Control con Lógica Difusa

Teoría de Control con Lógica Difusa Teoría Dr. Fernando Ornelas Tellez Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo Facultad de Ingeniería Eléctrica Morelia, Michoacan Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 1/39

Teoría de Bibliografía 1 D. Driankov et al. An introduction to Fuzzy Control (2nd Ed.), Springer, 1996. 2 G. Chen. Introduction to Fuzzy Sets, Fuzzy Logic and Fuzzy Control Systems, CRC Press 3 K. Tanaka et al. Fuzzy Control Systems Design and Analysis, John Willey and Sons. 4 Fuzzy Logic Toolbox, User s Guide, The Math Woks Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 2/39

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Teoría de Teoría Clásica de Conjuntos Un conjunto U se define como una colección de objetos que tienen las mismas características. U es llamado el universo de discurso o conjunto universal. En él se definen las características de los conjuntos. Se especifica un universo de discurso para una variable de entrada y/o salida, como el rango de valores posibles que puede tomar la variable un cuestión para un aplicación específica. Un conjunto clásico puede ser finito, contable o no contable. Este conjunto puede ser descrito bien sea a través de listar sus elementos, o bien, por medio de establecer una propiedad de membresía. e.g., la propiedad x 0. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 4/39

Teoría de Teoría Clásica de Conjuntos Sea A un conjunto definido en X (i.e., A es definido como una colección de elementos (u objetos) x 2 X,talquecadax pertenezca o no al conjunto A). x 2 A : x es un elemento de A (pertenece a A). x /2 A : x no es un elemento de A (no pertenece a A). Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 5/39

Teoría de Teoría Clásica de Conjuntos Ejemplo Defina X como el conjunto de colores. El conjunto A = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul} es un ejemplo de un conjunto finito que es descrito por sus elementos. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 6/39

Teoría de Teoría Clásica de Conjuntos Ejemplo El conjunto T = {x 2 Z x 0} i.e., el conjunto de los enteros positivos. Es un ejemplo de un conjunto contable que es descrito por su propiedad x 0. Ejemplo Sea el intervalo de los números reales [0, 1], ésteesconjuntono contable. Dos conjuntos importantes son el universo X,que contiene todos los elementos del universo de discurso, y el conjunto vacío Ø, no conteniendo elementos. Cada uno es el complemento del otro. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 7/39

Teoría de Operaciones con conjuntos clásicos Complemento de A, sedefinecomoa 0 = {x x /2 A}. Intersección de A y B, sedefinecomo A \ B = {x x 2 A y x 2 B}. Union de A y B, sedefinecomoa [ B = {x x 2 A o x 2 B}. Otras más como diferencia, diferencia simétrica, producto cartesiano, etc. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 8/39

Teoría de Teoría Clásica de Conjuntos Una forma de definir un conjunto A es usando su función característica A. Sea A definido sobre el dominio X. Definición µ A : X! [0, 1] es una función característica del conjunto A si y solo si (ssi) para toda valor de x ( 1 cuando x 2 A µ A (x)= 0 cuando x /2 A. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 9/39

Teoría de Teoría Clásica de Conjuntos Ejemplo Si A es el conjunto de los números naturales impares, entonces µ A asigna el valor de 1 a todos los números impares, y 0 a los números pares. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 10/39

Teoría de Teoría Clásica de Conjuntos Para la función característica, es posible definir las operaciones complemento, intersección y unión en términos de funciones, las cuales resultarán útiles cuando se trabaje con teoría de conjuntos difusos. Sean A y B dos conjuntos clásicos dentro de un universo X,ysean µ A y µ B sus funciones de membresía, respectivamente. Las operaciones de conjunto complemento, intersección y unión pueden ser definidas como Complemento de µ A : µ A 0(x)=1 µ A (x). Intersección de A y B: µ A\B (x)=m«ın(µ A (x), µ B (x)). Union de A y B: µ A[B (x)=m«ax(µ A (x), µ B (x)). Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 11/39

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Teoría de Definiciones y Propiedades Básicas de los Diferente a la teoría de conjuntos clásicos, un conjunto difuso expresa el grado para el cual un elemento pertenece a un conjunto. Por otro lado, la función de membresía está restringida a tomar valores entre 0 y 1, lo cual denota el grado de pertenencia de un elemento en un conjunto dado. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 13/39

Teoría de Definiciones y Propiedades Básicas de los Las principales características de una FM son: Soporte, núcleo, puntos de cruce (valor del universo de discurso donde una función de membresía dada µ toma valor de 0.5) y fronteras. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 14/39

Teoría de Definiciones y Propiedades Básicas de los Definición: y Funciones de Membresía Si X es una colección de objetos denotados por x, entoncesun conjunto difuso A en X es definido como un conjunto de pares ordenados: A = (x, µ A (x)) x 2 X,dondeµ A (x) es llamada función de membresía (FM) ode pertenencia para el conjunto difuso A. La FM mapea (transforma) cada elemento de X aun grado (o valor) de pertenencia entre 0 y 1. Por lo anterior, un conjunto difuso siempre estará descrito por dos elementos (x, µ A (x)). Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 15/39

Teoría de Propiedades Básicas de los Ejemplo: Conjuntos difusos con un universo de discurso no ordenado Sea X = {Morelia, Cancun, Acapulco} un conjunto con las mejores ciudades para vivir que una persona puede elegir. Sobre el conjunto X se puede definir el conjunto difuso C = ciudad deseable para vivir, que puede ser descrito por: C = {(Cancun,0.8), (Acapulco,0.5), (Morelia,0.1)}. Para este ejemplo el universo de discurso es discreto. (Note que los grados de membresía son subjetivos, dependiendo estos de quien los establece) Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 16/39

Teoría de Propiedades Básicas de los Ejemplo: Conjuntos difusos con un universo discreto y ordenado Sea X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} el conjunto del número de hijos que una familia puede elegir tener. Sobre este conjunto se puede definir uno difuso A = numero de hijos en unafamilia como: A = {(0,0.1), (1,0.3), (2,0.7), (3,1), (4,0.7), (5,0.3), (6,0.1)}. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 17/39

Teoría de Propiedades Básicas de los Ejemplo: Conjuntos difusos con un universo continuo Sea X = R + el conjunto de edades posibles para humanos. Entonces, un conjunto difuso puede definirse sobre X como B = edad alrededor de 50 años, y éste ser descrito como: 1 donde µ B (x)= x 50 4. 1 + 10 B = {(x, µ B (x))} Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 18/39

Teoría de Propiedades Básicas de los De los ejemplos anteriores, es obvio que la construcción de los conjuntos difusos depende de dos cosas principalmente: la identificación de un universo de discurso apropiado y la especificación de una función de membresía apropiada. La especificación de la función de membresía es subjetiva, lo cual significa que diferentes personas podrían especificar funciones de membresía diferentes. Zadeh, creadordelalógicadifusa,proponelanotacióncompacta (x, µ(x)) ) µ(x)/x. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 19/39

Teoría de Propiedades Básicas de los De manera general un conjunto difuso puede ser denotado como: A = ( Â xi 2X µ A (x i )/x i, R X µ A(x)/x, si X es una colección de objetos discretos. si X es un espacio continuo. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 20/39

Teoría de Propiedades Básicas de los En la práctica, cuando el universo de discurso X es un espacio continuo, usualmente se particiona dentro de varios conjuntos difusos, cuyas FM cubran todo X. Los conjuntos difusos obtenidos pueden tomar nombres a los que se está acostumbrado en el uso lingüístico diario, tales como grande (G), medio (M) o pequeño (P), y son llamados valores lingüísticos oetiquetaslingüísticas. Así, el universo de discurso X es llamado frecuentemente como variable lingüística. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 21/39

Teoría de Propiedades Básicas de los Suponga que X = edad. Entonces se pueden definir conjuntos difusos como joven, edad media y viejo, que son caracterizadas por sus FM µ joven, µ edad media y µ viejo,respectivamente. Al igual que una variable convencional, la variable lingüística puede tomar varios valores, particularmente la variable lingüística edad puede tomar diferentes valores lingüísticos, tales como joven, edadmedia y viejo para este caso. Si edad tomaelvalorde joven, entonces se tiene la expresión edad es joven, y así sucesivamente. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 22/39

Teoría de Propiedades Básicas de los En la figura el universo de discurso X está totalmente cubierto por las funciones de membresía y la transición de una FM a otra es suave (continuidad) y gradual. Un conjunto difuso esta únicamente especificado por su función de membresía o pertenencia. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 23/39

Descripción de FM Teoría de Para las siguientes definiciones, a menos que se indique lo contrario, se asumirá que el universo de discurso de los conjuntos difusos son los números reales o un subconjunto de estos. Definición: Soporte El soporte de un conjunto difuso A es el conjunto de todos los puntos x en X tal que µ A (x) > 0: soporte(a)={x µ A (x) > 0}. Definición: Núcleo El núcleo de un conjunto difuso A es el conjunto de todos lo puntos x en X tal que µ A (x)=1: núcleo(a)={x µ A (x)=1}. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 24/39

Teoría de Propiedades Básicas de los Definición: Puntos de cruce Un punto de cruce de un conjunto difuso A es un punto x 2 X en el cual µ A (x)=0.5: Definición: Singleton punto de cruce(a)={x µ A (x)=0.5}. Un conjunto difuso cuyo soporte es un sólo punto en X con µ A (x)=1esllamadounconjunto singleton. Definición: Simetría Un conjunto difuso A es simétrico si su FM es simétrica alrededor de un cierto punto x = c, esdecir, µ A (c + x)=µ A (c x), 8x 2 X. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 25/39

Teoría de Propiedades Básicas de los Definición: Conjunto abierto por la izquierda, abierto por la derecha ycerrado Un conjunto difuso A es abierto por la izquierda si l«ım x! µ A (x)=1yl«ım x!+ µ A (x)=0; abierto por la derecha si l«ım x! µ A (x)=0yl«ım x!+ µ A (x)=1; y cerrado si l«ım x! µ A (x)=l«ım x!+ µ A (x)=0. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 26/39

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Teoría de Para las operaciones sobre conjuntos difusos se debe diferenciar entre las operaciones que afectan un conjunto difuso (p.e. para modificar su función de pertenencia) y las operaciones que se aplican entre dos omásconjuntos,paraobtenerotro. Alasoperacionesqueafectanaunúnicoconjuntodifusoparamodificar su función de pertenencia se las denomina operaciones unarias eincluyenalassiguientes: Normalización: se usa para hacer que la altura del conjunto difuso al que se aplica sea uno; Concentración: se eleva a una potencia mayor que 1 la función de pertenencia; Dilatación: eleva a una potencia menor que 1 y mayor que 0 a la función de pertenencia; Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 28/39

Teoría de Intensificación del contraste: aumenta de un modo significativo los valores mayores a 1 y disminuye los menores a 1; Difuminación: operación contraria a la intensificación del contraste. Por otro lado, las operaciones de unión, intersección y complemento, son las operaciones más básicas sobre teoría de conjuntos clásicos y son operaciones que se aplican a dos o más conjuntos. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 29/39

Teoría de De manera análoga a los conjuntos clásicos, los conjuntos difusos también tienen las operaciones de unión, intersección y complemento, las cuales fueron inicialmente definidas por Zadeh 1. Definición: Igualdad Dos conjuntos difusos son iguales (A = B) siysólosi 8x 2 X : µ A (x)=µ B (x). 1965. 1 L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Information and Control, vol. 8, pp. 338 353, Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 30/39

Teoría de Definición: Inclusión o Subconjunto Un conjunto difuso A está incluido o contenido en un conjunto difuso B (o de manera equivalente, A es un subconjunto de B, oa es mas pequeño o igual a B) siysolosiµ A (x) apple µ B (x) para toda x. Matemáticamenteestosepuederepresentarcomo 8x 2 X : A B, µ A (x) apple µ B (x). Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 31/39

Teoría de Definición: Unión (disyunción) La unión de dos conjuntos difusos A y B es un conjunto difuso C, escrito como C = A [ B o C = A OR B, cuyafmestarelacionada a A y B por 8x 2 X : µ C (x)=µ A[B (x)=m«ax(µ A (x), µ B (x)) = µ A (x) _ µ B (x). Definición: Intersección (conjunción) La intersección de dos conjuntos difusos A y B es un conjunto difuso C, escritocomoc = A \ B o C = A AND B, cuyafmesta relacionada a A y B por 8x 2 X : µ C (x)=µ A\B (x)=m«ın(µ A (x), µ B (x)) = µ A (x) ^ µ B (x). Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 32/39

Teoría de Definición: Complemento (negación) El complemento de un conjunto difuso A, denotadopora ( A, NOT A) esdefinidocomo 8x 2 X : µ A (x)=1 µ A (x). Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 33/39

Teoría de Las operaciones de unión, intersección y complemento son ilustradas en la siguiente figura. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 34/39

Teoría de Para distinguir los operadores max, min y not,sereferirácomooperadores difusos para unión, intersección y complemento sobre conjuntos difusos, respectivamente. Las definiciones de estas operaciones no son únicas, por ejemplo µ A\B (x)=µ A (x) µ B (x) representa también la operación de intersección, mientras que para la unión se tiene µ A[B (x)=min (1, µ A (x)+µ B (x)). Estas últimas operaciones en lógica difusa no entregan resultados equivalentes a las operaciones definidas anteriormente. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 35/39

Teoría de Ejemplo: Operación difusa de intersección de Zadeh Determinar el grado de pertenencia del valor x = 4.5 ala intersección de los dos conjuntos difusos mostrados en la figura. Gráficamente x = 4.5 tieneunniveldepertenenciade0.8 al conjunto A y de 0.2 al conjunto B. Por lo tanto, el valor de pertenencia de x = 4.5 alaintersección (zona sombreada) es de 0.2. El valor de pertenencia de la intersección de los conjuntos A y B es el valor mínimo de los valores de pertenencia de manera individual de cada conjunto. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 36/39

Teoría de Ejemplo: Operación difusa de unión de Zadeh Determine el nivel de pertenencia de valor x = 4.5 alaunióndelos dos conjuntos difusos mostrados en la figura. Gráficamente, x = 4.5 tieneunniveldepertenenciade0.8 al conjunto A yde0.2 alconjuntob. Se afirma que el valor de pertenencia del valor dado a la unión de los conjuntos A y B es el valor máximo de los valores de pertenencia de dicho valor a los conjuntos de manera individual, esto es 0.8. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 37/39

Teoría de Ejemplo: Operación difusa de complemento de Zadeh Determinar el nivel de pertenencia de valor x = 6alcomplemento del conjunto difusos A como es mostrado en la figura. En x = 6seobservaqueelvalordepertenenciaalconjuntoA es de 0.8. Considerando el complemento como lo que falta a este valor para alcanzar el máximo posible (esto es 1), se tendría que el nivel del pertenencia de x = 6alcomplementoesde0.2. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 38/39

Appendix Para mayor información [allowframebreaks]para mayor información D. Driankov et al. An introduction to Fuzzy Control (2nd Ed.) Springer, 1996 G. Chen Introduction to Fuzzy Sets, Fuzzy Logic and Fuzzy Control Systems CRC Press. K. Tanaka et al. Fuzzy Control Systems Design and Analysis John Willey and Sons Fuzzy Logic Toolbox Users Guide The Math Works S. Someone. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 39/39