacia la izquierda, con el origen en la llegada. Enonces, el auomóil habría enido elocidad media negaia, y la camionea del oficial, elocidad media posiia. En casi odos los problemas, podremos elegir la dirección del eje de coordenadas. Una ez omada la decisión, deberá omarse en cuena al inerprear los signos de med- y oras canidades que describen el moimieno! Tabla 2.1 Reglas para el signo de la elocidad Si la coordenada es:... la elocidad es: Posiia y aumena Posiia: la parícula (oliéndose más se muee en la posiia) dirección + Posiia y disminuye Negaia: la parícula (oliéndose menos se muee en la posiia) dirección - Negaia y aumena Posiia: la parícula (oliéndose menos se muee en la negaia) dirección + Negaia y disminuye Negaia: la parícula (oliéndose más se muee en la negaia) dirección - Noa: Esas reglas se aplican ano a la elocidad media, med-, como a la elocidad insanánea, (que se analizará en la sección 2.2). En el moimieno recilíneo, por lo general, llamaremos a simplemene desplazamieno y a med- la elocidad media. Sin embargo, no olide que esas son realmene las componenes de canidades ecoriales que, en ese caso especial, solo ienen componenes. En el capíulo 3, los ecores de desplazamieno, elocidad y aceleración endrán dos o res componenes disinas de cero. La figura 2.3 es una gráfica de la posición del auomóil de arrancones como una función del iempo, es decir, una gráfica -. La cura de la figura no represena la rayecoria del auomóil; esa es una línea reca, como se obsera en la figura 2.1. Más bien, la gráfica es una forma de represenar isualmene cómo cambia la posición del auomóil con el iempo. Los punos p 1 y p 2 en la gráfica corresponden a los punos P 1 y P 2 de la rayecoria del auomóil. La línea p 1 p 2 es la hipoenusa de un

4 38 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo 2.3 Posición de un auomóil de arrancones en función del iempo. 2 1 (m) p 1 P 1 1 Para un desplazamieno a lo largo del eje, la elocidad media de un objeo, med-, es igual a la pendiene de una línea que une los punos correspondienes en una gráfica de posición () conra iempo (). Pisa de arrancones 4 (no esá a escala) P p 2 Pendiene 5 componene de la elocidad D D Pendiene 5 inclinación de D la reca 5 D (s) Tabla 2.2 Magniudes ípicas de elocidad Repar del caracol Caminaa rápida Ser humano más rápido Velocidades en carreera Auomóil más rápido Moimieno aleaorio de moléculas de aire Aión más rápido Saélie de comunicación en órbia Elecrón en un áomo de hidrógeno Luz que iaja en el acío 1-3 m s 2 m s 11 m s 3 m s 341 m s 5 m s 1 m s 3 m s 2 * 1 6 m s 3 * 1 8 m s riángulo recángulo con caeo erical = 2-1 y caeo horizonal = 2-1. La elocidad media del auomóil med- = es igual a la pendiene de la línea p 1 p 2, es decir, el cociene del caeo erical enre el caeo horizonal. La elocidad media depende solo del desplazamieno oal = 2-1, que se da durane el ineralo = 2-1, no de los pormenores de lo que sucede denro de ese ineralo. En el iempo 1, una moociclea podría haber rebasado al auo de arrancones en el puno P 1 de la figura 2.1, para después reenar el moor y bajar la elocidad, pasando por P 2 en el mismo insane 2 que el auo. Ambos ehículos ienen el mismo desplazamieno en el mismo lapso, así que ienen la misma elocidad media. Si epresamos la disancia en meros y el iempo en segundos, la elocidad media se mide en meros por segundo (m s). ras unidades de elocidad comunes son kilómeros por hora (km h), pies por segundo (f s), millas por hora (mi h) y nudos (1 nudo = 1 milla náuica h = 68 f h). La abla 2.2 muesra algunas magniudes ípicas de elocidad. Ealúe su comprensión de la sección 2.1 Cada uno de los siguienes iajes en auomóil dura una hora. La dirección posiia es hacia el ese. i. El auomóil A iaja 5 km al ese. ii. El auomóil B iaja 5 km al oese. iii. El auomóil C iaja 6 km al ese, luego da uela y iaja 1 km al oese. i. El auomóil D iaja 7 km al ese.. El auomóil E iaja 2 km al oese, luego da uela y iaja 2 km al ese. a) Clasifique los cinco iajes en orden de elocidad media de la más posiia a la más negaia. b) Cuáles iajes, si acaso, ienen la misma elocidad media? c) Para cuál iaje, si acaso, la elocidad media es igual a cero? 2.4 El ganador de una compeencia de naación de 5 m es el nadador cuya elocidad media enga la mayor magniud, es decir, quien cubra el desplazamieno de 5 m en el iempo ranscurrido más coro. 2.2 Velocidad insanánea Hay ocasiones en que la elocidad media es lo único que necesiamos saber acerca del moimieno de una parícula. Por ejemplo, una carrera en pisa reca es en realidad una compeencia para deerminar quién uo la mayor elocidad media, med-. Se enrega el premio al compeidor que haya recorrido el desplazamieno de la línea de salida a la de mea en el ineralo de iempo más coro, (figura 2.4). Sin embargo, la elocidad media de una parícula durane un ineralo de iempo no nos indica la rapidez, o la dirección, con que la parícula se esaba moiendo en un insane deerminado del ineralo. Para describir eso, necesiamos conocer la elocidad insanánea, es decir, la elocidad en un insane específico o en un puno específico de la rayecoria. CUIDAD Cuáno iempo dura un insane? bsere que la palabra insane iene un significado un ano disino en física que en el lenguaje coidiano. Podemos uilizar la frase duró solo un insane para referirnos a algo que duró un ineralo de iempo muy coro. Sin embargo, en física un insane no iene duración; es solo un alor de iempo.

5 2.2 Velocidad insanánea 39 Para obener la elocidad insanánea del auo de la figura 2.1 en el puno P 1, moemos el segundo puno P 2 cada ez más cerca del primer puno P 1 y calculamos la elocidad media med- = para esos desplazamienos y lapsos cada ez más coros. Tano como se hacen muy pequeños; pero su cociene no necesariamene lo hace. En el lenguaje del cálculo, el límie de conforme se acerca a cero es la deriada de con respeco a y se escribe d d. La elocidad insanánea es el límie de la elocidad media conforme el ineralo de iempo se acerca a cero; es igual a la asa insanánea de cambio de posición con el iempo. Usamos el símbolo, sin med en el subíndice, para la elocidad insanánea a lo largo del eje o componene de la elocidad insanánea: = lím S = d d (elocidad insanánea, moimieno recilíneo) (2.3) El ineralo de iempo siempre es posiio, así que iene el mismo signo algebraico que. Un alor posiio de indica que aumena y el moimieno es en la dirección posiia; un alor negaio de indica que disminuye y el moimieno es en la dirección negaia. Un cuerpo puede ener posiia y negaia, o a la inersa; nos dice dónde esá el cuerpo, en ano que nos indica cómo se muee (figura 2.5). Las reglas que presenamos en la abla 2.1 (sección 2.1) para el signo de la elocidad media, med-, ambién se aplican para el signo de la elocidad insanánea. La elocidad insanánea, al igual que la elocidad media, es una canidad ecorial; y la ecuación (2.3) define su componene. En el moimieno recilíneo, las demás componenes de la elocidad insanánea son cero y, en ese caso, llamaremos a simplemene elocidad insanánea. (En el capíulo 3 eremos el caso general en el que la elocidad insanánea puede ener componenes, y y z disinas de cero). Al usar el érmino elocidad, siempre nos referiremos a la elocidad insanánea, no a la media. Los érminos elocidad y rapidez se usan indisinamene en el lenguaje coidiano; no obsane, en física ienen diferenes significados. Rapidez denoa la disancia recorrida diidida enre el iempo, ya sea media o insanánea. Usaremos el símbolo (sin subíndice) para denoar la rapidez insanánea, la cual mide qué an rápido se muee una parícula; la elocidad insanánea mide con qué rapidez y en qué dirección se muee. La rapidez insanánea es la magniud de la elocidad insanánea y, por lo ano, nunca es negaia. Por ejemplo, una parícula con elocidad insanánea = 25 m s y ora con =-25 m s se mueen en direcciones opuesas con la misma rapidez insanánea de 25 m s. 2.5 Incluso al aanzar, la elocidad insanánea de ese ciclisa puede ser negaia, si iaja en la dirección -. En cualquier problema, nosoros decidimos cuál dirección es posiia y cuál es negaia. CUIDAD Rapidez media y elocidad media La rapidez media no es la magniud de la elocidad media. Cuando César Cielo esableció un récord mundial en 29 nadando 1. m en s, su rapidez media fue de (1. m) (46.91 s) = m s. No obsane, como nadó dos eces la longiud de una alberca de 5 m, erminó en el puno de donde parió, con un desplazamieno oal de cero y una elocidad media de cero! Tano la rapidez media como la rapidez insanánea son escalares, no ecores, porque no incluyen información de dirección. Ejemplo 2.1 Velocidades media e insanánea Un guepardo acecha 2 m al ese de un obserador (figura 2.6a). En el iempo =, el guepardo comienza a correr al ese hacia un anílope que se encuenra 5 m al ese del obserador. Durane los primeros 2. s del aaque, la coordenada del guepardo aría con el iempo según la ecuación = 2 m + (5. m s 2 ) 2. a) benga el desplazamieno del guepardo enre 1 = 1. s y 2 = 2. s. b) Calcule la elocidad media en dicho ineralo. c) Calcule la elocidad insanánea en 1 = 1. s omando =.1 s, luego =.1 s, luego =.1 s. d) Deduzca una epresión general para la elocidad insanánea del guepardo en función del iempo, y con ella calcule en = 1. s y = 2. s. SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: La figura 2.6b muesra el moimieno del guepardo. Se usa la ecuación (2.1) para el desplazamieno, la ecuación (2.2) para la elocidad media, y la ecuación (2.3) para la elocidad insanánea. Coninúa

6 4 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo 2.6 Un guepardo aaca a un anílope en una emboscada. Los animales no esán a la misma escala que el eje. a) La siuación b) El diagrama Vehículo Puno de parida del guepardo Anílope c) Consideraciones 1 El eje apuna en la 2 El origen se 3 Marcamos las 4 Marcamos las 5 Agregamos las dirección en que corre el guepardo, de manera que nuesros alores serán posiios. coloca en el ehículo. posiciones iniciales del guepardo y del anílope. posiciones del guepardo en 1 y 2 s. lierales para las canidades conocidas y desconocidas. med- EJECUTAR: a) En l = 1. s y 2 = 2. s, las posiciones del guepardo l y 2 son 1 = 2 m m>s s2 2 = 25 m 2 = 2 m m>s s2 2 = 4 m El desplazamieno en ese ineralo de 1. s es = 2-1 = 4 m - 25 m = 15 m b) La elocidad media durane ese ineralo es med- = c) Con =.1 s, el ineralo es de 1 = 1. s a un nueo 2 = 1.1 s. En 2, la posición es 2 = 2 m m>s s) 2 = 26.5 m La elocidad media durane ese ineralo de.1 s es med- = = 4 m - 25 m 2. s - 1. s = 15 m = 15 m>s 1. s 26.5 m - 25 m 1.1 s - 1. s = 1.5 m>s Al seguir ese méodo, podemos calcular las elocidades medias de los ineralos de.1 s y.1 s. Los resulados son 1.5 m s y 1.5 m s. Al disminuir, la elocidad media se acerca a 1. m s, por lo que concluimos que la elocidad insanánea en = 1. s es de 1. m s. (En esos cálculos no se omaron en cuena las reglas de coneo de cifras significaias). d) Para calcular la elocidad insanánea en función del iempo, se deria la epresión de con respeco a. La deriada de una consane es cero, y para cualquier n la deriada de n es n n-1, así que la deriada de 2 es 2. Por lo ano, = d d = 15. m>s = 11 m>s 2 2 En = 1. s, eso produce = 1 m s, como imos en el inciso c); en = 2. s, = 2 m s. EVALUAR: Nuesros resulados muesran que el guepardo aumenó su rapidez de = (cuando esaba en reposo) a = 1. s ( = 1 m s) y a = 2. s ( = 2 m s), lo cual es razonable: el guepardo recorrió solo 5 m durane el ineralo = a = 1. s; sin embargo, recorrió 15 m en el ineralo = 1. s a = 2. s. AciPhysics 1.1: Analyzing Moion Using Diagrams bención de la elocidad en una gráfica - La elocidad de una parícula ambién puede obenerse a parir de la gráfica de la posición de la parícula en función del iempo. Suponga que queremos conocer la elocidad del auomóil de arrancones de la figura 2.1 en P 1. En la figura 2.1, conforme P 2 se acerca a P 1, el puno p 2 en la gráfica - de las figuras 2.7a y 2.7b se acerca al puno p 1, y la elocidad media se calcula en ineralos cada ez más coros. En el límie en que S, ilusrado en la figura 2.7c, la pendiene de la línea p 1 p 2 es igual a la pendiene de la línea angene a la cura en el puno p 1. Así, en una gráfica de posición en función del iempo para moimieno recilíneo, la elocidad insanánea en cualquier puno es igual a la pendiene de la angene a la cura en ese puno. Si la angene a la cura - sube hacia la derecha, como en la figura 2.7c, enonces su pendiene es posiia, la elocidad es posiia, y el moimieno es en la dirección +. Si la angene baja hacia la derecha, la pendiene de la gráfica - y

7 2.2 Velocidad insanánea Uso de una gráfica - al ir de a), b) elocidad media a c) elocidad insanánea. En c) obenemos la pendiene de la angene a la cura - diidiendo cualquier ineralo erical (en unidades de disancia) a lo largo de la angene enre el ineralo horizonal correspondiene (en unidades de iempo). a) b) c) (m) D 5 2. s D 5 15 m med m/s p 2 1 D p 1 D (s) Cuando la elocidad media med- se calcula en ineralos cada ez más coros... (m) D 5 1. s D 5 55 m med m/s p 1 p 2 D D su alor med- 5 D/D se acerca a la elocidad insanánea. (s) (m) m 4. s 5 4 m/s Pendiene de la angene 5 elocidad insanánea p 1 4. s 16 m (s) La elocidad insanánea en un iempo dado es igual a la pendiene de la angene a la cura - en ese puno. 2.8 a) Gráfica - del moimieno de una parícula dada. La pendiene de la angene en cualquier puno es igual a la elocidad en ese puno. b) Diagrama de moimieno que muesra la posición y elocidad de la parícula en cada uno de los insanes idenificados en el diagrama -. a) Gráfica - b) Moimieno de la parícula A Pendiene cero: 5 C B D Pendiene posiia:. E Pendiene negaia:, A 5 B C D E 5 La parícula esá en, y se muee en la dirección 1. De A a B acelera, y de B a C frena, y se deiene momenáneamene en C. De C a D acelera en la dirección 2, y de D a E frena en la dirección 2. Cuano más pronunciada sea la pendiene (posiia o negaia) de la gráfica - de un objeo, mayor será la rapidez del objeo en la dirección posiia o negaia. la elocidad son negaias, y el moimieno es en la dirección -. Cuando la angene es horizonal, la pendiene y la elocidad son cero. La figura 2.8 ilusra las res posibilidades. La figura 2.8 muesra realmene el moimieno de una parícula en dos formas: como a) una gráfica - y como b) un diagrama de moimieno que indica la posición de la parícula en diersos insanes (como cuadros de un ideo del moimieno de la parícula), juno con flechas que represenan su elocidad en cada insane. En ese capíulo, usaremos ano las gráficas - como los diagramas de moimieno para ayudarle a enender el moimieno. Le recomendamos dibujar no solo una gráfica - sino ambién un diagrama de moimieno como pare de la solución de cualquier problema que implique moimieno. 2.9 Gráfica - de una parícula. Q P Ealúe su comprensión de la sección 2.2 La figura 2.9 es una gráfica - del moimieno de una parícula. a) rdene los alores de la elocidad de la parícula en los punos P, Q, R y S del más posiio al más negaio. b) En qué punos es posiia? c) En cuáles punos es negaia? d) En cuáles es cero? e) rdene los alores de la rapidez de la parícula en los punos P, Q, R y S del más rápido al más leno. R S

8 42 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo 2.3 Aceleración media e insanánea Así como la elocidad describe la asa de cambio de la posición con el iempo, la aceleración describe la asa de cambio de la elocidad con el iempo. Al igual que la elocidad, la aceleración es una canidad ecorial. En el moimieno recilíneo, su única componene disina de cero esá sobre el eje en que ocurre el moimieno. Como eremos, en el moimieno recilíneo la aceleración puede referirse ano al aumeno como a la disminución de la rapidez. Aceleración media Consideremos ora ez el moimieno de una parícula en el eje. Suponga que, en el iempo 1, la parícula esá en el puno P 1 y iene una componene de elocidad (insanánea) 1, y en un insane poserior 2 esá en el puno P 2 y iene una componene de elocidad 2. Así, la componene de la elocidad cambia en = 2-1 en el ineralo = 2-1. Definimos la aceleración media de la parícula al moerse de P 1 a P 2 como una canidad ecorial cuya componene es a med- (conocida como aceleración media en ) igual a, el cambio en la componene de la elocidad, diidido enre el ineralo de iempo : a med- = = (aceleración media, moimieno recilíneo) (2.4) En el moimieno recilíneo a lo largo del eje, por lo general llamaremos simplemene aceleración media a a med-. (Veremos las oras componenes del ecor aceleración media en el capíulo 3). Si epresamos la elocidad en meros por segundo y el iempo en segundos, la aceleración media esá dada en meros por segundo por segundo, o bien (m s) s. Eso suele escribirse como m s 2 y se lee meros por segundo al cuadrado. CUIDAD Aceleración conra elocidad Tenga cuidado de no confundir aceleración con elocidad! La elocidad describe el cambio de la posición de un objeo con el iempo; nos indica con qué rapidez y en qué dirección se muee el objeo. La aceleración describe cómo cambia la elocidad con el iempo; es decir, nos dice cómo cambian la rapidez y la dirección del moimieno. Podría ser úil recordar la frase aceleración es a elocidad lo que elocidad es a posición. También ayudaría imaginarse a used mismo abordo de un auomóil en moimieno. Si el auomóil acelera hacia adelane y aumena su rapidez, used se senirá empujado hacia arás hacia su asieno; si acelera hacia arás y disminuye su rapidez, se seniría empujado hacia adelane. Si la elocidad es consane y no hay aceleración, no endrá sensación alguna. (Analizaremos la causa de esas sensaciones en el capíulo 4). Ejemplo 2.2 Aceleración media Un asronaua sale de una nae espacial en órbia para probar una unidad personal de maniobras. Mienras se muee en línea reca, su compañero a bordo mide su elocidad cada 2. s a parir del insane = 1. s: Calcule la aceleración media y diga si la rapidez del asronaua aumena o disminuye durane cada uno de esos ineralos de 2. s: a) 1 = 1. s a 2 = 3. s; b) 1 = 5. s a 2 = 7. s; c) 1 = 9. s a 2 = 11. s; d) 1 = 13. s a 2 = 15. s. 1. s 3. s 5. s 7. s.8 m / s 1.2 m/s 1.6 m/s 1.2 m/s 9. s 11. s 13. s 15. s 2.4 m / s 21. m/s 21.6 m/s 2.8 m/s SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Usaremos la ecuación (2.4) para deerminar la aceleración media a med- a parir del cambio de elocidad durane cada ineralo de iempo. Para calcular los cambios en la rapidez, usaremos la idea de que la rapidez es la magniud de la elocidad insanánea.

9 2.3 Aceleración media e insanánea 43 La pare superior de la figura 2.1 es la gráfica de elocidad como función del iempo. En esa gráfica -, la pendiene de la línea que une los punos inicial y final de cada ineralo es la aceleración media a med- = para ese ineralo. Las cuaro pendienes (y por lo ano, los signos de las aceleraciones medias) son, respeciamene, posiia, negaia, negaia y posiia. La ercera y cuara pendienes (y por lo ano, las aceleraciones medias mismas) ienen una magniud mayor que la primera y la segunda. 2.1 Gráficas de elocidad conra iempo (arriba) y aceleración media conra iempo (abajo) del asronaua. EJECUTAR: Usando la ecuación (2.4), obenemos: a) a med- = (1.2 m s -.8 m s) (3. s - 1. s) =.2 m s 2. La rapidez (magniud de la elocidad insanánea) aumena de.8 m s a 1.2 m s. b) a med- = (1.2 m s m s) (7. s - 5. s) = -.2 m s 2. La rapidez disminuye de 1.6 m s a 1.2 m s. c) a med- = [-1. m s - (-.4 m s)] (11. s - 9. s) = -.3 m s 2. La rapidez aumena de.4 m s a 1. m s. d) a med- = [-.8 m s - (-1.6 m s)] (15. s s) =.4 m s 2. La rapidez disminuye de 1.6 m s a.8 m s. En la pare inferior de la figura 2.1, se graficaron los alores de a med-. med- La pendiene de la línea que une cada par de punos en la gráfica es igual a la aceleración media enre esos punos. EVALUAR: Los signos y las magniudes relaias de las aceleraciones medias concuerdan con nuesras predicciones cualiaias. Para referencias fuuras, ome noa de esa relación enre rapidez, elocidad y aceleración. Nuesro resulado indica que cuando la aceleración iene la misma dirección (el mismo signo algebraico) que la elocidad inicial, como en los ineralos a) y c), el asronaua se muee más rápidamene; cuando a med- iene la dirección opuesa (eso es, el signo conrario) que la elocidad inicial como en los ineralos b) y d), se frena. Por lo ano, la aceleración posiia significa ir más rápido si la elocidad es posiia [ineralo a)], pero ir más leno si la elocidad es negaia [ineralo d)]. Asimismo, la aceleración negaia implica ir más rápido si la elocidad es negaia [ineralo c)], pero ir más leno si la elocidad es posiia [ineralo b)]. Aceleración insanánea Ahora podemos definir la aceleración insanánea con el mismo procedimieno que seguimos para la elocidad insanánea. Como ejemplo, suponga que un piloo de carreras esá conduciendo en una reca como se ilusra en la figura Para definir la aceleración insanánea en el puno P 1, omamos el segundo puno P 2 en la figura 2.11 cada ez más cerca de P 1, de modo que la aceleración media se calcule en ineralos cada ez más coros. La aceleración insanánea es el límie de la aceleración media conforme el ineralo de iempo se acerca a cero. En el lenguaje del cálculo, la aceleración insanánea es la deriada de la elocidad con respeco al iempo. Así, a = lím S = d d (aceleración insanánea, moimieno recilíneo) (2.5) bsere que a en la ecuación (2.5) es realmene la componene de la aceleración o la aceleración insanánea; en el moimieno recilíneo, las demás componenes de ese ecor son cero. A parir de aquí, al hablar de aceleración nos referiremos siempre a la aceleración insanánea, no a la aceleración media Vehículo de Fórmula 1 en dos punos de la reca. Rapidez 1 elocidad 1 Rapidez 2 elocidad 2 P 1 P 2

10 44 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo Ejemplo 2.3 Aceleraciones media e insanánea Suponga que la elocidad del auomóil en la figura 2.11 en un insane esá dada por la ecuación = 6 m > s m > s a) Calcule el cambio de elocidad del auomóil en el ineralo enre 1 = 1. s y 2 = 3. s. b) Calcule la aceleración media en ese ineralo de iempo. c) benga la aceleración insanánea en 1 = 1. s omando primero como.1 s, después como.1 s y luego como.1 s. d) Deduzca una epresión para la aceleración insanánea como función del iempo y úsela para obener la aceleración en = 1. s y = 3. s. SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Ese caso es similar al ejemplo 2.1 de la sección 2.2. (Recomendamos repasarlo ahora). En el ejemplo 2.1, calculamos la elocidad media a parir del cambio en la posición en ineralos cada ez más coros, y obuimos una epresión para la elocidad insanánea diferenciando la posición en función del iempo. En ese ejemplo, enemos eacamene lo mismo. Usaremos la ecuación (2.4) para obener la aceleración media a parir del cambio en la elocidad en un ineralo de iempo. Asimismo, usando la ecuación (2.5) obendremos una epresión para la aceleración insanánea diferenciando la elocidad en función del iempo. EJECUTAR: a) Anes de aplicar la ecuación (2.4), debemos obener la elocidad en cada insane a parir de la ecuación dada. En el insane 1 = 1. s, y en el 2 = 3. s, las elocidades son 1 = 6 m > s m > s s2 2 = 6.5 m > s 2 = 6 m > s m > s s2 2 = 64.5 m > s El cambio en la elocidad enre 1 = 1. s y 2 = 3. s es = 2-1 = 64.5 m > s m > s = 4. m > s b) La aceleración media durane ese ineralo de duración 2-1 = 2. s es Durane ese ineralo, la elocidad y la aceleración media ienen el mismo signo algebraico (posiio en ese caso) y el auo acelera. c) Cuando =.1 s, enemos 2 = 1.1 s. Procediendo como anes obenemos 2 = 6 m > s m > s s2 2 = 6.65 m > s =.15 m > s a med- = Repia ese parón para calcular a med- con =.1 s y =.1 s; los resulados son a med- = 1.5 m s 2 y a med- = 1.5 m s 2, respeciamene. Al reducirse, la aceleración media se acerca a 1. m s 2, por lo que concluimos que la aceleración insanánea en = 1. s es 1. m s 2. d) Por la ecuación (2.5) la aceleración insanánea es a = d d. La deriada de una consane es cero y la deriada de 2 es 2, por lo que Cuando = 1. s, Cuando = 3. s, =.15 m > s.1 s = 1.5 m > s 2 a = d = d d d 36 m > s m > s = 1.5 m > s = 11. m > s 3 2 a = 11. m > s s2 = 1. m > s 2 a = 11. m > s s2 = 3. m > s 2 EVALUAR: Ninguno de los alores que obuimos en el inciso d) es igual a la aceleración media obenida en b). Eso se debe a que la aceleración insanánea aría con el iempo. La asa de cambio de la aceleración con el iempo se suele denominar irón. a med- = = 4. m > s 2. s = 2. m > s 2 bención de la aceleración en una gráfica - o una gráfica - En la sección 2.2 inerpreamos las elocidades media e insanánea en érminos de la pendiene de una gráfica de posición conra iempo. Igualmene, podemos enender mejor las aceleraciones media e insanánea graficando la elocidad insanánea en el eje erical y el iempo en el eje horizonal, es decir, usando una gráfica - (figura 2.12). Los punos sobre la gráfica idenificados como p 1 y p 2 corresponden a los punos P 1 y P 2 de la figura La aceleración media a med- = durane ese ineralo es la pendiene de la línea p 1 p 2. Al acercarse P 2 a P 1 en la figura 2.11, p 2 se acerca a p 1 en la gráfica - de la figura 2.12, y la pendiene de la línea p 1 p 2 se acerca a la pendiene de la angene a la cura en el puno p 1. Así, en una gráfica de elocidad en función del iempo, la aceleración insanánea en cualquier puno es igual a la pendiene de la angene de la cura en ese puno. En la figura 2.12, las angenes razadas en diferenes punos en la cura ienen pendienes diferenes, de manera que la aceleración insanánea aría con el iempo.

11 2.3 Aceleración media e insanánea 45 Para un desplazamieno a lo largo del eje, la aceleración media de un objeo es igual a la pendiene de una línea que une los punos correspondienes en una gráfica de elocidad ( ) conra iempo () Gráfica - del moimieno en la figura p 1 1 Pendiene 5 aceleración media D p 2 2 D Pendiene de la angene a la cura - en un puno dado 5 aceleración insanánea en ese puno. CUIDAD Signos de la aceleración y de la elocidad Por sí mismo, el signo algebraico de la aceleración no nos indica si el cuerpo esá acelerando o frenando; hay que comparar los signos de la elocidad y la aceleración. Si y a ienen el mismo signo, el cuerpo esá acelerando; si ambas son posiias, el cuerpo se muee en la dirección posiia con rapidez creciene. Si ambas son negaias, el cuerpo se muee en la dirección negaia con elocidad cada ez más negaia, y la rapidez aumena. Si y a ienen signos opuesos, el cuerpo esá frenando. Si es posiia y a negaia, el cuerpo se muee en dirección posiia con rapidez decreciene; si es negaia y a posiia, el cuerpo se muee en dirección negaia con una elocidad cada ez menos negaia, y esá frenando. La abla 2.3 resume esas ideas y la figura 2.13 ilusra algunas de esas posibilidades. En ocasiones se usa el érmino desaceleración para referirse a una reducción de la rapidez. Como eso puede implicar una a posiia o negaia, dependiendo del signo de, eiaremos ese érmino. También podemos conocer la aceleración de un cuerpo a parir de una gráfica de su posición conra el iempo. Pueso que a = d d y = d d, escribimos a = d d = d d a d d b = d2 d 2? (2.6) Tabla 2.3 Reglas para el signo de la aceleración Si la elocidad es:... la aceleración es: Posiia y creciene Posiia: la parícula se (oliéndose más muee en la dirección + posiia) y acelera Posiia y decreciene Negaia: la parícula se (oliéndose menos muee en la dirección + posiia) y frena Negaia y creciene Posiia: la parícula se (se uele menos muee en la dirección - negaia) y frena Negaia y decreciene Negaia: la parícula se (se uele más negaia) muee en la dirección - y acelera Noa: Esas reglas se aplican ano a la aceleración a med- como a la aceleración insanánea a a) Gráfica - del moimieno de una parícula diferene de la que se muesra en la figura 2.8. La pendiene de la angene en cualquier puno es igual a la aceleración en ese puno. b) Diagrama de moimieno que indica la posición, elocidad y aceleración de la parícula en los insanes idenificados en la gráfica -. Las posiciones son congruenes con la gráfica -; por ejemplo, de A a B la elocidad es negaia, así que en B la parícula esá en un alor más negaio de que en A. a) La gráfica - para un objeo que se muee en el eje b) Posición, elocidad y aceleración del objeo en el eje A B Pendiene cero: a 5 C Cuano más pronunciada sea la pendiene (posiia o negaia) de la gráfica - de un objeo, mayor será la aceleración del objeo en la dirección posiia o negaia. D Pendiene posiia: a. E Pendiene negaia: a, A 5 B C D E a 5 a a 5 a a 5 El objeo esá en, y se muee en la dirección 2 (, ), frenando ( y a ienen signos opuesos). El objeo esá en,, insanáneamene en reposo ( 5 ), y a puno de moerse en la dirección 1 (a. ). El objeo esá en. y se muee en la dirección 1 (. ); su rapidez no cambia insanáneamene (a 5 ). El objeo esá en., insanáneamene en reposo ( 5 ), y a puno de moerse en la dirección 2 (a, ). El objeo esá en. y se muee en la dirección 2 (, ), acelerando ( y a ienen el mismo signo).

12 46 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo 2.14 a) La misma gráfica - de la figura 2.8a. La elocidad es igual a la pendiene de la gráfica, y la aceleración esá dada por su concaidad o curaura. b) Diagrama de moimieno que muesra la posición, elocidad y aceleración de la parícula en cada uno de los insanes idenificados en la gráfica -. a) Gráfica - b) Moimieno del objeo A Pendiene cero: 5 Curaura hacia abajo: a, B C D Pendiene negaia:, Curaura cero: a 5 Pendiene posiia:. Curaura cero: a 5 Pendiene posiia:. Curaura hacia arriba: a. Pendiene negaia:, Curaura hacia arriba: a. E Cuano mayor es la curaura (hacia arriba o hacia abajo) de una gráfica - de un objeo, mayor es la aceleración del objeo en la dirección posiia o negaia, respeciamene. A 5 B C D E a a 5 a a 5 a 5 El objeo esá en,, se muee en la dirección 1 (. ) y acelera ( y a ienen el mismo signo). El objeo esá en 5, se muee en la dirección 1 (. ); la rapidez no cambia insanáneamene (a 5 ). El objeo esá en., insanáneamene en reposo ( 5 ) y a puno de moerse en la dirección 2 (a, ). El objeo esá en., se muee en la dirección 2 (, ); la rapidez no cambia insanáneamene (a 5 ). El objeo esá en., se muee en la dirección 2 (, ) y frena ( y a ienen signos opuesos). Es decir, a es la segunda deriada de con respeco a. La segunda deriada de cualquier función se relaciona direcamene con la concaidad o curaura de la gráfica de la función (figura 2.14). En un puno donde la gráfica - sea cóncaa hacia arriba (curada hacia arriba), la aceleración es posiia y aumena; donde la gráfica - sea cóncaa hacia abajo, la aceleración es negaia y disminuye. Donde la gráfica - no enga curaura, como en un puno de infleión, la aceleración es cero y la elocidad es consane. Esas res posibilidades se ilusran en la figura Eaminar la curaura de una gráfica - es una manera sencilla de deerminar qué signo iene la aceleración. Esa écnica es menos úil para deerminar alores numéricos de la aceleración, ya que es difícil medir con eaciud la curaura de una gráfica Diagrama de moimieno para una parícula que se muee en línea reca en la dirección + con aceleración posiia consane a. Se muesran la posición, elocidad y aceleración en cinco insanes de igual duración. D 2D 3D 4D a a Si una parícula se muee en línea reca con aceleración consane a... a... la elocidad cambia por canidades iguales en ineralos iguales. Sin embargo, la posición cambia por canidades diferenes en ineralos iguales porque la elocidad cambia. a a Ealúe su comprensión de la sección 2.3 bsere ora ez la gráfica - de la figura 2.9 al final de la sección 2.2. a) En cuál de los punos P, Q, R y S la aceleración a es posiia? b) En cuáles es negaia? c) En cuáles parece ser cero? d) En cada puno, indique si la elocidad aumena, disminuye o se maniene consane. 2.4 Moimieno con aceleración consane El moimieno acelerado más sencillo es el recilíneo con aceleración consane. En ese caso, la elocidad cambia al mismo rimo a lo largo del moimieno. Como ejemplo, un cuerpo que cae iene aceleración consane si los efecos del aire no son imporanes. Lo mismo sucede con un cuerpo que se desliza por una pendiene o sobre una superficie horizonal áspera, o con un aión cuando es lanzado con caapula desde la cubiera de un poraaiones. La figura 2.15 es un diagrama de moimieno que muesra la posición, elocidad y aceleración de una parícula que se muee con aceleración consane. Las figuras 2.16 y 2.17 represenan ese moimieno con gráficas. Pueso que la aceleración es consane, la gráfica a - (aceleración conra iempo) de la figura 2.16 es una línea horizonal. La gráfica de elocidad conra iempo, -, iene pendiene consane porque la aceleración es consane; por lo ano, es una línea reca (figura 2.17).

13 2.4 Moimieno con aceleración consane 47 Cuando la aceleración a es consane, la aceleración media a med- para cualquier ineralo es a. Eso facilia la obención de las ecuaciones para la posición y la elocidad como funciones del iempo. Con la finalidad de enconrar una epresión para, primero susiuimos a med- por a en la ecuación (2.4): a = (2.7) 2.16 Gráfica aceleración-iempo (a -) para moimieno recilíneo con aceleración posiia consane a. a a Aceleración consane: la gráfica a - es una línea horizonal (pendiene 5 ). Sean ahora 1 = y 2 cualquier insane poserior. Simbolizamos con la elocidad en el insane inicial = ; la elocidad en el insane poserior es. Enonces, la ecuación (2.7) se coniere en = + a (solo con aceleración consane) (2.8) En la ecuación (2.8) el érmino a es el produco de la asa consane de cambio en la elocidad, a, y el ineralo de iempo ; por lo ano, es el cambio oal de la elocidad desde el insane inicial = hasa un insane poserior. La elocidad en cualquier insane es enonces la elocidad inicial (en = ) más el cambio en la elocidad a (éase la figura 2.17). La ecuación (2.8) ambién dice que el cambio de elocidad - de la parícula enre = y un iempo poserior es igual al área bajo la gráfica a - enre esos dos insanes. Se puede erificar eso en la figura 2.16: bajo la cura hay un recángulo con lado erical a y lado horizonal. El área del recángulo es a, que por la ecuación (2.8) es igual al cambio de elocidad -. En la sección 2.6 eremos que aun cuando la aceleración no sea consane, el cambio de elocidad durane un ineralo es igual al área bajo la cura a -, aunque en al caso la ecuación (2.8) no es álida. Ahora deduciremos una ecuación para la posición en función del iempo cuando la aceleración es consane. Para ello, usamos dos epresiones disinas para la elocidad media a med- en el ineralo de = a cualquier iempo poserior. La primera proiene de la definición de med-, ecuación (2.2), que se cumple independienemene de que la aceleración sea consane o no. Llamamos a la posición en el iempo = posición inicial, y la denoamos con. La posición en el iempo poserior es simplemene. Así, para el ineralo = -, el desplazamieno es = - ; la ecuación (2.2) da (2.9) También podemos obener ora epresión para med- que es álida solo si la aceleración es consane, de modo que la elocidad cambia a rimo consane. En ese caso, la elocidad media para el ineralo de a es simplemene el promedio de las elocidades al principio y al final del ineralo: med- = + 2 a = - - med- = - o (solo con aceleración consane) (2.1) El área bajo la gráfica a - es 2 5 cambio de elocidad del iempo al iempo Gráfica elocidad-iempo ( -) para moimieno recilíneo con aceleración posiia consane a. La elocidad inicial ambién es posiia en ese caso. Aceleración consane: la gráfica - es una reca. Pendiene 5 aceleración Durane el ineralo, la elocidad cambia como 2 5 a. El área oal bajo la gráfica - es 2 5 cambio en la coordenada del iempo al iempo. a PhET: Forces in 1 Dimension AciPhysics 1.1: Analyzing Moion Using Diagrams AciPhysics 1.2: Analyzing Moion Using Graphs AciPhysics 1.3: Predicing Moion from Graphs AciPhysics 1.4: Predicing Moion from Equaions AciPhysics 1.5: Problem-Soling Sraegies for Kinemaics AciPhysics 1.6: Skier Races Downhill (Esa ecuación no se cumple si la aceleración aría durane el ineralo). También sabemos que, con aceleración consane, la elocidad en un insane esá dada por la ecuación (2.8). Susiuyendo esa epresión por en la ecuación (2.1), obenemos med- = a 2 = a (solo con aceleración consane) (2.11)

14 48 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo Aplicación Pruebas con humanos a grandes aceleraciones En algunos eperimenos lleados a cabo por la fuerza aérea esadounidense, enre las décadas de 194 y 195, se demosró que los humanos que conducían un cohee podían resisir aceleraciones an grandes como 44 m s 2. Las primeras res foografías de esa secuencia muesran al médico de la fuerza aérea John Sapp acelerando del reposo a 188 m s (678 km h = 421 mi h) en solo 5 s. Las foografías 4 a 6 muesran inclusie una magniud más grande de aceleración conforme el cohee frenaba para deenerse. Por úlimo, igualamos las ecuaciones (2.9) y (2.11) y simplificamos: = a a = - o (solo con aceleración consane) (2.12) Esa ecuación (2.12) indica que: si en el insane =, una parícula esá en y iene elocidad, su nuea posición en cualquier iempo poserior es la suma de res érminos: su posición inicial, más la disancia que recorrería si su 1 elocidad fuera consane, y una disancia adicional a 2 2 causada por el cambio de elocidad. Una gráfica de la ecuación (2.12), es decir, una gráfica - para moimieno con aceleración consane (figura 2.18a), siempre es una parábola. La figura 2.18b muesra una gráfica como esa. La cura hace inersección con el eje erical () en, la posición en =. La pendiene de la angene en = es, la elocidad inicial, y la pendiene de la angene en cualquier iempo es la elocidad en ese insane. La pendiene y la elocidad aumenan coninuamene, así que la aceleración a es posiia; used ambién puede er eso porque la gráfica de la figura 2.18b es cóncaa hacia arriba (se cura hacia arriba). Si a es negaia, la gráfica - es una parábola cóncaa hacia abajo (iene curaura hacia abajo). Si hay aceleración cero, la gráfica - es una reca; si hay una aceleración consane, el érmino adicional a 2 2 en la ecuación (2.12) para en función de cura 1 la gráfica en una parábola (figura 2.19a). Podemos analizar la gráfica - de la misma forma. Si hay aceleración cero, esa gráfica es una línea horizonal (la elocidad es consane); agregando una aceleración consane da una pendiene para la gráfica - (figura 2.19b) a) Moimieno recilíneo con aceleración consane. b) Gráfica de posición conra iempo (-) para ese moimieno (el mismo que se ilusra en las figuras 2.15, 2.16 y 2.17). En ese caso, la posición inicial, la elocidad inicial y la aceleración a son odas posiias. a) Un auo de carreras se muee en la dirección con aceleración consane 5 1 a Durane el ineralo, la elocidad cambia como 2 5 a. b) La gráfica - Pendiene 5 Aceleración consane: la gráfica - es una parábola. Pendiene Cómo una aceleración consane influye en a) la gráfica - y b) la gráfica - de un cuerpo. a) Gráfica - para un objeo que se muee con aceleración consane posiia La gráfica con aceleración consane: a 2 2 b) La gráfica - para el mismo objeo La gráfica con aceleración consane: 5 1 a El efeco de la aceleración: 1 a 2 2 La gráfica que obendríamos con aceleración cero: 5 1 La elocidad agregada debido a la aceleración: a La gráfica con aceleración cero: 5

15 2.4 Moimieno con aceleración consane 49 Así como el cambio de elocidad de la parícula es igual al área bajo la gráfica a -, el desplazamieno (es decir, el cambio de posición) es igual al área bajo la gráfica -. Específicamene, el desplazamieno - de la parícula enre = y cualquier insane poserior es igual al área bajo la gráfica - enre esos dos insanes. En la figura 2.17 el área bajo la gráfica se diidió en un recángulo oscuro (con lado erical, lado horizonal y área ) y un riángulo recángulo claro (con lado erical a 1 y lado horizonal y área 2 (a )() = 1 2 a 2 ). El área oal bajo la gráfica - es - = a 2 PhET: The Moing Man AciPhysics 1.8: Sea Bels Sae Lies AciPhysics 1.9: Screeching o a Hal AciPhysics 1.11: Car Sars, Then Sops AciPhysics 1.12: Soling Two-Vehicle Problems AciPhysics 1.13: Car Caches Truck AciPhysics 1.14: Aoiding a Rear-End Collision lo que es congruene con la ecuación (2.12). El desplazamieno durane un ineralo siempre puede obenerse del área bajo la cura -, incluso si la aceleración no es consane, aunque en al caso la ecuación (2.12) no sería álida. (Demosraremos eso en la sección 2.6). A menudo es úil ener una relación para la posición, la elocidad y la aceleración (consane) que no inolucre el iempo. Para lograr eso, primero despejamos de la ecuación (2.8) y luego susiuimos la epresión resulane en la ecuación (2.12): = - a = + a - a Transferimos el érmino al lado izquierdo y muliplicamos la ecuación por 2a : 2a 1-2 = Finalmene, simplificando nos da b a a - 2 b a 2 = 2 + 2a 1-2 (solo aceleración consane) (2.13) Podemos obener una relación más úil igualando las dos epresiones para med-, ecuaciones (2.9) y (2.1), y muliplicando por. Al hacerlo, obenemos - = a + b 2 (solo aceleración consane) (2.14) bsere que la ecuación (2.14) no incluye la aceleración a. Esa ecuación es úil cuando a es consane pero se desconoce su alor. Las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14) son las ecuaciones del moimieno con aceleración consane (abla 2.4). Con ellas, podemos resoler cualquier problema que implique moimieno recilíneo de una parícula con aceleración consane. En el caso específico de moimieno con aceleración consane ilusrado en la figura 2.15 y graficado en las figuras 2.16, 2.17 y 2.18, los alores de, y a son posiios. Vuela a dibujar las figuras para los casos en que una, dos o las res canidades sean negaias. Tabla 2.4 Ecuaciones de moimieno con aceleración consane Ecuación = + a = a 2 - = a + b 2 (2.8) (2.12) Canidades que incluye 2 = 2 + 2a 1-2 (2.13) (2.14) a a a

16 5 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo Esraegia para resoler problemas 2.1 Moimieno con aceleración consane IDENTIFICAR los concepos releanes: En casi odos los problemas de moimieno recilíneo, used podrá usar las ecuaciones de aceleración consane (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14). Si used encuenra una siuación en que la aceleración no es consane, necesiará ora esraegia (éase la sección 2.6). PLANTEAR el problema siguiendo esos pasos: 1. Lea el problema cuidadosamene. Elabore un diagrama de moimieno que muesre la localización de la parícula en los iempos que nos ineresan. Deermine dónde colocar el origen de las coordenadas y cuál dirección del eje es posiia. A menudo lo más sencillo es colocar la parícula en el origen en = ; así, =. Recuerde que elegir la dirección posiia del eje deermina auomáicamene las direcciones posiias de la elocidad y la aceleración. Si es posiia a la derecha del origen, y a ambién serán posiias hacia la derecha. 2. Idenifique las canidades físicas (iempos, posiciones, elocidades y aceleraciones) que aparecen en las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14) y asígneles los símbolos adecuados:,,, y a, o símbolos relacionados con ellos. Traduzca las palabras al lenguaje de la física: Cuándo llega la parícula al puno más alo? significa Cuál es el alor de cuando iene su máimo alor?. En el ejemplo 2.4 que sigue, la preguna Dónde esá el moociclisa cuando su elocidad es de 25 m s? significa Cuáno ale cuando = 25 m s?. Manéngase alera con la información implícia. Por ejemplo, un auomóil esá deenido ane un semáforo implica =. 3. Haga una lisa de las canidades como,,,, a y. Algunas serán conocidas y oras no. Escriba los alores de las conocidas e idenifique cuáles de las ariables son las incógnias. Tome noa de la ausencia de cualquiera de las canidades que aparecen en las cuaro ecuaciones de aceleración consane. 4. Use la abla 2.4 para idenificar las ecuaciones aplicables. (Esas son con frecuencia las ecuaciones que no incluyen las canidades falanes que idenificó en el paso 3). Normalmene enconrará una ecuación única que solo coniene una de las incógnias. Algunas eces debe idenificar dos ecuaciones que conengan el mismo par de incógnias. 5. Elabore gráficas que correspondan a las ecuaciones aplicables. La gráfica - de la ecuación (2.8) es una línea reca con pendiene igual a a. La gráfica - de la ecuación (2.12) es una parábola cóncaa hacia arriba si a es posiia y cóncaa hacia abajo si es negaia. 6. Con base en su eperiencia con esos problemas y omando en cuena lo que le dicen las gráficas, haga predicciones cualiaias y cuaniaias acerca de la solución. EJECUTAR la solución: Si se aplica una sola ecuación, despeje la incógnia usando solo símbolos, susiuya los alores conocidos y calcule el alor de la incógnia. Si used iene dos ecuaciones con dos incógnias, resuélalas simuláneamene para enconrarlas. EVALUAR la respuesa: Eamine sus resulados para er si son lógicos. Esán denro del ineralo general de alores esperados? Ejemplo 2.4 Cálculos con aceleración consane Un moociclisa que iaja al ese cruza una pequeña ciudad y iaja con aceleración consane de 4. m s 2 después de pasar los límies de la ciudad (figura 2.2). En el iempo =, esá a 5. m al ese del lerero de límie de la ciudad, y se desplaza al ese a 15 m s. a) Calcule su posición y elocidad en = 2. s. b) Dónde esá el moociclisa cuando su elocidad es de 25 m s? SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: La aceleración es consane, así que podemos usar las ecuaciones para aceleración consane. Tomamos el lerero como origen de coordenadas ( = ) y deerminamos que el eje + apuna al ese (éase la figura 2.2, que ambién es un diagrama de moimieno). Las ariables conocidas son la posición inicial y la elocidad, = 5. m y = 15 m s, y la aceleración a = 4. m s 2. Las ariables desconocidas en el inciso a) son los alores de la posición y la elocidad en el insane = 2. s; la incógnia en el inciso b) es el alor de cuando = 25 m s. EJECUTAR: a) Como conocemos los alores de, y a, la abla 2.4 nos dice que podemos obener ano la posición en = 2. s, usando 2.2 Un moociclisa que iaja con aceleración consane. la ecuación (2.12), como la elocidad, en ese insane, con la ecuación (2.8): = a 2 = 5. m m > s212. s m > s s2 2 = 43 m = + a = 15 m > s m > s s2 = 23 m > s b) Queremos enconrar el alor de cuando = 25 m s, pero no conocemos el momeno en que el moociclisa llea al elocidad. La abla 2.4 nos dice que debemos uilizar la ecuación (2.13), que incluye, y a, pero no incluye a : 2 = 2 + 2a 1-2 Despejando y susiuyendo los alores conocidos, obenemos = a = 5. m m > s m > s m > s 2 = 55 m 2 SAGE AW 5 5. m m / s a 5 4. m / s AW 5? 5 2. s 5? (ese) EVALUAR: Used puede erificar el resulado del inciso b) usando primero la ecuación (2.8), = + a, para deerminar el iempo en el cual = 25 m s, que resula ser = 2.5 s. Luego used puede 1 usar la ecuación (2.12), = + + a 2 2, para obener. Used debe obener = 55 m, la misma respuesa de arriba. Ese es el camino largo para resoler el problema. El méodo usado en el inciso b) es mucho más eficiene.

17 2.4 Moimieno con aceleración consane 51 Ejemplo 2.5 Dos cuerpos con diferene aceleración Una persona conduce su ehículo con rapidez consane de 15 m s (aproimadamene 34 mi h) y pasa por un cruce escolar, donde el límie de elocidad es de 1 m/s (aproimadamene 22 mi h). En ese preciso momeno, un oficial de policía en su moociclea, que esá deenido en el cruce, arranca para perseguir al infracor, con aceleración consane de 3. m s 2 (figura 2.21a). a) Cuáno iempo pasa anes de que el oficial de policía alcance al infracor? b) A qué rapidez a el policía en ese insane? c) Qué disancia oal habrá recorrido cada ehículo hasa ahí? SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: El oficial de policía y el conducor se desplazan con aceleración consane (cero en el caso del conducor), así que podemos usar las fórmulas de aceleración consane. Tomamos como origen el cruce, así que para ambos, y consideramos la derecha como dirección posiia. Sea P la posición del policía y M la del conducor en cualquier insane. Las elocidades iniciales son P y M 15 m s; las respecias aceleraciones son a P 3. m s 2 y a M. Nuesra incógnia en el inciso a) es el iempo ras el cual el policía alcanza al conducor, es decir, cuando los dos ehículos esán en la misma posición. La abla 2.4 nos dice que la ecuación (2.12) es la adecuada para ese inciso. En el inciso b) nos ineresa la rapidez del policía (la magniud de su elocidad) en el iempo obenido en el inciso a). Uilizaremos la ecuación (2.8) para ese inciso. En el inciso c) usaremos nueamene la ecuación (2.12) para obener la posición de cualquiera de los ehículos en ese iempo. La figura 2.21b ilusra la gráfica - de ambos ehículos. La línea reca represena el moimieno del conducor, M M M M. La gráfica del moimieno del oficial es la miad derecha de una parábola cóncaa hacia arriba: P P P 1 2 a P a P 2 Un buen diagrama mosrará que el oficial y el conducor esán en la misma posición ( P M ) en un iempo 1 s, aproimadamene, insane en el que los dos han iajado 15 m a parir del cruce. EJECUTAR: a) Para buscar el alor del iempo cuando el conducor y el policía esán en la misma posición, esablecemos que P M igualando las epresiones aneriores y despejando : Hay dos insanes en que los ehículos ienen la misma coordenada, como lo indica la figura 2.21b. En, el conducor rebasa al oficial; en 1 s, el oficial alcanza al conducor. b) Queremos conocer la magniud de la elocidad del policía P en el insane obenido en a). Susiuyendo los alores de P y a P en la ecuación (2.8) juno con 1 s del inciso a), obenemos: P P a P 3. m s 2 1 s 3 m s La rapidez del policía es el alor absoluo de eso, la cual ambién es igual a 3 m s. c) En 1 s, la disancia recorrida por el conducor es M M 15 m s 1 s 15 m y la disancia que el policía recorre es P 1 2 a P m s 2 1 s 2 15 m Eso comprueba que cuando el policía alcanza al conducor, ambos han recorrido la misma disancia. EVALUAR: Los resulados de los incisos a) y c) concuerdan con las esimaciones del diagrama. bsere que en el insane en que el oficial alcanza al conducor, los dos ehículos no ienen la misma elocidad. En ese momeno el conducor se desplaza a 15 m s y el oficial se desplaza a 3 m s. Se puede er eso en la figura 2.21b. Donde las dos curas - se cruzan, sus pendienes (iguales a los alores de para los dos ehículos) son diferenes. Es solo una coincidencia que cuando los dos ehículos esán en la misma posición, el oficial a al doble de la rapidez del conducor? La ecuación (2.14), [( ) 2], da la respuesa. El conducor iene elocidad consane, por lo que M M, y la disancia que iaja el conducor en el iempo es M. El oficial iene elocidad inicial cero, de modo que en el mismo insane el oficial 1 una disancia 2 P. los dos e ículos la misma disancia en el mismo iempo, los dos alores de ser iguales. esa forma, cuando el o cial alcanza al conducor M 1 2 P y P 2 M, es decir, el o cial llea e elocidad del conducor. e eso es así independienemene del alor de la aceleración del o cial. M 1 2 a P 2 o 2 M a P 2 15 m s 3. m s 2 1 s 2.21 a) Cuerpo en moimieno con aceleració imieno con elocidad consane. b) ca de conra para cada e ículo. a) b) 16 (m) El policía y el conducor se encuenran en el insane donde se cruzan sus gráficas -. CRUCE ESCLAR ficial de policía: inicialmene en reposo, aceleración consane. P a P 3. m/s 2 Conducor: elocidad consane. M M 15 m/s 12 Conducor 8 4 Policía (s)

18 52 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo Ealúe su comprensión de la sección 2.4 Se muesran cuaro posibles gráficas - para los dos ehículos del ejemplo 2.5. Cuál es la gráfica correca? a) b) c) d) Conducor Policía (s) 1 Conducor Policía (s) 1 Conducor Policía (s) 1 Conducor Policía (s) Cuerpos en caída libre 2.22 Foografía con múliples desellos de una peloa en caída libre. PhET: Lunar Lander AciPhysics 1.7: Balloonis Drops Lemonade AciPhysics 1.1: Pole-Vauler Lands El ejemplo más conocido de moimieno con aceleración (casi) consane es la caída de un cuerpo bajo la influencia de la aracción graiacional de la Tierra. Dicho moimieno ha ineresado a filósofos y cieníficos desde la Anigüedad. En el siglo IV a.c., Arisóeles pensaba (erróneamene) que los objeos pesados caían con mayor rapidez que los ligeros, en proporción a su peso. Diecinuee siglos después, Galileo (éase la sección 1.1) afirmó que los cuerpos caían con una aceleración consane e independiene de su peso. Los eperimenos indican que, si es posible omiir el efeco del aire, Galileo esá en lo ciero: odos los cuerpos en un lugar específico caen con la misma aceleración hacia abajo, independienemene de su amaño o peso. Si, además, la disancia de caída es pequeña en comparación con el radio erresre, y si ignoramos los pequeños efecos debidos a la roación de la Tierra, la aceleración es consane. El modelo idealizado que surge de ales supuesos se denomina caída libre, aunque ambién incluye el moimieno ascendene. (En el capíulo 3 ampliaremos el esudio de la caída libre para incluir el moimieno de proyeciles, los cuales se desplazan en forma ano horizonal como erical). La figura 2.22 es una foografía de una peloa que cae, omada con una lámpara esroboscópica que produce una serie de desellos inensos coros. En cada desello, se regisra una imagen foográfica de la peloa en ese insane. Como los ineralos enre desellos son iguales, la elocidad media de la peloa enre dos desellos es proporcional a la disancia enre las imágenes correspondienes en la foografía. El aumeno en las disancias enre las imágenes indica que la elocidad cambia coninuamene; la peloa acelera hacia abajo. Una medición cuidadosa reela que el cambio de elocidad es el mismo en cada ineralo, así que la aceleración de la peloa en caída libre es consane. La aceleración consane de un cuerpo en caída libre se llama aceleración debida a la graedad, y denoamos su magniud con la lera g. Por lo regular, usaremos el alor aproimado de g en la superficie erresre o cerca de ella: g = 9.8 m>s 2 = 98 cm>s 2 = 32 f>s 2 (alor aproimado cerca de la superficie erresre) El alor eaco aría según el lugar, así que normalmene daremos el alor de g en la superficie de la Tierra con solo dos cifras significaias. En la superficie de la Luna, la aceleración debida a la graedad es causada por la fuerza de aracción de la Luna, no de la Tierra, y g = 1.6 m s 2. Cerca de la superficie del Sol, g = 27 m s 2. CUIDAD g siempre es un número posiio Como g es la magniud de un ecor, siempre es un número posiio. Si used considera la dirección posiia hacia arriba, como lo hacemos en el ejemplo 2.6 y en la mayoría de las siuaciones que implican caída libre, la aceleración es negaia (hacia abajo) e igual a -g. Tenga cuidado con el signo de g, o endrá muchas dificulades con los problemas de caída libre. En los ejemplos que siguen usaremos las ecuaciones para aceleración consane que dedujimos en la sección 2.4. Sugerimos al lecor que repase las esraegias de resolución de problemas 2.1 de dicha sección anes de esudiar esos ejemplos.

19 2.5 Cuerpos en caída libre 53 Ejemplo 2.6 Moneda en caída libre Se deja caer una moneda de un euro desde la Torre Inclinada de Pisa; la moneda cae libremene a parir del reposo. Calcule su posición y elocidad después de 1. s, 2. s y 3. s? SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Cae libremene significa cae con aceleración consane debida a la graedad, así que podemos usar las ecuaciones para aceleración consane. El lado derecho de la figura 2.23 muesra nuesro diagrama de moimieno para la moneda. El 2.23 Una moneda en caída libre a parir del reposo. La Torre Inclinada Diagrama del problema moimieo es erical, de manera que usamos un eje de coordenadas erical y llamaremos y a la coordenada en lugar de. Tomaremos el origen como el puno de parida y la dirección hacia arriba como posiia. La coordenada inicial y y la elocidad inicial y son ambas cero. La aceleración es hacia abajo, en la dirección negaia de y, así que a y =-g =-9.8 m s 2. (Recuerde que, por definición, g es posiia). Nuesras incógnias son los alores de y y y en los res insanes especificados. Para obenerlos, usamos las ecuaciones (2.12) y (2.8), susiuyendo por y. La elección de la dirección hacia arriba como posiia significa que odas las posiciones y elocidades que calculemos serán negaias. EJECUTAR: En un insane después de que se suela la moneda, su posición y su elocidad son y = y + y a y 2 = g2 2 = m > s y = y + a y = + 1-g2 = m > s 2 2 Cuando = 1. s, y = (-4.9 m s 2 )(1. s) 2 =-4.9 m y y = (-9.8 m s 2 )(1. s) = -9.8 m s; después de 1 s, la moneda esá 4.9 m debajo del origen (y es negaia) y iene una elocidad hacia abajo ( y es negaia) con magniud de 9.8 m s. Las posiciones y las elocidades a los 2. s y 3. s se obienen de la misma forma. Los resulados son y =-2 m y y =-2 m s en = 2. s, y y =-44 m y y =-29 m s en = 3. s. EVALUAR: Todas nuesras respuesas son negaias, como se esperaba. Si hubiéramos elegido el eje y posiio apunando hacia abajo, la aceleración habría sido a y =+g y odas nuesras respuesas habrían sido posiias. Ejemplo 2.7 Moimieno ascendene y descendene en caída libre Used lanza una peloa ericalmene hacia arriba desde el echo de un edificio alo. La peloa abandona la mano, en un puno a la alura del barandal de la azoea, con rapidez ascendene de 15. m s; después, la peloa esá en caída libre. Al bajar, la peloa apenas elude el barandal. benga a) la posición y elocidad de la peloa 1. s y 4. s después de solarla; b) la elocidad cuando la peloa esá 5. m sobre el barandal; c) la alura máima alcanzada; y d) la aceleración de la peloa en su alura máima. SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Las palabras en caída libre significan que la aceleración es consane y debida a la graedad. Las incógnias son la posición [en los incisos a) y c)], la elocidad [en los incisos a) y b)] y la aceleración [en el inciso d)]. Tomamos el origen en el puno donde la peloa abandona su mano, y la dirección posiia hacia arriba (figura 2.24). La posición inicial y es cero, la elocidad inicial y es +15. m s y la aceleración es a y =-g =-9.8 m s 2. En el inciso a), al igual que en el ejemplo 2.6, usaremos las ecuaciones (2.12) y (2.8) para calcular la posición y la elocidad en función del iempo. En el inciso b), debemos obener la elocidad en ciera posición (no en ciero iempo), de modo que usaremos la ecuación (2.13). La figura 2.25 muesra las gráficas y- y y - de la peloa. La gráfica y- es una parábola cóncaa hacia abajo que sube y luego baja, y la gráfica y - es una línea reca con pendiene hacia abajo. bsere que la elocidad de la peloa es cero cuando se encuenra en su puno más alo. EJECUTAR: a) La posición y y la elocidad y en el insane esán dadas por las ecuaciones (2.12) y (2.8), susiuyendo las por y: y = y + y a y 2 = y + y g2 2 = m > s m > s y = y + a y = y + 1-g2 = 15. m > s m > s 2 2 Coninúa

20 54 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo Cuando = 1. s, esas ecuaciones dan y =+1.1 m y y =+5.2 m s. Es decir, la peloa esá 1.1 m sobre el origen (y es posiia) y se muee hacia arriba ( y es posiia) con rapidez de 5.2 m s, la cual es menor que la rapidez inicial porque la peloa frena mienras asciende. Cuando = 4. s, las ecuaciones dan y =-18.4 m y y =-24.2 m s. La peloa pasó su puno más alo y esá 18.4 m debajo del origen (pues y es negaia); iene moimieno hacia abajo ( y es negaia) de magniud 24.2 m s. Conforme baja, la peloa gana rapidez, la ecuación (2.13) nos dice que se muee a la rapidez inicial de 15. m s cuando pasa hacia abajo por su puno de lanzamieno y coninúa ganando rapidez conforme desciende por debajo de ese puno. b) La elocidad y en cualquier posición y esá dada por la ecuación (2.13) susiuyendo las por y: y 2 = y 2 + 2a y 1y - y 2 = y g21y - 2 = 115. m > s m > s 2 2y Con la peloa a 5. m sobre el origen, y =+5. m, así que y 2 = 115. m > s m > s m2 = 127 m 2 > s 2 y = 11.3 m > s benemos dos alores de y, porque la peloa pasa dos eces por el puno y =+5. m, una subiendo ( y posiia) y ora bajando ( y negaia) (éase las figuras 2.24 y 2.25a) Posición y elocidad de una peloa que se lanza ericalmene hacia arriba. La peloa en realidad se muee hacia arriba y después hacia abajo; por claridad, presenamos una rayecoria con forma de U s, y 5? 5?, y 5? 5, y m/s y 5 5? 5? y 5? 5 4. s y 5? y y 5? y 5? y 5 5. m y 5 y 5? a y 5 2g m/s 2 c) En el insane en que la peloa llega al puno más alo y 1,su elocidad momenáneamene es cero: y =. Usamos la ecuación (2.13) para obener y 1. Con y =, y = y a y =-g, obenemos: = 2 y g21y 1-2 y 1 = y 2 2g = 115. m 2 > s m > s 2 2 = m d) CUIDAD Una idea errónea acerca de la caída libre Es un error común pensar que en el puno más alo del moimieno en caída libre, donde la elocidad es cero, la aceleración ambién es cero. Si fuera así, una ez que la peloa alcanza el puno más alo, quedaría suspendida en el aire! Recuerde que la aceleración es la asa de cambio de la elocidad, y la elocidad esá cambiando coninuamene. En odos los punos, incluyendo el puno más alo, y para cualquier elocidad, incluyendo cero, la aceleración en caída libre siempre es a y =-g = -9.8 m s 2. EVALUAR: Una forma úil de erificar cualquier problema de caída libre consise en dibujar las gráficas y- y y - como lo hicimos en la figura bsere que esas son gráficas de las ecuaciones (2.12) y (2.8), respeciamene. Dados los alores numéricos de la posición inicial, elocidad inicial y aceleración, se pueden elaborar fácilmene esas gráficas usando una calculadora graficadora o un programa de maemáicas en línea a) Posición y b) elocidad en función del iempo para una peloa lanzada hacia arriba con una rapidez inicial de 15 m s. a) Gráfica y- (la curaura es hacia abajo porque a y 5 2g es negaia) Anes de s, la y (m) peloa se muee hacia arriba. y (m / s) Después de s, la 1 peloa se muee 5 5 hacia abajo. (s) b) Gráfica y - (reca con pendiene negaia porque a y 5 2g es consane y negaia) Anes de s, la elocidad es posiia. 2 (s) 3 4 Después de s, la elocidad es negaia. Ejemplo 2.8 Dos soluciones o una? Deermine el insane en que la peloa del ejemplo 2.7, después de ser liberada, esá 5. m por debajo del barandal? SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Ese problema se raa como el ejemplo 2.7, así que y, y y a y =-gienen los mismos alores que en ese problema. Sin embargo, en ese ejemplo la incógnia es el insane en que la peloa se encuenra en y =-5. m. Lo mejor es usar la ecuación (2.12), la cual nos da la posición y como función del iempo : y = y + y a y 2 = y + y g2 2 Esa es una ecuación cuadráica en, que queremos despejar cuando y =-5. m.

21 2.6 Velocidad y posición por inegración 55 EJECUTAR: Replaneamos la ecuación de modo que enga la forma cuadráica esándar para una desconocida, A 2 + B + C = : g y 2 + 1y - y 2 = A 2 + B + C = Por comparación, idenificamos A = 2 g, B =- y y C = y - y. La fórmula cuadráica (éase el apéndice B) nos dice que esa ecuación iene dos soluciones. = -B 2B2-4AC 2A = -1- y2 21- y g21y - y g2 = y 2 2 y - 2g 1y - y 2 g Susiuyendo los alores y =, y =+15. m s, g = 9.8 m s 2 y y =-5. m, obenemos. = 115. m > s m > s m > s m m > s 2 Used puede confirmar que las respuesas numéricas son =+3.36 s y =-.3 s. La respuesa =-.3 s no iene senido, pueso que se 1 refiere al iempo anes de solar la peloa en =. Así que la respuesa correca es =+3.36 s. EVALUAR: Por qué obuimos una segunda solución ficicia? La eplicación es que las ecuaciones de aceleración consane, como la ecuación (2.12), se basan en el supueso de que la aceleración es consane para odos los alores de iempo, posiios, negaios o cero. De modo que la solución =-.3 s se refiere a un momeno imaginario cuando una peloa en caída libre esaba 5. m debajo del barandal y eleándose para alcanzar su mano. Como la peloa no salió de su mano y enró en caída libre hasa =, ese resulado es pura ficción. Repia esos cálculos para obener los iempos en que la peloa esá 5. m sobre el origen (y =+5. m). Las dos respuesas son =+.38 s y =+2.68 s; ambos son alores posiios de y se refieren al moimieno real de la peloa una ez solada. El primer insane es cuando la peloa pasa por y =+5. m de subida, y el segundo, cuando pasa por ahí de bajada. [Compare eso con el inciso b) del ejemplo 2.7 y nueamene remíase a la figura 2.25a)]. Deermine ambién los insanes en que y =+15. m. En ese caso, ambas soluciones requieren obener la raíz cuadrada de un número negaio, así que no hay soluciones reales. Nueamene la figura 2.25a indica por qué; en el inciso c) del ejemplo 2.7 imos que la alura máima de la peloa es y =+11.5 m, así que nunca llega a y =+15. m. Aunque una ecuación cuadráica como la (2.12) siempre iene dos soluciones, en ocasiones una o ambas soluciones no ienen senido físico. Ealúe su comprensión de la sección 2.5 Si used lanza una peloa hacia arriba con ciera rapidez inicial, esa cae libremene y alcanza una alura máima h en un insane después de que abandona su mano. a) Si used arroja la peloa hacia arriba con el doble de la rapidez inicial, qué nuea alura máima alcanzará la peloa? i. h 12 ; ii. 2h; iii. 4h; i. 8h;. 16h. b) Si used lanza la peloa hacia arriba con el doble de la rapidez inicial, cuáno iempo le omará alcanzar su nuea alura máima? i. 2; ii. > 12 ; iii. ; i. 12 ; Velocidad y posición por inegración Esa sección es para esudianes que ya aprendieron algo de cálculo inegral. En la sección 2.4 analizamos el caso especial de moimieno recilíneo con aceleración consane. Si a no es consane, como sucede comúnmene, no podremos aplicar las ecuaciones que dedujimos en esa sección (figura 2.26). Pero aun si a aría con el iempo, podemos usar la relación = d d para obener la elocidad en función del iempo si la posición es una función conocida de, y podemos usar a = d d para obener la aceleración a en función del iempo si es una función conocida de. Sin embargo, en muchas siuaciones no se conocen la posición ni la elocidad en función del iempo, pero sí la aceleración (figura 2.27). Cómo obenemos la posición y la elocidad en el moimieno recilíneo a parir de la función de aceleración a ()? Primero consideraremos un enfoque gráfico. La figura 2.28 es una gráfica de aceleración conra iempo para un cuerpo cuya aceleración no es consane. Podemos diidir el ineralo enre los iempos 1 y 2 en muchos ineralos más pequeños, llamando a uno represenaio. Sea a med- la aceleración media durane. Por la ecuación (2.4), el cambio de elocidad durane es 2.26 Cuando pisamos el pedal del acelerador de un auomóil, la aceleración resulane no es consane: cuano mayor sea la rapidez del auo, más lenamene adquirirá rapidez adicional. Un auomóil ordinario arda el doble en acelerar de 5 a 1 km h que en acelerar de a 5 km h. = a med- Gráficamene, es igual al área de la ira sombreada con alura a med- y anchura, es decir, el área bajo la cura enre los lados derecho e izquierdo de. El cambio oal de elocidad en cualquier ineralo (digamos, de 1 a 2 ) es la suma de los cambios de elocidad en los subineralos pequeños. De esa manera, el cambio oal de elocidad se represena gráficamene con el área oal bajo la cura a - enre las

22 56 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo 2.27 El sisema de naegación inercial (INS, por las siglas de inerial naigaion sysem) a bordo de un aión comercial de largo alcance maniene bajo superisión la aceleración del aión. Los piloos inroducen la posición inicial y la elocidad anes del despegue, y el INS usa los daos de aceleración para calcular la posición y elocidad del aión durane el uelo. líneas ericales 1 y 2. (En la sección 2.4 demosramos que eso se cumplía para el caso especial en que la aceleración es consane). En el límie donde odos los se hacen muy pequeños y muy numerosos, el alor de a med- para el ineralo de cualquier a + se acerca a la aceleración insanánea a en el insane. En ese límie, el área bajo la cura a - es la inegral de a (que, en general, es una función de ) de 1 a 2. Si 1 es la elocidad del cuerpo en 1,y 2 es la elocidad en 2, enonces, = d = a d L L (2.15) El cambio en la elocidad es la inegral de la aceleración a con respeco al iempo. Podemos seguir eacamene el mismo procedimieno con la cura de la elocidad conra el iempo. Si 1 es la posición de un cuerpo en 1,y 2 es su posición en 2, por la ecuación (2.2) el desplazamieno en un ineralo pequeño es med-, donde med- es la elocidad media durane. El desplazamieno oal 2-1 durane 2-1 esá dado por = d = d L L (2.16) 2.28 Gráfica a - para un cuerpo cuya aceleración no es consane. a Área de esa franja 5 D 5 cambio en la elocidad durane el ineralo D. El cambio en la posición (es decir, el desplazamieno) es la inegral con respeco al iempo de la elocidad. Gráficamene, el desplazamieno enre 1 y 2 es el área bajo la cura - enre esos dos insanes. [Ese es el mismo resulado que obuimos en la sección 2.4 para el caso especial en que esá dada por la ecuación (2.8)]. Si 1 = y 2 es cualquier insane poserior, y si y son la posición y la elocidad en =, respeciamene, enonces rescribimos las ecuaciones (2.15) y (2.16) como: a med- = + a d L (2.17) 1 2 D El área oal bajo la gráfica - de 1 a 2 5 cambio neo en la elocidad de 1 a 2. = + d L (2.18) Aquí, y son la posición y la elocidad en el insane. Si conocemos la aceleración a en función del iempo y conocemos la elocidad inicial, podemos usar la ecuación (2.17) para obener la elocidad en cualquier insane; en oras palabras, es posible obener en función del iempo. Una ez conocida esa función, y dada la posición inicial, podemos usar la ecuación (2.18) para calcular la posición en cualquier insane. Ejemplo 2.9 Moimieno con aceleración ariable Sally conduce su Musang 1965 por una auopisa reca. En el insane =, cuando aanza a 1 m s en la dirección +, pasa un lerero que esá en = 5 m. Su aceleración en función del iempo es: a = 2. m > s m > s 3 2 a) benga su elocidad y su posición en función del iempo. b) En qué momeno es máima su elocidad? c) Cuál es esa elocidad máima? d) Dónde esá el auomóil cuando alcanza la elocidad máima? SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: La aceleración es función del iempo, así que no podemos usar las fórmulas para aceleración consane de la sección 2.4. En ez de ello, uilizamos la ecuación (2.17) con la finalidad de obener una epresión para como función del iempo, y luego usamos ese resulado en la ecuación (2.18) para obener una epresión de como función de. Después, podremos conesar diersas pregunas acerca del moimieno.

23 2.6 Velocidad y posición por inegración 57 EJECUTAR: a) En =, la posición de Sally es = 5 m y su elocidad es = 1 m s. Para usar la ecuación (2.17), omamos noa de que la inegral de n (ecepo para n =-1) es 1 n 1 d = n + 1 n+1. Así que = 1 m > s m > s m > s 3 24 d L = 1 m > s m > s m > s Luego, usamos la ecuación (2.18) para obener en función de : = 5 m + 31 m > s m > s m > s d L = 5 m + 11 m > s m > s m > s La figura 2.29 muesra las gráficas de a, y en función del iempo proporcionadas por las ecuaciones aneriores. bsere que, para cualquier, la pendiene de la gráfica - es igual al alor de a y la pendiene de la gráfica - es igual al alor de. b) El alor máimo de se da cuando la elocidad deja de aumenar y comienza a disminuir. En ese insane, d d = a =. De modo que igualamos con cero la epresión de a y despejamos : = 2. m > s m > s 3 2 = 2. m > s 2.1 m > s 3 = 2 s c) benemos la elocidad máima susiuyendo = 2 s, el iempo del inciso b) cuando la elocidad es máima, en la ecuación para del inciso a): má- = 1 m > s m > s s m > s s2 2 = 3 m > s d) Para obener la posición del auomóil en el iempo obenido en el inciso b), susiuimos = 2 s en la epresión para del inciso a): = 5 m + 11 m > s212 s m > s s m > s s2 3 = 517 m EVALUAR: La figura 2.29 nos ayuda a inerprear los resulados. La gráfica de la izquierda de esa figura indica que a es posiia enre = y = 2 s, y negaia después. Es cero en = 2 s, cuando es máima (puno alo en la gráfica de en medio). El auo acelera hasa = 2 s (porque y a ienen el mismo signo) y frena después de = 2 s (porque y a ienen signos opuesos). Como es máima en = 2 s, la gráfica - (la gráfica de la derecha en la figura 2.29) iene su pendiene posiia máima en ese insane. bsere que la gráfica - es cóncaa hacia arriba (se cura hacia arriba) enre = y = 2 s, cuando a es posiia, y es cóncaa hacia abajo (se cura hacia abajo) después de = 2 s, cuando a es negaia Posición, elocidad y aceleración del auomóil del ejemplo 2.9 como funciones del iempo. Puede used demosrar que si coninúa ese moimieno, el auomóil se deendrá en = 44.5 s? a (m/s 2 ) La aceleración es posiia anes de 5 2 s La aceleración es negaia después de 5 2 s. (s) (m/s) La elocidad aumena anes de 5 2 s. La elocidad disminuye después de 5 2 s (s) (m) La gráfica - se cura hacia arriba anes de 5 2 s. La gráfica - se cura hacia abajo después de 5 2 s (s) Ealúe su comprensión de la sección 2.6 Si la aceleración a se incremena con el iempo, la gráfica - será i. una línea reca, ii. cóncaa hacia arriba (con curaura hacia arriba) o iii. cóncaa hacia abajo (con curaura hacia abajo).

24 CAPÍTUL 2 RESUMEN Video Tuor Soluions Moimieno recilíneo, elocidad media e insanánea: Cuando una parícula se muee en línea reca, describimos su posición con respeco al origen mediane una coordenada como. La elocidad media de la parícula, med-, durane un ineralo = 2-1 es igual a su desplazamieno = 2-1 diidido enre. La elocidad insanánea en cualquier insane es igual a la elocidad media en el ineralo de iempo + en el límie en que iende a cero. De forma equialene, es la deriada de la posición con respeco al iempo. (Véase el ejemplo 2.1). med- = 2-1 = 2-1 = lím S = d d (2.2) (2.3) 2 1 p 1 Pendiene 5 med- p 2 Pendiene Aceleración media e insanánea: La aceleración media a med- durane un ineralo es igual al cambio de elocidad = 2-1 durane ese lapso diidido enre. La aceleración insanánea a es el límie de a med- cuando iende a cero, o la deriada de con respeco a. (Véase los ejemplos 2.2 y 2.3). a med- = a = lím S = d d = (2.4) (2.5) 2 1 p 1 1 Pendiene 5 a med- D p 2 Pendiene 5 a 2 D Moimieno recilíneo con aceleración consane: Cuando la aceleración es consane, cuaro ecuaciones relacionan la posición y la elocidad en cualquier insane con la posición inicial, la elocidad inicial (ambas medidas en = ) y la aceleración a. (Véase los ejemplos 2.4 y 2.5). Solo aceleración consane: = + a = a 2 2 = 2 + 2a = a + b 2 (2.8) (2.12) (2.13) (2.14) a 5 a 5 D 5 2D 5 3D 5 4D a a a Cuerpos en caída libre: La caída libre es un caso especial del moimieno con aceleración consane. La magniud de la aceleración debida a la graedad es una canidad posiia g. La aceleración de un cuerpo en caída libre siempre es hacia abajo. (Véase los ejemplos 2.6 a 2.8). a y 5 2g m/s 2 Moimieno recilíneo con aceleración ariable: Cuando la aceleración no es consane, pero es una función conocida del iempo, podemos obener la elocidad y la posición en función del iempo inegrando la función de la aceleración. (Véase el ejemplo 2.9). = + a d L = + d L (2.17) (2.18) a a med- 1 2 D 58

25 Pregunas para análisis 59 PRBLEMA PRÁCTIC Caída de un superhéroe El superhéroe Linerna Verde se arroja de la azoea de un edificio. Cae libremene a parir del reposo, recorriendo la miad de la disancia oal hacia el suelo durane el úlimo 1. s de su caída. Cuál es la alura h del edificio? GUÍA DE SLUCIÓN Véase el área de esudio MaseringPhysics para consular una solución con Video Tuor. IDENTIFICAR y PLANTEAR 1. Se dice que Linerna Verde cae libremene a parir del reposo. Qué implica eso en relación con su aceleración? Y en relación con su elocidad inicial? 2. Elija la dirección del eje y posiio. Es más fácil hacer la misma elección que usamos en la sección 2.5, para objeos en caída libre. 3. Se puede diidir la caída de Linerna Verde en dos pares: de la azoea del edificio al puno medio del recorrido y del puno medio al suelo. Se sabe que la segunda pare de la caída dura 1. s. Idenifique lo que necesia saber acerca del moimieno de Linerna Verde en el puno medio del recorrido para obener la incógnia h. Luego elija dos ecuaciones, una para la primera pare de la caída y ora para la segunda, mismas que usará conjunamene con la finalidad de obener una epresión para h. (Hay arios pares de ecuaciones que se pueden elegir). EJECUTAR 4. Use las dos ecuaciones para obener la alura h. bsere que las aluras siempre son números posiios, de modo que su respuesa debe ser posiia. EVALUAR 5. Para erificar el resulado de h, use una de las res ecuaciones de caída libre con la finalidad de conocer el iempo que arda Linerna Verde en caer i. de la azoea del edificio a la miad del recorrido y ii. de la azoea del edificio al suelo. Si su respuesa para h es correca, el iempo del inciso ii. debe ser 1. s mayor que el iempo del inciso i. Si no es así, necesia reisar y buscar los errores en el procedimieno de cálculo de h. Problemas Para areas asignadas por el profesor, isie : Problemas de dificulad creciene. PA: Problemas acumulaios que incorporan maerial de capíulos aneriores. CALC: Problemas que requieren cálculo. BI: Problemas de ciencias biológicas. PREGUNTAS PARA ANÁLISIS P2.1 El elocímero de un auomóil mide rapidez o elocidad? Eplique su respuesa. P2.2 La pare superior del diagrama en la figura P2.2 muesra una serie de foografías de ala rapidez de un inseco que uela en línea reca de izquierda a derecha (en la dirección +). Cuál de las gráficas de la figura P2.2 es más probable que describa el moimieno del inseco? Figura P2.2 a) a b) c) P2.3 Un objeo con aceleración consane puede inerir la dirección en la que se muee? Puede inerirla dos eces? En cada caso, eplique su razonamieno. P2.4 En qué condiciones la elocidad media es igual a la elocidad insanánea? P2.5 Para un objeo, es posible a) frenar mienras su aceleración incremena en magniud; b) aumenar su rapidez mienras disminuye su aceleración? En cada caso, eplique su razonamieno. P2.6 En qué condiciones la magniud de la elocidad media es igual a la rapidez media? P2.7 Cuando un Dodge Viper esá en el negocio de laado de auomóiles Elwood, un BMW Z3 esá en las calles Elm y Main. Luego, d) e) cuando el Dodge llega a Elm y Main, el BMW llega a Elwood. Cómo esán relacionadas las elocidades de los auomóiles enre esos dos insanes? P2.8 En el esado de Massachuses un conducor fue ciado en el ribunal por eceso de rapidez. La prueba conra el conducor era que una mujer policía obseró al auomóil del conducor juno a un segundo auo en ciero momeno, y la oficial de policía ya había deerminado que el segundo auo ecedía el límie de rapidez. El conducor argumenó: El oro auo me esaba rebasando, y yo no iba acelerando. El juez dicaminó conra él porque, según dijo, si los auos esaban junos, ambos iban a eceso de rapidez. Si used fuera el abogado del conducor, cómo defendería su caso? P2.9 Puede used ener desplazamieno y elocidad media disina de? Y elocidad disina de? Ilusre sus respuesas en una gráfica -. P2.1 Puede used ener aceleración y elocidad disina de? Eplique usando una gráfica -. P2.11 Puede used ener elocidad cero y aceleración media disina de cero? Y elocidad cero y aceleración disina de cero? Eplique usando una gráfica - y dé un ejemplo de dicho moimieno. P2.12 Un auomóil iaja al oese. Puede ener una elocidad hacia el oese y simuláneamene una aceleración hacia el ese? En qué circunsancias? P2.13 La camionea del oficial en la figura 2.2 esá en 1 = 277 m en 1 = 16. s, y en 2 = 19 m en 2 = 25. s. a) Dibuje dos posibles gráficas - disinas para el moimieno de la camionea. b) La elocidad media med- en el ineralo de 1 a 2 iene el mismo alor en ambas gráficas? Por qué? P2.14 Con aceleración consane, la elocidad media de una parícula es la miad de la suma de sus elocidades inicial y final. Se cumple eso si la aceleración no es consane? Eplique su respuesa.

26 6 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo P2.15 Used lanza una peloa ericalmene hasa una alura máima mucho mayor que su propia esaura. La magniud de la aceleración es mayor mienras se lanza o después de que se suela? Eplique su respuesa. P2.16 Demuesre esos enunciados. a) Si se lanza algo ericalmene hacia arriba, despreciando los efecos del aire, endrá la misma rapidez cuando regrese al puno de lanzamieno que cuando se soló. b) El iempo de uelo será el doble del iempo que arde en llegar a la alura máima. P2.17 Un grifo de agua que goea deja caer consanemene goas cada 1. s. Conforme dichas goas caen, la disancia enre ellas aumena, disminuye o permanece igual? Demuesre su respuesa. P2.18 Si se conocen la posición y la elocidad iniciales de un ehículo y se regisra la aceleración en cada insane, con esos daos, puede calcularse su posición después de ciero iempo? Si eso es posible, eplique cómo. P2.19 Desde la azoea de un rascacielos, used lanza una peloa ericalmene hacia arriba con rapidez y una peloa direcamene hacia abajo con rapidez. a) Qué peloa iene mayor rapidez cuando llega al suelo? b) Cuál llega al suelo primero? c) Cuál iene un mayor desplazamieno cuando llega al suelo? d) Cuál recorre la mayor disancia cuando llega al suelo? P2.2 Se deja caer una peloa desde el reposo de la azoea de un edificio de alura h. En el mismo insane, una segunda peloa se proyeca ericalmene hacia arriba desde el niel del suelo, de modo que enga rapidez cero cuando llegue al niel de la azoea. Cuando las dos peloas se cruzan, cuál iene mayor rapidez, o ambas ienen la misma rapidez? Eplique su respuesa. Dónde esarán las dos peloas cuando se crucen: a una alura h 2 sobre el suelo, más abajo de esa alura o más arriba de esa alura? Eplique su respuesa. P2.21 Un objeo es lanzado ericalmene hacia arriba y no encuenra resisencia del aire. Cómo es posible que el objeo enga una aceleración cuando deiene su moimieno en el puno más alo? P2.22 Cuando se deja caer un objeo de ciera alura, arda el iempo T para llegar al suelo sin resisencia del aire. Si se deja caer de una alura res eces mayor que la original, cuáno iempo (en érminos de T) ardaría en llegar al suelo? EJERCICIS Sección 2.1 Desplazamieno, iempo y elocidad media 2.1. Un auomóil iaja en la dirección + sobre un camino reco y nielado. En los primeros 4. s de su moimieno, la elocidad media del auomóil es med- = 6.25 m s. Qué disancia iaja el auomóil en 4. s? En un eperimeno, se reiró a una pardela (un ae marina) de su nido, se le lleó a 515 km de disancia y luego fue liberada. El ae regresó a su nido 13.5 días después de haberse solado. Si el origen es el nido y eendemos el eje + al puno de liberación, cuál fue la elocidad media del ae en m s a) en el uelo de regreso y b) desde que se reiró del nido hasa que regresó? Viaje a casa. Suponga que used normalmene conduce por la auopisa que a de San Diego a Los Ángeles con una rapidez media de 15 km h (65 m h) y que el iaje le oma 2 h y 2 min. Sin embargo, un iernes por la arde el ráfico le obliga a conducir la misma disancia con una rapidez media de solo 7 km h (43 mi h). Cuáno iempo más ardará el iaje? De pilar a pose. Pariendo de un pilar, used corre 2 m al ese (en la dirección +) con rapidez media de 5. m s, luego 28 m al oese con rapidez media de 4. m s hasa un pose. Calcule a) su rapidez media del pilar al pose y b) su elocidad media del pilar al pose Comenzando en la puera de la casa de su rancho, used camina 6. m hacia el ese rumbo a su molino de ieno, y luego da uela y camina lenamene 4. m hacia el oese hasa una banca donde se siena y mira la salida del sol. Cuando camina de su casa hacia el molino de ieno ranscurren 28. s y luego 36. s cuando camina del molino de ieno hacia la banca. Considerando el recorrido oal desde la puera de su casa hasa la banca, cuáles son a) su elocidad media y b) su rapidez media? Un Honda Ciic iaja en línea reca en carreera. Su disancia a parir de un lerero de alo esá dada en función del iempo por la ecuación () = a 2 - b 3, donde a = 1.5 m s 2 y b =.5 m s 3. Calcule la elocidad media del auomóil para los ineralos a) = a = 2. s; b) = a = 4. s; c) = 2. s a = 4. s. Sección 2.2 Velocidad insanánea 2.7. CALC Un auomóil esá deenido ane un semáforo. Después, iaja en línea reca y su disancia con respeco al semáforo esá dada por () = b 2 - c 3, donde b = 2.4 m s 2 y c =.12 m s 3. a) Calcule la elocidad media del auomóil enre el ineralo = a = 1. s. b) Calcule la elocidad insanánea del auomóil en =, = 5. s y = 1. s. c) Cuáno iempo después de que el auo arrancó uele a esar deenido? 2.8. CALC Un ae uela hacia el ese. Su disancia omando como referencia un rascacielos esá dada por () = 28. m + (12.4 m s) - (.45 m s 3 ) 3. Cuál es la elocidad insanánea del ae cuando = 8. s? Una peloa se muee en línea reca (el eje ). En la figura E2.9 la gráfica muesra la elocidad de esa peloa en función del iempo. a) Cuáles son la rapidez media y la elocidad media de la peloa durane los primeros 3. s? b) Suponga que la peloa se muee de al manera que el segmeno de la gráfica después de 2. s es -3. m s en lugar de +3. m s. En ese caso, calcule la rapidez y la elocidad medias de la peloa. Figura E2.9 (m / s) (s) 2.1. Un profesor de física sale de su casa y camina por la acera hacia la uniersidad. A los 5 min, comienza a lloer y él regresa a casa. La disancia a su casa en función del iempo se muesra en la figura E2.1. En cuál de los punos indicados su elocidad es a) cero, b) consane y posiia, c) consane y negaia, d) de magniud creciene y e) de magniud decreciene? Figura E (m) I II III IV V (min)

27 Ejercicios 61 Figura E2.11 (m) A B C D E F G (s) Un auomóil de pruebas iaja en línea reca a lo largo del eje. La gráfica de la figura E2.11 indica la posición del auomóil como función del iempo. benga la elocidad insanánea en los punos A a G. Sección 2.3 Aceleración media e insanánea La figura E2.12 es la gráfica de la elocidad de un auomóil, alimenado con energía solar, respeco del iempo. El conducor del ehículo lo acelera, desde un lerero de alo, iaja 2 s con rapidez consane de 6 km h y frena para deenerse 4 s después de parir del lerero. a) Calcule la aceleración media para esos ineralos: i. = a = 1 s; ii. = 3 s a = 4 s; iii. = 1 s a = 3 s; i. = a = 4 s. b) Cuál es la aceleración insanánea en = 2 s y en = 35 s? Figura E2.12 (km/h) (s) El auomóil más rápido (y más cososo)! La siguiene abla presena los daos de prueba del Bugai Veyron, el auo más rápido fabricado en la hisoria. El ehículo se desplaza en línea reca (en el eje ). Tiempo (s) Rapidez (mi h) a) Elabore una gráfica - de la elocidad de ese auomóil (en mi h) en función del iempo. Su aceleración es consane? b) Calcule la aceleración media del auo (en m s 2 ) enre i. y 2.1 s; ii. 2.1 s y 2. s; iii. 2. s y 53 s. Esos resulados son congruenes con la gráfica del inciso a)? (Anes de decidirse a comprar ese ehículo, le conendría saber que solo se fabricarán 3 unidades, que a su máima rapidez se le acaba la gasolina en 12 minuos y que cuesa 1,25, dólares!) CALC Un auomóil de carreras pare del reposo y iaja hacia el ese en una pisa reca y nielada. Para los primeros 5. s del moimieno del auomóil, la componene hacia el ese de la elocidad esá dada por () = (.86 m s 3 ) 2. Cuál es la aceleración del auomóil cuando = 16. m s? CALC Una oruga camina en línea reca sobre lo que llamaremos eje con la dirección posiia hacia la derecha. La ecuación de la posición de la oruga en función del iempo es () = 5. cm + (2. cm s) - (.625 cm s 2 ) 2. a) Deermine la elocidad inicial, posición inicial y aceleración inicial de la oruga. b) En qué insane la oruga iene elocidad cero? c) Cuáno iempo después de ponerse en marcha regresa la oruga al puno de parida? d) En qué insanes la oruga esá a una disancia de 1. cm de su puno de parida? Qué elocidad (magniud y dirección) iene la oruga en cada uno de esos insanes? e) Dibuje las gráficas: -, - y a - para el ineralo de = a = 4 s Una asronaua salió de la Esación Espacial Inernacional para probar un nueo ehículo espacial. Su compañero mide los siguienes cambios de elocidad, cada uno en un ineralo de 1 s. Indique la magniud, el signo y la dirección de la aceleración media en cada ineralo. Suponga que la dirección posiia es a la derecha. a) Al principio del ineralo, la asronaua se muee hacia la derecha sobre el eje a 15. m s, y al final del ineralo se muee hacia la derecha a 5. m s. b) Al principio se muee hacia la izquierda a 5. m s y al final lo hace hacia la izquierda a 15. m s. c) Al principio se muee hacia la derecha a 15. m s y al final lo hace hacia la izquierda a 15. m s CALC La elocidad de un auomóil en función del iempo esá dada por () = a + b 2, donde a = 3. m s y a =.1 m s 3. a) Calcule la aceleración media enre = y = 5. s. b) Calcule la aceleración insanánea en = y en = 5. s. c) Dibuje las gráficas - y a - para el moimieno del auomóil enre = y = 5. s CALC La posición del parachoques (defensa) fronal de un auomóil de pruebas conrolado por un microprocesador esá dada por () = 2.17 m + (4.8 m s 2 ) 2 - (.1 m s 6 ) 6. a) benga su posición y aceleración en los insanes en que iene elocidad cero. b) Dibuje las gráficas -, - y a - para el moimieno del frene del auo enre = y = 2. s. Sección 2.4 Moimieno con aceleración consane Un anílope corre con aceleración consane y cubre la disancia de 7. m enre dos punos en 7. s. Su rapidez al pasar por el segundo puno es 15. m s. a) Qué rapidez enía en el primer puno? b) Qué aceleración llea? BI Desmayo? El piloo de un aión caza de combae quiere acelerar desde el reposo, con aceleración consane de 5g, para alcanzar una rapidez Mach 3 (res eces la rapidez del sonido) an rápido como sea posible. Pruebas eperimenales reelan que se desmayará si esa aceleración dura más de 5. s. Considere que la rapidez del sonido es de 331 m s. a) Durará el periodo de aceleración lo suficiene para causarle un desmayo? b) Cuál es la mayor rapidez que puede alcanzar con una aceleración de 5g anes de que se desmaye? Un lanzamieno rápido. En el lanzamieno más rápido medido, una peloa de béisbol salió de la mano del picher con una rapidez de 45. m s. Si el picher esuo en conaco con la peloa una disancia de 1.5 m y produjo aceleración consane, a) qué aceleración dio a la peloa, y b) cuáno iempo le omó lanzarla? Sericio de enis. En el sericio de enis más rápido medido, la peloa pierde conaco con la raquea cuando iene una rapidez de m s. En un sericio de enis la peloa normalmene esá en conaco con la raquea 3. ms y esá inicialmene en reposo. Suponga aceleración consane. a) Cuál fue la aceleración de la peloa durane ese sericio? b) Qué disancia recorrió la peloa durane el sericio? BI Bolsas de aire de un auomóil. El cuerpo humano puede sobreiir a un rauma por aceleración (parada repenina), si la magniud de la aceleración es menor que 25 m s 2. Si used sufre un accidene auomoilísico con rapidez inicial de 15 km h (65 mi h) y es deenido por una bolsa de aire que se infla desde el ablero, en qué disancia debe ser deenido por la bolsa de aire para sobreiir al percance?

28 62 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo BI Si un piloo acelera a más de 4g, se comienza a desanecer, pero no pierde compleamene la conciencia. a) Suponiendo aceleración consane, cuál es el insane más coro en el que el piloo, pariendo desde el reposo, puede llegar a Mach 4 (cuaro eces la rapidez del sonido) sin desanecerse? b) Qué an lejos iajará el aión durane ese periodo de aceleración? (Considere 331 m s como la rapidez del sonido en el aire frío) BI Lesiones por la bolsa de aire. Durane un accidene auomoilísico, las bolsas de aire del ehículo se inflan y desaceleran a los pasajeros más suaemene que si golpearan el parabrisas o el olane direcamene. De acuerdo con las normas de seguridad, las bolsas producen una aceleración máima de 6g que dura solo 36 ms (o menos). Qué disancia (en meros) recorre una persona anes de deenerse compleamene en 36 ms con aceleración consane de 6g? BI Preención de una fracura de cadera. Las caídas que proocan fracura de cadera son la causa principal de daños e incluso de muere en personas mayores. Por lo regular, la rapidez de la cadera en el impaco es de 2. m s, aproimadamene. Si esa se reduce a 1.3 m s o menos, la cadera generalmene no se fracura. Una manera de lograr eso es usando almohadillas elásicas en la cadera. a) Si una almohadilla ípica iene 5. cm de grosor y se comprime 2. cm durane el impaco de una caída, qué aceleración consane (en m s 2 y en g) eperimena la cadera para reducir su rapidez de 2. m s a 1.3 m s? b) La aceleración que obuo en el inciso a) al ez parezca eleada, pero para ealuar compleamene sus efecos sobre la cadera, calcule cuáno iempo dura BI Somos marcianos? Se ha sugerido, y no de broma, que la ida se pudo haber originado en Mare y haber llegado a la Tierra cuando un meeorio golpeó Mare y epulsó pares de roca (que quizá conenían ida primiia) liberándolas de la superficie. Los asrónomos saben que muchas rocas marcianas han llegado a la Tierra de esa manera. (Para información sobre una de esas, busque en el siio de Inerne ALH841 ). Una objeción a esa idea es que los microbios endrían que haber eperimenado enormes aceleraciones leales durane el impaco. Inesiguemos qué an eleada podría haber sido esa aceleración. Para escapar de Mare, los fragmenos de roca endrían que alcanzar una elocidad de escape de 5. km s, y eso sería más probable que sucediera en una disancia de 4. m durane el impaco. a) Cuál sería la aceleración (en m s 2 y en g) de ese fragmeno de roca, si la aceleración es consane? b) Cuáno iempo duraría esa aceleración? c) En eperimenos, los cieníficos han enconrado que el 4% de las bacerias Bacillius subilis sobreiiría después de una aceleración de 45,g. A la luz de su respuesa en el inciso a), podemos descarar la hipóesis de que la ida podría haberse ransferido de Mare a la Tierra? Ingreso a la auopisa. Un auomóil esá deenido en una rampa de acceso a una auopisa, en espera de poder incorporarse al flujo ehicular. El conducor acelera por la rampa con aceleración consane para ingresar a la auopisa. El auo pare del reposo, se desplaza en línea reca y iene una rapidez de 2 m s (45 mi h) al llegar al final de la rampa que iene 12 m de largo. a) Qué aceleración iene el auomóil? b) Cuáno iempo arda el auo en salir de la rampa? c) El ráfico de la auopisa circula con rapidez consane de 2 m s. Qué disancia recorre el ráfico mienras el auo se desplaza por la rampa? Lanzamieno del ransbordador espacial. Durane el lanzamieno, el ransbordador espacial pesa 4.5 millones de libras. Una ez lanzado, pariendo desde el reposo, arda 8. s en alcanzar los 161 km h, y al final del primer minuo, su rapidez es de 161 km h. a) Cuál es la aceleración media (en m s 2 ) del ransbordador i. durane los primeros 8. s, y ii. enre 8. s y el final del primer minuo? b) Suponiendo que la aceleración es consane durane cada ineralo (aunque no necesariamene la misma en ambos ineralos), qué disancia recorre el ransbordador i. durane los primeros 8. s, y ii. durane el ineralo de 8. s a 1. min? Un gao camina en línea reca en lo que llamaremos eje con la dirección posiia a la derecha. Used, que es un físico obserador, efecúa mediciones del moimieno del gao y elabora una gráfica de la elocidad del felino en función del iempo (figura E2.3). a) Deermine la elocidad del gao en = 4. s y en = 7. s. b) Qué aceleración iene el gao en = 3. s? En = 6. s? En = 7. s? c) Qué disancia cubre el gao durane los primeros 4.5 s? Enre = y = 7.5 s? d) Dibuje gráficas claras de la aceleración del gao y su posición en función del iempo, suponiendo que parió del origen. Figura E2.3 (cm/s) (s) La gráfica de la figura E2.31 indica la elocidad de un policía en moociclea en función del iempo. a) Calcule la aceleración insanánea en = 3 s, en = 7 s y en = 11 s. b) Qué disancia recorre el policía en los primeros 5 s? En los primeros 9 s? Y en los primeros 13 s? Figura E2.31 (m/s) (s) Dos auomóiles, A y B, se Figura E2.32 desplazan a lo largo del eje. La (m) figura E2.32 es la gráfica de las posiciones de A y B conra el iempo. A 25 2 a) En diagramas de moimieno (como las figuras 2.13b y 2.14b), muesre la posición, elocidad y aceleración de cada auomóil en B =, = l s y = 3 s. b) En qué insane(s), si es el caso, A y B (s) ienen la misma posición? c) Trace una gráfica de elocidad conra iempo para A y para B. d) En qué insane(s), si es el caso, A y B ienen la misma elocidad? e) En qué insane(s), si es el caso, el auomóil A rebasa al auo B? f ) En qué insane(s), si es el caso, el auomóil B rebasa al A?

29 Ejercicios Llegada a Mare. En enero de 24, la NASA colocó un ehículo de eploración en la superficie marciana. Pare del descenso consisió en las siguienes eapas: Eapa A: La fricción con la amósfera redujo la rapidez de 19,3 a 16 km h en 4. min. Eapa B: Un paracaídas se abrió para frenarlo a 321 km h en 94 s. Eapa C: Se encienden los rerocohees para reducir su rapidez a cero en una disancia de 75 m. Suponga que cada eapa sigue inmediaamene después de la que le precede, y que la aceleración durane cada una es consane. a) Encuenre la aceleración del cohee (en m s 2 ) durane cada eapa. b) Qué disancia oal (en km) iajó el cohee en las eapas A, B y C? En el insane en que un semáforo se pone en luz erde, un auomóil que esperaba en el cruce arranca con aceleración consane de 3.2 m s 2. En ese mismo insane, un camión que iaja con rapidez consane de 2. m s rebasa al auomóil. a) A qué disancia de su puno de parida el auomóil alcanza al camión? b) Qué rapidez iene el auomóil en ese momeno? c) Dibuje una gráfica - del moimieno de los dos ehículos, omando = en el cruce. d) Dibuje una gráfica - del moimieno de los dos ehículos. Sección 2.5 Cuerpos en caída libre a) Si una pulga puede salar.44 m hacia arriba, qué rapidez inicial iene al separarse del suelo? b) Cuáno iempo esá en el aire? Una piedra pequeña se lanza ericalmene hacia arriba, con una elocidad de 18. m s, del borde del echo de un edificio de 3. m de alura. La piedra cae sin golpear el edificio en su rayecoria hacia abajo hasa llegar a la calle. Se puede ignorar la resisencia del aire. a) Cuál es la rapidez de la piedra juso anes de golpear la calle? b) Cuáno iempo ranscurre desde que la roca es arrojada hasa que llega a la calle? Un malabarisa arroja un pino del juego de bolos ericalmene hacia arriba con una elocidad inicial de 8.2 m s. Cuáno iempo ranscurre hasa que el pino regresa a la mano del malabarisa? Used lanza una bola de masilla ericalmene hacia el echo, el cual se encuenra a 3.6 m por encima del puno donde la masilla pierde conaco con su mano. La rapidez inicial de la masilla cuando abandona su mano es de 9.5 m s. a) Cuál es la rapidez de la masilla al llegar al echo? b) Cuáno iempo ranscurre enre que la masilla pierde conaco con la mano y llega al echo? Una peloa de enis en Mare, donde la aceleración debida a la graedad es de.379g y la resisencia del aire es despreciable, es golpeada direcamene hacia arriba y regresa al mismo niel 8.5 s más arde. a) A qué alura del puno original llega la peloa? b) Qué an rápido se muee eacamene después de ser golpeada? c) Elabore las gráficas de la posición erical, la elocidad erical y la aceleración erical de la peloa en función del iempo mienras se encuenra en el aire de Mare Alunizaje. Un ehículo espacial esá descendiendo hacia la Base Lunar I (figura E2.4) descendiendo lenamene por el reroempuje del moor de descenso. El moor se apaga cuando el ehículo esá a 5. m sobre la superficie y iene una elocidad descendene Figura E m de.8 m s. Con el moor apagado, el ehículo esá en caída libre. Qué rapidez iene juso anes de ocar la superficie? La aceleración debida a la graedad lunar es de 1.6 m s Prueba sencilla del iempo de reacción. Se sosiene un mero ericalmene por encima de su mano, de manera que su eremo inferior esé enre su pulgar y su índice. Al er que suelan el mero, used lo deiene junando esos dos dedos. Se puede calcular el iempo de su reacción con base en la disancia que el mero cayó, leyendo la escala en el puno donde lo omó. a) Deduzca una relación para el iempo de reacción en érminos de la disancia d medida. b) Si la disancia medida es 17.6 cm, cuál es el iempo de reacción? Se deja caer un ladrillo (rapidez inicial cero) desde la azoea de un edificio. El abique llega al suelo en 2.5 s. Se puede despreciar la resisencia del aire, así que el ladrillo esá en caída libre. a) Qué alura (en m) iene el edificio? b) Qué magniud iene la elocidad del ladrillo al llegar al suelo? c) Dibuje las gráficas: a y -, y - y y- para el moimieno del ladrillo Falla en el lanzamieno. Un cohee de 75 kg despega ericalmene desde la plaaforma de lanzamieno con una aceleración consane hacia arriba de 2.25 m s 2 y no eperimena una considerable resisencia del aire. Cuando alcanza una alura de 525 m, sus moores fallan repeninamene y enonces la única fuerza que acúa sobre él es la graedad. a) Cuál es la alura máima que alcanzará ese cohee desde la plaaforma de lanzamieno? b) Después de que el moor falla, cuáno iempo pasará anes de que se esrelle conra la plaaforma de lanzamieno, y qué rapidez endrá juso anes del impaco? c) Dibuje las gráficas a y -, y - y y- del moimieno del cohee desde el insane en que despega hasa el insane juso anes de chocar conra la plaaforma de lanzamieno El ripulane de un globo Figura E2.44 aerosáico, que sube ericalmene con elocidad consane de magniud m/s m s, suela un saco de arena cuando el globo esá a 4. m sobre el suelo (figura E2.44). Después de que se suela, el saco de arena esá en caída libre. a) Calcule la posición y elocidad del saco a.25 s y 1. s después de solarse. b) Cuános segundos ardará el saco en chocar con el suelo después de solarse? c) Con qué elocidad chocará? d) Qué alura máima alcanza el saco en relación con el suelo? e) Dibuje las gráficas a y -, y - y y- para el moimieno BI El rineo impulsado por el 4. m del suelo cohee Sonic Wind Núm. 2, uilizado para inesigar los efecos fisiológicos de las alas aceleraciones, corre sobre una ía reca horizonal de 17 m (35 f). Desde el reposo, puede alcanzar una rapidez de 224 m/s (5 mi h) en.9 s. a) Calcule la aceleración en m s 2, suponiendo que es consane. b) Cuál es la razón enre esa aceleración y la de un cuerpo en caída libre (g)? c) Qué disancia se cubre en.9 s? d) En una reisa se aseguró que, al final de ciera prueba, la rapidez del rineo disminuyó de 283 m s (632 mi h) a cero en 1.4 s, y que en ese iempo la magniud de la aceleración fue mayor que 4g. Son congruenes ales cifras? Se lanza un hueo casi ericalmene hacia arriba desde un puno cerca de la cornisa de un edificio alo; al bajar, apenas elude la cornisa y pasa por un puno 3. m abajo de su puno de parida 5. s después de perder conaco con la mano que lo lanzó. Puede despre-

30 64 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo ciarse la resisencia del aire. a) Qué rapidez inicial iene el hueo? b) Qué alura alcanza respeco del puno de lanzamieno? c) Qué magniud iene su elocidad en el puno más alo? d) Qué magniud y dirección iene su aceleración en el puno más alo? e) Dibuje las gráficas a y -, y - y y- para el moimieno del hueo En la Tierra, una roca de 15 kg se suela desde el reposo y llega al suelo 1.75 s después. Cuando se suela desde la misma alura en Encélado, una luna de Saurno, llega al suelo en 18.6 s. Cuál es la aceleración debida a la graedad en Encélado? Un peñasco es epulsado ericalmene hacia arriba por un olcán, con una rapidez inicial de 4. m s. Puede despreciarse la resisencia del aire. a) En qué insane, después de ser epulsado, el peñasco sube a 2. m s? b) En qué insane baja a 2. m s? c) Cuándo es cero el desplazamieno con respeco a su posición inicial? d) Cuándo es cero la elocidad del peñasco? e) Qué magniud y dirección iene la aceleración cuando el peñasco esá i. subiendo, ii. bajando, iii. en el puno más alo? f ) Dibuje las gráficas a y -, y - y y- para el moimieno Dos piedras se arrojan ericalmene hacia arriba desde el suelo; una iene res eces la elocidad inicial de la ora. a) Si la piedra más rápida arda 1 s en regresar al suelo, cuáno iempo le omará regresar a la piedra más lena? b) Si la piedra más lena alcanza una alura máima de H, a qué alura (en érminos de H) llegará la piedra más rápida? Suponga caída libre. Sección 2.6 Velocidad y posición por inegración 2.5. CALC Use las ecuaciones (2.17) y (2.18) de la aceleración consane a, para obener y en función del iempo. Compare sus resulados con las ecuaciones (2.8) y (2.12) CALC Un cohee pare del reposo y se desplaza hacia arriba a parir de la superficie de la Tierra. La aceleración erical del cohee durane los primeros 1 s de su moimieno esá dada por a y = (2.8 m s 3 ), donde la dirección +y es hacia arriba. a) Cuál es la alura del cohee sobre la superficie de la Tierra en = 1. s? b) Cuál es la rapidez del cohee cuando alcanza una alura de 325 m sobre la superficie de la Tierra? CALC La aceleración de un auobús esá dada por a () = a, donde a = 1.2 m s 3. a) Si la elocidad del auobús en el iempo = 1. s es 5. m s, cuál será en = 2. s? b) Si la posición del auobús en = 1. s es 6. m, cuál será en = 2. s? c) Dibuje las gráficas: a -, - y - para el moimieno CALC La aceleración de una moociclea esá dada por a () = A - B 2, donde A = 1.5 m s 3 y B =.12 m s 4. La moociclea esá en reposo en el origen cuando =. a) benga su posición y elocidad en función de. b) Calcule la elocidad máima que alcanza BI Salo olador de la pulga. La película de ala elocidad (35 cuadros por segundo) con la que se filmó a una pulga salarina de 21 mg produjo los daos que se usaron para elaborar la gráfica de la figura E2.54. (Véase The Flying Leap of he Flea, de M. Roh- Figura E2.54 Rapidez (en cm s) Tiempo (en milisegundos) schild, Y. Schlein, K. Parker, C. Neille y S. Sernberg, en Scienific American, noiembre de 1973). La pulga enía una longiud aproimada de 2 mm y saló con un ángulo de despegue casi erical. Use la gráfica para conesar esas pregunas. a) La aceleración de la pulga es cero en algún momeno? Si es así, cuándo? Jusifique su respuesa. b) Calcule la alura máima que la pulga alcanzó en los primeros 2.5 ms. c) Deermine la aceleración de la pulga a los.5 ms, 1. ms y 1.5 ms. d) Calcule la alura de la pulga a los.5 ms, 1. ms y 1.5 ms. PRBLEMAS BI Un hombre ciclisa elocisa promedio puede manener una aceleración máima durane 2. s cuando su rapidez máima es de 1 m s. Después de alcanzar su rapidez máima, su aceleración es igual a cero y enonces aanza a rapidez consane. Suponga que la aceleración es consane durane los primeros 2. s del recorrido, que pare del reposo y en línea reca. a) Qué disancia ha recorrido el elocisa cuando alcanza su máima rapidez? b) Cuál es la magniud de su elocidad media en el recorrido de las siguienes longiudes? i. 5. m, ii. 1. m, iii. 2. m En un paseo de 2 millas en biciclea, used recorre las primeras 1 millas con rapidez media de 8 mi h. Qué rapidez media en las oras 1 mi requerirá para que la rapidez media oal en las 2 millas sea: a) 4 mi h? b) Y 12 mi h? c) Dada la rapidez media para las primeras 1 millas, le sería posible alcanzar una rapidez media de 16 mi h para odo el paseo de 2 millas? Eplique su respuesa CALC La posición de una parícula enre = y = 2. s esá dada por () = (3. m s 3 ) 3 - (1. m s 2 ) 2 + (9. m s). a) Dibuje las gráficas -, - y a - para la parícula. b) En qué insane(s) enre = y = 2. s la parícula esá en reposo? Coincide el resulado numérico con la gráfica - del inciso a)? c) En cada insane calculado en el inciso b), la aceleración de la parícula es posiia o negaia? Demuesre que, en cada caso, la misma respuesa se deduce de a () y de la gráfica -. d) En qué insane(s) enre = y = 2. s la elocidad de la parícula no esá cambiando? Ubique ese puno en las gráficas - y a - del inciso a). e) Cuál es la disancia máima de la parícula con respeco al origen ( = ) enre = y = 2. s? f ) En qué insane(s) enre = y = 2. s la parícula esá aumenando de rapidez al mayor rimo? En qué insane(s) enre = y = 2. s la parícula se esá frenando al mayor rimo? Ubique esos punos en las gráficas - y a - del inciso a) CALC Un ehículo lunar desciende en la superficie de la Luna. Hasa que el ehículo alcanza la superficie, su alura esá dada por y() = b - c + d 2, donde b = 8 m es la alura inicial del ehículo sobre la superficie, c = 6. m s, y d = 1.5 m s 2. a) Cuál es la elocidad inicial del ehículo en =? b) Cuál es la elocidad del ehículo cuando oca la superficie lunar? Esudio de los erremoos. Los erremoos producen arios ipos de ondas de choque. Las más conocidas son las ondas P (la inicial se deria de primaria o presión) y las ondas S [por la inicial de secundaria o esfuerzo corane (shear)]. En la coreza erresre, las ondas P iajan a aproimadamene 6.5 km s, en ano que las ondas S se desplazan a unos 3.5 km s. Las rapideces reales arían según el ipo de maerial por el que iajen. El iempo de reraso, enre la llegada de esas dos clases de onda a una esación de monioreo sísmico, indica a los geólogos a qué disancia ocurrió el erremoo. Si el iempo de reraso es de 33 s, a qué disancia de la esación sísmica sucedió el erremoo? Carrera de releos. En una carrera de releos, cada compeidor corre 25. m con un hueo sosenido en una cuchara; luego, se da uela y regresa al puno de parida. Edih corre los primeros 25. m en 2. s. Al regresar se siene más confiada y arda solo 15. s. Qué

31 Problemas 65 magniud iene su elocidad media en a) los primeros 25. m? b) Y en el regreso? c) Cuál es su elocidad media para el iaje redondo? d) Y su rapidez media para el iaje redondo? Un cohee que llea un saélie acelera ericalmene alejándose de la superficie erresre s después del despegue, el cohee rebasa la pare superior de su plaaforma de lanzamieno, que esá a 63 m sobre el suelo; y después de oros 4.75 s, esá a 1. km del suelo. Calcule la magniud de la elocidad media del cohee en a) la pare de 4.75 s de su uelo; b) los primeros 5.9 s de su uelo La gráfica de la figura P2.62 describe la aceleración, en función del iempo, de una piedra que rueda colina abajo pariendo del reposo. a) Calcule la elocidad de la piedra en = 2.5 s y en = 7.5 s. b) Dibuje una gráfica de la elocidad de la piedra en función del iempo. Figura P2.62 a (cm/s 2 ) (s) Dan enra en la carreera ineresaal I-8 en Seward, Nebraska, y iaja al oese en línea reca con elocidad media de magniud de 88 km h. Después de 76 km, llega a la salida de Aurora (figura P2.63). Al darse cuena de que llegó demasiado lejos, se da uela, y conduce 34 km al ese hasa la salida de York con una elocidad media de magniud igual a 72 km h. Para el iaje oal de Seward a la salida de York, deermine a) su rapidez media y b) la magniud de su elocidad media. Figura P2.63 gisra durane los úlimos 5.1 s? c) Qué aceleración media iene durane oda la carrera? d) Eplique por qué su respuesa en el inciso c) no es el promedio de las respuesas de los incisos a) y b) Un rineo pare del reposo en la cima de una colina y baja con aceleración consane. En un insane poserior, el rineo esá a 14.4 m de la cima; 2. s después esá a 25.6 m de la cima, 2. s después esá a 4. m de la cima, y 2. s después esá a 57.6 m de la cima. a) Qué magniud iene la elocidad media del rineo en cada ineralo de 2. s después de pasar los 14.4 m? b) Qué aceleración iene el rineo? c) Qué rapidez iene el rineo al pasar los 14.4 m? d) Cuáno iempo ardó el rineo en llegar de la cima a los 14.4 m? e) Qué disancia recorrió el rineo durane el primer segundo después de pasar los 14.4 m? Una gacela corre en línea reca (el eje ). En la figura P2.67, la gráfica muesra la elocidad de ese animal en función del iempo. Durane los primeros 12. s, obenga a) la disancia oal recorrida y b) el desplazamieno de la gacela. c) Dibuje una gráfica a - que muesre la aceleración de esa gacela en función del iempo durane los primeros 12. s. Figura P2.67 (m/s) Un ren suberráneo en reposo pare de una esación y acelera a una asa de 1.6 m s 2 durane 14. s. Viaja con rapidez consane 7. s y frena a 3.5 m s 2 hasa deenerse en la siguiene esación. Calcule la disancia oal cubiera Un elocisa de alo rendimieno acelera a su rapidez máima en 4. s y maniene esa rapidez durane el reso de la carrera de 1 m, llegando a la mea con un iempo oal de 9.1 s. a) Qué aceleración media iene durane los primeros 4. s? b) Qué aceleración media re (s) Una peloa rígida que iaja en línea reca (el eje ) choca conra una pared sólida y reboa repeninamene durane un bree insane. En la figura P2.68, la gráfica - muesra la elocidad de esa peloa en función del iempo. Durane los primeros 2. s de su moimieno, obenga a) la disancia oal que se muee la peloa y b) su desplazamieno. c) Dibuje una gráfica a - del moimieno de esa peloa. d) En los 5. s, la gráfica que se muesra es realmene erical? Eplique su respuesa. Figura P2.68 N E B R A S K A (m/s) Aurora York Seward 76 km 34 km (s) Una peloa pare del reposo y baja rodando una colina con aceleración uniforme, recorriendo 15 m durane el segundo lapso de 5. s de su moimieno. Qué disancia cubrió durane el primer lapso de 5. s? Colisión. El maquinisa de un ren de pasajeros que se muee a 25. m s aisa un ren de carga cuyo úlimo agón esá 2 m

32 66 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo Figura P2.7 PT m/s a m/s 2 2 m FT m/s más adelane en la misma ía (figura P2.7). El ren de carga se muee con una rapidez de 15. m s en la misma dirección que el ren de pasajeros. El maquinisa del ren de pasajeros aplica de inmediao los frenos, causando una aceleración consane de.1 m s 2, en dirección opuesa a la de la elocidad del ren, mienras el ren de carga sigue con rapidez consane. Sea = el puno donde esá la pare fronal del ren de pasajeros cuando el maquinisa aplica los frenos. a) Aesiguarán las acas de los alrededores una colisión? b) Si es así, dónde ocurrirá? c) Dibuje en una sola gráfica las posiciones del frene del ren de pasajeros y la pare poserior del ren de carga Las cucarachas grandes pueden correr a 1.5 m s en ramos coros. Suponga que enciende la luz en un hoel y e una cucaracha alejándose en línea reca a 1.5 m s. Si inicialmene used esaba.9 m derás del inseco y se acerca hacia ese con una rapidez inicial de.8 m s, qué aceleración consane mínima necesiará para alcanzarlo cuando ese haya recorrido 1.2 m, juso anes de escapar bajo un mueble? Dos auomóiles esán separados 2 m y aanzan uno hacia el oro con una rapidez consane de 1 m s. Sobre el frene de uno de ellos, un salamones lleno de energía sala hacia adelane enre los auos ( sí que iene paas fueres!) con una elocidad horizonal consane de 15 m s en relación con el suelo. El inseco sala en el insane en que cae, de manera que no pierde iempo descansando en uno u oro auo. Qué disancia oal recorre el salamones anes de que los auomóiles colisionen? Un auomóil y un camión paren del reposo en el mismo insane, con el auomóil a ciera disancia derás del camión. El camión iene aceleración consane de 2.1 m s 2, y el auomóil una de 3.4 m s 2. El auomóil alcanza al camión cuando ese ha recorrido 4. m. a) Cuáno iempo arda el auomóil en alcanzar al camión? b) Qué an arás del camión esaba inicialmene el auomóil? c) Qué rapidez ienen los ehículos cuando aanzan junos? d) Dibuje en una sola gráfica la posición de cada ehículo en función del iempo. Sea = la posición inicial del camión Dos piloos de ehibición conducen fronalmene uno hacia el oro. En = la disancia enre los auomóiles es D, el auo 1 esá en reposo y el 2 se muee hacia la izquierda con rapidez. El auo 1 comienza a moerse en = con aceleración consane a. El auo 2 sigue a elocidad consane. a) En qué insane chocarán los auos? b) Calcule la rapidez del auo 1 juso anes de chocar conra el auo 2. c) Dibuje las gráficas - y - para los dos auos, y race las curas usando los mismos ejes Se suela una canica desde el borde de un azón semiesférico cuyo diámero es de 5. cm y rueda hasa subir sobre el borde opueso en 1. s. benga a) la rapidez media y b) la elocidad media de la canica CALC La elocidad medida de un objeo es () = a - b 2, donde a = 4. m s y b = 2. m s 3. En =, el objeo esá en =. a) Calcule la posición y aceleración del objeo en función de. b) Qué desplazamieno posiio máimo iene el objeo con respeco al origen? Rebasado. El conducor de un auomóil desea rebasar un camión que iaja a una rapidez consane de 2. m s (aproimadamene 45 mi h). Inicialmene, el auomóil ambién iaja a 2. m s y su parachoques delanero esá 24. m arás del parachoques rasero del camión. El auomóil adquiere una aceleración consane de.6 m s 2 y regresa al carril del camión cuando su parachoques rasero esá 26. m adelane del frene del camión. El auomóil iene una longiud de 4.5 m, y el camión iene una longiud de 21. m. a) Cuáno iempo necesia el auomóil para rebasar al camión? b) Qué disancia recorre el auomóil en ese iempo? c) Qué rapidez final iene el auomóil? En el planea X se deja caer una piedra de 25 kg a parir del reposo y se mide su rapidez en arios insanes. Luego, se usan los daos obenidos para consruir la gráfica de su rapidez en función del iempo (figura P2.78). Con la información de la gráfica, conese las siguienes pregunas: a) Cuál es la aceleración debida a la graedad en el planea X? Figura P2.78 (m/s) b) Un asronaua deja caer una pieza de su equipo, a parir del reposo, fuera del módulo de aerrizaje, 3.5 m arriba de la superficie del planea X. Cuáno iempo ardará esa pieza en llegar al suelo y con qué rapidez llegará a él? c) Con qué rapidez debe un asronaua lanzar un objeo ericalmene hacia arriba para alcanzar una alura de 18 m por arriba del puno de liberación, y cuáno iempo le omará alcanzar esa alura? CALC La aceleración de una parícula esá dada por a () = -2. m s 2 + (3. m s 3 ). a) Encuenre la elocidad inicial al que la parícula enga la misma coordenada en = 4. s que en =. b) Cuál será la elocidad en = 4. s? 2.8. Caída de un hueo. Imagine que esá en la azoea del edificio de física, a 46. m del suelo Figura P2.8 (figura P2.8). Su profesor de física, quien mide 1.8 m de esaura, camina juno al edificio a una rapidez consane de 1.2 m s. Si used quiere dejar caer un hueo sobre la cabeza de su profesor, 46. m dónde deberá esar él cuando used suele el hueo? Suponga que el hueo esá en caída libre m/s En la Tierra un olcán puede epulsar rocas ericalmene 1.8 m hasa una alura máima H. a) A qué alura (en érminos de H) llegarían esas rocas si un olcán en Mare las epulsara con la misma elocidad inicial? La aceleración debida a la graedad en Mare es de 3.71 m s 2, y se puede despreciar la resisencia del aire en ambos planeas. b) Si en la Tierra las rocas esán en el aire un iempo T, por cuáno iempo (en érminos de T) esarán en el aire en Mare? Un arisa hace malabarismos con peloas mienras realiza oras aciidades. En un aco, arroja una peloa ericalmene hacia arriba y, mienras la peloa esá en el aire, él corre de ida y uela hacia una mesa que esá a 5.5 m de disancia a una rapidez consane de 2.5 m s, regresando juso a iempo para arapar la peloa que cae. a) Con qué rapidez inicial mínima debe lanzar la peloa hacia arriba para realizar dicha hazaña? b) A qué alura respeco de su posición inicial esá la peloa juso cuando él llega a la mesa? (s)

33 Problemas de desafío Los isianes de un parque de diersiones obseran a claadisas lanzarse desde una plaaforma de 21.3 m (7 f) de alura sobre una alberca. Según el presenador, los claadisas enran al agua con una rapidez de 25 m s (56 mi h). Puede ignorarse la resisencia del aire. a) Es correca la aseeración del presenador? b) Para un claadisa es posible salar direcamene hacia arriba de la plaaforma de manera que, eludiendo la plaaforma al caer hacia la alberca, enre al agua a 25. m s? Si es así, qué rapidez inicial hacia arriba se requiere? La rapidez inicial requerida es físicamene alcanzable? Una macea con flores cae del borde de una enana y pasa frene a la enana de abajo. Se puede despreciar la resisencia del aire. La macea arda.42 s en pasar por esa enana desde el borde superior hasa el inferior; la alura de la enana es de 1.9 m. A qué disancia debajo del puno desde el cual cayó la macea se encuenra el borde superior de la enana de abajo? Cuidado abajo! Sam lanza, a parir del reposo, una bala de 16 lb direcamene hacia arriba, imprimiéndole una aceleración consane de 35. m s 2 a lo largo de 64. cm, y solándola a 2.2 m sobre el suelo. Puede despreciarse la resisencia del aire. a) Qué rapidez iene la bala cuando Sam la suela? b) Qué alura alcanza respeco del suelo? c) Cuáno iempo iene Sam para reirarse del lugar anes de que la bala regrese a la alura de su cabeza, a 1.83 m sobre el suelo? Un cohee de arias eapas. Al encenderse la primera eapa de un cohee de dos eapas, ese empieza a moerse en la plaaforma de lanzamieno con una aceleración consane de 3.5 m s 2 hacia arriba. A los 25. s después del lanzamieno, se enciende la segunda eapa durane 1. s, así que la elocidad del cohee es de m s hacia arriba, 35. s después del lanzamieno. Sin embargo, ese impulso consume odo el combusible, de manera que luego de que la segunda eapa ermina, la única fuerza que acúa sobre el cohee es la graedad. Se desprecia la resisencia del aire. a) benga la alura máima que alcanza el cohee de dos eapas sobre la plaaforma de lanzamieno. b) Una ez que ermina la segunda eapa, cuáno iempo pasará anes de que el cohee caiga a la plaaforma de lanzamieno? c) Qué an rápido se moerá el cohee de dos eapas juso al llegar a la plaaforma? Malabarismo. Un malabarisa acúa en un recino cuyo echo esá 3. m arriba del niel de sus manos. Lanza una peloa hacia arriba de modo que apenas llega al echo. a) Qué elocidad inicial iene la peloa? b) Cuáno iempo arda la peloa en llegar al echo? En el insane en que la primera peloa esá en el echo, el malabarisa lanza una segunda peloa hacia arriba con dos erceras pares de la elocidad inicial de la primera. c) Cuáno iempo después de lanzada la segunda peloa se cruzan ambas peloas en el aire? d) A qué alura, respeco de las manos del malabarisa, ocurre el cruce? Un profesor de física que esá en reposo, efecuando una demosración al aire libre, de repene pierde el equilibrio, por lo que cae de lo alo de un acanilado y simuláneamene gria Auilio!. Después de caer 3. s, escucha el eco de su grio proeniene del suelo del alle. La rapidez del sonido es de 34 m s. a) Qué alura iene el acanilado? b) Si se desprecia la resisencia del aire, con qué rapidez se esará moiendo el profesor juso anes de chocar conra el suelo? (Su rapidez real será menor que eso, debido a la resisencia del aire) Un helicópero que llea al docor Malado despega con aceleración consane hacia arriba de 5. m s 2. El agene secreo Ausin Powers se sube de un salo al helicópero juso cuando ese despega. Los dos hombres forcejean durane 1. s, después de lo cual Powers apaga el moor y se lanza desde el helicópero. Suponga que el helicópero esá en caída libre después de que se apaga el moor y que la resisencia del aire es insignificane. a) Qué alura máima, respeco del suelo, alcanza el helicópero? b) 7. s después de salar del helicópero, Powers enciende un cohee que rae sujeo a la espalda, lo que le permie ener una aceleración oal consane hacia abajo con magniud de 2. m s 2. A qué disancia sobre el suelo esá Powers cuando el helicópero se esrella conra el piso? Alura de acanilado. Imagine que esá escalando una monaña y que repeninamene se encuenra en el borde de un acanilado, enuelo en niebla. Para deerminar la alura del acanilado, deja caer una piedra y 1. s después escucha el sonido que esa hace al golpear el fondo del acanilado. a) Sin omar en cuena la resisencia del aire, qué alura iene el acanilado si la rapidez del sonido es de 33 m s? b) Suponga que se desprecia el iempo que el sonido arda en llegar a sus oídos. En ese caso, habría sobresimado o subesimado la alura del acanilado? Eplique su razonamieno Laa que cae. Un pinor esá de pie en un andamio que sube con rapidez consane. Por descuido, empuja una laa de pinura, la cual cae del andamio cuando esá a 15. m sobre el suelo. Used esá obserando y usa su cronómero para deerminar que la laa arda 3.25 s en llegar al suelo. Ignore la resisencia del aire. a) Qué rapidez iene la laa en el momeno en que llega al suelo? b) ro pinor esá parado en una cornisa, y una laa esá a 4. m arriba de él cuando esa se cae. Tiene reflejos felinos, y si la laa pasa frene a él, podrá araparla. Tiene la oporunidad de hacerlo? Decidido a probar la ley de la graedad por sí mismo, un esudiane se deja caer desde un rascacielos de 18 m de alura, cronómero en mano, e inicia una caída libre (elocidad inicial cero). Cinco segundos después, llega Superman y se lanza de la azoea para salarlo, con una rapidez inicial que imprimió a su cuerpo, empujándose hacia abajo desde el borde de la azoea con sus piernas de acero. Después, cae con la misma aceleración que cualquier cuerpo en caída libre. a) Qué alor deberá ener para que Superman arape al esudiane juso anes de llegar al suelo? b) Dibuje en una sola gráfica las posiciones de Superman y del esudiane en función del iempo. La rapidez inicial de Superman iene el alor calculado en el inciso a). c) Si la alura del rascacielos es menor que ciero alor mínimo, ni Superman podría salar al esudiane anes de que llegue al suelo. Cuál es esa alura mínima? Durane el lanzamieno, los cohees a menudo desechan pares innecesarias. Ciero cohee pare del reposo en una plaaforma de lanzamieno y acelera hacia arriba a 3.3 m s 2 consanes. Cuando esá a 235 m por arriba de la plaaforma de lanzamieno, desecha un boe de combusible acío simplemene desconecándolo. Una ez desconecado, la única fuerza que acúa sobre el boe es la graedad (se puede ignorar la resisencia del aire). a) Qué an alo esá el cohee cuando el boe llega a la plaaforma, suponiendo que no cambia la aceleración del cohee? b) Cuál es la disancia oal que recorre el boe desde que se suela hasa que choca conra la plaaforma de lanzamieno? Se lanza una peloa ericalmene hacia arriba desde el suelo con rapidez. En el mismo insane, una segunda peloa (que inicialmene esá en reposo) se deja caer de una alura H direcamene encima del puno de lanzamieno de la primera. No hay resisencia del aire. a) Calcule el iempo en el que chocarán las peloas. b) benga el alor de H en érminos de y g, de modo que, cuando choquen las peloas, la primera esé en su puno más alo CALC Dos auomóiles, A y B, iajan en línea reca. La posición de A con respeco al puno de parida esá dada, en función del iempo, por A () = a + b 2, con a = 2.6 m s y b = 1.2 m s 2. La posición de B respeco del puno de parida es B () = g 2 - d 3, con g = 2.8 m s 2 y d =.2 m s 3. a) Cuál auomóil se adelana juso después de salir del puno de parida? b) En qué insane(s) los dos auomóiles esán en el mismo puno? c) En qué insane(s) la disancia enre A y B no aumena ni disminuye? d) En qué insane(s) A y B ienen la misma aceleración? PRBLEMAS DE DESAFÍ En el salo erical, un alea se agazapa y sala hacia arriba raando de alcanzar la mayor alura posible. Ni siquiera los campeones mundiales pasan mucho más de 1. s en el aire ( iempo en suspensión ). Trae al alea como parícula y sea y má su alura máima

34 68 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo respeco del suelo. Para eplicar por qué parece esar suspendido en el aire, calcule la razón enre el iempo que esá sobre y má 2 y el iempo que arda en llegar del suelo a esa alura. Desprecie la resisencia del aire Tomar el auobús. Una esudiane corre a más no poder para alcanzar su auobús, que esá deenido en la parada, con una rapidez de 5. m s. Cuando ella esá aún a 4. m del auobús, ese se pone en marcha con aceleración consane de.17 m s 2. a) Durane qué iempo y qué disancia debe correr la esudiane a 5. m s para alcanzar al auobús? b) Cuando lo hace, qué rapidez iene el auobús? c) Dibuje una gráfica - para el esudiane y para el auobús, donde = es la posición inicial del esudiane. d) Las ecuaciones que usó en el inciso a) para calcular ienen una segunda solución, que corresponde a un insane poserior en que el esudiane y el auobús esán ora ez en el mismo lugar si coninúan sus respecios desplazamienos. Eplique el significado de esa ora solución. Qué rapidez iene el auobús en ese puno? e) Si la rapidez del esudiane fuera de 3.5 m s, alcanzaría al auobús? f ) Qué rapidez mínima requiere la esudiane para apenas alcanzar al auobús? Durane qué iempo y qué disancia deberá correr en al caso? Un ecursionisa aeno e un peñasco que cae desde un risco lejano y obsera que arda 1.3 s en caer el úlimo ercio de la disancia hacia el suelo. Puede despreciarse la resisencia del aire. a) Qué alura iene el risco en meros? b) Si en el inciso a) used obiene dos soluciones de una ecuación cuadráica y usa una para su respuesa, qué represena la ora solución? Se lanza una peloa hacia arriba desde el borde de una azoea. Una segunda peloa se deja caer desde la azoea 1. s después. Desprecie la resisencia del aire. a) Si la alura del edificio es de 2. m, cuál debe ser la rapidez inicial de la primera peloa para que las dos lleguen al suelo al mismo iempo? En una sola gráfica dibuje la posición de cada peloa en función del iempo, a parir del insane en que se lanzó la primera. Considere la misma siuación, solo que ahora la rapidez inicial de la primera peloa es un dao, y la alura h del edificio es la incógnia. b) Qué alura deberá ener el edificio para que las dos peloas lleguen al suelo al mismo iempo si es i. de 6. m/s y ii. de 9.5 m s? c) Si es mayor que ciero alor má, no eise una h al que permia que ambas peloas lleguen al piso simuláneamene. benga má cuyo alor iene una inerpreación física sencilla. Cuál es? d) Si es menor que ciero alor mín,no eise una h al que permia que ambas peloas lleguen al piso al mismo iempo. benga mín cuyo alor ambién iene una inerpreación física sencilla. Cuál es? Respuesas Preguna inicial del capíulo? Sí. Aceleración se refiere a cualquier cambio de elocidad, ya sea que aumene o disminuya. Pregunas de las secciones Ealúe su comprensión 2.1 Respuesas a): i, i y iii (empaados),, ii; b): i y iii; c):. En a), la elocidad media es med- =. Para los cinco iajes, = 1 h. Para los iajes indiiduales, enemos i. =+5 km, med- =+5 km h; ii. =-5 km, med- =-5 km h; iii. = 6 km - 1 km = +5 km, med- =+5 km h; i. =+7 km, med- =+7 km h;. =-2 km + 2 km =, med- =. En b) ambos ienen med- =+5 km h. 2.2 Respuesas: a) P, Q y S (empaados), R La elocidad es b) posiia cuando la pendiene de la gráfica - es posiia (puno P), c) negaia cuando la pendiene es negaia (puno R), y d) cero cuando la pendiene es cero (punos Q y S). e) R, P, Q y S (empaados). La rapidez es máima cuando la pendiene de la gráfica - es más pronunciada (ya sea posiia o negaia), y cero cuando la pendiene es cero. 2.3 Respuesas: a) S, donde la gráfica - se cura (es cóncaa) hacia arriba. b) Q, donde la gráfica - se cura (es cóncaa) hacia abajo. c) P y R, donde la gráfica - es una línea reca (no se cura hacia arriba ni hacia abajo). d) En P, a = (la elocidad no cambia); en Q, a 6 (la elocidad disminuye, es decir, cambia de posiia a cero y de cero a negaia); en R, a = (la elocidad no cambia); y en S, a 7 (la elocidad aumena, es decir, cambia de negaia a cero y de cero a posiia). 2.4 Respuesa: b) La aceleración del oficial de policía es consane, de manera que su gráfica - es una reca y su moociclea se desplaza más rápido que el auomóil del conducor, cuando ambos ehículos se encuenran en = 1 s. 2.5 Respuesas: a) iii. Use la ecuación (2.13) susiuyendo por y y a y = g; y 2 = y 2-2g(y - y ). La alura inicial es y = y la elocidad a la alura máima y = h es y =, así que = y 2-2gh y h = y 2 2g. Si la elocidad inicial aumena en un facor de 2, la alura máima aumenará en un facor de 2 2 = 4 y la peloa alcanzará la alura 4h. b).uilice la ecuación (2.8) reemplazando por y y a y = g; y = y - g. La elocidad en la alura máima es y =, así que = y - g y = y g. Si la elocidad inicial se incremena en un facor de 2, el iempo para llegar a la alura máima se incremena en un facor de 2 y se uele Respuesa: ii. La aceleración a es igual a la pendiene de la gráfica -. Si a aumena, la pendiene de la gráfica - ambién se incremena y la cura es cóncaa hacia arriba. Problema prácico Respuesa: h = 57.1 m