TEMA 9. ESTADÍSTICA 9.1. ociones básicas. Población y muestra. Fases y tareas de un estudio estadístico. Tipos de muestreo. Representatividad de las muestras. 9.2. Variable discreta y continua. Tablas de frecuencias. 9.3. Gráficos estadísticos: sectores, barras e histogramas. 9.4. Medidas de centralización. Media. Moda. Mediana. Cuartiles. Percentiles. 9.5. Medidas de dispersión. Desviación típica. Coeficiente de variación. Interpretación.
9.1. ociones básicas. La Estadística descriptiva es la parte de las Matemáticas que se ocupa de recoger, ordenar y clasificar los datos de una población, y a partir de su análisis y del cálculo de parámetros describir sus características o regularidades. Es decir, su finalidad es interpretar los datos obtenidos de una determinada población. Definiciones. Población es el conjunto de todos los elementos objeto de estudio. Muestra en un subconjunto de la población. A partir de su estudio se establecen las características de toda la población. Individuo es cada uno de los elementos que forman la población o la muestra. Tipos de muestreo Son las distintas formas de elegir una muestra de una población. Los más importantes son aleatorio simple, aleatorio sistemático, estratificado de afijación igual y estratificado de afijación proporcional. Muestreo aleatorio simple. Se eligen al azar n elementos de entre los de la población sin ninguna condición, es decir, todos tienen la misma probabilidad de formar parte de la muestra. Muestreo aleatorio sistemático. Se ordenan los elementos de la población (de menor a mayor, por orden alfabético, ) y se elige al azar un elemento, al de denominaremos k. Se hace el cociente /n ( = tamaño de la población y n = tamaño de la muestra) y se redondea a un número entero, al que llamaremos p. Por tanto los elementos de la muestra serán los que tienen los números k, k+p, k+2p, k+3p, Muestreo estratificado de afijación igual. Se realiza cuando la población está dividida en clases y se elige el mismo número de elementos de cada clase para formar la muestra. Si el número de clases es p, el cociente n/p determina el número de elementos que hay que coger de cada clase. Muestreo estratificado de afijación proporcional. Se realiza cuando la población está dividida en clases y el número de elementos de cada clase debe ser proporcional al tamaño de la misma. 1. En una población hay 16.000 habitantes que tienen ordenador. Se desea hacer una encuesta sobre el número de horas que lo utilizan, para lo que se elige una muestra de 300 habitantes. Explica de qué modo se realizaría un muestro aleatorio simple y un muestreo aleatorio sistemático. 2. En la población anterior hay 3.000 personas del sector primario, 2.500 del secundario y 10.500 del sector terciario. Explica cómo harías un muestreo estratificado de afijación igual y un muestreo estratificado de afijación proporcional.
3. En el IES hay 520 alumnos distribuidos de la siguiente manera: 262 en ESO, 120 en Bachillerato y 130 en Ciclos Formativos. Se quiera escoger una muestra de 40 de ellos para hacer un determinado estudio. Indica cómo se haría un muestreo: a) Aleatorio simple. b) Aleatorio sistemático. c) Estratificado de afijación igual. d) Estratificado de afijación proporcional. 4. En la biblioteca del IES hay 1825 novelas, 524 libros de poesía, 327 de ciencias aplicadas y 324 enciclopedias. Se pretende hacer un estudio sobre el número de libros que hay de una determinada editorial para lo que se extrae una muestra de 200 libros. Determina el número de libros que habría que seleccionar en cada sección si se hace un muestreo estratificado de afijación igual y un muestreo estratificado de afijación proporcional. 5. La siguiente gráfica muestra el empleo comarcal por sectores de actividad. Se desea hacer una encuesta sobre su intención de voto en las próximas elecciones, para lo que se elige una muestra de 125 trabajadores. Determina el número de individuos que habría que seleccionar en cada sector si se hace un muestreo estratificado de afijación igual y un muestreo estratificado de afijación proporcional.
9.2. Variable discreta y continua. Variable estadística es una propiedad o población, es la propiedad que se estudia. carácter que presentan los miembros de una Variable cualitativa es aquella que no es numérica, que expresa una cualidad. Variable cuantitativa es la que se puede medir o contar: es numérica. Variable cuantitativa discreta: si sólo puede tomar valores numéricos aislados. Variable cuantitativa continua: cuando puede tomar todos los valores de un intervalo. 6. a) Escribe tres variables estadísticas cualitativas. b) Escribe tres variables estadísticas cuantitativas discretas. c) Escribe tres variables estadísticas cuantitativas continuas. Si tenemos una muestra con individuos y una variable que puede tomar distintos valores: x 1, x 2, x 3, Frecuencia absoluta del valor x i (lo representaremos por f i ) es el número de veces que aparece dicho valor en la muestra elegida (es decir, al número de individuos que cumplen la característica x i ). Frecuencia absoluta acumulada del valor x i (y lo representaremos por F i ) es la suma de todas las frecuencias menores o iguales que x i. Tabla de frecuencias. Su finalidad es organizar los datos que se recogen de una población o de una muestra. En la primera columna se colocan los diferentes valores de la variable que se estudia, en la segunda la frecuencia absoluta y en la tercera la frecuencia acumulada. Si se dan los datos agrupados en intervalos se añade otra columna con las marcas de clase, que son los puntos medios de los intervalos. Se pueden añadir también otras dos columnas para las frecuencias relativas o para los tantos por ciento. La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absolutas y el número de datos (fr = f i ) y % = 100 fr 7. Haz una tabla de frecuencias en cada uno de los siguientes casos: a) Cuando les pregunté a mis alumnos de Taller de Matemáticas cuál es su deporte preferido me contestaron 10 alumnos que el fútbol, 6 el baloncesto, 4 el atletismo y 4 el tenis. b) Preguntadas 16 amigos cuál es el número de libros leídos en el último mes me respondieron: 4 que ninguno, 4 1 libro, 6 amigos 2 libros y 2 que habían leído 3 libros. c) El peso de los alumnos de 2º ESO H es: Entre 40 y 45 kilos: 1 alumno, entre 45 y 50: 3, entre 50 y 55: 10, entre 55 y 60: 9, entre 60 y 65: 4, entre 65 y 70: 2 y entre 70 y 75: 1 alumno.
8. Con los siguientes datos elabora una tabla de frecuencias: 0 3 1 2 0 2 1 3 0 4 0 1 1 4 3 5 3 2 4 1 5 0 2 1 0 0 0 0 2 1 2 1 0 0 3 0 5 3 2 1 9. El número de personas que acudieron a la piscina municipal el último mes fueron: 38 32 54 47 58 58 46 47 55 60 43 60 45 48 40 53 59 48 39 48 56 52 48 55 60 53 43 52 Haz una tabla de frecuencia agrupando los datos en intervalos.
9.3. Gráficos estadísticos Permiten que la información estadística se visualice e interprete fácilmente. Para las variables cualitativas se suelen utilizar los diagramas de sectores, en los que la amplitud de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta de cada valor de la variable. Para las variables cuantitativas discretas se hacen los diagramas de barras. Para ello se colocan en el eje horizontal los distintos valores de la variable y en el eje vertical las frecuencias absolutas. Sobre cada valor de la variable se levanta una barra de altura igual a su frecuencia. Para las variables cuantitativas continuas se usan los histogramas. En el eje horizontal se colocan los extremos de los intervalos de la variable y en el eje vertical las frecuencias absolutas. Sobre cada intervalo se levanta un rectángulo de superficie igual a su frecuencia. 10. Representa gráficamente los datos del ejercicio 7, utilizando el tipo de gráfica más adecuado en cada caso.
9.4. Medidas de centralización. os indican entorno a qué valores de la variable se distribuyen los datos de que disponemos. Media es el cociente entre la suma de todos los valores de la variable y el número de datos. Si los datos no están agrupados: Si los datos están agrupados: x = x 1+x 2 + +x n = x i x = x 1 f 1 +x 2 f 2 + +x n f n = x i f i x i = valor de la variable, f i frecuencia de x i, = número de individuos Si los datos están agrupados en intervalos x i = punto medio del intervalo. El mayor inconveniente de la media es que si hay valores extremos muy dispares, éstos influyen de manera notable en su valor, y la media puede perder su valor representativo. Moda es el valor de la variable con mayor frecuencia. Puede haber más de una moda. En variables estadísticas continuas se habla de intervalo modal. Mediana es el valor de la variable que tiene tantos individuos menores como mayores que él. Cuando los datos no están agrupados para calcularla se ordenan todos los datos de menor a mayor y se coge el valor central. Si hay un número par de observaciones la mediana es la semisuma de los dos valores centrales. A partir de la tabla de frecuencias, la mediana es el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada es mayor que la mitad del número de individuos. Si los datos están agrupados en intervalos la mediana se calcula a partir del polígono de frecuencias acumuladas. Cuartiles. Si en lugar de partir los datos en dos mitades (la mediana) se hace en cuatro partes iguales (todas ellas con el mismo número de individuos), los dos nuevos puntos de separación se llaman cuartiles. El primer cuartil, Q 1, es el valor de la variable que deja por debajo de él al 25 % de los datos. El segundo cuartil coincide con la mediana. Q 2 = Me El tercer cuartil, Q 3, es el valor de la variable que deja por debajo de él al 75 % de los datos. Se calculan de la misma forma que la mediana. Percentiles. Se calculan igual que los cuartiles pero dividiendo la población en 100 partes iguales. El percentil k, p k, es el valor de la variable que deja por debajo de él al k% de los datos.
9.5. Medidas de dispersión. Tienen por objeto dar una idea de la mayor o menor concentración de los datos alrededor de un valor central. Es decir, nos informan de la homogeneidad o heterogeneidad de una distribución. Ejemplo: a) 46, 48, 49, 50, 50, 51, 52, 54 b) 10, 18, 30, 50, 50, 70, 82, 90 Ambas tienen x = 50, sin embargo, los datos de la primera serie están menos dispersos que los de la segunda. Si calculamos sus medidas de dispersión veremos que los de la primera son menores que los de la segunda. Recorrido es la diferencia entre el dato mayor y el menor. Desviación típica. Se define como σ = x i 2 f i x 2 Para calcularla es útil añadir en la tabla de frecuencias dos columnas: x i 2 y x i2 f i. Coeficiente de variación: Se define como el cociente entre la desviación típica y la media CV = σ x El coeficiente de variación es un número que está entre 0 y 1, sirve para comparar la dispersión de dos poblaciones diferentes. Si CV está próximo a cero es una muestra muy homogénea, y si está próximo a 1 es muy heterogénea, por tanto al comparar dos conjuntos aquel que tenga mayor coeficiente de variación será el más disperso. Ejemplo: En un grupo, A, de personas, la estatura media es 165 cm, con una desviación típica de 10,5 cm. En otro grupo, B, la estatura media es 140 cm y su desviación típica, 8,4 cm. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión de ambos grupos.
Ejemplo 1. E número de asignaturas suspensas en un grupo de 35 alumnos/as se refleja en la siguiente tabla: ota 0 1 2 3 4 5 6 º de alumnos 10 8 6 5 3 3 1 La tabla de frecuencias será: x i f i F i x i f i x i2 f i 0 10 10 0 0 1 8 18 8 8 2 6 24 12 24 3 5 29 15 45 4 3 32 12 48 5 3 35 15 75 6 1 36 6 36 = 36 = 68 = 236 Representando los datos en un diagrama de barras: 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 x = x i f i Mo = 0 = 68 35 = 1,94
Me = 1,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 Me = 1+2 2 =1,5 Q 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 25 % Q 2 = 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 75 % σ = x i 2 f i x 2 = 236 35 1,942 = 1,7 CV = σ = 1,7 = 0,87, es decir, los datos están bastante agrupados. x 1,94
Ejemplo 2 El número de vehículos que repostaron en una gasolinera a lo largo de un día fueron: x i f i F i x i f i x i2 f i [0,4) 2 6 6 12 24 [4,8) 6 14 20 84 504 [8,12) 10 110 130 1100 10000 [12,16) 14 120 250 1680 23520 [16,20) 18 150 400 2700 48600 [20,24) 22 25 425 550 12100 = 425 = 6126 = 94748 Los datos se representan en un histograma: x = x i f i σ = x i 2 f i = 6126 425 = 14,41 CV = σ x = 4,45 14,41 = 0,3 x 2 = 94748 415 14,412 = 4,54 Veamos cómo se halla la mediana. Como tenemos 425 datos, su mitad será 212,5.
En la columna de frecuencias acumuladas el primer valor que pasa de 212, 5 es 250 por lo que el intervalo mediano es [12, 16). Vamos a hallar su valor exacto: Para ello cogemos el polígono de frecuencias acumuladas: 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 [0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) [20,24) Como los triángulos que se forman son semejantes: 120 = 82,5 4 x x = 2,75 por lo que Me = 12 + 2,75 =14,75
11. Las notas de los alumnos de 3º G en el último examen de matemáticas fueron: 3 6 6 3 6 8 4 5 6 3 2 3 4 7 6 5 8 9 10 3 4 6 1 2 8 7 6 7 4 7 a) Qué tipo de variable se estudia? b) Cuál es la población que estudiamos? c) Representa los datos anteriores en una tabla de frecuencias. d) Representa los datos anteriores en un diagrama de barras. e) Halla las medidas de centralización f) Calcula las medidas de dispersión. 12. En un test realizado a los 88 alumnos de 2º de ESO del Instituto se han obtenido los siguientes resultados: Puntuación entre 38 y 44: 7 alumnos. Entre 44 y 50: 8 alumnos, entre 50 y 56: 15 alumnos, entre 56 y 62: 25 alumnos, entre 62 y 68: 18 alumnos, entre 68 y 74: 9 alumnos y entre 74 y 80: 6 alumnos. Haz un estudio estadístico completo con estos datos. 13. Hemos preguntado a un grupo de personas por el número de días que practican deporte a la semana. Las respuestas han sido las siguientes: 4 2 3 1 3 7 1 0 3 2 6 2 3 3 4 6 3 4 3 6 a) Haz una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente la distribución c) Halla los parámetros de centralización y dispersión. 14. Las notas obtenidas en un examen de matemáticas realizado en una clase de 4º ESO han sido las siguientes: 4 5 7 5 8 3 9 6 4 5 7 5 8 4 3 10 6 6 3 3 a) Ordena los datos en una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente la distribución c) Halla los parámetros de centralización y dispersión. 15. En una clase de 4º ESO hemos preguntado por las horas de estudio que dedican a la semana. Estas han sido las respuestas: 16 11 17 12 10 5 1 8 10 14 15 20 3 2 5 12 7 6 3 9 10 8 10 6 16 16 10 3 4 12 a) Ordena los datos en una tabla de frecuencias, agrupándolos en intervalos de la forma que creas más conveniente y representa gráficamente la distribución. b) Halla los parámetros de centralización y dispersión.
16. Las edades de un grupo de 30 personas son: 24 3 29 6 5 17 25 24 36 42 30 16 14 12 8 4 8 37 32 40 37 26 28 15 17 41 20 18 27 42 a) Ordena los datos en una tabla de frecuencias, agrupándolos en intervalos de la forma que creas más conveniente y representa gráficamente la distribución b) Halla los parámetros de centralización y dispersión. 17. Al preguntar a 20 familias sobre el número de días a la semana que van a hacer la compra, las respuestas han sido las siguientes: 1 2 2 4 6 1 6 1 2 3 5 2 6 3 1 4 1 6 1 2 a) Elabora una tabla de frecuencias. b) Representa la distribución con el gráfico adecuado. c) Halla los parámetros de centralización y dispersión. 18. El número de ordenadores que hay en los hogares de un grupo de 50 personas viene dado en la siguiente tabla: º de ordenadores 0 1 2 3 4 º de personas 15 22 10 2 1 a) Halla la media y la desviación típica de esta distribución. b) Haciendo el mismo estudio en otro grupo de personas, la media ha sido de 2,1 y la desviación típica de 0,92. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y di en cuál de ellos la variación relativa es mayor. 19. Midiendo el peso, en kilogramos, de un determinado grupo de niños, hemos obtenido los siguientes resultados: Peso [10,13) [13,16) [16,19) [19,22) [22,25) º de niños 6 50 32 9 3 a) Calcula la media y la desviación típica. b) En cuanto al peso, es un grupo homogéneo o es disperso? 20. Las notas obtenidas en un examen de matemáticas en 1º H son las siguientes: ota 2 3 4 5 6 7 8 9 10 º de alumnos 1 2 3 5 4 6 4 3 2 Haz un estudio estadístico completo.
21. El tiempo que tardan en llegar desde su casa hasta el instituto los lumnos de un grupo de ESO son: Tiempo (minutos) [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) º de alumnos 10 6 9 3 2 Calcula la media y la desviación típica de esta distribución. 22. El tiempo medio empleado por el tren en recorrer un cierto trayecto es de 25 minutos, con una desviación típica de 5 minutos. Haciendo el mismo trayecto en coche, el tiempo medio ha sido de 35 minutos, con una desviación típica de 15 minutos. Calcula el coeficiente de variación y di en cuál de los dos casos hay mayor variación relativa. 23. Midiendo el tiempo (en minutos) que han tardado los participantes de una carrera en llegar a la meta, hemos obtenido los siguientes resultados. Tiempo (minutos) [20,23) [23,26) [26,29) [29,32) [32,55) º de corredores 1 5 29 9 6 Haz un estudio estadístico completo. 24. El dinero, en euros, del que suelen disponer semanalmente un grupo de alumnos y alumnas de una misma clase es: 10-15 - 12-20 - 25-18 - 12-30 - 22-19 - 18-15 - 13-20 - 24 Calcula razonadamente la mediana, los cuartiles y el percentil 40. 25. El tiempo empleado, en minutos, por los trabajadores de cierta empresa en ir de su casa al trabajo viene reflejado en la siguiente tabla: Tiempo (minutos) [0,15) [15,30) [30,45) [45,60) [60,75) [75,90) º de corredores 10 23 32 5 6 4 Haz un estudio estadístico completo. 26. Las puntuaciones de 50 alumnos en un examen han sido las siguientes: ota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 º de alumnos 1 1 4 6 10 12 8 6 1 1 Calcula Me, Q1, Q3 y p80.